点线面的位置关系与平行关系 - 讲义

点、线、面位置关系以及线面平行关系

【知识点梳理】 1、公理及推论

公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．

用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈??． 公理1作用：判断直线是否在平面内．

公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a ． 符号语言：,P A B A B l P l ∈?=∈ ． 公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点． ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面． 公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、空间直线与直线之间的位置关系

（1） 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线． （2） 异面直线性质：既不平行，又不相交．

（3） 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线． （4） 异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．

（5）求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B 、证明作出的角即为所求角．C 、利用三角形来求角．

（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．

（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补． 3、空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点．

三种位置关系的符号表示：a ?α；a ∩α＝A ；a ∥α． 直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．

4、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l ．

5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

（记忆口诀：线线平行 线面平行）

符号表示为：,,////a b a b a ααα???．图形如右图所示．

6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

用符号表示为：

,,////,//a b a b P a b βββααα??=?

???

．

图形如右图所示．

7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

（记忆口诀：线面平行 线线平行） 用符号表示为：////a a a b b α

βαβ?

?

????=?

．

图形如右图所示．

8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==? . 其它性质：①//,//l l αβαβ??； ②//,l l αβαβ⊥?⊥；

③夹在平行平面间的平行线段相等． 图形如右图所示．

β

a

α

b

【典型例题】

题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题

例题1：如图，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且EF 交GH 于P ．求证：P 在直线BD 上．

．

变式1：如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的

点，且

CF CB ＝CG CD ＝2

3

，则（ ） （A ）EF 与GH 互相平行 （B ）EF 与GH 异面

（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 （D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上

变式2：如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且

λ==AD AH AB AE ，μ==CD

CG

CB CF ，求证： （1）E ，F ，G ，H 四点共面；

（2）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （3）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形．

题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角

例题2： A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，

（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；

（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．

变式3：给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：

①若,l m 为异面直线，,l m αβ??，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ??，则//l m ； ③若,

,,//l m n l αββγγαγ=== ，则//m n ，

其中真命题的个数为（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定

例题3：如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．

变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点．当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP//平面FMC ，并给出证明．

题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用

例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM=FN ，求证：MN ∥平面BCE ．

．

C

E D

A

变式5：如下图，设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与α交于点P ，求证：P 是MN 的中点．

变式6：如图所示，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：

//PB 面EFG ．

变式7：如图，在长方体1111ABCD A BC D 中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE DC 的中点，求证：//MN 面11ADD A ．

题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用

例题5：如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行．

变式8：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．

【方法与技巧总结】 1．位置关系：

（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90o；②证明线面垂直，得到线线垂直； （2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②利用平行四边形．③利用三角形中位线．

（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可．

（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化． 2．求角：

（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2

,

0(

；

（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形．

A

1

【巩固练习】

1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（ ） A ．ααα??∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．βα∈∈A A ,，AB B B =?∈∈βαβα ,直线 C ．αα??∈?A l A l , D ．α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α?与β重合 2．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）

A ．如果m n m ,,αα??、n 是异面直线，那么α//n

B ．如果m n m ,,αα??、n 是异面直线，那么α与n 相交

C ．如果m n m ,//,αα?、n 共面，那么n m //

D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m // 3．有以下命题，正确命题的序号是 ．

①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；

②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行； ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行； ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．

4．在三棱锥P ABC -中，,O D 分别是,AB PB 的中点．求证：//OD 平面PAC ．

5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,E F 分别是,PB PC 的中点，证明：//EF 平面PAD ．

6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 点为棱

AB 的中点，求证：1//AC 平面1CDB ．

7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，O 为AC 中点，M 为PD 中点．证明：//PB 平面ACM ．

8．如图，已知DE ∥AB ，2AB=DE ，且F 是CD 的中点，求证：AF ∥平面BCE ．

9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11AC 的中点，

底面ABCD 的中心是F ，求证：CE ∥平面1A BD ．

【课后作业】

1．已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是（ ）

A l 2∥α

B l 2?α

C l 2∥α或l 2?α

D l 2与α相交

2．设平面α与平面β交于直线l ，直线α?a ，直线β?b ，M b a = ，则M_______l ．

3．直线AB 、AD α?，直线CB 、CD β?，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE 直线FG=M ，则点M 必在直线___________上． 4．如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A

1B 1C 1D 1中， M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点 的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为 ． 5．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过

A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则BM ：MD 1= ． (5题) (6题) 6．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是 ． 7．正方体ABCD-A 1

B 1

C 1

D 1中，

E 、

F 、

G 、

H 分别为AA 1、CC 1、C 1D 1、D 1A 1的中点，则四边形EFGH 的形状是 ．

8．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=213, AC=2

3, 且BC AD ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为 ．

9．在四棱锥P ABCD -中，

1

//,2

AB CD AB DC =，E 为PD 中点，F 为PC 中点．

求证：//AE 平面PBC ．

10．如图，矩形ABCD ，AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上，设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ．

D

M

B

F

C N

D

A

E

D

E

M

A

B

C

N

P

B

H

C D A

F E

G

11．M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，（1）求MN 与AD 所成的角；（2）求MN 与CD 1所成的角．

12．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm ，BD=14cm ，M 、N 分别是AB ，CD 的中点，MN=37cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．

13．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ABC ?和ACD ?的重心，求证：（1）BD//平面CMN ； （2）MN//平面ABD ．

14．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形，

（1）求证：CD//平面EFGH ； （2）求异面直线AB ，CD 所成的角．

15．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD ．求证：

（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP ；

（2）平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．

【拓展训练】

1．（四川卷）l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）

A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3? l 1∥l 3

B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3? l 1⊥l 3

C ．l 1∥l 2∥l 3? l 1，l 2，l 3共面

D ．l 1，l 2，l 3共点? l 1，l 2，l 3共面 2．（浙江卷）若直线l 不平行于平面α，且l ?α，则（ ）

A ．α内的所有直线与l 异面

B ．α内不存在与l 平行的直线

C ．α内存在唯一的直线与l 平行

D ．α内的直线与l 都相交 3．（四川卷）下列命题正确的是（ ）

A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．（四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、

