2011年全国各地中考数学模拟题分类47 开放探究型问题(含答案)

开放探究型问题

一、填空题 1、（2011年北京四中模拟28）

两个不相等．．．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 ． 答案：略

二、解答题

1．在等边ABC ?的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且

?=∠60MDN ,?=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，

BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ?的周长Q 与等边ABC ?的周长L 的关系．

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时

=L

Q

； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还

成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q= （用x 、L 表示）．

PT 与MN 交于点3Q ，3Q 点的坐标是（ a ， 312

2

+a ）． 解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．

此时

3

2

=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．

证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．

CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．

又ABC ?是等边三角形，

∴90MBD NCD ∠=∠= ．

在MBD ?与ECD ?中：

??

?

??=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴??MBD ECD ?(SAS) ． ∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠ ∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN

在MDN ?与EDN ?中：

??

?

??=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴??MDN EDN ?(SAS) ∴MN=NE=NC+BM

AMN ?的周长Q=AM+AN+MN

=AM+AN+(NC+BM)

=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB

而等边ABC ?的周长L=3AB

∴

3

232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，

则Q= 2x +

L 3

2

（用x 、L 表示）．

Ｂ组

三、解答题

1．（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线l ：13y x b =

+，经过点M(0,4

1

)，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1,0）, A 2（x 2,0）, A 3（x 3,0）,……A n+1（x n+1,0）（n 为正整数），设101x d d =<<（）． （1）求b 的值；

（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）

（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物

线就称为：“美丽抛物线”．

探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请

你求出相应的d 的值．

答案：

⑴∵M(0,)41在直线y=3

1

x+b 上， ∴b=

4

1

⑵由⑴得y=31x+41,∵B 1(1,y 1)在直线l 上，∴当x=1时，y 1=31×1+41=127

∴B 1(1,12

7

)

又∵A 1(d,0) A 2(2-d,0) 设y=a(x-d)(x-2+d),把B 1(1,

127)代入得：a=-2

)1(127-d

∴过A 1、B 1、A 2三点的抛物线解析式为y=-

2

)

1(127

-d (x-d)(x-2+d) (或写出顶点式为y=-

2

)1(127-d (x-1) 2

+127)

⑶存在美丽抛物线。

由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵0

∵当x=1时，y 1=

31×1+41=127<1; 当x=2时，y 2=31×2+41=1211

<1

当x=3时，y 2=31×3+41=14

1

>1

∴美丽抛物线的顶点只有B 1B 2.

第2题

①若B 1为顶点，由B 1(1,127)，则d=1-127=12

5 ②若B 2为顶点，由B 2(2,

1211)，则d=1-??

????--1)12112(=1211 综上所述，d 的值为125或12

11时，存在美丽抛物线。

２．（2011年杭州市西湖区模拟）（本题12分）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，

A 、C 两点的坐标分别为(6,0)A 、(0,3)C ，直线3

4

y x =

与BC 边相交于点D . (1) 若抛物线2(0)y ax bx a =+≠经过D 、A 两点，试确定此抛物线的表达式；

(2) 若以点A 为圆心的⊙A 与直线OD 相切，试求⊙A 的半径；

(3) 设(1)中抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，在对称轴上是否存在点Q ，以Q 、

O 、M 为顶点的三角形与OCD ?相似，若存在,试求出符合条件的Q 点的坐标；若

不存在，试说明理由.

答案：（1）解 ??

?

??==x y y 433 得D 点的坐标为D （4，3）

抛物线bx ax y +=2

经过D （4，3）、A （6，0），可得x x y 4

9

832+-

= （2）∵CD=4，OC=3，OD=53432=+. sin ∠CDO=5

3

，过A 作AH ⊥OD 于H ， 则AH=OAsin ∠DOA=6×53=

5

18

=3.6， ∴当直线OD 与⊙A 相切时，r=3.6. ………8分

（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点Q 1，则点Q 1符合条件. ∵CB ∥OA ，∴∠Q 1OM=∠ODC ， ∴Rt △Q 1OM ∽Rt △CDO. ∵对称轴x =32=-

a

b

，∴Q 1点的坐标为Q 1（3，0）.

