河南省2013年高中数学竞赛高二试题及答案
2018全国高中数学联赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α
全国高中数学联赛试题及答案教程文件
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛 全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。全卷包括4道大题，其中一道平面几何题. 一 试 一、填空（每小题7分，共56分） 1． 若函数( )f x = ()()()n n f x f f f f x ??=??????，则() ()991f = ． 2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ?中，45BAC ∠=?，AB 过圆心M ，则点A 横 坐标范围为 ． 3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ?? ??-? ≥≤≤，N 是随t 变化的区 域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ． 4． 使不等式 1111 200712 213 a n n n +++ <-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ． 5． 椭圆22 221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积 OP OQ ?的最小值为 ． 6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩 上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题含答案
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题 （5月10日8:30至11:00） 一．填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．若集合{}*54,A a a x x ==+∈N ，{}*76,B b b y y ==+∈N ，将A B 中的元素从 小到大排列，则排在第20个的那个元素是 ． 2．已知实数x ，y 满足：33(3)2015(3)(23)2015(23)0x x y y -+-+-+-=，则()22min 44x y x ++= ． 3．设线段BC α?，AB α⊥，CD BC ⊥，且CD 与平面 α成30?角，且 2A B B C C D c m ===，则线段AD 的长度为 ． 4．若直线l 与直线3100x y -+=，280x y +-=分别交于点M ，N ，若MN 的中点为(0,1)P ，则直线l 的方程是 ． 5．设k ，m ，n 都是整数，过圆222(31)x y k +=+外一点33 (,)P m m n n --向该圆引两 条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个． 6．若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称，则a b += ． 7．（请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分） （必修3）执行如图所示的算法，则输出的结果是 ．
（必修4）已知函数sin ()x f x x =在区间π(0,)2上是减函数，若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，2 2 sin x c x =，则a ，b ，c 的大小关系是 ． 8．如果实数a ，b 使得21x x --是201520152 1211ax bx ++++的因式，则a 的个位数字 为 ． 二（本题满足16分） 求2232x y -=的整数解． 三（本题满足20分） 如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC BC <，在线段BC 上取一点D ，使BD AC =，在AD 上取一点E 使45BED ∠=?，延长BE 交CA 于F ，求证：CD AF =．
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析
2020年全国高中数学联赛试题及详细解析 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其 他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1．使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是（ ） A ．63- B ．3 C ．63+ D ．6 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ?的取值（ ） A ．只有一个 B ．有二个 C ．有四个 D ．有无穷多个 6.记集合},4,3,2,1,|7777{ },6,5,4,3,2,1,0{4 4 33221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的
顺序排列，则第2020个数是（ ） A ． 43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．4327 3707171+++ 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x 的多项式2019 3 2 1)(x x x x x x f +-+-+-=Λ表为关于y 的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++Λ其中.4-=x y 则=+++2010a a a Λ . 8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(2 2 +-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。 12.如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列 ,,,,321Λa a a 若,2005=n a 则=n a 5 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13.数列}{n a 满足：.,2 36 457,12 10N n a a a a n n n ∈-+= =+ 证明：（1）对任意n a N n ,∈为正整数；(2)对任意1,1-∈+n n a a N n 为完全平方数。 14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S 达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 15.过抛物线2 x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线
2012年全国初中数学竞赛试题及答案_河南赛区
