极坐标系及其与直角坐标系的互换

§1.3.1极坐标系

教学目标:

一、知识与技能：

知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；

二、方法与过程

借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系

三、情感、态度与价值观

体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；

教学重点:极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系

教学难点：极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系；

教学过程

一、新课引入：

直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。

如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（x，y），而是它的方位角，即夹角θ。在航空和航海中的情况都是这样。

当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。

二、讲解新课：

在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。

在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。 当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的

极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0

πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原

处。

三、范例讲解

例1、在极坐标系中，画出点A （1，

4

π

），B （2，23π）C （3，

4π-

）D （4，4

9π

） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即

4

π

线，23π线，4π-线，

49π线，4

π

线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位

置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）

例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，

解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A 与极点O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0），同样可求得B ，C 的极坐标分别为（4，

2

π

），（5，34π）

指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ρ，θ）后，再写出其通式（ρ，πθn 2+）或（πθρ)12(,++-n ）

例3、已知点Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1）M 是点Q 关于极点的对称点：（2）N 是点Q 关于直线2

π

θ=

的对称点

解：（1）由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ，极角角相差π)12(+n ，所以点M 的极坐标为（ρ，πθ)12(++n ）或（πθρn 2,+-）（Z n ∈）

（2）由于点Q 、N 关于直线2

π

θ=

的对称，得它们的极径OQ=ON ，点N 的极角

满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为（ρ，πθπn 2+-） 或（θπρ--n 2,）（Z n ∈） 例4、已知两点的极坐标A （3，

2π），B （3，6

π

）， 求AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。

解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=3

π

，

即△AOB 为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=65π

法二：∵A 、B 两点的极坐标分别为（3，2π），（3，6

π

），

∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=2π，∠BOC=6π

了 ∴∠AOB=3

π，

在△AOB 中，由余弦定理可得

AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22

=3

cos

332332

2

π

???-+=3

即△AOB 为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB=

6

5π

四、巩固练习：

1、已知两点的极坐标P （5，

45π），Q （1，4π），求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标（6，3

5π

）分别写出给定条件下点A 的极坐标

①若πθπρ≤<->,0；则A ②若πθρ20,0<≤<，则A ③若02,0≤<-<θπρ，则A

五、小结，，则

1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x ，y

）

是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（ρ，θ）不是一一对应，只有在规定[)πθρ2,0,0∈>的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。

2、一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，πθn 2+）表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为（0，θ）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。

六、课后作业：

课本24页 习题2，4，

教学反思：

§1.3.2极坐标系

教学目标:

一、知识与技能：

知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程

二、方法与过程

借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。

三、情感、态度与价值观

体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程

教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导

教学过程

一、新课引入：

1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O x，这条从极点起的射线O x叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向

2、对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长ρ叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O x为始边按逆时针转到OM的角θ叫作M点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。

3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给

出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。

二、讲解新课：

在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线L 的极坐标方程是指L 上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程)(θρf =或0),(=θρF

1、过极点直线的极坐标方程

在平面直角坐标系中，过原点O 的直线方程形如：kx y =，其中k 是实数，叫作斜率，θtan =k ，θ是此直线与O x 轴的夹角，这个角是多大，一般从k 上不易看出来，需要计算θarctan 。但在极坐标中，我们取O x 的正方向为极轴，则过极点O 的射线方程写成[)πθθθ2,0(00∈=）

如果我们充许极径取负值，约定M （ρ，θ）关于极点对称点N 的极坐标写成N （θρ,-），于是过原点与x 轴夹角为0θ的直线的极坐标方程为

:l 0θθ=

如与x 轴夹角为

4π过原点的直线的极坐标方程为θ=4

π

2、圆心在极点的圆的极坐标方程

ρ=0r

方程ρ=0r 的含义是动点的极径恒为0r ，是个常数；而方程ρ=0r 无极角θ，表示θ可以任意变化，当极径ρ是常数，极角任意时，即动保持与O 点等距地转动，这正是圆规在画圆。

3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程

如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为0r 设此圆上任取一点M 的极坐标为（ρ，θ），由于OA 是直

径，所以∠OMA=

2

π

，于是

θcos =OA OM ，即θρcos 20=r 从而

得ρ与θ满足的方程为：ρ=20r θcos 4、阿基米德螺线

一个动点M 随时间的增加绕定点O 逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O 点越来越远，它远离O 点的直线距离也是匀速增长的，如果把O 点定为极坐标的极点，M 与O 点的直线距离就是向径ρ，转角就是极角θ，由于ρ与θ的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间t 为ω

θυρ==t （0,≠ωυ）

θω

υ

ρ=

一般地，将该式写成)0(≠=ααθρ )0(≠=ααθρ表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的

扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。

三、范例讲解

例1、（1）求过点A （2，

4

π

）且平行于极轴的直线的极坐标方程； （2）过点A （3，3

π

）且和极轴成43π角的直线的极坐标方程

思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。 解法一：如图，在直线l 上任取一点M （ρ，θ） 在△OAM 中 |OA|=2 |OM|=ρ

