九年级数学上册 因式分解法解一元二次方程学案 新人教版
一元二次方程复习
学案
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)
第二十一章一元二次方程 21．1一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x个队参赛，个队各赛1场，所以全部比赛共
x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项． 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0； (2)x 2＝1； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35； (4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)； (5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)． 点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程． 2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.
人教版初中八年级数学上因式分解教案
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
初一数学因式分解提高测试题
《因式分解》提高测试（100分钟，100分） 姓名 班级 学号 一 选择题（每小题4分，共20分）： 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的 是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 2．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 4．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选是………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 5.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值 二 把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）： 1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）； ２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25； 解： 解： 3．2xy ＋9－x 2－y 2； ４．322)2()2(x a a a x a -+-； 解： 解：
八年级数学《因式分解》教案
因式分解 多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2222 2 2 )b a (b ab 2a ) b a (b ab 2a -=+-+=++ )b a )(b a (b a 2 2 -+=- 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例1. 把下列多项式分解因式： ab 9a 3)2(a 25a 5)1(22 -+- 222 2 y 4xy 4x )4(y 16x 25)3(++- 解：)5a (a 5a 25a 5)1(2--=+- （2）)b 3a (a 3ab 9a 32 -=- )y 4x 5)(y 4x 5()y 4()x 5(y 16x 25)3(2 2 2 2 -+=-=- 22222)y 2x ()y 2(y 2x 2x y 4xy 4x )4(+=+??+=++
例2. 把下列多项式分解因式： 233 223xy 12x 3)2(xy y x 4y x 4)1(-++ 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解：)y xy 4x 4(xy xy y x 4y x 4)1(223223++=++ 2 22) y x 2(xy ]y y x 22)x 2[(xy +=+??+= )y 4x (x 3xy 12x 3)2(2223-=- ) y 2x )(y 2x (x 3] )y 2(x [x 322-+=-= 例3. 对下列多项式进行因式分解： 1m 9 4 )2()x y (b 2)y x (a 4)1(23 2---- 222y )x y (x 4)4(xy 8y 16x )3(--++ 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3 ，所以这两项中都有2(x-y)2 ，可先提取公因式。 （2）题观察“1”，1=12 ，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得x 2+8xy+16y 2 ，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为4xy-4x 2-y 2=-4x 2+4xy-y 2=-（4x 2-4xy+y 2 ）符合完全平方公式，可用公式分解。 解：3 2 3 2 )y x (b 2)y x (a 4)x y (b 2)y x (a 4)1(-+-=--- ) by bx a 2()y x (2)]y x (b a 2[)y x (22 2-+-=-+-= )1m 3 2 )(1m 32(1)m 32(1m 94) 2(222-+=-=- 2 2 2 2 2 )y 4x (y 16xy 8x xy 8y 16x )3(+=++=++ 2 2 2 2 2 2 )y x 2()y xy 4x 4(y x 4xy 4y )x y (x 4)4(--=+--=--=-- 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式。 例4. 将下列多项式进行因式分解：
人教版九年级数学上册知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
七年级数学因式分解测试题
第六章 因式分解综合测试 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是 （ ） A ．(x+1)2=x 2+2x+1 B ．x 2一10x+25=(x 一5)2 C ．(x+7)(x －7)=x 2－49 D ．x 2一2x+2=(x 一1)2+1 2．下列提取公因式正确的是 ( ) A ．6mx 4y －－4mx 3Yy 2+8mx 2y 3=2mx 2(3x 2y －－2xy 2+4y 3) B ．a(x 一a)+b(a —x)一c(x —a)=(x 一a)(a 一b 一c) C ．一15a 3b 2一20a 2b 3=5a 2b 2(一3a+4b) D ．4x 2n+1b —2x 2n －1a=2x 2n+1(2b 一a) 3．能用完全平方公式分解因式的多项式是 （ ） A ．(x+y)2一10(x+y)+25； B ．－4a 2+4a+1； C ．91 m 2+3 1m+n 2；D ．4c 2一12cd 一9d 2 4．下列多项式中，能分解因式的是（ ） A ．x 2+2xy 一y 2 B ．一l 一9m 2 C ．9x 2—6x+1 D ．2x 2+4y 2 5．下列多项式中，分解因式后含有因式(a+3)的是( ) A ．a 2—6a+9 B ．a 2+2a 一3 C ．a 2—6 D ．a 2一3a 6．计算210+(－2)11的结果是 A ．210 B ．一210 C ．2 D ．一2 7．观察下列计算962×95+962× 5的运算，其中最简单的方法是( ) A ．962× 95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200 B ．962×95+962× 5=962× 5(19+1)=962×(5×20)=96200 C ．962× 95+962× 5=5×(18278+962)=96200 D ．962×95+962×5=91390+4810=96200 8．若p kx x ++212是一个完全平方式，那么P 应等于 A ．k 2 B ．k 41 C ．2 41k D ．2161k 9．将(m+n)2一(m 一n)2 分解因式，其结果为 A ．4n 2 B ．24 C ．4mn D ．一4mn 10．若x 2一x 一m=(x —m)(x+1)，则m 等于
八年级数学因式分解与分式
