P2.调和及完全四边形

PART2：

01. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 是AB 的中点，D 是CA 延长线上一点，E 在

DM 的延长线上，且∠EBA=90°。求证：∠ABD=∠BCE

02. 如图，X 是△ABC 内部一点，满足∠ABX=∠ACX ，X 在∠BAC 的内角、外角平分线上的

射影分别是E, F ，M 是BC 的中点。求证：M, E, F 三点共线

03. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与BC 交于D ，P 是AD 上的一点，BP , CP 分别与

AC, AB 交于E, F ，D 在EF 上的射影为Q ，P 关于BC 的对称点为P'。求证：∠BAQ=∠CAP'

04. 如图，PC 是⊙O 的切线，PAB 为⊙O 的割线（B 在P , A 之间），CO 交⊙O 于D ，DB 交

PO 于E 。

求证：∠ACE=90°

05. 如图，凸四边形ABCD 是圆外切四边形，其内切圆⊙I 分别切BC, DA 于E, F ，若AB, FE,

CD 共点于P ，⊙(AED)再次交⊙I 于X ，⊙(BFC)再次交⊙I 于Y 。求证：XY//EF

06. 如图，凸四边形ABCD 为内接于⊙O ，P 为AC 延长线上一点，满足PB, PD 与⊙O 相切，

点C 处的切线交PD 于Q ，交AD 于R ，E 为AQ 与⊙O 的第二个交点。求证：B, E, R 三点共线

07. 如图，△ABC 内接于⊙O ，三条高AD, BE, CF 交于垂心H ，过B, C 关于⊙O 的切线交于

P ，PD, EF 交于K ，M 是BC 的中点。求证：K, H, M 三点共线

08. 如图，O 是锐角△ABC （AB

在△ABC 内部，且△BPA~△APC 。求证：∠QPA+∠OQB=90°

09.如图，⊙O是△ABC的外接圆，过B, C关于⊙O的切线交于X，定义以X为圆心XB为

半径的圆为⊙X，∠BAC的平分线交⊙X于M（M在△ABC的内部），OM, BC交于P，M 在CA, AB上的射影分别为E, F。

求证：∠EPF=90°

10.如图，△ABC中（AB

于E, F，AE, AF分别交BC于U, V。

求证：B为UV中点

11.如图，G是△ABC的重心，延长AG交△ABC的外接圆⊙O于D，△BGC的外接圆在点

G的切线分别交CA, AB于S,T，若AG=GD。

求证：AD平分∠SDT

12.如图，在△ABC中，D, E分别在AB, AC上，且DE//BC，△ABC的A-旁切圆⊙O切BC

于M，△ADE的内切圆⊙O1切DE于N，B O1, DO交于F，C O1, EO交于G。

求证：FG的中点在MN上

13. 如图，凸四边形ABCD ，BC 不平行于DA ，动点E 在BC 上，动点F 在DA 上，满足BE EC

=DF

，

AC, BD 交于P ，EF 分别交BD, AC 于Q, R 。

求证：△PQR 的外接圆过定点

14. 如图，锐角△ABC 的外心为O ，K 是BC 上一点（不是BC 的中点），D 是AK 延长线上

一点，BD, AC 交于N ，CD, AB 交于M ，若OK ⊥MN 。求证：A, B, D, C 四点共圆

15. 如图，D 是△ABC 边BC 上一点，∠DAC=∠ABC ，⊙O 过B, D 且分别交AB, AD 于E, F ，

BF 交DE 于G ，M 是AG 的中点。求证：CM ⊥AO

16. 如图，ABCD 为圆内接四边形，AB, DC 交于E ，AD, BC 交于F ，L, M, N 分别是BD, AC, EF

的中点。

（1）求证：BD

AC =NL

NE =NE

NM （2）求证：NL*NM=

EF 24

（3）求证：2ML

EF =AC BD -DB

17. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，O B , O C 分别是△ABD, △ACD 的外心，若B, C,

O B , O C 四点共圆，且圆心为X ，H 是△ABC 的垂心。求证：∠DAX=∠DAH

18. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 为其高，X 是线段CD 内部的一点，E 是线段AX