2012年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．在1,3,6,9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ． 解：完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3． 2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，则下列判断正确的是【 】 （A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ． 解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限，说明其 图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴，且y 随x 的增大而增大，所以10, 10.m m ->??+>? 解得1m >． 3．如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出下列三个 结论：（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时，∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ． 解：因为CD AB =，所以DC =AB ；因为AD AB =，AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度，则由△DAB 的内角和为 180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?． 第3题图 O D C B A
4. 有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【 】 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）2 1 【答】B ． 解：从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能，摸出的2张牌花色不一样 的有4种可能，所以摸出花色不一样的概率是3 2 64=. 5．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(1,0)，点B 的坐标是(3,3)--，点C 是y 轴上一动点，要使△ABC 为等腰三角形，则符合要求的点C 的位置共 有【 】 （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ． 解：由题意可求出AB =5，如图，以点A 为圆心AB 的长为半径画弧，交y 轴于C 1和C 2，利用勾股定理可求 出OC 1=OC 2 =)62,0(),62,0(21-C C ， 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧，交y 轴于点C 3和C 4， 可得34(0,1),(0,7)C C -，AB 的中垂线交y 轴于点C 5，利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)6 17,0(5- C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数），当b 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型 抛物线），这条抛物线的解析式是【 】 第5题图
全国高中数学联赛试题及解答
2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:00?9:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩?R B是() (A){2}(B){?1}(C){x|x≤2}(D)? 2．设sin?＞0，cos?＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k?+，2k?+)，k?Z(B)(+，+)，k?Z (C)(2k?+，2k?+?)，k?Z(D)(2k?+，2k?+)∪(2k?+，2k?+?)，k?Z 3．已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中p?q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以?，?3，?7，?9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4?x3+x2?x+1=0 (C)x4?x3?x2+x+1=0(D)x4+x3+x2?x?1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000?)=__________． 2．设a n是(3?)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…+))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)a?b，b?c，c?d，d?a； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n?N*，求f(n)=的最大值．
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9：00--11：00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是准确的. 请将准确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++=20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?，则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图）
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2000年全国高中数学联合竞赛试卷 （10月15日上午8:009:40） 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩R B是() (A){2}(B){1}(C){x|x≤2}(D) 2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是() (A)(2k+，2k+)，k Z(B)(+，+)，k Z (C)(2k+，2k+)，k Z(D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z 3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是() (A)(B)(C)3(D)6 4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0() (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是() (A)(B)(C)(D) 6．设ω=cos+i sin，则以，3，7，9为根的方程是() (A)x4+x3+x2+x+1=0(B)x4x3+x2x+1=0 (C)x4x3x2+x+1=0(D)x4+x3+x2x1=0 二．填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000)=__________． 2．设a n是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++… +))=________. 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________. 4．在椭圆+=1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a，b，c，d都属于{1，2，3，4}； (2)ab，bc，cd，da； (3)a是a，b，c，d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________ 三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 1．设S n=1+2+3+…+n，n N*，求f(n)=的最大值．
