2004-2011年中考数学二次函数综合压轴题(含答案)

中考数学二次函数综合压轴题专题（2004~2011）

湖北洪湖 熊 维

1

、如图，已知抛物线2

(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，

过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 1、解：（1）

抛物线2

(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，

09a a ∴=+= ∴

二次函数的解析式为：2333

y x x =-

++ （2）

D

为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N

，则DN =，

3660AN AD DAO =∴==∴∠=，°

OM AD ∥

①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形

66(s)OP t ∴=∴=

②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形

过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH = （如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求

AH 55(s)OP DH t ∴===

③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形

26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=

综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． · 7分 （3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，

过P 作PE OQ ⊥于E

，则2

PE t =

116(62)22BCPQ

S t ∴=???-

=2

322t ?-???当32t =

时，BCPQ S

∴

此时33

39

3324

44

OQ OP OE QE PE ==

∴=-

==

，=，

2PQ ∴===

2、如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，

8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.

(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?

②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值

2、解.(1)点A 的坐标为（4，8） 将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 8=16a+4b

得

0=64a+8b

得a=-1

2,b=4

解

∴抛物线的解析式为：y=－1

2x2+4x …………………3分 （2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE=PE AP =BC AB ,即PE AP =4

8 ∴PE=12AP=1

2t ．PB=8-t ．

（第4题）

∴点Ｅ的坐标为（4+1

2t ，8-t ）.

∴点G 的纵坐标为：－12（4+12t ）2+4(4+12t ）=－1

8t2+8. ∴EG=－18t2+8-(8-t) =－1

8t2+t.

∵-1

8＜0，∴当t=4时，线段EG 最长为2.

②共有三个时刻.

t1=163， t2=40

13，

t3= ．

3、如图，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且

点G 与点B 重合．

（1）求ABC △的面积；

（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关

t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．

3、（1）解：由28

033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．

由2160x -+=，得8x B =∴．

点坐标为()80，．∴()8412AB =--=由2833216y x y x ?

=+??

?=-+?，

．解得56x y =??=?，．∴C 点的坐标为()56，． ∴

11

1263622ABC C S AB y =

=??=△·．

（2）解：∵点D 在1l 上且28

88833D B D x x y ==∴=?+=，．

∴D 点坐标为

()88，．

又∵点E 在2l

上且

821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．

∴8448OE EF =-==，．

（3）①当03t <≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CM AB ⊥于M ，则Rt Rt RGB CMB △∽△．

∴BG RG BM CM =，即36t RG

=，

∴2RG t =．Rt Rt AFH AMC △∽△， ∴()()112

36288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-??--?-△△△．

即

241644

333S t t =-++．

4、如图13，二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为

4

5。 （1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与ΔABC

的外接圆有公共点，求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角

梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

4、解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC ×AB=45,

（图3）

（图1）

（图2）

得AB=5

2， 设A （a,0）,B(b,0)AB=b -

a=5

2，

解得p=32±

,但p<0,所以p=32-。所以解析式为：23

1

2y x x =--

（2）令y=0，解方程得23102x x --=，得121

,2

2x x =-=,

所以A(1

2-

,0),B(2,0),在直角三角形AOC 中可求得

AC=2,同样可求得

AC2+BC2=AB2，得△ABC 是直角三角形。AB 为斜边，所以外接圆的直径为AB=5

2,所以

5544m -

≤≤。

（3）存在，AC ⊥BC ，①若以AC 为底边，则BD//AC,易求AC 的解析式为y=-2x-1,可设BD

的解析式为y=-2x+b ，把B(2,0)代入得BD 解析式为y=-2x+4，解方程组2

31

224

y x x y x ?=--??

?=-+?得D （5

2-

，9）

②若以BC 为底边，则BC//AD,易求BC 的解析式为y=0.5x-1,可设AD 的解析式为

y=0.5x+b ，把 A(1

2-，0)代入得AD 解析式为y=0.5x+0.25，解方程组2

31

20.50.25

y x x y x ?=--???=+?得D(53,22) 综上，所以存在两点：（52-,9）或(53

,

22)。

5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A B C D 、、、四点．抛物线2

y ax bx c =++与y 轴交于点D ，与直线y x =交于点

M N 、，且MA NC 、分别与圆O 相切于点A 和点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长． （3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由． 5、解：（1）

圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为1，

∴点A B C D 、、、的坐标分别为(1

0)(01)(1A B C --，、，、抛物线与直线y x =交于点M N 、，且MA NC 、分别与 圆O 相切于点A 和点C ，

∴(1

1)(11)M N --，、，．点D M N 、、在抛物线上， 将(01)(11)(11)D M N --，、，、，的坐标代入

2

y ax bx c =++， 得：111c a b c a b c =??-=-+??=++? 解之，得：1

11a b c =-??=??=?

