第01章函数与极限习题详解

第一章函数与极限

习题1-1

1．求下列函数的自然定义域：

（1）

；2

1y x =

+?解：依题意有，则函数定义域．

210

20x x ??≠?+≥?

{}()|2x 1D x x x =≥?≠±且（2）21arccos

3x y ?=

(0a >；[1,1]?当0≤

当0≤当时，得函数定义域为：（1）若，；

0101

x a x a ≤+≤??≤?≤?()()f x a f x a ++?12a <[],1x a a ∈?（2）若，；（3）若，．

12a =12x =1

a >x ∈?3．设其中求函数值．21()1,f x x ?=???0,a >(2),(1)f a f 解：因为，则21()1f x x ?=??，．2211(2)142a f a a a a ???=?=????20 ,>1,

11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ????=?=???????

4．设，求与，并做出函数图形．

1||1,()0||1,

()21|| 1.x x f x x g x x

===???>?

(())f g x (())g f x 解：，即，

121(())0211 21

x x x

f g x ??10(())001 0x f g x x x

==???>?，即，函数图形略．

101

2||1(())2||12||1x g f x x x ???2||1(())1||11 ||1

x g f x x x ?

==???>?5．设试证：1,0,()

x x f x +

1,[()]x x f f x +

是．

y y y =+在(0,)+∞解：是单调递减的，故原函数是单调递减的．

21111

y y x ==?1x y x ?=?8.判定下列函数的奇偶性．

（1）；

lg(y x =解：因为，1()lg(lg(lg(()f x x x x f x ??=?+=+=?+=?所以是奇函数．

lg(y x =（2）；

0y =解：因为，所以是偶函数．

()0()f x f x ?==0y =（3）；

22cos sin 1y x x x =++?解：因为，，所以

2()2cos sin 1f x x x x ?=+??()()()()f x f x f x f x ?≠?≠?且既非奇函数，又非偶函数．

22cos sin 1y x x x =++?

（4）.

x x

a a y ?+=解：因为，所以函数是偶函数．

()()2x x a a f x f x ?+==2

x x

a a y ?+=9．设是定义在上的任意函数，证明：

()f x [,]l l ?（1）是偶函数，是奇函数；()()f x f x +?()()f x f x ??（2）可表示成偶函数与奇函数之和的形式.()f x 证明：（1）令，则

()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+?=??，所以是偶函数，()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x ?=?+=?=??=?()()f x f x +?是奇函数．

()()f x f x ??（2）任意函数，由（1）可知是偶函

()()()()()22f x f x f x f x f x +???=+()()

f x f x +?数，是奇函数，所以命题得证．

()()2

f x f x ??，都有I ()f x M ≤（充分，即有

1上有

1()f x M ≥I 界．

．

13()log ,(,0)(1,)1x

f x x x ?=∈?∞∪+∞?（2）；

()ax b

y ad bc cx d

+=≠+解：依题意，，则反函数．b dy x cy a

?=?1()()b dx

f x ad bc cx a ??=

≠?

（3）；

(lg y x =+解：依题意，，所以反函数．

1(1010)2y y x ?=+11

()(1010),2

x x f x x R ??=+∈（4）．

π3cos 2,4

4y x x ??=?≤≤????

解：依题意，，所以反函数．arccos

32y x =

1arccos

3(),[0,3]2

f x x ?=∈13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值和的函数值：

1x 2x （1）；

212e ,1,0,2u y u x x x ====＋（2）．2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=?=+==?解：（1）2

()e ,(0),(2)x

y f x f e f e +====（2），，．

12()(e 1)1x y f x +==?+42(0)22f e e =?+(1)1f ?=14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后r H 液面的高度为时，溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间．

h V h V 解：依题意有，则．

2πV r h =22,[0,π]πV

h V r H r

=∈

分每吨以别为3.5(3.5)f =1．设（1）（2）（3）解：

（2）要使即，则只要取N ＝

4||10,3n a ??<43310<（n+1）,9

n >故当n>1110时，不等式成立．99971110,9??=????

2||103n a ??<（3）要使成立，取，那么当时，

2||3n a ε?<13,9n εε

?>139N εε???