八年级数学因式分解与分式测试题 一、选择题（每小题3分，共54分） 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．(a +3)(a -3)=a 2-9 B.x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C.a 2b +ab 2=ab (a +b ) D.x 2+1=x (x +x 1 ) 2.多项式xyz z y x z y x 682222643-+-可提出的公因式是（ ） A. 222z y x - B. xyz - C. xyz 2- D.2222z y x - 3、 已知的值是则22,4,6xy y x xy y x --==+（ ） A. 10 B.—10 C. 24 D.—24 4.若多项式()281n x -能分解成()()()2 49 2323x x x ++-，那么n=( ) A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 5、 两个连续奇数是自然数）的平方差是和x x x (1212-+ （ ） A. 16的倍数 B.6的倍数 C.8的倍数 D.3的倍数 6、 等于20092008)2(2-+ （ ） A. 20082 B.20092 C. 20082- D.20092- 7、 下列各式中，不能用完全平方公式分解的是( ) A. xy y x 222++ B.xy y x 222++- C.xy y x 222+-- D.xy y x 222--- 8、 无论的值都是取何值，多项式、136422++-+y x y x y x （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 非负数 9、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A 、 xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 10、三角形的三边a 、b 、c 满足()2230a b c b c b -+-=，则这个三角形的形状是( ) A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、等腰直角三角形 11.化简a b a b a b - -+等于( ) A.2222a b a b +- B.222()a b a b +- C.2222a b a b -+ D.222()a b a b +-
人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
人教版九年级上册数学《概率》导学案
25.1.2 概率 教学目标: 〈一〉知识与技能 1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值 2.在具体情境中了解概率的意义 〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系. 〈三〉解决问题 在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学生合作交流的意识与能力.锻炼质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念. 〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育. 【教学重点】在具体情境中了解概率意义. 【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁. 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？ 由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大 在学生讨论发言后，教师评价归纳. 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”
还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大. 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下. 说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础. 二、动手实践，合作探究 1．教师布置试验任务. （1）明确规则. 把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行. （2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来.. 2．教师巡视学生分组试验情况. 注意： （1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3.各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入. 提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因. 在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律
初一数学因式分解习题精选
初一数学上因式分解练习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式2353515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。
15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5
初二数学因式分解讲解
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
最新人教版初中九年级数学上册《一元二次方程》导学案
第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念 一、新课导入 1.导入课题： 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高? 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系） 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题） 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式 BC2=2AC） 问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？ 这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题） 2.学习目标： （1）会设未知数，列一元二次方程. (2)了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. 3.学习重、难点： 重点：一元二次方程的一般形式及相关概念. 难点：寻找等量关系. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.
（4）自学参考提纲： ①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 先去括号5000-100x-200x+4x2=3600 移项合并同类项4x2-300x+1400=0 系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0 ②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场. 设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场. 整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？ 本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28. 你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 去括号x2-12x=28 系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程. ②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化： （1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据. （2）练习：根据下列问题列方程 ①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长. 1 x(x-3)=9 2