∴抛物线的解析式为：2

1y x x =-++． 4分

（2）

2

2

15124y x x x ?

?=-++=--+

??

? ∴抛物线的对称轴为

12x =

，

122OE DE ∴===

，． 6分

连结90BF BFD ∠=，°，

BFD EOD ∴△∽△，

DE OD

DB FD

∴

=

，

又

122DE OD DB =

==

，， FD ∴

=

，

EF FD DE ∴=-=

=．

（3）点P 在抛物线上．

(第26题)

x

设过D C 、点的直线为：y kx b =+，

将点(1

0)(01)C D ，、，的坐标代入y kx b =+，得：11k b =-=，， ∴直线DC 为：1y x =-+．

过点B 作圆O 的切线BP 与x 轴平行，P 点的纵坐标为1y =-， 将1y =-代入1y x =-+，得：2x =．

∴P 点的坐标为(21)-，

，当2x =时，2212211y x x =-++=-++=-， 所以，P 点在抛物线

2

1y x x =-++上．

6、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y x =于点

M ，BC 边交x 轴于点N （如图）.

（1）求边OA 在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN 和AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；

（3）设MBN ?的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论. 6、（1）解：∵A 点第一次落在直线y x =上时停止旋转，∴OA 旋转了0

45.

∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为

24523602ππ

?=

. （2）解：∵MN ∥AC

∴45BMN BAC ∠=∠=?,45BNM BCA ∠=∠=?.

∴BMN BNM ∠=∠.∴BM BN =.又∵BA BC =，∴AM CN =. 又∵OA OC =,OAM OCN ∠=∠

,∴OAM OCN ???.∴AOM CON ∠=∠.∴1

(90452AOM ∠=?-?)=22.5?

.∴旋转过

程中，当MN 和AC 平行时，正方形OABC 旋转的度数为45?-22.5?=22.5?.

（3）答：p 值无变化. 证明：延长BA 交y 轴于E 点，则0

45AOE AOM ∠=-∠,

000904545CON AOM AOM ∠=--∠=-∠，∴AOE CON ∠=∠.又∵OA OC =，0001809090OAE OCN ∠=-==∠.∴OAE OCN ???.∴,OE ON AE CN ==.

又∵0

45MOE MON ∠=∠=,OM OM = ∴OME OMN ???.

∴MN ME AM AE ==+.∴MN AM CN =+，

∴

p MN BN BM AM CN BN BM AB BC =++=+++=+∴在旋转正方形OABC 的过程中，p 值无变化.

7、如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截

得的线段AB 的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

7、⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)

∴y=a(x-4)2+k

k a +=16397

………………①

（第6题）

x

又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)

∴0=9a+k ………………②由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93

(x-4)2

－3

⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD ≥DB ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P

设直线x=4与x 轴交于点M ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO

∴△BPM ∽△BDO ∴BO BM DO PM =

∴

3373

397

=?=PM ∴点P 的坐标为(4，33) ⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33

，

∴∠ACM=60o ，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o

①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o ∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)， 如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ， 此时点Q 的坐标是(4，3-)，

经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC 点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．

8、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(33)A ，． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)B m ，，求m 的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C 、D ，求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E ，使四边形O ECD 的面积1S 与四边形O ABD 的面积S 满足：12

3

S S =

？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

8、解：（1）设正比例函数的解析式为11(0)

y k x k =≠， ∵

1y k x

=的图象过点(33)A ，

，∴133k =，解得

11

k =．

这个正比例函数的解析式为y x =

设反比例函数的解析式为

2

2(0)k y k x =

≠．

∵

2k y x =

的图象过点(33)A ，，∴2

33k =，解得29k =．

这个反比例函数的解析式为

9

y x =

．

（2）∵点(6)B m ，在9y x =

的图象上，∴9362m ==

，则点362B ?? ???，．

设一次函数解析式为33(0)

y k x b k =+≠．

∵

3y k x b =+的图象是由y x =平移得到的,

∴

31

k =，即y x b =+．

又∵y x b =+的图象过点362B ?? ???，，∴362b

=+，解得

92b =- ∴一次函数的解析式为

9

2y x =-

．

（3）∵92y x =-的图象交y 轴于点D ，所以D 的坐标为

902??- ???，． 设二次函数的解析式为

2

(0)y ax bx c a =++≠． ∵2

y ax bx c =++的图象过点(33)A ，、362B ?? ???，、和

D 902?

?- ???，

933336629.2a b c a b c c ??++=??

++=???

=-??