=????

n N >2

||3

n a ε?

<成立.

2．根据数列极限的定义证明：

（1）；

（2）．1

lim 0!

n n →∞=1n =

解：（1），要使，只要取，所以，对任意，0ε?>111|

0|!!n n n ε?<<＝1N ε??

=????

0ε>存在，当时，总有，则.

1N ε??

=????

n N >1|0|!n ε?<1lim 0!n n →∞=

(2),要使,即,只要取

0ε?>

22|1|2n ε?=<

,所以,对任意的>0,存在,当,总有,则

N =εN =n N >1|ε?<

.1n =3．若证明．并举例说明：如果数列有极限，但数列

lim n n x a →∞

=，lim ||||n n x a →∞

=}{||n x }{n

证明:a>0,

,则对

}2,

0ε?>0

a <时,lim |n x →∞

，

||1n x =显然lim |n x →∞

证明:存在,

N 当,由n N >M εε的任意性,5解:6．)→∞证明:,同理,

ε,时,0ε?>2?22k 12n N >成立,故．

||n x A ε?<()n x A n →→∞习题1-3

1．当时，．问等于多少，使当时，？

1x →234y x =+→δ|1|x δ?<|4|0.01y ?<解：令，则，要使

1|1|2x ?<35

|1|22

x <+<，

225

|4||34||1||1||1||1|0.012

y x x x x x ?=+?=?=?+

|1|0.004x ?<0.004δ=|1|x δ?<|4|0.01y ?<

2．当时，．问等于多少，使当时，？x →∞22

23x y x +=→?X ||x X >|2|0.001y ?<解：要使<0.001,只要,即.因

222217

|2||2|3|3|x y x x +?=?=??2|3|7000x ?>237000x ?>

此,只要就可以了,所以取．

||x >X ≥3．根据函数极限的定义证明：

（1）；（2）；

3lim(21)5x x →?=35

lim 31

x x x →∞+=?（3）；（4）.2

24lim 42x x x →??=?+lim

0x =证明:(1)由于,任给,要使,只要

|(21)5|2|3|x x ??=?0ε>|(21)5|x ε??<．因此取,则当时,总有,故．

|3|2x ε?<2

δ=0|3|x δ

ε<时,对

81x ε>+,0ε?>,因ε<此取δε=(4),21

x ε>因此取M 4．用（1）（3）解:5．证明:.

lim ||0x x →=证明:由于,,所以.0

lim ||lim 0x x x x ++

→→==0

lim ||lim ()0x x x x ??→→=?=0

lim ||0x x →=6．证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则x →+∞x →?∞()f x A ．

lim ()x f x A →∞

=证明:由于,则对,,当时,有．又

lim ()x f x A →+∞

=0ε?>10M ?>1x M >|()|f x A ε?<,则,当,有.取那么对,当

lim ()x f x A →?∞

=20M ?>2x M 时,总有,故有.

||x M >|()|f x A ε?

=习题1-4

1．根据定义证明：

（1）为当时的无穷小；

x y x ?=+1x →（2）为当时的无穷小；

sin y x x =x →∞（3）为当时的无穷大．

13x

y x

+=0x →证明:

(1),因为,取,则当时,总有,故

0ε?>21

|0||1|1

x x x ??=?+δε=0|1|x δ

x x x →?=+

(2)1|sin 0x x ?(3)013lim

x x

→+解答:sin y x x =,),有

2πn y n ?

=??

)+∞02πn y N =3证明:令

,类似第2题可得．1

t x

=习题1-5

1．求下列极限：

（1）；

（2）；23231

lim 41n n n n n →∞+++?111lim 1223(1)n n n →∞??

+++????+??

L （3）；

（4）；

2221

2lim n n n n n →∞??+++???

