2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(北京卷word解析版)

2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试题(北京

卷）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

1．已知集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，则A B =

（A ）{|2<<5}x x （B ）{|<45}x x x >或 （C ）{|2<<3}x x （D ）{|<25}x x x >或 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，(2,3)A B = ，故选C. 考点： 集合交集 2．复数

12i

=2i

+- （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i - 【答案】A 【解析】 试题分析：

12(12)(2)242

2(2)(2)5

i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 考点：复数运算

3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为

（A ）8 （B ）9 （C ）27 （D ）36 【答案】B 【解析】

试题分析：分析程序框图可知，程序的功能等价于输出33129s =+=，故选B. 考点： 程序框图

4．下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是 （A ）1

1y x

=

- （B ）cos y x = （C ）ln(1)y x =+ （D ）2x y -= 【答案】D 【解析】

试题分析：由12()2

x x

y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D.

考点：函数单调性

5．圆（x+1）2+y 2

=2的圆心到直线y=x+3的距离为 （A ）1 （B ）2 （C

（D ）

【答案】C 【解析】

试题分析：圆心坐标为(1,0)-，

由点到直线的距离公式可知d ==故选C.

考点：直线与圆的位置关系

6．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为 （A ）

15 （B ）25 （C ）825 （D ）925

【答案】B 【解析】

试题分析：所求概率为14252

5

C P C ==，故选B.

考点： 古典概型 7．已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x ?y 的最大值为 （A ）?1 （B ）3 （C ）7 （D ）8 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意得，AB ：51

1(4)2924

y x y x --=

-?=-+-， ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤?-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C. 考点： 函数最值

8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决

赛的有6人，则

（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛

（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛

【答案】B

【解析】

试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，

此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B.

考点：统计

第II 卷（非选择题）

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二、填空题（题型注释）

9．已知向量=a b

，则a 与b 夹角的大小为_________.

【答案】30. 【解析】

试题分析：两向量夹角为603030.-=

cos ,22

2a b a b a b ?<>===

??

,且两个向量夹角范围是[]0,π,所以夹角为30

考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合 10．函数()(2)1

x

f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2

【解析】

试题分析：1

()11121

f x x =+

≤+=-，即最大值为2. 考点：函数最值,数形结合

11．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】3.2

【解析】

试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122?+?=，因此体积为3.2

考点：三视图

12．已知双曲线22

221x y a b

-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为

），则a=_______；b=_____________. 【答案】1,2a b == 【解析】

试题分析：依题意有2c b a

?=?

?=-??,结合222c a b =+,解得1,2a b ==.

考点：双曲线的基本概念 13．在△ABC 中，23

A π

∠= ，

，则b c =_________.

【答案】1 【解析】

试题分析：由正弦定理知sin sin A a

C c

==

2sin

1sin 2C π

==，则6C π=，所

以

2366

B πππ

π=-

-=，所以b c =，即1b c =．

考点：解三角形

14．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有______种； ②这三天售出的商品最少有_______种. 【答案】①16；②29 【解析】

试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为16．

②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用,,A B C 表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．

C

B

A

1

3

9

14

2

考点： 统计分析

三、解答题（题型注释）

15．已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.

【答案】（Ⅰ）21n a n =-（1n =，2，3，???）；（Ⅱ）2

31

2

-+n n

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出等比数列{}n b 的公比，求出a 1=b 1，a 14=b 4的值，根据等差数列的通项公式求解；

（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前n 项和公式求数列{c n }的前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比329

33

b q b =

==， 所以2

11b b q

=

=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．

所以21n a n =-（1n =，2，3，???）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，13n n b -=． 因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和

()11321133n n S n -=++???+-+++???+

()12113213n n n +--=+-

2

31

2

n n -=+．

考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力.

16．已知函数f （x ）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx （ω>0）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）1ω=（Ⅱ）3,88k k ππππ?

?

-

+???

?

（k ∈Z ）

． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对f(x)化简整理，由周期公式求ω的值； （Ⅱ）根据函数y=sinx 的单调递增区间对应求解即可. 试题解析：（Ⅰ）因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+

sin 2cos 2x x ωω=+

24x πω?

