中考数学几何图形旋转试题经典问题及解答

中考数学几何图形旋转典型试题

一、填空题

1.（日照市）如图1，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于．

2．（成都市）如图2，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB 上，那么此三角板向右平移的距离是cm．

3.（连云港市）正△ABC的边长为3cm，边长为1cm的正△RPQ的顶点R

与点A重合，点P，Q分别在AC，AB上，将△RPQ沿着边AB，BC，CA顺时针

连续翻转（如图3所示），直至点P第一次回到原来的位置，则点P运动路径

的长为cm．

4.（泰州市）如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝

3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是．

二、解答题

5.（资阳市）如图5-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图5-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

6.（武汉市）如图6－1是一个美丽的风车图案，你知道它是怎样画出来的吗？按下列步骤可画出这个风车图案：在图6－2中，先画线段OA，将线段OA平移至CB处，得到风车

的第一个叶片F1，然后将第一个叶片OABC绕点O逆时针旋转180°得到第

二个叶片F2，再将F1、F2同时绕点O逆时针旋转90°得到第三、第四个叶

片F3、F4.根据以上过程，解答下列问题：

(1)若点A的坐标为(4，0)，点C的坐标为(2，1)，写出此时点B的

坐标；

(2)请你在图6－2中画出第二个叶片F2；

(3)在(1)的条件下，连接OB，由第一个叶片逆时针旋转180°得到第二个叶片的过程中，线段OB扫过的图形面积是多少？

7.如图7，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1,0)，将线段OP0按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数）.

（1）求点P6的坐标；

（2）求△P5OP6的面积；

（3）我们规定：把点P n(x n,y n)（n=0,1,2,3,…）的横坐标x n、纵坐标y n都取绝对值后得到的新坐标(|x n|,|y n|)称之为点P n的“绝对坐标”．根据图中点P n的分布规律，请你猜想点P n的“绝对坐标”，并写出来．

8.（台州市）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图8）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

9.（浙江省）如图9－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图9－2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图9－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图9－3至图9－6中统一用F表示）

图9－1 图9－2 图9－3

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.

（1）将图9－3中的△ABF沿BD向右平移到图9－4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；

（2）将图9－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图9－5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

（3）将图9－3中的△AB F沿直线AF翻折到图9－6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH.

图9－4 图9－5 图9－6

参考答案

一、1.2. 6－23.2π 4.1

二、

5. 解：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.

（2）不是总成立 .

当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP>DC>BP，此时BP=DP 不成立.

（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等.

在图1-1中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .

从而有 BE=DF .

6. 解：（1）B（6,1）

（2）图略

（3）线段OB扫过的图形是一个半圆.过B作BD⊥x轴于D.由（1）知B点坐标为（6,1），∴OB2＝OD2＋BD2＝62＋12＝37.∴线段OB扫过的图形面积是.

7. 解：（1）根据旋转规律，点P6落在y轴的负半轴，而点P n到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为P6(0,26)，即P6(0,64)．

（2）由已知可得，

△P0OP1∽△P1OP2∽…∽△P n-1OP n，

设P1(x1,y1)，则y1=2sin45°=,∴.

又∵,

∴.

（3）由题意知，OP0旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P n分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P n的坐标可分三类情况：令旋转次数为n.

①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P n落在x轴上，此时，点P n的绝对坐标为(2n,0)；

②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P n落在各象限的平分线上，

此时，点P n的绝对坐标为，即

.

③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P n落在y轴上，此时，点P n的绝对坐标为(0,2n)．

8. 解：HG＝HB．

证法1：连结AH（如图10）.

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，

∴∠B＝∠G＝90°．

由题意，知AG＝AB，又AH＝AH，

∴Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）.

∴HG=HB．

证法2：连结GB（如图11）．

∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，

∴∠ABC＝∠AGF＝90°．

由题意知AB＝AG．

∴∠AGB＝∠ABG．

∴∠HGB＝∠HBG．

∴HG＝HB．

9. 解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长.

∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm.

∴平移的距离为5cm．（2分）

（2）∵∠A1FA＝30°，∴∠GFD＝60°.又∠D=30°，

∴∠FGD＝90°．

在Rt△EFD中，ED=10 cm，∴ .

∵FG＝cm．

（3）在△AHE与△DHB1中，∠FAB1＝∠EDF＝30°.∵FD＝FA，EF＝FB＝FB1，

∴FD－FB1＝FA－FE，即AE＝DB1．

又∵∠AHE＝∠DHB1，∴△AHE≌△DHB1（AAS）．∴AH＝DH.