2011年10月全国自考概率论与数理统计(经管类)试题(真题)和答案

2011年10月全国自考概率论与数理统计(经管类)试题和答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中

只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设随机变量A与B相互独立，P（A）＞0，P（B）＞0，则一定有

P（A∪B）=（）

A．P（A）+P（B）

B．P（A）P（B）

C．1-P（A）P（B）

D．1+P（A）P（B）

答案：C 解析：因为A和B相互独立，则A与B相互独立，即P（A B）=

P（A）P（B）.而P（A∪B）表示A和B至少有一个发生的概率，它等于1减去A和B 都不发生的概率，即P（A∪B）=1- P（A B）=1-

P（A）P（B）.故选C.

2．设A、B为两个事件，P（A）≠P（B）＞0，且A B

?，则一定有（）

A．P(A|B)=1

B．P(B|A)=1

C．P(B|A）=1

D．P(A|B）=0

答案：A 解析：A，B为两个事件，P(A)≠P(B)＞0，且A?B，可得B发生,A一定发生，A不发生，B就一定不发生，即P（A|B）=1，P(B|A)=1.

则P

0 1 2

0.2 0.3 0.5 X

P

3．若随机变量X的分布为

了

，

{-1＜X ≤1}=（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.5 答案：D

4．下列函数中，可以作为连续型随机变量的概率密度的是（）

A ．

3sin ,()20,x x f x ππ?

≤≤?=???其他

B ．

3sin ,()20,x x f x ππ?

-≤≤?

=???其他

C ．

3cos ,()20,x x f x ππ?≤≤?

=???其他

D ．31cos ,()2

0,x x f x ππ?

-≤≤?

=???其他

答案：B 解析：连续型随机变量的概率密度有两条性质:（1）

()f x ≥0；

（2）()1f x dx +∞

-∞

=?

. A

选项中，

3

[,]2

x ππ∈时，()f x =sin x ≤0；B

选项中，

3

[,]2

x ππ∈时，()f x ≥0，且()1f xd x +∞-∞=?；C 选项中，()f

x ≤0；D 选项中，()

f x ≥0，

()f x dx +∞

-∞

=

?

2

π

+1.故只有B 是正确的. 5．若()1,()3,E X D X =-=则E (32

X -4)=（） A ．4

B ．8

C ．3

D ．6

答案：B 解析：E (2

X )=2()[()]D X E X +=4，E (32X -4)=3E (2

X )-4=8.

6．设二维随机变量(X ，Y )的密度函数???≤≤≤≤=，

y x y x f 其他,0;

10,10,1),(则X 与Y （）

A ．独立且有相同分布

B ．不独立但有相同分布

C ．独立而分布不同

D ．不独立也不同分布

答案：A 解析：分别求出X ，Y 的边缘分布得:()X f x =???≤≤，x 其他,0,

10,1

()Y f y =??

?≤≤，

y 其他,0,

10,1由于(,)f x y = ()X f x ·()Y f y ,可以得到X 与Y 相互独立且具有相同分布.

7．设随机变量X ～B （16，12

），Y ～N （4，25），又E （XY ）=24，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（） A ．0.16 B ．-0.16 C ．-0.8 D ．0.8

答案：C 解析：因为X ～B （16，12），Y ～N （4，25），所以E （X ）=16×1

2

=8，E （Y ）=4， D

（

X ）=16×

12

×

12

=4，D （Y ）=25，所

以

XY ρ=

0.8==-.

8．设总体X ～N (μ， 2

σ)，12,,,n x x x 为其样本，则Y =

2

21

1

()n

i i x μσ

=-∑服从分布（） A ．2

(1)n χ- B ．2

()n χ

C ．(1)t n -

D ．()t n

答案：B 解析:因为12,,

,n x x x ～N (μ，2σ)，则i x μ-～N (0，2σ)，

()

i x μσ

-～

N (0，1)，故Y =

2

21

1

()n

i i x μσ

=-∑

=

21

(

)n

i i x μ

σ

=-∑的分布称为自由度为n 的2χ分布，记

为2

()n χ

.

9．设总体X ～N (μ， 2

σ)，其中2

σ已知，12,,,n x x x 为其样本，x =1

1n

i i x n =∑，作为μ

的置信区间(

0.025x u -

0.025x u +

)，其置信水平为（）

A ．0.95

B ．0.05

C ．0.975

D ．0.025

答案：A 解析:本题属于2

σ已知的单个正态总体参数的置信区间,故0.025=2

α

，α=0.05,置信水平为1-α=0.95.