?L 11

32lim 32n n

n n n ++→∞+?（5）；

（6）；

2211

lim 54

x x x x →??+3221lim 53

x x x x →+?+

（7）；

（8）

；

lim

x →+∞

2221

lim 53

x x x x →∞+++（9）；

（10）；

0()lim h x h x h

→+?22131

lim 41

x x x x →+?+（11）；（12）；

313

1lim 11x x x →?????????23lim 531

x x x

x x →∞+?+（13）；

（14）

；

x →3

lim 21

x x x →∞+（15）；（16）．

lim(236)x x x →∞

?+323327

lim 3

x x x x x →+++?解:

(1)

311

n n n ++(2)n =n (3)n (4)n (5)x (6)x (7)x ==．lim

x lim

x =(8)=．2

221

lim 53x x x x →∞+++2

12lim

2531x x x x

→∞+

=++(9)==．

0()lim h x h x h →+?32233

0(33)lim h x x h xh h x h

→+++?3220lim(33)3h x xh h x →++=(10)==313

1lim 11x x x →?????????2313(1)lim 1x x x x →???++?????21(1)(2)lim (1)(1)x x x x x x →?+?++=．

12lim

11x x

x x →+=++

(11)=．2

3lim 531x x x x x →∞+?+2

11lim 031

5x x x x x

→∞+=?+

(12)1

x →

=x →=

．

x →(13)=．

3lim 21x x x →∞+2

lim 1

2x x x

→∞=+∞+

(14)

(15)x

2．设解，当

0lim ()x f x ?

→=

4．已知，其中为常数，求和的值．

lim (51x x →+∞

=,,a b c a b 解：因为 lim (5 lim

x x x →+∞

=，所以，则．2

(25)= lim lim 1x x c a x b ?+?

==250

1a ?=??=2510a b =??=?5．计算下列极限：

（1）；

（2）;

lim sin 0x x x

→?=sin 1

lim

lim sin 0x x x x x

x →∞→∞==

（3）；

（4）．

lim sin 0x x x

→∞=arctan 1

lim

lim arctan 0x x x x x

x →∞→∞==6．试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，2

15sin ,0,10,0,()5,

0.x x x x f x x x ?

?>???==???+

()f x 解：，，因为，所以

200lim ()lim (5)5x x f x x ??→→=+=001lim ()lim (5sin 5x x f x x x ++→→=+=(0)(0)f f ?+

lim ()x f x →=1．（1）（3）解：（1）．

x 4e ?（3）（4）．5

105

10101010lim(1)lim(1)55x x x e x x ?×→∞→∞=+×+=??2．计算下列极限：

（1）；

(2)；

lim cot x x x →0sin 2lim

3x x

x →（3）；

（4）；0cos cos3lim

5x x x

→?3

cos 1

lim x x x +

→?（5）；（6）为不等于零的常数）．

lim sin

x x x

→∞

?lim 2sin (2n n n x

x →∞解：

．．

0cos (1)lim cot lim

1sin x x x x x x x →→==00sin 22sin cos 2

(2)lim lim 333

x x x x x x x →→==

00cos cos32sin 2sin (3)lim

lim 0

55x x x x x x

x x

→→??==

．2

3300022

2sin sin

cos 122(4)lim lim 02x x x x x x x x x +→→→????===????

．．1sin 1(5)lim sin lim 11x x x x x x →∞→∞==sin 2(6)lim 2sin lim 2

n n n n n

x x x x x →∞→∞==3．利用极限存在准则证明：

的极限存在；

。假设

n x >

有界

}n x ，解得

1A =

n n (4)．01lim 1x x x +→??=????

证明：对任一，有，则当时，有

．于是x R ∈[]1x x x ?≤≤0x ≠111

1x x x

???≤≤????（1）当时，，由夹逼准则得．0x >111(1)x x x x x x ???≤≤???? 01lim 1x x x +→??

=????（2）当时，，同样有．0x <111(1)x x x x x x ??≤≤????? 01lim 1x x x +→??=????