∠OAM=-π4π（或4

π

） ∠OMA=θ（或-πθ） 在△OAM 中由正弦定理得：)4

sin(sin 2ππρ

θ-=

∴2sin =

θρ

解法二：如图在直线l 上任取一点M （ρ，θ）过M 作MH ⊥极轴于H 点，

|MH|=24

sin

π

=2

在RT △OHM ，|HM|=|OM|θsin 即2sin =θρ

（2）∠MBx=43π，∠OAB=43π3π-=

125π

∴∠OMA=θπ

θππ+=--4

)43(

在△MOA 中，根据正弦定理12

5sin

)4sin(3πρ

θπ=

+ ∴化简得直线l 的极坐标方程为：2

3

33)cos (sin +=

+θθρ 本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。

例2、在极坐标系中，求以Q （r ，α）为圆心，以r 为半径的极坐标方程 解：由已知条件可知，此圆过极点。设点M （ρ，θ）为圆上任意一点，连结OQ

交圆于点N ，则ON 为圆的直径，连结MN ，则△OMN

∠NOM=θα- |ON|=2r

∴|OM|=|OM|

)cos(αθ- 即ρ=2r )cos(αθ- 这就是所求的圆的极坐标方程。

四、巩固练习：

1、设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α（如图所示）求已知直线l 的极坐标方程

2、判断两圆θθρsin 3cos +=和θρcos 2=的位置关系

五、小结

几类特殊曲线的极坐标方程

1、过极点直线的极坐标方程:l 0

θθ=

2、过已知点A （0ρ，α）且平行于极轴的直线的极坐标方程：αρθρsin sin 0=

3、过已知点A （0ρ，α）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：αρθρcos cos 0=

4、过点A （0ρ，α）且和极轴成β角的直线的极坐标方程：

)

sin()sin(0βαρ

βθρ-=-

5、极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α的直线l 的极坐标方程：d =-)cos(αθρ

6、圆心在极点的圆的极坐标方程：ρ=0r

7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程ρ=20r θcos

8、以（r ，α）为圆心，以r 为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程ρ=2r )cos(αθ-

9、阿基米德螺线)0(≠=ααθ

ρ

六、课后作业：

课本24页 习题3，4，5，6

教学反思：

§1.4极坐标与平面直角坐标的互化

教学目标:

一、知识与技能：掌握将曲线的平面直角坐标方程与极坐标方程互化的方法 二、方法与过程：通过具体的实例，研究两种坐标方程互化的方法

三、情感、态度与价值观：体会不的坐标系在处理不同的问题时各自所具有的优越性

教学重点:曲线的极坐标方程和平面直角坐标方程的互化 教学难点：将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程 教学过程 一、新课引入：

1、在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

2、对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

3、几类特殊曲线的极坐标方程 ①过极点直线的极坐标方程:l 0

θθ=

②过已知点A （0ρ，α）且平行于极轴的直线的极坐标方程：αρθρsin sin 0= ③过已知点A （0ρ，α）且垂直于极轴的直线的极坐标方程：αρθρcos cos 0= ④过点A （0ρ，α）且和极轴成β角的直线的极坐标方程：

)

sin()sin(0βαρ

βθρ-=-

⑤极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线OA ，由极轴到垂线OA 的角度为α的直线l 的极坐标方程：d =-)cos(αθρ ⑥圆心在极点的圆的极坐标方程：ρ=0r

⑦圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程ρ=20r θcos

⑧以（r ，α）为圆心，以r 为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程ρ=2r )cos(αθ-

⑨阿基米德螺线)0(≠=ααθ

ρ

二、讲解新课：

在平面上的同一个点，它的平面直角坐标（x ，y ）与极坐标（ρ，θ）之间有什么样的换算公式？同一条曲线，它在平面直角坐标系中的方程为)(x f y =或

0),(=y x F ，在极坐标系中的方程为)(θρf =或0),(=θρF ，如果知道其中它

的一种方程，如何换算出另一种方程呢？

我们把极轴与平面直角坐标系x O y 的x 正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设P （x ，y ）是平面上的任意一点，如图，则

??

?==θ

ρθ

ρsin cos y x （1） 由（1）式可得??

?

??=+=x y y x θρtan 22 （2）

（1）与（2）是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（x ，y ）与其极坐标（ρ，θ）之间的换算公式。

三、范例讲解

例1、在平面直角坐标系中，把曲线的方程022

2=-+ax y x 化为极坐标系中

的方程。

解：把θρcos =x ，θρsin =y 代入方程022

2=-+ax y x 得

0)cos (2)sin ()cos (22=-+θρθρθρa

0cos 2=-θρa 即θρcos 2a =

此方程我们在上节课得出过，它是圆心在极轴上，半径为a ，过极点的圆的极坐标方程。事实上022

2

=-+ax y x 恰为圆心在（a ，0），半径为a 的圆 例2、已知曲线的极坐标方程θ

ρcos 1e ep

-=

，求此曲线的直角坐标方程，其中e 与

p 是正常数。

解：方程θ

ρcos 1e ep

-=

写成ep e +=θρρcos

把θρcos =x 与22y x +=ρ代入得)(22p x e y x +=+

两端平方化简得：02)1(2

2

2

2

2

=--+-p e pex y x e 当10<e 时，方程表示双曲线 极坐标方程θ

ρcos 1e ep

-=是椭圆、抛物线、双曲线这三种圆锥曲线的统一的极坐

标方程。

四、巩固练习：

1、把点M 的极坐标（3，

3

π

）化为直角坐标； 2、把点A 的直角坐标（1，1-）化为极坐标。

3、写出圆心在点（1-，1），且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程。

4、把极坐标方程)4

cos(2π

θρ-=化为直角坐标方程

五、小结

平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（x ，y ）与其极坐标（ρ，θ）

之间的换算公式。

??

?==θρθ

ρsin cos y x ??

???=+=x y y x θρtan 22 六、课后作业：

课本24页 习题7，8，9，10，11，12

教学反思：