上一点，且BE=BC ，F 是线段BX 上一点，且AF=AC ，AF, BE 交于Y ，XY, AB 交于Q 。求证：E, F, D, Q 四点共圆

19.如图，ABCD内接于⊙O，M, N分别是CD, AB的中点，P在CD上，且满足PD

PC =BD2

，AC,

BD交于E，H是E在PN上的射影。

求证：⊙(HMP)与⊙(EDC)相切

20.如图，凸四边形ABCD内接于⊙O，BA, CD交于P，AD, BC交于Q，AC, BD交于R，M

是PQ的中点，MR交⊙O于K。

求证：⊙(PQK)与⊙O相切

上海市初二数学四边形的解题方法和技巧

初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧学习要求 1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理； 2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。 3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力．方法点拨考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理 1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（） A．180°；B．360°；C．n·180°；D．n·360°．变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（） A．90°；B．105°；C．130°；D．120°． 2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：B A．不存在；B．2n＋2；C．2n－1 ；D．以上都不对． 3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋ ∠B＋∠C＋∠D＋∠E．（2）图（1）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E）有无变化如图（2），说明你的结论的正确性．（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B+∠ACD＋∠D ＋∠E）有无变化如图（3），说明你的结论的正确性．考点2：平行四边形的性质与判定应用

四边形知识点总结(已整理)

四边形知识点总结第一部分、特殊四边形的性质与判定 1.四边形的基础知识： ①．过多边形的一个顶点可画（n-3）条对角线. ②．多边形的对角线条数公式是：2) 3n (n -条. ③．n 边形内角和是（n-2)*180° ④．任意多边形的外角和是360° 2．平行四边形的性质：因为ABCD 平行四边形????????????.54321点对称中心是对角线的交）中心对称图形，（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD ????? ? ? ? ?? 54321 3.矩形的性质：因为ABCD 是矩形?????? ????.4.3;2;1有两条对称轴形，）中心对称和轴对称图（）对角线相等（）四个角都是直角（有性质）具有平行四边形的所（矩形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且相等的（边形）对角线相等的平行四（边形）三个角都是直角的四（一个直角）平行四边形（4321?ABCD 是矩形. 4．菱形的性质：因为ABCD 是菱形??? ?? ?? ? ??????.)5(24321亦可）（对角线垂直的四边形算面积可用对角线乘积的一半条对称轴有形）中心对称和轴对称图（角）对角线垂直且平分对（）四条边都相等；（有性质；）具有平行四边形的所（菱形的判定： ??? ? ? ?? +四边形）对角线平分且垂直的（边形）对角线垂直的平行四（形）四条边都相等的四边（一组邻边相等）平行四边形（4321?ABCD 是菱形. 5．正方形的性质：因为ABCD 是正方形 ??? ? ??.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四条边都相等，四个（有性质；）具有平行四边形的所（正方形的判定： ?? ? ? ? ?? ++++对角线互相垂直矩形一组邻边相等矩形一个直角）菱形（对角线相等）菱形（)4()3(21?ABCD 是正方形.

人教版八年级(下册)四边形解题技巧

四边形解题技巧一、平行四边形应用举例平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，现举例说明． 1．求角的度数例1 如图，ABCD中．AD=2AB，点E、A、B、F在一条直线上，且EA＝AB＝BF，求∠DOC 的度数．例2 如图，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，∠ABE=90°，则∠F=______． 2．求线段的长例3 如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠A=120°，∠B＝60°，∠BCD＝∠150°，求AD的长．例4 如图，在DABCD中，AD＝5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC 的长度分别为( ) A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4

例5 如图，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF = 45°，且AE +AF =22，求ABCD 的周长． 4．求第三边的取值围例6 如图，在 ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点0，如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值围是( ) A ．10

例8 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于点F，∠ADC的平分线DG交边AB于点G，且DG与CF交于点E．请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．二、添作中位线，妙证几何题三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．这是三角形的一条很重要的性质，它包含了位置与数量两种关系．在题中，若有线段的中点，可过中点作第三边的平行线或取另一边中点构造中位线，运用中位线定理，实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解．例9 如图，在△ABC中，AB

判定平行四边形的五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上, 且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形. 分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD. 解：连接BD交AC于点O. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四边形DEBF是平行四边形. 二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由. 分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别. 解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1, 所以四边形ABCF是平行四边形. 同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形. 因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形. 分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件. 解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB. 因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE, 所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形 . 图1 图2 A B C D E F 图3

