马尔科夫状态转移矩阵练习题

()(1)()

i i ij i j n t n t P r t ==-?+∑

()i n t ——t 时刻i 类的人数

ij P ——从j 类向i 类转移的转移率

()i r t ——在时间（t-1，t ）内i 类所补充的人数

k ——工作分类数

,1,2,...i j k =

121221221

k k k k kk P P P P P P P P P P ??

? ?= ? ??

（各类之间的人员转移矩阵）

第一年：

第二年：

第三年：

（招聘M11人、S22人、J50人）

第四年：

马尔科夫链的转移概率矩阵

转移概率(transition probability) 什么是转移概率转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态ai 的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为：这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(Pij(m,m + n)) 当m=1时为一阶转概率矩阵，时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵，就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。转移概率与转移概率矩阵[1] 假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。表－1 两种牙膏之间的转移概率拟用黑妹牙膏中华牙膏现用黑妹牙膏 60％40％中华牙膏 30％70％上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。 2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下：即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

状态转移矩阵判定条件小论文

摘要：状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念，在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用。分别对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统以及离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了研究。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，以及如何求出其对应的系统矩阵的方法。状态转移矩阵是现代控制理论的重要概念,在线性控制系统的运动分析中起着重要的作用。文献[1-8] 对线性系统的状态转移矩阵(包括连续时间线性定常系统、连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离散时间线性时变系统)进行了详细而深人的介绍。通常情况下，判断矩阵函数是某一连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵的充要条件会在之前的工作中给出。本文对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统、离散时间线性时变系统的状态转移矩阵进行了进一步的研究。根据常微分方程和差分方程解的唯一性，得到了判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件,并求出了其对应的系统矩阵。 1预备知识考虑连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统和时变系统，它们的齐次状态方程分别为：其中差分方程部分如下：为了给出判断矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件,需要用到下面的引理。引理1状态转移矩阵是下列矩阵微分方程初值问题的解,且解是唯一的[5]：引理2状态转移矩阵是下列矩阵差分方程初值问题的解：

引理3状态转移矩阵是下列矩阵差分方程初值问题的解: 2.1判定结果

2.2讨论定理1 ~3给出了判定矩阵函数是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件，也给出了计算其对应的系统矩阵的公式。由状态转移矩阵的性质可知对连续系统，定理1的条件也是必要的;但对于离散系统，由于状态转移矩阵不能保证必为非奇异[2]，所以定理2和定理3的条件不是必要的。但对于连续时间线性系统的时间离散化系统，无论其为时不变或时变系统，状态转移矩阵必为非奇异[2]，此时定理2和定理3 的条件是充分必要的。定理1 ~3给出的条件是非常容易验证的，可使用比较流行的Matlab工具进行验证，因而这些充分条件是有效的。 3结束语本文对线性系统的状态转移矩阵进行了进一步的讨论,针对连续时间线性时变系统、离散时间线性定常系统和离散时间线性时变系统，分别给出了函数矩阵是某一线性系统状态转移矩阵的充分条件。这些条件是非常容易验证的,因而是有效的,并通过例子说明了结论的正确性。参考文献 [1 ]王高雄,周之铭,朱思铭,等.常徽分方程[M].2版.北京:高等《自动化仪表》 [2] 郑大钟.线性系统理论[M].2版.北京:清华大学出版社，2002. [3] 刘豹,唐万生.现代控制理论[M].2版.北京:机械工业出版社， 2005. [4] 施颂椒,陈学中,杜秀华.现代控制理论基础[M].北京:高等教育出版社，2007. [5] 王孝武.现代控制理论基础[M].2版.北京:机械工业出版社， 2006. [6] 白素英四种计算方法的比较[J].数学的实践与认识，2008 , 38(2) ：156-158. [7] 徐进.常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的求解[J].江汉大学学报：自然科学版,2005,33(4): 17-19. [8] 黄承绪.矩阵指数函数的一些性质[J].武汉理工大学学报:交通科学与工程版,2001,25(2) ；147 -149.

马尔科夫转移矩阵模型

马尔柯夫转移矩阵法马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫过程和风险估计由于风险过程常常伴随一定的随机过程，而在随机过程理论中的一种重要模型就是马尔柯夫过程模型。马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫预测法马尔柯夫预测以俄国数学家A.A.Markov名字命名，是利用状态之间转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势，也是一种随时间序列分析法。它基于马尔柯夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）的变动状况。 1.马尔柯夫链。状态是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔柯夫过程。马尔柯夫链是参数t只取离散值的马尔柯夫过程。 2.状态转移概率矩阵。在事件发展变化的过程中，从某一种状态出发，下以时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率，只用统计特性描述随机过程的状态转移概率。若事物有n中状态，则从一种状态开始相应就有n个状态转移概率，即。将事物n个状态的转移概率一次排列，可以得到一个n行n列的矩阵： 3.马尔柯夫预测模型。一次转移概率的预测方程为：式中：K——第K个时刻； S（K）——第K个时刻的状态预测； S（0）——对象的初始状态； P——一步转移概率矩阵。应用马尔柯夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性