10．总体X ～N (μ， 2

σ)，12,,,n x x x 为其样本，x 和2s 分别为样本均值与样本方差，

在2

σ已知时，对假设检验0

010::H H μμμμ=?≠应选用的统计量是（）

A

B

C

D

答案：A 解析:对假设检验0010::H H μμμμ=?≠，由于2σ已知，应选用统计

量u

=

x 的标准化随机变量，具有的特点是:(1)u 中包含所要估计的未知

参数μ;(2) u 的分布为N (0，1)，它与参数μ无关.

二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．10颗围棋子中有2粒黑子，8粒白子，将这10粒棋子随机地分成两堆，每堆5粒，则两堆中各有一粒黑子的概率为____.

答案：9

5

解析:将10粒棋子分成两堆，每堆5粒，共有5

10C 种分法，每堆各有一粒黑子

有1

2C

种分法，再把每堆放

4粒白子，有4

8C

种分法，故所求概率为

9

5

5

104812=C C C . 12．若P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则P (AB )=____.

答案：0.6 解析:P （AB ）=P (A )-P （A -B ）=0.7-0.3=0.4,P （AB ）=1-P （AB ） =0.6.

13．随机变量X 的概率密度为?????>=-，

x ke x f x

其他,0,

0,)(2则有k =____.

答案：

2

1

解析:由概率密度函数性质可知，

2

()x f x dx ke dx +∞

+∞-

-∞

=?

?

20

2|x

ke -

+∞=-.2

1

,12===k k 故

2

20,0(),____.,0x x X F x a a e x -≤??

==??->?

14. 若随机变量的分布函数为则

答案： 1 解析:由分布函数的性质可知,

()1, 1.F a a +∞===故

15．袋中有16个球，其中有2个红色木质球，3个红色玻璃球，4个蓝色木质球，7个蓝色玻璃球，现从袋中任意摸取一个球，若已知是红色的，那么这个球是木质球的概率是____. 答案：

2

5

解析:设A 表示“摸到红球”，B 表示“摸到木质球”，所要求的是A 条件下B 发生的概率，即P （B |A ）. 56

(),(),1616P A P B ==

2

(),16

P AB =2()216(|)5()516

P AB P B A P A ∴=

==. 16．设离散型随机变量X 的分布函数为0,1,(),11,1,1x F x a x x <-??

=-≤

且

P {X =-1}=1

2

，则a =____.

答案：

1

2

解析:由():{}(),{1}F x P X b F b P X ≤==-=的基本性质知 {1}P X ≤--1

{1}{1}(1),2

P X P X F a a <-=≤-=-==所以.

17. 若二维随机变量(X ,Y )服从D 上的均匀分布,D ={(,)|11,x y x -≤

≤ 03y ≤≤},则

(,)f x y 的概率密度为____.

答案：1

,(,),

(,)60,x y D f x y ?∈?=???其他. 解析:S D

=2×3=6,二维随机变量(X ,Y )服从D 上的均

匀分布,则1

,(,),

(,)60,x y D f x y ?∈?=???其他.

则P {X <1,Y ≤2}=____.

答案：0.2 解析:P {X ＜1,Y ≤2}=P {X =0,Y =1}+P {X =0,Y =2}=0.1+0.1=0.2. 19．随机变量X 与Y 独立，X ～B (100，0.2)，Y 服从参数为1

2

的指数分布，则D (X -2Y )=____. 答案：32 解析:X ～B (100,0.2),D (X )=

npq

=100×0.2×(1-0.2)=16,Y ～

E (12),D (Y )=21

λ

=4,X 与Y 独立，则D （X -2Y ）=D (X )+4D (Y )=16+4×4=32. 20. 如果1?θ和2?θ都是总体未知参数θ的估计量，称1?θ比2?θ有效，则1?θ及2

?θ的期望与方差一定满足____.

答案：E （1?θ）=E （2?θ）=θ，且D （1?θ）≤D （2

?θ） 21. 总体X ～2

(,)N μσ

,123,,x x x 为样本，若12311

32

x x ax μ=++是未知参数μ的

无偏估计，则a =____.

答案：16

解析:X ～2

(,)N μσ,123,,x x x 为样本，则E （1x ）=E (2x )=E (3x )

=μ，E (μ)=123115(

),326E x x ax a μμ++=+由于12311

32

x x ax μ=++是未知参数μ的无偏估计,则E (μ)=μ,即5

6

a μμ+=μ,a =16.

Y X 1 2 3

0.1 0.1 0.3 0.25 0 0.25

0 1

,

18．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

22．设总体X ～[-1，1]上的均匀分布，12,,,n x x x 为样本，1

1n

i i x x n ==∑，则E （x ）

=____.

答案：0 解析:随机变量X ～U （-1，1），E （i x ）=

11

02

-+=，E （x ）= E （11n i i x n =∑）=1

1()n

i i E x n =∑=0.