N 分别是 CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．

6．如图，111111ABCDEF A BC D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下底面于11C E

，已知1FC =11FBE C 是平行四边形．

7．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB DD 上，且

1//EC AF ．求证：1//FC AE ．

N

A 1

【参考答案】 1、巩固练习答案

1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】①② 4．【答案】 因为，,O D 分别为,AB PB 的中点 所以，//OD PA

又因为，PA ?平面PAC ，OD ?平面PAC

所以，//OD 平面PAC

5．【答案】 因为，,E F 分别是,PB PC 的中点 所有，//EF BC

由题可得，//AD BC ，即//AD EF

又因为，AD ?平面PAD ，EF ?平面PAD

所以，//EF 平面PAD

6．【答案】 连接1C B 交1CB 于点E ，连接ED 在平行四边形11BBCC 中，E 为1C B 中点 又因为D 为AB 中点 所以，1//ED C A

又因为，ED ?平面1CDB ，1C A ?平面1CDB

所以，1//C A 平面1CDB

7．【答案】 证明：连接,BD MO

在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点， 又M 为PD 的中点，所以//PB MO 因为PB ?平面ACM ，MO ?平面ACM 所以//PB 平面ACM ．

8．【答案】 取CE 中点P ，连结,FP BP ，

∵F 为CD 的中点，∴1

//,2

PF ED PF ED = 又1

//,2

AB ED AB DE =

∴//,AB PF AB PF =

∴ABFP 为平行四边形，∴//AF BP ．

又∵AF ?平面BCE ，BP ?平面BCE ∴//AF 平面BCE

9．【答案】 连接1A F

因为111111////AA BB CC AA BB CC ==，

， 所以11ACC A 为平行四边形，因此1111//,AC AC AC AC = 在正方形ABCD 中，F 为中心，即F 为AC 中点

由于E 是线段11AC 的中点，所以11//,FC A E FC A E =， 所以1A EFC 为平行四边形，即1//FA CE

因为1FA ?面1A BD ，

CE ?平面1A BD ， 所以CE ∥平面1A BD

2、课后作业答案

1．【答案】C 2．∈ 3．BD 4．4

3a

5．2:1 6．平行或异面 7．等腰梯形 8．900 9．【答案】 证明：连接EF ，

中点为PD E . F 为PC 中点，则1

//,2

EF CD EF CD =

因为1

//,2

AB CD AB CD =，

所以//,EF AB EF AB =，则四边形ABEF 是平行四边形． 所以//AE BF

因为AE 不在平面PBC 内，BF 在平面PBC 内, 所以//AE 平面PBC ．

10．【答案】 设DF 的中点为N ，

则MN //12CD ，又AO //1

2CD ， 则MN

//

AO ，四边形MNAO 为平行四边形，

∴//OM AN

又AN ?平面DAF ，OM ?平面DAF ， ∴//OM 平面DAF ．

A 1

11

．解：（1）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

AD//B 1C 1?B 1C 1与MN 所成的锐角（或直角）是AB 、CD 所成的角．

∠?B 1NM=450 ?MN 与AD 所成的角为450．

（2）连接A 1B ，过M 在面A

1B 中作A 1B 的平行线交A 1B 1于点L ， 连接LN ，

LM//D 1C ∠?LMN （或其补角）即为MN 与CD 1所成的角．

∠?LMN=600 ? MN 与CD 1所成的角为600．

12．解：取BC 的中点P ，连接PM ，PN ，可证∠MPN （或其补角）是异面直线AC 与BD 所成的角，

在?PMN 中，由MP=NP=7，MN=37，可得cos ∠MPN =2

1

-，∠MPN =1200． 则异面直线AC 与BD 所成的角为600．

13．连接AM ，AN ，并延长分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ，

由M ，N 分别是ABC ?和ACD ?的重心，得E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 则EF//BD ，易证得BD//平面CMN ； 由

，得MN//EF ，可证MN//平面ABD ．

14．（1）由四边形EFGH 是矩形可得，EF//GH ，可证得EF//平面BCD ，

又因CD 是过EF 的平面ACD 与平面BCD 的交线，则EF//CD ，所以CD//平面EFGH ． （2）由CD//平面EFGH ，可证得CD//GH ；同理可证AB//GF ；

∠FGH 就是异面直线AB ，CD 所成的角（或补角），

因为EFGH 是矩形，所以∠FGH=900，则异面直线AB ，CD 所成的角为900．

15．证明：（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP.

（2），即平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．

3、拓展训练答案

1．B ，【解析】对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，所以选B ．

2．B ，【解析】在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ?α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．

3．C ，【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确． 4．B 5．90o

6．【答案】 证明：因为圆柱的上下底面平行，

且11,FB C E 是截面与圆柱上、下底面的交线， 所以11//FB C E

依题意得，正六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，

所以，正六边形的边长等于圆的半径，即1AB AF == 在ABF ?中，由正六边形的性质可知，120BAF ∠=

，

所以，2

2

2

2cos1203BF AB AF AB AF =+-?=

，即BF =

同理可得11C E =11FB C E =，故四边形11BFC E 是平行四边形．

7．【答案】 证明：由题可知，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11//AA BB 平面11CC DD 因为1//AF EC ，所以，1,,,A F E C 共面1AFEC

AE ?平面1AFEC ，且平面1AFEC 平面111CC DD FC =．

所以，1//AE FC ．