马尔柯夫转移矩阵法-4.1马尔柯夫过程在一个随机过程中，对于每一t0时刻，系统的下一时刻状态概率仅与t0时刻的状态有关，而与系统是怎样和何时进入这种状态以及t0时刻以前的状态无关（即所谓无后效性），这种随机过程称为马尔柯夫随机过程。对随机过程X（t）取确定的n＋1个时刻t0＜t1＜t2＜…＜tn，对应实数x0，x1，x2，…，xn，如果条件分布函数满足：则随机过程X（t）即为马尔柯夫过程的数学描述。依过程参数集和状态集的离散与连续性，马尔柯夫过程可分为马尔柯夫链－时间和状态均离散的过程、连续马尔柯夫链－时间连续和状态离散、连续马尔柯夫过程－时间连续和状态连续。马尔柯夫转移矩阵法-4.2马尔柯夫过程与风险估计从定义中可知，确定某一时刻的风险状态后，该风险转移的下一个状态所服从的概率规律，可以用马尔柯夫过程的数学描述估计出来。马尔柯夫风险过程的重要假定是在一定时间和客观条件下，风险状态的转移概率固定不变。转移概率是在给定时刻风险状态相关之下的下一时刻条件概率；转移概率构成的矩阵称为转移矩阵，矩阵中各元素具有非负性，而且行的和值为1。例如某雷达每次开机状态记录如表4所示。由于雷达下一次开机状态只与现在的开机状态有关，而与以前的状态无关，所以它就形成了一个典型的马尔柯夫链。取P11—开机连续正常状态的概率，P12—由正常状态转不正常的概率，P21—由不正常状态转正常的概率，P22—开机连续不正常状态的概率。由表4可知，在23次开机状态统计中，11次开机正常，3次连续正常，7次由正常转不正常；12次开机不正常，4次连续不正常，8次由不正常转正常；由于最后一次统计状态是开机正常状态，没有后继状态，所以P11＝3／（11－1）＝0.3，P12＝7／（11－1）＝0.7，P21＝8／12＝0.67，P22＝4／12＝0.33因为最后一次统计是正常状态，所以不正常状态的总数不减一。表4某雷达每次开机状态记录表类别开机次序 1234567891011121314151617181920212223

马尔科夫转移矩阵法

马尔科夫转移矩阵法 1.工具名称马尔科夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 2.工具使用场合/范围单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法 3.工具运用说明：在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。马尔科夫分析法的一般步骤为： ①调查目前的市场占有率情况； ②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型； ④预测未来市场的占有率。二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。马尔科夫分析法的基本模型为： X(k+1)=X(k)×P 式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一

马尔科夫转移矩阵法(一)

马尔科夫转移矩阵法(一) 专业培训解决方案与企业管理咨询服务商地址:廣州市花城大道5號南天廣場龍庭閣2006室电话：862022223190；2222319122223192；22223193传真：862022223196網址：xxxxxx邮件:xxxxxx一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。，在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科

夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。

马尔科夫矩阵

移步转移矩阵的性质与证明数学1401吴宝龙201464100122 移步转移矩阵的定义：我们称满足如下条件的矩阵n n P ?为移步转移矩阵 1.ij P 0 i,j n ≥≤ 2.ij 1P 1 i=1,2, 3...n n j ==∑ 先说明高等代数中的几个概念： 1.向量范数：如果向量X n R ∈的某个实值函数N （x ） =X 满足条件： ①X 0≥ ②X =X ，R ααα?∈ ③X+Y X +Y ≤ 则称n N （x ）是R 上的一个向量范数 2.向量的p 范数：1/1 () p n p i p i X x ==∑ 3.向量的i 1i n 范数：X =max x ∞≤≤∞ 4.矩阵范数：如果矩阵n n A R 的某个非负的实值函数N （A ） = A ?∈ 满足条件： ①A 0≥ ②cA =c A ，c 为实数

③A+B A +B ≤ ④AB A B ≤ 则称N(A)是R n n ?上的一个矩阵范数 5.矩阵算子范数：设,n n n x R A R ?∈∈，给出一个向量范数p x ，则称p p x 0 Ax A =max x p ≠，为A 的算子范数 6.矩阵的行范数：ij 1i n 1 A =max n j α∞≤≤=∑ 7.矩阵的谱半径：矩阵特征值的绝对值的最大值移步转移矩阵的性质 ① 1为移步转移矩阵的一个特征值证明： n ij j=1 若1为的特征值则有|P-E|=0 （1）下面证明上式成立由于矩阵P-E 的每行加到第一行可得P -1=0 i=1,2,3...n 所以行列式|P-E|=0得证移步转移矩阵∑