平行四边形知识点总结

平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2）表示方法：用“ABCD记作，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S= 底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形． =? 3．平行四边形的判别方法 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 ⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行； ②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形． 2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补； ③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．

四边形类题型解题技巧 (1)

四边形类题型解题技巧四边形是几何知识中非常重要一块内容，因其“变化多端”更是成为中高考数学考试一个热门考点。如其中特殊四边形--平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用，如求角的度数、求线段的长、求周长、求第三边的取值范围、综合计算题、探索题等等问题. 典型例题1：解题反思：本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键。辅助线是解决四边形一个重要知识点，如构造三角形中位线。实现线段或角的转移，从而迅速找到解题突破口，往往会使得某些看似无法解决的几何题化难为易，迎刃而解。

解题反思：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和平行四边形．除了中位线，在一些四边形问题解决过程中，出现这样解法：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形。这个中点四边形有许多重要性质，在中考试题中也屡见不鲜，中点四边形的四个结论如下：任意四边形的中点四边形是平行四边形、对角线相等的四边形的中点四边形是菱形、对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形、对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形。因为四边形的两条对角线垂直，所以这个四边形的中点四边形是矩形，又因为这个四边形的。两条对角线相等，所以这个四边形的中点四边形是菱形。既是矩形又是菱形的图形就是正方形。近几年随着新课改不断的深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题。这类问题的实践性强，要利用图形变化过程中利前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解。

特殊四边形解题技巧方法

特殊四边形的中考题型的解题技巧方法特殊四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类一、折叠变换类 1、图形折叠问题所用知识点： 1）． 2）． 3）. 2、解折叠问题时常用的方法：。 3、折叠问题数学思想： (1)思考问题的逆向(反方向)， (2)转化与化归思想； (3)归纳与分类的思想； (4)从变寻不变性的思想. 1、如图矩形ABCD中，3,4 ∠沿AE折 ==,点E是BC边上一点，连接AE，把B AB BC 叠，使点B落在点'B处，当△' CEB为直角三角形时，求BE 的长。

2、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG. 3、如图，矩形ABCD中，AB = 6，BC = 8，点F为BC边上的一个动点，把△ABF 沿AF折叠. 当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，求BF的长。

4.（2015浙江衢州，8，21）如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC 上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2. (1)求证：EG＝CH；（2）已知AF＝2，求AD和AB的长. 二、旋转变换类： 1、涉及的知识点———旋转变换的对应图形的性质： 1） 2）

3）解题关键： 1．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE 分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

《四边形之间的关系》教案

第5单元平行四边形和梯形第6课时四边形之间的关系【教学内容】：教材第66页例4 【教学目标】: 巩固平行四边形和梯形的概念及特征，探讨学过的几种四边形之间的【重点难点】: 【教学过程】: 1. 2. 3.长方形和正方形可以看成是特殊的平行四边形吗？这些图形之间（板书课题 1.出示例4 2. 师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几

教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家学生用各种形式表示：语言叙述、画图表示师：大家一起来看（点击课件），我们就可以把四边形看成是一个大家庭，但其中不仅仅包括这四种图形，还有任意四边形。教师用集合图的形式表示这些图形之间的相互关系，你有什么问题吗？用语言叙

3.巩固练习：教材“练习十一”第8 1.教材“练习十一”第9 学生动手摆一摆，小组内互相说一说，重叠的部分是什么图形？有没有不同的意见？ 2.教材“练习十一”第10 先说说各是什么图形，再量出各图形中每个角的度数，并填表，你发学生动手测量，小组内合作完成，检查交流测量结果，再议一议：发四边形四个角的度数和是360 3.教材“练习十一”第14* 图中有哪些我们学过的图形？每种图形有几个？看谁最细心，数得又

四边形知识点经典总结

四边形知识点：一、关系结构图：二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD 是平行四边形??? ? ? ? ????.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定（难点）： A B D O C

C D A B A B C D O . 3. 矩形的性质：因为ABCD 是矩形???? ??. 3;2; 1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ (4)是轴对称图形，它有两条对称轴． 4矩形的判定：矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形； (2)有三个角是直角的四边形； (3)对角线相等的平行四边形； (4)对角线相等且互相平分的四边形． ?四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质：因为ABCD 是菱形???? ??. 321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质： ABCD 是正方形???? ??. 321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形. A B D O C A D B C A D B C O C D B A O C D B A O

平行四边形及其性质(方法)