，，

∴ 解得1249

.2a b c ?=-??=???=-?，， 这个二次函数的解析式为

219

422y x x =-+-

． （6分） （4）

92y x =-

交x 轴于点C ，∴点C 的坐标是902?? ???，

，

如图所示，151131

666333

22222S =?-??-??-??

99

451842=---

814=

．

假设存在点00()

E x y ，，使

12812273432S S =

=?=．

四边形CDOE 的顶点E 只能在x 轴上方，∴

00

y >，

1OCD OCE

S S S ∴=+△△ 01991922222y =??+?0819

84y =+． 081927842y ∴

+=，03

2y ∴=．00()E x y ，在二次函数的图象上，

2001934222x x ∴-+-=

．解得02x =或06x =．

当06x =时，点362E ??

?

??，与点B 重合，这时CDOE 不是四边形，故06x =舍去， ∴点E 的坐标为322??

?

??，． （8分）

9、如图，已知抛物线2

y x bx c =++经过(10)A ，，(02)B ，两点，顶点为D ．

（第26题）

图① （1）求抛物线的解析式；

（2）将O A B △绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为1B ，顶点为1D ，若点N 在平移后的抛物线上，且满足1NBB △的面积是1NDD △面积的2倍，求点N 的坐标．

9、解：（1）已知抛物线

2

y x bx c =++经过(10)(02)A B ，，，， 01200b c c =++?∴?=++? 解得3

2b c =-??=?

∴所求抛物线的解析式为2

32y x x =-+． 2分

（2）

(10)A ，，(02)B ，，12OA OB ∴==，

可得旋转后C 点的坐标为(31)

， 3分 当3x =时，由2

32y x x =-+得2y =， 可知抛物线

232y x x =-+过点(32)， ∴将原抛物线沿y 轴向下平移1个单位后过点C ．

∴平移后的抛物线解析式为：2

31y x x =-+． 5分

（3）点N 在2

31y x x =-+上，可设N 点坐标为2000(31)x x x -+，

将2

31y x x =-+配方得

2

3524y x ??=-- ???，∴其对称轴为32x =． 6分 ①当

03

02x <<

时，如图①，

11

2NBB NDD S S =△△

00113121222x x ??∴??=???- ??? 01

x =

此时

2

00311

x x -+=-

图②

N ∴点的坐标为(11)-，

． 8分 ②当

03

2x >

时，如图②

同理可得0011312222x x ????=??- ?

?? 03

x ∴=

此时

2

00311

x x -+=

∴点N 的坐标为(31)

，． 综上，点N 的坐标为(1

1)-，或(31)，．

10、(深圳市)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线1

2

y x =相交于A B ，两点．

（1）求线段AB 的长．

（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？

（3）如图8，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222

111

+=是否成立．

（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设B C a =，AC b =，

AB c =．CD b =，试说明：

222

111

a b h

+=．

图7

图8

10、解：（1） ∴A （-4，-2），B （6，3）

分别过A 、B 两点作x AE ⊥轴，y BF ⊥轴，垂足分别为

∴AB =OA+OB 22223624+++=

55=

（2）设扇形的半径为x ，则弧长为)255(x -，扇形的面积为y 则)255(21x x y -=x x 52

5

2+-=16125)455(2+--=x ∵01<-=a ∴当455=

x 时，函数有最大值16

125

=最大y （3）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E

∵CD 垂直平分AB ，点M 为垂足 ∴2

55225521=-=-=

OA AB OM ∵COM EOA OMC AEO ∠=∠∠=∠, ∴△AEO ∽△CMO ∴

CO AO OM OE = ∴CO

5

22

54=

∴45415225=??=CO 同理可得 2

5=

OD ∴542520)52()54(11222

2==+=+OD OC

∴5412=OM ∴2

22111OM OD OC =+ （4）等式2221

11h

b a =+成立．理由如下：

∵AB CD ACB ⊥=∠,90

∴

2222

1

21b a AB h AB ab +=?=

图9

D

∴h c ab ?= ∴2222h c b a ?= ∴2

2

2

2

2

)(h b a b a +=

∴2

2222222222)(h

b a h b a h b a b a += ∴2

22

221b a b a h += ∴

2

221

11b a h += ∴2221

11h

b a =+

11、如图，直线43

4

+-

=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒

2

3

个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，

当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .

①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S =

11、解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，，

∴可设二次函数的关系式为

42++=bx ax y

又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，

∴093404a b a b =++??=-+?

，．

解之，得34-

=a ，3

8

=b ． ∴所求二次函数的关系式为43

8

342++-

=x x y （2）∵43

8

342++-

=x x y =()3

161342+--x

∴顶点M 的坐标为1613?

? ???