②移步转移矩阵的特征值的绝对值不大于1 方法一：先说明数值分析里的一个定理：设A=ij n （a ）n ?则A 的每个特征值必属于下述的某个圆盘中 ij 1 |-a |||j i n ij j a λ≠=≤ ∑ 定理证明如下： 12k i kk k j 1 kk k j j 1 j j 1 1 1 设为A 的任意特征值，X 为对应的特征向量则有（）X=0 设X=（x ,x ,...,x ）计X 的范数为X （即max|x | i=1,2,...,n ）矩阵A 的第k 行乘以X 有方程（-a ）X -0 故 |（-a ）| |X |=|| （-a j k j k j k j k j k T n n kj j n kj n n n kj kj j kj k j j I A X a x a x a x a x a x λλλλλ≠≠≠≠≠=====-≠∞=≤ ≤ ?∑∑∑∑∑kk j 1 ）j k n kj a ≠=≤ ∑ 由定理可以得到移步转移矩阵的特征值λ满足 ii ii ii -a 1a 1a λ≤-=- 故1λ≤ 得证

连续马尔科夫过程的转移概率及应用

《随机过程》课程设计（论文）题目: 连续马尔科夫过程的转移概率及应用学院：理学院专业：应用统计学班级： 13090501 学生姓名：张志达学生学号： 1309050131 2015年 12 月 29 日

摘要选取 1978 ～ 2009 年四川农村居民人均生活消费值的 32 个样本，首先，通过 Markov 预测法预测未来生活消费水平的增长速度以 10% ～ 20% 的概率较大; 然后，为提高预测精度，在传统 ARMA 模型中加入时间变量 t 进行建模并预测，预测结果表明平均相对误差率为 1． 56% ，其中 2006 ～ 2009 年的相对误差的绝对值均小于 0． 5% ; 最后，将 Markov 预测和 ARMA 模型对2010 ～ 2012 年的预测结果对比，发现两者在生活消费增长幅度上吻合，预测结果可靠。结果表明，在与目前相似的政策力度下，短期内四川省农村居民消费需求将持续增长，需进一步扩大消费市场。关键词农村居民; 生活消费; Markov 预测

目录一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 (4) 二.连续时间马尔可夫链基本理论 (5) 2.1定义 (5) 2.2转移概率 (5) 三. 马尔可夫过程研究的问题的分析 (7) 数据来源与研究方法 (7) 2.计算状态转移概率矩阵 (8) 3.结果与分析 (10) 四结论和展望 (11) 五.参考文献 (12) 六计算结果及程序 (12)

一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后， W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用012,,......x x x 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{},0n x n ≥ 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。

第三章马尔科夫过程

第三章马尔科夫过程第一节随机过程的概念 1、随机系数必然事件自然界中出现的事件分为不可能事件随机事件事物的变化过程必然过程随机过程（1）必然过程：有确定的变化形式，可以用精确的数学关系式来描述。如 ()()sin m u t U t ω= ()()sin m i t I t ω?=+ （2）随机过程：没有确定的变化形式，只能用随机函数来描述。例如：在24h 内对某电网的负荷进行几天的观测，如下图所示：随机系数：观测对象随时间的变化时不确定的，用()x t 表示。现实：每次观测得到一个具体的系数，称为随机系数的一个“现实”。如： ()()()12,...............n x t x t x t 参数。t 是随机变量，称为过程的参数，其所有可能的集合为 “参数空间”或“时间空间”。状态：随机函数()x t 在1t 时刻的值()1x t ，称为()x t 在1t t =时的状态。则所有可能的集合称为“状态空间”。 2、随机系数的分类（1）时间（分数）离散，状态空间离散（2）时间（分数）连续，状态空间连续（3）时间（分数）离散，状态空间连续（4）时间（分数）连续，状态空间离散其中（1）与（4）研究的较多 3、随机系数的概率分布当，n t t =时，()n t X 的分布与历史i t t =时()()11i t i n X ≤≤-的关系，即根据过程的历史来确定()n t X 的分布：

用条件概率来描述：（()i x t 简化成i x ） ()112211/,............n n n n P x x x x --X =X =X =X = （1）若在特定的情况下，n X 的分布与过去的历史无关，则 ()()112211/,............n n n n n n P x x x x P x --X =X =X =X ==X = 称为过程独立（无记忆过程）。若n X 的分布只与过去的一部分历史有关，如只与最近一次时间的状态有关，而与以前所有时刻的状态都是无关，即 ()()11221111/,............/n n n n n n n n P x x x x P x x ----X =X =X =X ==X =X = 第二节马尔科夫链 1、概述将参数和状态空间都是系数的马尔科夫过程称为马尔科夫链。即