一、求角度，利用对角相等、邻角互补、四边形内角和为360° 1、出现对角：用对角相等（∠A=∠C） 2、出现邻角：用邻角互补（∠A+∠B=180°） 3、出现不规则四边形可以利用四边形内角和=360°（∠A+∠B+∠C+∠D=360°）任意三个角已知便可求出第四个角。 4、出现两角关系：（∠A-∠B=已知度数）或（∠A/∠B=已知数）此时可以设其中任意一个为未知数x，用x表示另一个角度，在用平行四边形角度存在的性质列方程如（∠A-∠B=30°）可以设∠A=x，则∠B=x-30° 再找出∠A、∠B存在的另一层关系，利用关系列方程若观察∠A、∠B为补角，则有∠A+∠B=180° 可列出方程x+x-30°=180° 解方程求解即可。如（∠A/∠B=2）可以设∠A=x，则∠B=x/2 再找出∠A、∠B存在的另一层关系，利用关系列方程求解即可。二、求线段取值范围，利用三角形三边性质（任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） 1、找出以所求线段为边长的所有三角形 2、确定我们所要利用的三角形（一般为已知长度的线段和所求线段围成的三角形） 3、通过已知或推导得到此三角形两边长 4、根据三角形三边性质列不等式（两边之和>第三边>两边之差）四、求线段长度

1、已知两边长求周长或已知周长求两边长的 ⑴只要任意给出两个已知条件即可求出第三个值（利用平行四边形周长等于相邻两边的2倍）周长=（一条边长的长度+这条边长的邻边的长度）×2 ⑵只给出其中一个已知条件和另两个条件关系的也可求出第三个值（利用设未知数表达平行四边形周长等于相邻两边的2倍列方程）设存在关系的两条件任意一个为X，用含X的表达式表达存在关系的另一条件，根据“周长=（一条边长的长度+这条边长的邻边的长度）×2”列方程。解方程求解即可注意：这里提到的边长都是组成平行四边形的两组平行的对边。 2、没有直接给两边长关系的，通常会利用两三角形周长差间接给出。平行四边形的对角线把平行四边形分成4个比较特殊的三角形。 ⑴含公共顶点，不含公共边（不相邻）的两三角形周长、面积都相等 ⑵含公共顶点，含一条公共边（相邻）的两三角形周长不等，面积相等。周长的大小只取决于三角形于平行四边形的公共边的大小，公共边越大，周长越大，公共边的差即为周长的差。利用周长差等于公共边差找出两边长关系，再利用周长=（一条边长的长度+这条边长的邻边的长度）×2设未知数求解即可。 3、平行四边形出现角分线，通常利用等角对等边的性质。 ⑴先利用角分线性质，证明被分的两个角相等 ⑵再利用内错角性质，证明内错角相等 ⑶等量代换把证明存在于同一个三角形中的两个角相等 ⑷利用等角对等边的性质证明两角所对的边相等 ⑸求出被求线段的长度 4、平行四边形中出现直角三角形，一般用勾股定理（a2＋b2=c2） ⑴观察图形，找出被求线段所在的直角三角形 ⑵根据已知，找出或推导出此直角三角形的另外两边长（若被求线段不在直角三角形中或此直角三角形另两边长无法求出，则此时考虑找到与被求线段存在关系的线段，以新线段作为被求线段找直角三角形以及另两边边长） ⑶利用勾股定理（a2＋b2=c2）列等式求值。

四边形知识点和题型归纳.

对行为一一为一四边形两组边平一个内角R t ∠一个内角为Rt ∠, 一组邻边相等组邻边相等组对边平行且另一组对边不平行一个内角R t ∠组邻边相等四边形知识与题型总结一.本章知识要求和结构 1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系. （1）演变关系图：（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）平行四边形

图2 F E D C B A 图1 F E D C B A 2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算. 名称平行四边形矩形菱形正方形定义的四边形是平行四边形的平行四边形是矩形的平行四边形是菱形的平行四边形是正方形性质边角对角线对称性判定边角对角线面积周长 3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积. 如图1， ABCD S =BC·AE=CD·BF

30? 60? 60? （2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， ABCD S =BCFE S 4.三角形中位线定理定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）; 定理: 作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分. 拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的和 ; （4）直角三角形的性质定理: 直角三角形斜边上的中线 5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为a ，则对角线的长为2a ; 正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半. 周长相等的四边形中，正方形的面积最大. 6. ※梯形的中位线（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线（2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半. （3）梯形的面积S=12 ×（上底+下底）×高=中位线×高 7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为60?(120?)时,可得：等边三角形和含30?角直角三角形（① 图） ② 菱形有一个角为60?时, 可得： ③ 正方形中可得：含30?角的四个全等直角三角形四大四小等腰直角三角形

平行四边形判定方法.