习题1-7

1．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？

0x →22x x ?2332x x ?解：因为，所以是比高阶无穷小．23

2032lim 02x x x x x

→?=?2332x x ?22x x ?2．证明：当时，．

0x →2

sec 12x x ? 证明：因为，又，则2220001

sec 11cos 1cos lim lim lim cos 222x x x x x x x x x x →→→???== 2(1cos )2

x x ? ，故．20sec 1lim 12

x x x →?=2

sec 12

x x ? 3．

解：

→x →．sin 300sin 113(4)lim lim arctan 3

x x x e x x →→?==．2

0000112(5)lim lim lim lim 12

2x x x x x

x x ++→→→→=== 22012lim (3)x x x x x

x →→→→==?118=

．233000357333(7)lim lim lim 42tan 2tan 22x x x x x x x x x x x x →→→+?===+．．2200sin tan 344(8)lim lim sin 5255

x x x x x x x x x →→++==+22(sin tan 34,sin 525)x x x x x x x +++ 因为3

3ln(

1)3

2lim

lim ln()20(9)lim()2

x x x x x

x x a b a b x x

x a b e e →→+?++→+==003(2)3(1)(1)

2lim lim 2x x

x x x x a b a b x

→→+??+??==．

3(ln ln )2

()a b e

ab +==４．当时，若与是等价无穷小，试求．0x →1

(1)1ax ??sin x x a 解：依题意有，

因为

124

0(1)1

lim

1sin x ax x x

→??=

(1x →解解答：在和内连续，为跳跃间断点．()f x ,0?∞0,+∞0x =（2）1sin ,

0,()0,

0;x x f x x

x ?

≠?=??=?解：在上是连续的．

()f x R （3）；

221

()32

x f x x x ?=?+解：在（，1），（1，2）和（2，）内连续，x=1为可去向断点，若令()f x ?∞+∞,则在x=1连续；x=2为第二类向断点．

(1)2f =?()f x

（4）；1()sin

f x x

=解：在（，0）和内连续，x=0为第二类向断点；

()f x ?∞(0,)+∞（5）；

22()||(1)

x x

f x x x ?=?解：在，（－1，0），（0，1）和内连续；x=是第二类间断点；x=0

()f x (,1)?∞?(1,)+∞1?是跳跃间断点；x=1是可去间断点，若令，则在x=1处连续．1

(1)2

f =

()f x （6）1,

3,()4,

3.x x f x x x +≥?=?

()f x (,3)?∞[3,)+∞

（1）解：f （2）解：f =2.

a 5．设函数在点处连续，求和的值．

ln(13)

,0,()sin 1,

x x f x ax

bx x +?>?

=??+≤?0x =a b 解：因为，依题意有

ln(13)3

lim ()lim (1)1,lim ()lim sin x x x x x f x bx f x ax a

?++→→→→+=+===(0)1,f =为任意实数．

3,a b =6．试分别举出具有以下性质的函数的例子：

()f x (1)是的所有间断点，且它们都是无穷间断点，

0,1,2,,,,,2x n n

=±±±±±L L ()f x

例如：；π()cot(π)cot

f x x x

=+(2)在上处处不连续，但在上处处连续；例如：()f x R ()f x R 1,,

()1,;c

x Q f x x Q ∈?=??∈?(3)在上处处有定义，但仅在一点连续，例如：()f x R ,,

(),.

x x Q f x x x Q ∈?=??∈?习题1-9

1．研究下列函数的连续性：

上连续．

)

是函数

()f x =

（2）；

lim arcsin

x x →+∞

?解：lim )x x →+∞

?lim arcsin

x →+∞

=＝；1π

lim arcsin

x →+∞

==（3）；11

ln(2)2lim π3arctan 4

x x x →+??

解：111ln(2)ln(21)

122lim ;

πππ3arctan 3arctan144x x x →+?+?==??

（4）；

()

lim 14x x

x x ?→?解：；

()

lim 14x

x x ?→?=11(4)40lim[1(4)]

x x x x

x x ??

×?×→+?4e ?=（5）；

()20

lim[1ln 1]x

x x →++解：；

12ln(1)

2ln(1)0

lim[1ln(1)]lim[1ln(1)]

x x x

x x x x +×

+→→++=++=2e

解：解：=

x →=x →=解：；

2cot 0

lim(cos )

x x →21cos 1tan 2

lim(1cos 1)

x x

x x e

?→=+?=（9）．

lim [ln ln(2)]n n n n →∞

?+解：lim [ln ln(2)]n n n n →∞

?+2

lim ln

lim ln(1)22

n n n n n n n →∞

→∞==?++；

2lim ln(1)2n n n →∞=?+222222lim ln(1ln 22

n n n n e n +???