23．设总体X ～2

(,)N μσ

,其中2σ未知,抽取样本12,,,n x x x ,则未知参数μ的置信水

平为1-α的置信区间为____.

答案：2

2

((x t n x t n αα??

--+-??

24．设总体X ～2

(,)N μσ

,其中12,,,n x x x 为其样本，则2σ的无偏估计为____.

答案：2

11()1n i

i x x n =--∑ 解析:令2211()1n i i s x x n ==--∑，由于E （2

s ）=2

σ,

所以2

21

1()1n

i i s x x n ==--∑是2σ的无偏估计. 25．已知E （X ）=2，E （2X ）=20，E （Y ）=3，E （2

Y ）=34，XY ρ=0.5，则Cov(X ,Y )=____. 答案：10 解析:D （X ）=E （2

X ）-2[()]E X =16，D （Y ）=E （2Y ）-2

[()]E Y =25，Cov(X ,Y )= XY ρ

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

8,01,0,

(,)(,)0,xy x y x X Y f x y ≤≤≤≤?=?

?26. 设二维随机变量的概率密度为其他.

求：(1)关于X 和Y 的边缘密度； (2)X 与Y 是否独立？ 答案：解:(1)

()(,).X f x f x y dy +∞

-∞

=?

当0≤x ≤1时，

30

()84.x X f x xydy x ==?

当x ＜0或x ＞1时，

()0X f x =.

∴34,01,

()0,X x x f x ?<<=?

?其他.

当0≤y ≤1时，1

2()84(1).Y y

f y xydx y y ==-?

当

y ＜0或y ＞1时，()0Y f y =.

∴24(1),01,

()0,.

Y y y y f y ?-<<=?

?其他 (2)

(,)f x y ≠ ()X f x ·()Y f y ,

故X 与Y 不独立.

27．某种电子元件的使用寿命X 服从指数分布，如果它的年均寿命为100小时，现在某一线路由三个这种元件并联而成，求： (1)X 的分布函数； (2)P {100＜X ＜150};

(3)这个线路能正常工作100小时以上的概率. (附：1

e -≈0.37, 1.5

e

-≈0.22)

答案：解:(1)E (X )=100，X 的分布函数为1001,0,()0,0x e x F x x -??->=??≤?.

(2)P {100＜X ＜150}=F (150)-F (100)= (1- 1.5

e -)-(1-1e -)=1e -- 1.5

e

-

≈0.37-0.22=0.15.

(3)用i A 表示第i 个元件寿命不少于100,i =1,2,3,B 表示线路能正常工作100小时以上.

P (i A )=P {X ≥100}=1-P {X ≤100}=1-F (100)= 1

e -≈0.37. P (B)=P (1A ∪2A ∪3A )=1-P (123A

A A ??)=1-P (123A A A )

=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-13

(1)e

--≈1-3

0.63

0.75≈.

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28．设随机变量X 与Y 相互独立,且有相同分布,概率密度为

2

3,02,

()80,.

x x f x ?<

事件A ={X ＞1},B ={Y ≥2}.

求：(1)P (A ),P (B )； (2)P (A ∪B ). 答案：解:(1)2

21

1

37(){1}()88

P A P X f x dx x dx +∞

=

>===?

?

. 2

2

(){2}()00P B P Y f y dy dy +∞+∞

=≥===??.

(2)因为X 与Y 相互独立，P （AB ）=P （A ）P （B ），P （A ∪B ）=P （A ）+

P （B ）-P （A ）P （B ）=7

8

.

29．随机变量X 的分布为

求：(1)D (X ),D (Y )； (2)XY ρ.

答案：解:(1)由随机变量的计算方法可知，()E X =0,E (2

X )=

23，()D X = 23

. ()E Y =E (2

X )=23,E (2Y )=E (4X )=23,()D Y =E (2Y )-2[()]E Y =29

.

(2）()E XY =E (3

X )=0,Cov (,)X Y =()E XY -()E X ·()E Y =0,XY ρ=0. 五、应用题（10分）

30. 某厂生产的合金线,某项指标服从2

(10560,)N σ

,其中2σ未知,从最近生产的一批

产品中随机抽取10根,测得此项指标的平均值为10624.8,标准差为81,问这批产品的平

X P

-1 0 1

13 13 13

记Y =2

X .

均值有显著变化吗? (α=0.01,2

3.25t α

=)

答案：解:检验假设 01:10560,:10560.H H μμ=≠

选取

t

=

=t (9)(在0H 成立条件下),

对 α=0.01, 有临界值为 2

3.25t α

=

计算

2.53t =

≈

落入接受域,所以接受0H ,即认为这批产品的平均值无显著变化.