平行四边形的判定【知识要点】同学们都知道，平行四边形具有对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质，并且我们得到了平行四边形的五种判定方法： ①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ④对角线互相平分的四边形是平行四边形. ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 【能力解读】 1. 掌握平行四边形的判定方法，会利用平行四边形的性质和判定进行有关线段的证明和角的计算。 2. 将平行四边形转化成三角形来研究，深入理解平行四边形的性质和判定。 3. 平行四边形的性质和判定是中考命题的热点，特别是平行四边形的判定多与其他知识点结合命题，以平行四边形为基架而精心设计的的中考题更是璀璨夺目，精彩四射。【平行四边形判定方法的选择】判定平行四边形的五种方法各有妙用，我们应仔细观察题目所给出的条件，仔细选择合适于题目的判定方法进行解答。在解题时，如何有针对性的选择使用这些方法呢？这里列表例1（条件开放题）如图1，四边形ABCD 中，BC AD =，要使四边形ABCD 为平行四边形，还需补充的一个条件是．课标剖析：熟练地掌握平行四边形的判定方法是解题的关键。解：答案不唯一，如：(1)AB CD =(2)AD BC ∥(3) ?=∠+∠180B A ,(4) ?=∠+∠180D C . 例2．（结论开放题）如图2，在□ABCD 中，两条对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，以图中的任意四点（即点A 、B 、C 、D 、 E 、 F 、 G 、 H 、O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．课标剖析：：根据平行四边形的判定方法④解答. 【解】第一种：可画为□EFGH 第二种：可画为□DEBG （或画为□AHCF ）分析：□ABCD 可得OA=OC ，OB=OD ，又因为点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、OD D 2 D C 图1

四边形知识点归纳及练习

B D 四边形知识点归纳及练习 1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 2、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、菱形的定义：邻边相等的平行四边形。菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。菱形的判定定理： 1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3.四条边相等的四边形是菱形。S 菱形=1/2×ab（a 、b 为两条对角线） 4、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角。正方形既是矩形，又是菱形。正方形判定定理： 1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。 5、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。解梯形问题常用的辅助线：如图

初二数学-“四边形(Ⅰ)”的解题方法与技巧

初二数学-“四边形 (Ⅰ)”的解题方法与技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初二数学“四边形（Ⅰ）”的解题方法与技巧学习要求 1．理解多边形及其有关概念，掌握多边形的内角和定理与多边形的外角和定理； 2．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理，会用平行四边形的性质定理与判定定理来解决简单的几何证明和计算问题。 3．理解矩形、菱形、正方形的概念，清楚它们之间的内在关系；掌握矩形、菱形、正方形的特殊性质和判别方法，并能运用这些知识进行有关简单的证明和计算．本章学习的能力训练点是结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力．方法点拨考点1：多边形的内角和定理与多边形的外角和定理 1．（n＋1）边形的内角和比n边形的内角和大（） A．180°； B．360°； C．n·180°； D．n·360°．变式演练：一个多边形除去一个内角之外，其余各内角之和是2570°，则这个内角的度数为（） A．90°； B．105°； C．130°； D．120°． 2．若多边形的所有内角与它的一个外角的和为600°，求边数和内角和．变式演练：如果各角都相等的多边形的一个内角是它的外角的n倍，则这个多边形的边数是（）答案：B A．不存在； B．2n＋2； C．2n－1 ； D．以上都不对． 3．如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋ ∠B＋∠C＋∠D＋∠E．（2）图（1）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠C＋ ∠D＋∠E）有无变化？如图（2），说明你的结论的正确性． 2

专题四-平行四边形的存在性问题解题策略

授课题目专题四平行四边形的存在性问题解题策略授课日期2015年3月15日教师柳娜授课学时 1 时 00 分学生课型复习课学科组长柳娜师生活动一、要点归纳解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便．二、课前热身已知△ABC，求作点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．三、例题讲解 1.如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求∠P AC的正切值；（3）若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