???+??→∞?=+==?+3．设函数与在点连续，证明函数

()f x ()g x 0x ，}{()max (),()x f x g x ?=}

{()min (),()x f x g x ψ=

在点也连续．

0x 证明：略．

4．若函数在内连续，则和的关系是（

）．

2,0,()sin , 0a bx x f x bx x x

?+≤?

=?>?

?(,)?∞+∞a b A．．B．．C．．D ．不能确定．

a b =a b >a b <解答：因为依题意有20000

sin lim ()lim (),lim ()lim ,x x x x bx

f x a bx a f x b x

??++

→→→→=+===(0),f a =．

a b =5．设

解：所以

．

ln 2a = 1.20,?>根据，即0ln x x ，10>有正1实根．

，其y 中L ，L x ?则，即，由的任意性，可知在内连

lim ()()0x f x x f x ?→+??=0

lim ()()x f x x f x ?→+?=x ()f x (,)a b 续，同理可证在点右连续，点左连续，那么，在上连续。而且()f x a b ()f x [,]a b ，根据零点定理，至少有一点，使得．

()()0f a f b ?<(,)a b ξ∈()0f ξ=4．若在上连续，，则在内至少有一点，使()f x [,]a b 12n a x x x b <<<<

12()()()

()n f x f x f x f n

ξ+++=L 证明：因为在上连续，所以在上有最小值，最大值，使得

()f x [,]a b ()f x [,]a b m M ,，，

，因此

1()m f x M ≤≤2()m f x M

≤≤...()n m f x M

≤≤，

12()()...()n f x f x f x m M n

+++≤≤

由介值定理得，在内至少有一点，使.

1(,)n x x ξ12()()()

()n f x f x f x f n

ξ+++=

L ５．若在上连续，，且．试证至少

()f x [,]a b [,],0(1,2,3,,)i i x a b t i n ∈>=L 0

i i t ==∑存在一点使得．

ξ(,)a b ∈1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=+++L 证明：因为在上连续，所以在上有最小值，最大值，使得

()f x [,]a b ()f x [,]a b m M ,，，，那么，

1()m f x M ≤≤2()m f x M ≤≤...()n m f x M ≤≤1111t t ()t m f x M ≤≤，，即，又，故

2222t t ()t m f x M ≤≤n n n ...t t ()t n m f x M ≤≤1

()n

i i i i i i m t t f i M t ===≤≤∑∑∑1

i i t ==∑，由介值定理可知，至少存在一点使得

()n

i i m t f i M =≤≤∑(,)a b ε∈．

1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=+++L

内有界．

证明的，有

，即当()f x a ?<(,x ∈?∞?

有界性定，则当

(,x ∈?∞1.设()f x 解:[(f g x 即{|D x =,其定义域为()22

121312x g f x x x ?==?????+

?22203-0,x x ?≠≠且.

{|D x x x =≠≠2.求函数的反函数.

2()(1)sgn f x x x =+解:因,所以,22(1),0

()0,01,0x x f x x x x ??+

==??+>?11()0,01x f x x x ???

3．单项选择题

(1)下列各式中正确的是（）

A．；B．；()1

lim 1e x

x x +

→+=01lim 1e x

x x +→??

+=????C．；

D．．

1lim 1e x

x x →∞

?=?????

1lim 1e x

x x ?→+∞

??+=????

(2)当时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小（）．0x →A．；B．；2

x 1cos x ?

；

D．．

1?tan x x ?

）．解答：(1)A;

(2)D;

(3)D:

(4)D;

(5)C ．

4.求下列极限:(1);

sin π3lim 3sin

lim

3π3ππ

33n n n n n n ??→∞

→∞

?==(2);11

11188lim(1)lim

188718

n n n n +→∞→∞?

++++==?