七年级数学因式分解和分式方程中考例题(一)
先提后套完全平方 1. （2011山东东营）分解因式：22x y xy y -+=________________________________. 2. （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 3. （2011安徽）因式分解：a 2b+2ab+b = 4 （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 5. （2011江苏扬州，11,3分）因式分解：x x x 4423+-= 6. （2011山东菏泽）因式分解：2a 2－4a ＋2= ______________ ． 7 （2011四川凉山州）分解因式：32214 a a b ab -+- = 。 把代数式作为一个整体 1. （2011山东莱芜）分解因式(a+b)3－4(a+b)=______________. 2. （2011山东威海）分解因式： =+---16)(8)(2y x y x . 3. （2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝ 分组分解法（分组再套公式） 二二分法:（一般是先分组再用两次提公因式法解决，注意有时要提负号） 1．（2011山东潍坊）分解因式：321a a a +--=_________________ 2、因式分解：bc ac ab a -+-2=_________________. 3. （2011广东中山）因式分解：22a b ac bc -++ ． 4、因式分解：y y x x ---22=__ ______. 先整式运算化简再因式分解 1. （2011广东广州市）分解因式8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy ．
八年级数学因式分解过关练习题有答案.doc
2019-2020 年八年级数学因式分解过关练习题有答案 1．将下列各式分解因式 （ 1） 3p 2 ﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3 （ 1） x y ﹣ xy 3．分解因式 （ 1） a 2 （ x ﹣ y ） +16 （y ﹣ x ） 2 （ 2） 2x +8x+8 3 2 2 （ 2） 3a ﹣ 6a b+3ab ． 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 4．分解因式： （1） 2x 2 ﹣x 2 （ 3） 6xy 2 ﹣ 9x 2 3 （ 4） 4+12（ x ﹣ y ）+9 （ x ﹣y ） 2 （2） 16x ﹣ 1 y ﹣ y 5．因式分解： 2 ﹣ 8a （ 2）4x 3 2 2 （1） 2am +4x y+xy 6．将下列各式分解因式： （1） 3x ﹣ 12x 3 2 2 2 2 2 （ 2）（ x +y ） ﹣ 4x y 2 2 3 2 2 7．因式分解： （ 1） x y ﹣ 2xy +y （2）（ x+2y ） ﹣ y 8．对下列代数式分解因式：
（1） n 2 （ m﹣ 2）﹣ n（ 2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1 2 2 9．分解因式： a ﹣ 4a+4﹣ b 2 2 10．分解因式： a ﹣ b ﹣ 2a+1 11．把下列各式分解因式： 4 2 4 2 2 （1） x ﹣ 7x +1 （ 2） x +x +2ax+1 ﹣ a 2 2 2 4 （1﹣ y）2 4 3 2 （3）（ 1+y）﹣ 2x （ 1﹣ y ） +x （4） x +2x +3x +2x+1 12．把下列各式分解因式： 3 ﹣ 31x+15；2 2 2 2 2 2 4 4 4 ； 5 （1） 4x （ 2）2a b +2a c +2b c ﹣ a ﹣ b ﹣ c （3） x +x+1 ； 3 2 4 3 2 （4） x +5x +3x ﹣ 9；（ 5）2a ﹣ a ﹣ 6a ﹣a+2．
数学人教版九年级上册学案
24.2.2切线的判定学案 【学习目标】能判定一条直线是否为圆的切线，会用切线的判定定理解决简单问题． 【学习重点】探索圆的切线的判定方法，并能运用． 【学习难点】探索圆的切线的判定方法． 一、复习回顾 1.已知圆的直径是13cm ，圆心到直线l 的距离是6.5cm ，则直线l 和这个圆的公共点有______个，它们的位置关系是________. 2.如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 与⊙O 相交于点C ，∠ BAO=40°，则∠BOC 的度数为________. 二、探索新知 活动一：在纸上画一个圆，标出圆心O 和半径OA ．把一支笔所在 直线记为l ，笔绕半径OA 上的点转动． 思考： （1）若笔绕除了A 点之外的点转动，⊙O 与直线l 有怎样的位置关系？ （2）若笔绕A 点转动，⊙O 与直线l 有怎样的位置关系? （3）什么情况下，⊙O 与直线l 相切．为什么？ 切线的判定定理： _______________并且______________的直线是圆的切线． 符号表示：∵ ____________，_________ ∴ l 是⊙O 的切线． 三、理解应用 活动二：已知：直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ．求证：直线AB 是⊙O 的切线． O
四、课堂练习 练习1、如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ．求证： AC 是⊙O 的切线． 五、课堂小结 六、课后巩固 1、如图一，A 、B 是⊙O 上两点，AC 是过点A 的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB=_______ 时，AC 才能成为⊙O 的切线。 2、如图二、⊙O 的半径为5厘米，圆内弦AB ＝8厘米，O 为圆心，3厘米为半径作小圆.求证：小圆与直线AB 相切. 3、如图三，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，且BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°．求证：DC 是⊙O 的切线． （图一） （图三） （图二）
(完整版)七年级数学因式分解练习题及答案
七年级数学因式分解练习题及答案 一、选择 1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是 A.a=ax+ayB. x-4x+4=x+4 C. 10x-5x=5xD. x-16+3x=+3x 2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是 A. x-yB. x+2x C. x+y D. x-xy+1 3.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是 A.xyB.3xy C.xyD.3xy 4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是 A. x+1 B.x C. x D. x+1 5.下列变形错误的是 A.-x-y=- B.= - C. –x-y+z=- D.= 6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是 A. –xyB.x+y C.-x+y D.x-y 7.下列分解因式错误的是 A. 1-16a=B. x-x=x C.a-bc= D.m-0.01= 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是 A.x－xy
?二、填空 9.ab+ab-ab=ab. 10.-7ab+14a-49ab=-7a. 11.3+2=___________ 12.x-y=____________. 13.-a+b= 14.1-a=___________ 15.99-101=________ ?12422222222222223222222222223222223332222322222222B. x＋xyC. x－y D. x＋y2222 16.x+x+____= 17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。222 ?三、解答 18.因式分解： ?①?4x3?16x2?24x ?②8a2?123 ?③2am?1?4am?2am?1 ?④2a2b2-4ab+2 ?⑤2-4x2y2 ?⑥2-4 19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。