2. 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ的面积（用含x的代数式表示）；图1 3. 如图1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF//DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？图1

平行四边形的定义,性质及判定方法

一、平行四边形知识结构及要点小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。二、解题方法及技巧小结：证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。

特殊的平行四边形知识结构及要点小结矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形正方形：定义；一组邻边相等的矩形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形解题方法及技巧小结菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。

判定平行四边形的五种方法77503

判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。一、两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF (1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60° ∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120° 又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF ∵四边形ABDF 是平行四边形。点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE 于F (1)求证：△BCG≌△DCE； (2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形并说明理由。分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。解：（1）∵ABCD 是正方形， A F B D C E 图1

人教版八年级四边形知识点归纳-很实用

八年级四边形知识点归纳一、基本定义 1．四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理：（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质：因为ABCD 是平行四边形?????? ????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4.平行四边形的判定：是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行（ABCD 54321??? ? ? ? ? ??. 5.矩形的性质：因为ABCD 是矩形???? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 6. 矩形的判定： ??? ?? +边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321?四边形ABCD 是矩形. 7．菱形的性质：因为ABCD 是菱形 ??? ???.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等；（有通性；）具有平行四边形的所（ A B C D 1234 A B D A B D O C A D B C A D B C O C D B A O

8．菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321?四边形四边形ABCD 是菱形. 9．正方形的性质：因为ABCD 是正方形 ??? ???.321分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角；）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（（1）（2）（3） 10．正方形的判定： ?? ? ??++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321?四边形ABCD 是正方形. (4)∵ABCD 是矩形又∵AD=AB ∴四边形ABCD 是正方形 11．等腰梯形的性质：因为ABCD 是等腰梯形??? ? ??.321）对角线相等（；）同一底上的底角相等（两底平行，两腰相等；）（ 12．等腰梯形的判定： ?? ? ??+++对角线相等）梯形（底角相等）梯形（两腰相等）梯形（321?四边形ABCD 是等腰梯形 (4)∵ABCD 是梯形且AD ∥BC ∵AC=BD ∴ABCD 四边形是等腰梯形 14．三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半. 15．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. C D A B A B C D O E F D A B C E D C B A A B C D O A B C D O

《四边形》教案

《四边形》教案教学目标一、知识与技能１.直观感知四边形，能区分和辨认四边形，了解四边形的特点。２.能根据四边形的特点对四边形进行分类。二、过程与方法１.在具体探索过程中，进一步认识长方形和正方形，掌握长方形和正方形的特点。２.通过找一找、围一围、涂一涂、剪一剪等活动，培养学生的观察、比较和抽象概括的能力。三、情感态度和价值观１. 通过情景图和生活中的事物，感受生活中的四边形无处不在，激发学生的学习兴趣。教学重点：找出四边形特点，能够根据四边形的特点对四边形进行分类。教学难点掌握长、正方形的特点。教学方法直观演示法、实验操作法、情景教学法、动手操作法、小组合作学习法、观察比较法。课前准备多媒体课件。

课时安排 1课时教学过程一、导入新课师：图形是一个美丽的世界，我们的生活中存在许多漂亮的图案都是由图形组成的，今天我们就一起走进图形的世界。心在让我们一起来欣赏美丽的图形。课件出示：

仔细观察这些图，你能找到那些平面图形？学生回答：学生观察，发现三角形、圆形、正方形、长方形和一些不认识的图形。那几天我们就来研究这些图形。（四边形）二、新课学习１.教学例1. 师：把你认为是四边形的图形圈出来。在小组里说一说四边形有什么特点？课件出示第79页例1。学生观察这些四边形，在小组里讨论交流四边形的特点，教师巡视了解情况。师：你认为四边形有什么特点呢？生：四边形都有4条直的边。生：四边形都有4个角。师：你能在方格纸上自己画出一个四边形吗？学生尝试画四边形，教师巡视了解情况，个别指导有困难的学生。