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域为

函数与极限测试题及标准答案(二)

函数与极限测试题（二）一. 选择题 1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ). （A ）F()x 是偶函数?()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数?()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数?()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数?()f x 是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点（C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -= ，01x ≠、，，则1 [ ]() f f x = ( ) A ） 1x - B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） 0 lim 11(1+ )x x x + →= B ）0lim 1(1+ ) x x e x + →= C ） lim 1(1)x x e x →∞ =-- D ）lim 1(1) x x e x -→∞ =+ 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 。 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2．

函数与极限练习题

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数二．极限（一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明

自测题一一．填空题二．选择题三．解答题 3月18日函数与极限练习题一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x +

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则()lim x f x →∞ 为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。五、指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。六、设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。七、设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。函数与极限测试题答案（一）一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ；二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

函数与极限习题与答案

第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数 a= 。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）2 11 x y -= ；（2）x y sin = ；（3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f = = ；（3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性（1）)1(2 2 x x y -= ；（2）3 2 3x x y -= ；

函数与极限练习题

第一章函数与极限 §1 函数一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续复习题一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一）一、填空题二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。六、单选题七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（）八、 A 、无穷小 B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在十九、例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、求下列极限二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 11ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+ 与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()21lim 1n n x f x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量211sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞-=????，则()lim x f x →∞为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在例：()()()11,,221x x f x x g x x x x ?==+ =+++ 三、求下列极限 1 、lim x 2、()221212lim 1x x x x x -→?? ?+??

函数与极限测试题及答案

函数与极限测试题（三）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、当0x →+时，（）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=_______。 2、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=_______。 3、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=，则函数值(0)f =_______。 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =_______。 5、若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ→= +-，lim ()x f x π→=_______。

三、解答题 1、（7分）计算极限 222 111lim(1)(1)(1)23n n →∞---L 2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x x x →- 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 4、（7分）计算极限 1 x x e →-5、（7分）设3214lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 6、（8分）设3 ()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得 ()()x x αβ: 7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0 x x f x x a x x ? >?=??+≤? 在(,)-∞+∞内连续 8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 内连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使得 11221212()()()() (0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>> 函数与极限测试题答案（三）一、1－5 ACDAD 二、1. 2 e -； 2. 3； 3 . 0； 4. 1； 5. 1；三、1、解：原式=1324 11111 lim()()( )lim 223322 n n n n n n n n →∞ →∞-++???=?=L

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16．二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0 x f x f x x =_______________； 14. =→x x x x 5sin lim 0___________； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _________________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________________ 17. 绝对值函数 = =x x f )(?? ???<-=>.0,;0,0;0,x x x x x

高等数学第一章函数与极限试题

函数极限习题与解析

函数与极限习题与解析 (同济大学第六版高等数学）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ,其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是［0，1],则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[０，２］ ,则)(2 x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ,则k= 。７、函数x x y sin =有间断点，其中为其可去间断点。８、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞ →)21( lim 222n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 1１、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。

13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 1４、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x １5、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是无穷小。１６、函数x e y 1=在ｘ=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则ｘ=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ,则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。１9、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。２0、曲线2sin 2 -+= x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数ａ= 。二、计算题 1、求下列函数定义域 (1)2 11 x y -= ; (２)x y sin = ；

函数与极限练习题

---- 题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型三．内容一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数二．极限（一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性 x 处连续的定义函数在点1.0函数的间断点2. 间断点的分类 3. 连续函数的运算4. 闭区间上连续函数的性质 5. 例题详解

函数的概念与性质题型I II题型求函数的极限（重点讨论未定式的极限） III题型求数列的极限已知极限，求待定参数、函数、函数值IV 题型无穷小的比较题型V 判断函数的连续性与间断点类型VI 题型与闭区间上连续函数有关的命题证明VII 题型 ----- ---- 自测题一