， 过点M 作MF x ⊥轴于F

∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形

=()1013164213161321=???

?

??+?+?

-? ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC

∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴5443

1-=

t x ，∴5

12

121-=t x ∵DE OC ∥， ∴

t t 2351212=- ∴38

=t ∵3

8

=t >2，不满足12t <<．

∴不存在DE OC ∥．

②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为

1124

42

3543=

+++（秒） 现分情况讨论如下：

ⅰ）当01t <≤时，213

4322

S t t t =

?=； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，

∴

()54454

2--=

t y ，∴5

16362t

y -= ∴t t t t S 5

275125163623212+-=-??=

ⅲ）当2

24

时，设点E 的坐标为()33x y ，，类似ⅱ可得516363t y -=

设点D 的坐标为()44,y x

∴5

323

44

-=t y ， ∴5

12

64-=t y

∴AOE AOD S S S =-△△

512

632151636321-?

?--??=

t t =5

72533+

-t ③80243

0=S

12、(云南省课改实验区)已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；

（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三

角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．

12、解：（1）∵抛物线经过点(1,0)A 、(5,0)B ， ∴(1)(5)y a x x =--． 又∵抛物线经过点(0,5)C ， ∴55a =，1a =．

∴抛物线的解析式为2(1)(5)y x x x =--=-（2）∵E 点在抛物线上，

∴m = 42

–4×6+5 = -3．

∵直线y = kx +b 过点C （0， 5）、E （4， –3），

∴5,4 3.

b k b =??+=-? 解得k = -2，b = 5． 设直线y =-2x +5与x 轴的交点为D ， 当y =0时，-2x +5=0，解得x =5

2

． ∴D 点的坐标为（5

2，0）． ∴S =S △BDC + S △BDE

=1515(55+(5322

2

2

?-??-? =10．

（3）∵抛物线的顶点0(3,4)P -既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，

∴点0(3,4)P -为所求满足条件的点．

（4）除0P 点外，在抛物线上还存在其它的点P 使得△

ABP 为等腰三角形．

理由如下：

∵004AP BP ==

=>， ∴分别以A 、B 为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点B 、1P 、2P 、3P 、A 、

4P 、5P 、6P ，除去B 、A 两个点外，其余6个点为满足条件的点．

13、 在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，圆心A 的坐标为（2，0），⊙A 与x 轴交于E 、F

两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC ，交x 轴于点B ． （1）求直线CB 的解析式；

（2）若抛物线y =ax 2

+b x +c 的顶点在直线BC 上，与x

轴的交点恰为点E 、F ，求该抛物线的解析式； （3）试判断点C 是否在抛物线上？

（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与

△AOC 相似？直接写出两组这样的点．

13、解:（1）方法一：

连结AC ，则AC BC ⊥．

∵ 24OA AC ==，，∴ OC = 又 Rt△AOC ∽Rt△COB ，∴ AO OC

OC OB

=

． ∴ OB =6．

∴ 点C 坐标为(0，点B 坐标为(60)-，．

设直线BC 的解析式为y =kx +b ，

可求得直线BC 的解析式为y x =+． 方法二：

连结AC ，则AC BC ⊥．

∵ 24OA AC ==，，∴ ∠ACO =30 o

，∠CAO =60 o

．

∴ ∠CBA =30 o

． ∴ AB =2AC =8． ∴ OB =AB -AO =6． 以下同证法一．

（1） 由题意得，A ⊙与x 轴的交点分别为(20)E -，、(60)F ，，抛物线的对称轴过点A 为

直线2x =．

∵ 抛物线的顶点在直线BC 上，

∴ 抛物线顶点坐标为(2．

设抛物线解析式为2(2)y a x =-+

∵ 抛物线过点(20)E -，，

∴ 20(22)a =--+

6a =-

．

∴ 抛物线的解析式为22)6y x =-

-+

即2y x x =+ （3）点C 在抛物线上．因为抛物线与y

轴的交点坐标为(0，如图． (4) 存在，这三点分别是E 、C 、F 与E 、C 1、F ，C 1

的坐标为（4

，． 即△ECF ∽△AOC 、△EC 1

F ∽△AOC ，如图．

14、如图，抛物线2

12

y x mx n =

++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．

(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；

(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线

PC 的位置关系，并说明理由．(

1.41≈

1.73≈

， 2.24≈)

解： (1)由已知条件可知： 抛物线2

12

y x mx n =

++经过A (-3，0)、B (1，0)两点． ∴ 903,210.2

m n m n ?=-+????=++??

解得 3

1,2

m n ==-． (2) ∵21322y x x =

+-， ∴ P (-1，-2)，C 3

(0,)2

-． C 1