新人教部编版小学四年级数学上册《四边形之间的关系》教案

四边形之间的关系教学目标 1、认识平行四边形和梯形，掌握平行四边形和梯形的特征。 2、通过活动，在对各种四边形分类整理中，了解平行四边形与长方形和正方形的关系。 3、培养学生动手操作能力，发展空间观念和想像力。教学重点通过操作和讨论掌握平行四边形和梯形的特征。教学难点理解平行四边形与长方形和正方形的关系。【教学过程】: 一、导入师:同学们,你们喜欢做游戏吗?好,我们玩一个游戏,名字叫做猜图形。谁想来?其他同学们向他提供准确的信息,不能比图形的形状,信息里不能包括这个图形的名字。好,开始! 教师逐个板贴长方形、正方形、平行四边形和梯形,学生逐个提供信息逐个猜(在此过程中老师及时评价学生或纠正学生的错误) 师:长方形和正方形我们已经很熟悉了,大家提供的信息既准确又充分,(拿下长方形和正方形)今天这节课我们重点研究哪两种图形呢?平行四边形和梯形。(揭示课题:平行四边形和梯形) 【设计意图:立足于学生的学习起点,之前学生已经初步认识了平行四边形和梯形,通过猜图形唤醒学生的知识记忆,同时为下面的探究做好铺垫】

二、自主探究 1.出示例4。根据学生前面的回答，出示几个不同的四边形。 2.探讨图形之间的关系。师：同学们，每一个图形都有自己的特点，请你仔细观察一下，这几个图形之间又有什么联系呢？学生回答长方形、正方形和平行四边形的共同之处。教师演示：一个平行四边形框，手拿它的两个对角拉动它，边拉边问是什么图形，继续拉到四个角变为直角的位置。问学生：现在是什么形状？师：有同学说是长方形，有同学说是平行四边形，那我们一起来看：平行四边形两组对边分别互相平行，现在这个图形的两组对边分别互相平行吗？师：它符合平行四边形的特点，它就是平行四边形，只不过它比起刚才的平行四边形特殊了一点，你知道它特殊在哪儿吗？学生回答出角的特点，四个角都是直角。师：这种特殊的平行四边形叫做长方形，现在你知道长方形和平行四边形的关系吗？长方形是特殊的平行四边形。（用同样的方法让学生发现正方形和长方形之间的关系）师：同学们通过观察、思考，理解了正方形、长方形、平行四边形、梯形之间的关系，我们能不能用一种形式清楚地表示出来呢？请大家

八年级数学巧用四边形外角的性质解题

八年级数学巧用四边形外角的性质解题姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________

1、如图，已知AB=AC，BE=DC，BD=CF，则∠A和∠α的关系是_________ 2、如图，D、E分别为AB、AC上一点，DG平分∠BDF，EG平分∠CEF，已知∠A=40°，∠G=30°，则∠DFE=________

常规方法这两道题如果用常规方法来解是比较复杂的，尤其是第2题。 1、解题思路，分别把∠A、∠α用相同的角来表示，进而得到∠A与∠α的关系。∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B， ∠α=180°-∠BDE-∠CDF=180°-∠BDE-∠BED=∠B ∴∠A=180°-2∠α 2、解题思路：利用四边形内角和、平角、角平分线求解。在四边形AEGD中，∠ADG+∠AEG=360°-∠A-∠G=290°，∠BDG+∠CEG=360°-∠ADG-∠AEG=70°，∠BDF+∠CEF=2（∠BDG+∠CEG）=140°，∠ADF+∠AEF=360°-（∠BDF+∠CEF）=220°，∠DFE=360°-∠A-∠ADF-∠AEF=100° 利用四边形外角的性质四边形外角的性质：四边形的两个外角之和等于与它们不相邻的两个内角的和。

无论是相邻还是不相邻的外角，结论都成立，用四边形内角和与平角可以很容易证明。 1、由四边形外角的性质，可得∠BED+∠CFD=∠A+∠α，由全等三角形及平角定义，可得∠BED+∠CFD+∠α=180°， ∴∠A+∠α=180°-∠α，∠A=180°-2∠α（也可以写成其它等价形式） 2、由四边形AEGD的外角性质，可得∠BDG+∠CEG=∠A+∠G=70° 由角平分线定义，可得∠BDF+∠CEF=140° 由四边形AEFD的外角性质，可得∠DFE=∠BDF+∠CEF-∠A=140°-40°=100°也可利用飞镖模型，∠DFE=∠FDG+∠FEG+∠G=70°+30°=100° 本题结论：∠F=∠A+2∠G，也可以写成∠G=1/2∠F-1/2∠A，三角形外角平分线的夹角可看作后者的特殊情况