又过O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点Q 2，则点Q 2也符合条件. ∵对称轴平行于y 轴，

∴∠Q 2MO=∠DOC ，∴Rt △Q 2MO ∽Rt △DOC. 在Rt △Q 2Q 1O 和Rt △DCO 中，Q 1O=CO=3，

∠Q 2=∠ODC ，∴Rt △Q 2Q 1O ≌Rt △DCO ，∴CD= Q 1Q 2=4，∵Q 2位于第四象限， ∴Q 2（3，-4）.因此，符合条件的点有两个，分别是Q 1（3，0），Q 2（3，-4）. ３．（2011灌南县新集中学一模）如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒． （1）求NC 、MC 的长（用含t 的代数式表示）；

（2）当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？

（3）是否存在某一时刻t ，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； （4）探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？

答案：．解：（1）由题意知，四边形ABNQ 为矩形，∴BN ＝AQ ＝3－t ∴NC ＝BC －BN ＝4－(3－t )＝1＋t ．

在Rt △ABC 中，AC 2

＝AB 2

＋BC 2

＝3 2

＋4 2

＝25，∴AC ＝5

在Rt △MNC 中，cos ∠MCN ＝

MC NC ＝AC

BC ＝54 ∴MC ＝45

(1＋t ) （2）∵QD ∥PC ，∴当QD ＝PC 时，四边形PCDQ 构成平行四边形 ∴t ＝4－t ，∴t ＝2 ∴当t ＝2时，四边形PCDQ 构成平行四边形． （3）若射线QN 将△ABC 的周长平分，则有MC ＋NC ＝AM ＋BN ＋AB 即

45(1＋t )＋1＋t ＝21(3＋4＋5) 解得t ＝35．而MN ＝43NC ＝4

3

(1＋t ) A

B C

∴S △MNC ＝21NC ·MN ＝21(1＋t )×43(1＋t )＝8

3

(1＋t )2 当t ＝35时，S △MNC ＝83(1＋35)2＝3

8 而

21S △ABC ＝21×21×4×3＝3，∴S △MNC ≠2

1S △ABC ∴不存在某一时刻t ，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分 （4）若△PMC 为等腰三角形，则：

①当MP ＝MC 时（如图1），则有：NP ＝NC

即PC ＝2NC ，∴4－t ＝2(1＋t ) 解得t ＝3

2

．

当CM ＝CP 时（如图2），则有：45(1＋t )＝4－t 解得t ＝911

．

③当PM ＝PC 时（如图3），则有：

在Rt △MNP 中，PM 2＝MN 2＋PN 2

又MN ＝43NC ＝4

3(1＋t )

PN ＝NC －PC ＝(1＋t )－(4－t )＝2t －3 ∴[

43(1＋t )]2＋(2t －3)2＝(4－t )2解得t 1＝57

103，t 2＝－1（不合题意，舍去） 综上所述，当t ＝32或t ＝9

11或t ＝57103

时，△PMC 为等腰三角形．

A B C

图1

A B C

图2

A B C

图3

４. （2011浙江杭州育才初中模拟）《天天伴我学数学》一道作业题。如图1：请你想办法求出五角星中A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的值。由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果。下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图像，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数。有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看。很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C 和∠E ；∠B 和∠D 分别用外角∠1和∠2表示。于是得到A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=12A ∠+∠+∠=180°。根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的值吗？请给予证明。(原创)

５、（北京四中2011中考模拟13）已知：如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点， 动点P 在⊙O 2上，且在⊙1 外，直线PA 、PB 分别交⊙O 1于C 、D.问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD 最长和最短时P 的位置，如果不发生变化，请你给出证明；

答案：解：当点P 运动时，CD 的长保持不变，A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置关系无关，连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值，∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值. ∵∠CAD =∠ADP +∠P ，∴∠CAD 为定值，

在⊙O 1中∠CAD 对弦CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关.

A C E

B D 图1

G F 21

D

Q B

C

E A

图 2G F

６、（北京四中2011中考模拟14）

探究题:将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q 。设A 、P 两点间的距离为X ，探究：

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。

（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；

（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出响应的X 的值；如果不可能，请说明理由。

答案：(1):过点P 作MN ∥BC,分别交AB 与点M,交CD 于N,则有△AMP 和△CNP 都是等腰三角形,可证△QNP ≌△PMB,得PQ=PB. (2)图(2)由AP=x 得AM=PM=NQ=

2

2

x,CQ=CN-NQ=BM-AM=1-2x, y=

21(BC+CQ)= 21x 2-2x+1(0≤x ＜2

2) （3）三角形PCQ 为等腰三角形.

①点P 与点A 重合时，点Q 与点D 重合,这时PQ=QC, 三角形PCQ 为等腰三角形. ②点Q 在DC 的延长线上时且CP=CQ 时，三角形PCQ 为等腰三角形。求得x=1.