填空题一．选择题二．解答题三．3 月18 日函数与极限练习题一．填空题 x，则1若函数lim f (x)______ 1f (x)1.x2 12，则lim f ( x)x f (x)2.若函数_______x1x 1 u2 , v3 ,uv则复合函数为ytan x, 设 =_________3.f ( x)y

cos xx0设= __________4. f ( x)，则f (0) 0xx 0(的值为，则 f (0) 已知函数)xaxb 5.f ( x)2 x01x (A)(B)(C)1(D) 2a bb a 函数的定义域是(6.)y2x 3x (A)(B)[2, ](2,) (D)(C),3)(3,)((3,)[2,3) 1) f ( 已知，则7.__________1f (2) x1x 1其定义域为__________，8.4x y 1 x 2x的定义域是______119.y arcsin 2x1 2函数___________x 1) 为考虑奇偶性，函数10. ln( xy sin xx7 2）_______；（111.计算极限：（）limlim______1 x x1x 1 x----- ----

高等数学习题第1章函数与极限

高等数学第一章函数与极限一、选择题（共 191 小题） 1、A 下列函数中为奇函数的是；　；；答（） ()tan(sin )()cos()()cos(arctan )()A y x x B y x x C y x D y x x ==+==--22422π 2、A [][]下列函数中（其中表示不超过的最大整数），非周期函数的是；；；答（） x x A y x x B y x C y a bx D y x x ()sin cos ()sin ()cos ()=+==+=-π22 3、D 关于函数的单调性的正确判断是当时，单调增；当时，单调减；当时，单调减；当时，单调增；当时，单调增；当时，单调增。答（） y x A x y x B x y x C x y x x y x D x y x x y x =-≠=-≠=-<=->=-<=->=-1 01 01 0101 0101 ()()()() 4、C 答（）；；；的是下列函数中为非奇函数 7373)( 1arccos )()1lg()( 121 2)(222 2+--++=+=++=+-=x x x x y D x x x y C x x y B y A x x 5、A

函数　是奇函数；偶函数；非奇非偶函数；奇偶性决定于的值答（） f x a x a x a A B C D a ()ln ()()()()()=-+>0 6、B f x x e e A B C D x x ()()()()()()()=+-∞+∞-在其定义域，上是有界函数；奇函数；偶函数；周期函数。答（）　 7、D 设，，，则此函数是周期函数；Ｂ单调减函数；奇函数偶函数。答（）　 f x x x x x A C D ()sin sin ()()();()=-≤≤-<≤?????33 0ππ 8、C 设，，，则此函数是奇函数；偶函数；有界函数；　周期函数。答（） f x x x x x A B C D ()()()()()=--≤≤<≤?????3330 02 9、B f x x A B C D ()(cos )()()()()()=-∞+∞333 23 2在其定义域，上是最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；最小正周期为的周期函数；　非周期函数。答（） πππ 10、A f x x x A B C D ()cos() ()()()()()= ++-∞+∞212 在定义域，上是有界函数；周期函数；奇函数；偶函数。答（）

高数练习题第一章函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习第一章函数、极限与连续 ________系_______专业班级姓名______ ____学号_______ 习题一函数一．选择题 1.函数216ln 1 x x x y -+-= 的定义域为 [ D ] （A ）（0，1）（B ）(0,1)?(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(?] 2.3 arcsin 2lg x x x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-?-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[?- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++ =x x y 是 [ A ] （A ）奇函数（B ）非奇非偶函数（C ）偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ] （A ）222 -+=x x y （B ）)1(2 x y -= （C ）| |)2 1(x y = （D ）.||log 2x y = 二．填空题 1. 已知),569(log )3(2 2+-=x x x f 则=)1(f 2 2. 已知,1)1(2 ++=+x x x f 则=)(x f 3. 已知x x f 1 )(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f 4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数 5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2 =： (2) 3 2arcsin lg x y = ：__________ _____________________ 三.计算题 1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2 x f x f 的定义域 2 1x x -+1102() x y x R -=+∈1 1x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23 ,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11] (sin )[2,2]() f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为

第01章 函数与极限习题详解

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

函数与极限测试题及标准答案(二)

函数与极限练习题

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限习题与答案

函数与极限练习题

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

高等数学函数极限练习试题

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题及答案

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题

函数极限习题与解析

函数与极限练习题

高等数学习题第1章函数与极限

高数练习题 第一章 函数与极限

第01章函数与极限习题详解

高数练习题第一章函数与极限