?=+ ??

?，

所以()f x 的最小正周期22ππ

ωω

T ==． 依题意，

π

πω

=，解得1ω=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x π?

?=

+ ??

?．

函数sin y x =的单调递增区间为2,22

2k k π

πππ??

-+

???

?

（k ∈Z ）．

由2222

4

2

k x k π

π

π

ππ-≤+

≤+

，

得388

k x k ππ

ππ-

≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ?

?

-

+???

?

（k ∈Z ）

． 考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.

17．某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？

（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费. 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；

（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值×对应频率即为人均水费估计值. 试题解析：（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间[]0.5,1，(]1,1.5，(]1.5,2，(]2,2.5，(]2.5,3内的频 率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15．

所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%． 依题意，w 至少定为3．

（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布

40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.05?+?+?+?+?+?+?+? 10.5=（元）．

考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值. 18．如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥

（Ⅰ）求证：DC PAC ⊥平面； （Ⅱ）求证：PAB PAC ⊥平面平面；

（Ⅲ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得//PA 平面C F E ?说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）存在.理由见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB 中点F ，连结F E ，则F//E PA ，根据线面平行定理则//PA 平面C F E . 试题解析：（Ⅰ）因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C DC P ⊥． 又因为DC C ⊥A ， 所以DC ⊥平面C PA ．

（Ⅱ）因为//DC AB ，DC C ⊥A ， 所以C AB ⊥A ．

因为C P ⊥平面CD AB ， 所以C P ⊥AB ．

所以AB ⊥平面C PA ．

所以平面PAB ⊥平面C PA ．

（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得//PA 平面C F E ．证明如下： 取PB 中点F ，连结F E ，C E ，CF ． 又因为E 为AB 的中点， 所以F//E PA ．

又因为PA ?平面C F E ，

所以//PA 平面C F E ．

考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力

19．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点A （2,0），B （0,1）两点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

【答案】（Ⅰ）2214x y +=

；=e . 【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线

,AN BM 的值求乘积为定值即可.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

又c

所以离心率2

c e a =

=

． （Ⅱ）设()00,x y P （00x <，00y <），则22

0044x y +=．

又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0

022

y y x x =

--． 令0x =，得0022y y x M =-

-，从而0

02112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+．

令0y =，得001x x y N =-

-，从而0

0221

x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积

1

2

S =

AN ?BM 00002121212x y y x ?

???=++ ???--????

()

22000000000044484

222x y x y x y x y x y ++--+=

--+ 000000002244

22

x y x y x y x y --+=

--+

2=．

从而四边形ABNM 的面积为定值．

考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力. 20．设函数()3

2

.f x x ax bx c =+++

（Ⅰ）求曲线().y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程；

（Ⅱ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；

（Ⅲ）求证：2

30a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.

【答案】（Ⅰ）y bx c =+;（Ⅱ）320,27c ?

?

∈ ???

;（Ⅲ）见解析. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）求函数f(x)的导数，根据()0f c =，()0f b '=求切线方程； （Ⅱ）根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；

（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数. 试题解析：（Ⅰ）由()3

2

f x x ax bx c =+++，得()2

32f x x ax b '=++．

因为()0f c =，()0f b '=，

所以曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程为y bx c =+． （Ⅱ）当4a b ==时，()3

2

44f x x x x c =+++，

所以()2

384f x x x '=++．

令()0f x '=，得2

3840x x ++=，解得2x =-或23

x =-

．

()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：

所以，当0c >且32027c -

<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ?

?∈-- ??

?， 32,03x ??

∈- ???

，使得()()()1230f x f x f x ===．

由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ??∈ ???

时，函数()32

44f x x x x c =+++有三个不同零点．

（Ⅲ）当2

4120a b ?=-<时，()2

320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，

此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．

当2

4120a b ?=-=时，()2

32f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．

当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增． 所以()f x 不可能有三个不同零点．

综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有2

4120a b ?=->． 故2

30a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．

当4a b ==，0c =时，2

30a b ->，()()2

32442f x x x x x x =++=+只有两个不

同

零点， 所以2

30a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此2

30a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．

考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点