7、（2011年黄冈浠水模拟1）如图1，已知抛物线的顶点为(21)A ，

，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O C D B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；

（3）连接OA AB ，，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得OBP △与OAB △相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．

答案：（1）由题意可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+． 抛物线过原点，

20(02)1a ∴=-+．14a ∴=-．∴抛物线的解析式为21

(2)14y x =--+，

即2

14

y x x =-+．

（2）如图1，当四边形OCDB 是平行四边形时，

CD OB

∥． 由21

(2)104

x -

-+=，得10x =，24x =，(40)B ∴，，4OB =． D ∴点的横坐标为6．将6x =代入21

(2)14

y x =--+，

得2

1(62)134

y =--+=-，(63)D ∴-，

； 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D ，使得四边形ODCB 是

平行四边形，此时D 点的坐标为(23)--，

． 当四边形OCBD 是平行四边形时，D 点即为A 点，此时D 点的坐标为(21)，

．（8分） （3）如图2，由抛物线的对称性可知：

AO AB =，AOB ABO =∠∠． 若BOP △与AOB △相似，

必须有POB BOA BPO ==∠∠∠． 设OP 交抛物线的对称轴于A '点，

显然(21)A '-，

，∴直线OP 的解析式为1

2

y x =-． 由211

24

x x x -

=-+，得10x =，26x =．(63)P ∴-，．过P 作PE x ⊥轴， 在Rt BEP △中，2BE =，3PE =

，4PB ∴=≠．

PB OB ∴≠．BOP BPO ∴≠∠∠． PBO ∴△与BAO △不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．

所以在该抛物线上不存在点P ，使得OBP △与OAB △相似．

x

图1 图2

x

图1

x

8、（2011年黄冈浠水模拟2）如图二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标

为4，该图象在x 轴上截得线段AB 长为6.

(1)利用二次函数的对称性直接写出点A 、B 的坐标为：A( , )、B( , )； (2)求二次函数的解析式；

(3)该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；

(4)在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案：(1) ∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6，∴ A( 1 , 0 )、B( 7 , 0 ); (2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ，∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)

∴y=a(x-4)2+k k a +=1639

7 ………………①

又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………②， 由①②解得a=9

3，k=3－，

∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3或y=9

3x 2

－9316x+937………5分

(3)解法一：∵点A 、B 关于直线x=4对称，∴PA=PB ，∴PA+PD=PB+PD≥DB ， ∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值，

∴DB 与对称轴的交点即为所求点P ，设直线x=4与x 轴交于点M ， ∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，

又∠PBM=∠DBO ，∴△BPM ∽△BDO ，∴BO BM DO PM =， ∴3

373

397

=?=PM ，

∴点P 的坐标为(4，3

3)…………………8分

解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB 为y=－x 93+

9

3

7 (4)由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，

∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=3

3，∴∠ACM=60o ，

∵AC=BC ，∴∠ACB=120o

①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N ，如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有BQ=6，∠ABQ=120o ，则∠QBN=60o ，∴QN=33，BN=3，ON=10，此时点Q(10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33)

②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ，此时点Q 的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC ，点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．…………………………14分

9、（2011年杭州模拟17）在平面直角坐标系中，抛物线经过O （0，0）、A （4，0）、B （3，

3

-

）三点. （1）求此抛物线的解析式；

（2）以OA 的中点M 为圆心，OM 长为半径作⊙M ，在（1）中的抛物线上是否存在这

样的点P ，过点P 作⊙M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（2010昆明中考第25题）

2

答案：（1）设抛物线的解析式为：

2(0)y ax bx c a =++≠

由题意得：0164093?

?=??

++=??

?++=??

c a b c a b c

解得：0a b c =

==

∴抛物线的解析式为：299

y x x =-

（2）存在

（2

）抛物线299y x x =

-

的顶点坐标是(2,9

-，作抛物线和⊙M （如图）， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C 连接MC ，过C 作CD ⊥ x 轴于D

∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM ⊥BC

∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt △CDM 中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1,

CD =

∴

C (1, 设切线 l 的解析式为:(0)y kx b k =+ ，点B 、C 在 l 上，可得：

l ′

20

k b k b ?+=??

-+=?? 解得：

33k b == ∴切线BC

的解析式为：33

y x =+

∵点P 为抛物线与切线的交点

由2y x x y ?

=????=??

解得：1

1

122x y ?=-???

?=??

226

x y =???=

??

∴点P

的坐标为：11(2P -

，

2P ………………4分 ∵

抛物线2y x x =

的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形

于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图) 得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B 1、C 1

l ′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线2=x 的对称点：

39(,22P

，4(2,3

P -即为所求的点. ………………4分 （本题其它解法参照此标准给分）

10.（2011湖北省崇阳县城关中学模拟） 如图，在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为30o ，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ．在抛物线y=x2（x ＞0）上取点P ，在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是 . 答案：(

33，31)(3

32，32

)(3，3)(23，2)

11.（2011年广东省澄海实验学校模拟）把两个全等的直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB 和EF 的长均为4。

（1）当EG ⊥AC 于点K ，GF ⊥BC 于点H 时，如图23-1，求GH:GK 的值.

(2)现将三角板EFG 由图1所示的位置绕O 点沿逆时针方向旋转,旋转α角满足条件: 0°<α<30°,如图2,EG 交AC 于点K,GF 交BC 于点H,GH:GK 的值是否改变?证明你的结论.

（1）解：∵GE ⊥AC 于 K ，GF ⊥BC 于H, ∴∠AKG =∠GHB =90°

∵∠ACB =90°

∴GK ∥BC……………………………(1分)

∴∠AGK =∠B =30°………………(2分)

∵G 与AB 的中点O 重合 ∴AG = GB

∴△AKG ≌△GHB……………………(3分)

∴KG = HB……………………………(4分)

在Rt △GHB 中，tan ∠B =3

3=

HB

GH

…(5分)

G （O ） K H F

E C B

A G （O ） E F H K C

B A 第2题图1

G （O ） K H E C B A 第2

题图1 第2题图2

∴3

3=

GK

GH

……………………………(6分)

(2)GH ：GK 的值不改变。………………(7分)

证明：过点G 作GP ⊥AC 于点P ，GQ ⊥BC 于

点Q ，

∵∠C = 90°

∴四边形PCQG 是矩形…………(8分) ∴∠PGK+∠KGO = 90° ∵∠EGF = 90°

∴∠HGQ+∠KGQ = 90°

∴∠PGK = ∠HGQ ………………………(9分) ∵∠GPK =∠GQH = 90°

∴△PGK ∽△QGH…………………(10分)

∴GP

GQ GK

GH = 由(1)可得：3

3=

GK

GH

…… (11分)

∴3

3=

GK

GH

………………………………(12分)

12．（2011年深圳二模）在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 、E 是直线AB 上两点．∠DCE

＝45° （１）当CE ⊥AB 时，点D 与点A 重合，显然DE 2

＝AD 2

＋BE 2

（不必证明） （２）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：DE 2

＝AD 2

＋BE

2

（３）当点D 在BA 的延长线上时，（２）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

解：（２）证明：

过点A 作AF ⊥AB ，使AF ＝AB ，连接DF ∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC ＝AB ∠CAB ＝∠B ＝45°， ∴∠FAC ＝45°

∴△CAF ≌△CBE…………………………………………3分

第2题图

G （O ）

E

F

H

K C

B

A

Q P

P N M C

B

A O

y

x

∴CF ＝CE ∠ACF ＝∠BCE ∵∠ACB ＝90°，∠DCE ＝45° ∴∠ACD ＋∠BCE ＝45° ∴∠ACD ＋∠ACF ＝45° 即∠DCF ＝45° ∴∠DCF ＝∠DCE 又CD ＝CD ∴△CDF ≌△CDE ∴DF ＝DE

∵AD 2

＋AF 2

＝DF 2

∴AD 2

＋BE 2

＝DE 2

…………………………………………7分 （３）结论仍然成立

如图证法同（２）…………………………………………12分

13、（2011深圳市模四）（2011深圳市模四）（9分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A 、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点M 、N 分别从O 、B 同时出发，以每秒1个单位的速度运动。其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动。过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于P ，连结MP 。已知动点运动了x 秒。 （1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含x 的代数式表示）

（2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时x 的值。

（3）请你探索：当x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？ 你发现了几种情况？写出你的研究成果。

解：（１）（6－x , 3

4

x ）;

(2)设⊿MPA 的面积为S ，在⊿MPA 中，MA=6﹣x ，MA 边上的高为3

4

x ，其中，0≤x≤6.∴S=21（6—x ）×34x=

32(﹣x 2+6x) = — 3

2

(x ﹣3)2+6。∴S 的最大值为6, 此时x =3. (3)延长ＮＰ交x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ

①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;

第3题答案图

②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x ，ＰＱ=3

4

x ，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x 在Ｒt ⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ (34x) 2∴x=43

108

③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝35x ，ＡＭ＝6—x ∴35x=6—x ∴x=49

综上所述，x=2，或x=43108，或x=4

9

。