2018年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题
2018年全国高中数学联合竞赛河南省预赛试题 一、填空题（共8小题，每小题8分，满分64分。） 1.已知函数f (x )=?1 2x 2+x,若函数f (x )的定义域为[m,n ](m
河南高中数学竞赛预赛
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2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛获奖情况 通报 2010年河南省高中数学竞赛预赛及郑州市高中数学竞赛于2009年5月举行,我市在新密一高、新密二高、新密实验高中、新密中学、一高分校、京密高中分设六个考点，考试结束后，郑州市教研室统一组织了评卷，日前成绩已经揭晓，现将获奖情况通报如下：望获奖学生及辅导教师戒骄戒躁，在今后学习、工作中，加倍努力，为我市学科教学质量提升做出贡献。 一、高一年级数学竞赛获奖情况： 河南省一等奖（19人） 陈泽文实高张范一高尚元贺一高 黄尚臣一高秦艳艳新密中学王超峰新密中学 位二鹏一高魏帅飞新密中学赵留鹏一高 郭亚冰新密中学许言午一高赵启源二高 黄佳男实高申威实高王玉博实高 郑凯利一高申玉蕾一高危超杰一高 张园豪二高 河南省二等奖（60人） 高世浩一高李帅龙一高牛伟朋二高 陈博一高陈博文一高陈东晓二高 范瑞方实高贾凯歌新密中学李婉迪一高 李玉婕二高李志远新密中学梁昆新密中学 秦炎明二高任志飞新密中学慎志豪新密中学 宋浩阳新密中学王键新密中学王亚芳二高
杨亚杰二高张诚实高张星魁二高 赵金龙一高郑小冰二高王光耀二高 陈光豪二高陈现凯实高丁浩奇实高 纪路明一高申仁杰二高张磊磊新密中学甄鹏帅新密中学巴星原新密中学白晓丹实高 高永乾二高葛乾隆新密中学管焱一高 郭飞新密中学郭英旭二高贾梦迪一高 雷志超一高李超一高李东凯一高 李浩杰实高李晓伟新密中学李晓昱新密中学李宜高一高蔺玉琪一高刘纯莉实高 刘帅鹏一高刘旭东一高王程远一高分校谢婉莹实高尹建伟一高翟师冬二高 张腾飞新密中学张晓星二高张云鹏新密中学赵一帆实高甄政毅实高周英豪二高 河南省三等奖（74人） 崔广楠一高刘英豪二高邵梦旗二高 慎津进二高王亚青二高云晓瑜二高 张鹏杰新密中学安桂芳新密中学常旭东二高 樊颖颖二高付欣二高刘晓静一高 王宏元二高王琼一高张涛新密中学孙浩南一高黄亚萌新密中学李晓梦一高 苏跃京密高中王浩咏实高白云鹏一高
2019全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试题及参考解析
2019全国初中数学竞赛（河南赛区）预赛试题及参考解析 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 【一】选择题〔共6小题，每题6分，共36分.以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕 1、在1，3，6，9四个数中，完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】 〔A 〕2，3，1〔B 〕2，2，1〔C 〕1，2，1〔D 〕2，3，2 【答】A 、 解：完全平方数有1，9；奇数有1，3，9；质数有3、 2、一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限，那么以下判断正确的选项是【】 〔A 〕1m >-〔B 〕1m <-〔C 〕1m >〔D 〕1m < 【答】C 、 解：一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限，说明其图象与 Y 轴的交点位于Y 轴的正半轴，且Y 随X 的增大而增大，所以10,10.m m ->??+>? 解得1m >、 3、如图，在⊙O 中，CD DA AB ==，给出以下三个 结论：〔1〕DC ＝AB ；〔2〕AO ⊥BD ；〔3〕当∠BDC ＝30° 时，∠DAB ＝80°、其中正确的个数是【】 〔A 〕0〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕3 【答】D 、 解：因为CD AB =，所以DC ＝AB ；因为AD AB =，AO 是半径，所以AO ⊥BD ；设∠DAB ＝X 度，那么由△DAB 的内角和为180°得：2(30)180x x -?+=?，解得80x =?、 4.有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花色不一样的概率是【】 〔A 〕34〔B 〕23〔C 〕13〔D 〕21 第3题图
2018年全国高中数学联赛河南省预赛高三数学试题(解析版)
2018年全国高中数学联赛河南省预赛 高三数学试题 一、填空题 1．已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______． 【答案】0 【解析】【详解】 因为， 所以有，得，故在上是增函数， 进而．解得（舍）或． 故填0． 2．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______． 【答案】2 【解析】【详解】 因为小正四面体可以在纸盒内任意转动， 所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体． 记大正四面体的外接球半径为，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为，易知，故小正四面体棱长的最大值为． 3．已知为虚数单位，则在的展开式中，所有奇数项的和是______． 【答案】512 【解析】【详解】 易知的展开式中，所有奇数项的和是复数的实部． 又 ．
故填512． 4．已知点在内，且满足，设、、的面积依次为、、，则______． 【答案】 【解析】【详解】 因为， 所以，所以． 5．已知、、均为正数，则的最大值为______． 【答案】 【解析】【详解】 记，那么，，， 于是，得．① 又．② 由①②可得，所以，即，当且仅当时取得．6．若，则被3除的余数是______． 【答案】1 【解析】【详解】 令，得． 分别令和，将得到的两式相加，得．所以 ． 7．设经过定点的直线与抛物线相交于、两点，若为常数，则的值为______． 【答案】2 【解析】【详解】
设直线的参数方程为（是参数，是倾斜角且， 代入抛物线方程得． 设该方程的两根为、，则，， 则 为常数， 所以． 8．将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有______个． 【答案】8 【解析】【详解】 “3阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶色序”共有种． 一方面，个点可以构成个“3阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于8个． 另一方面，若，则必须包含全部8个“3阶色序”，如按逆时针方向确定8个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件． 故该圆中等分点的个数最多可有8个． 二、解答题 9．已知，试求的最大值． 【答案】 【解析】【详解】 由题意得， 则． 记点，直线， 则点的轨迹方程为单位圆：，且．
全国高中数学联赛
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 2．已知lg x 的小数部分为a ，则2 1lg x 的小数部分为 A 、2a -的小数部分 B 、12a -的小数部分 C 、22a -的小数部分 D 、以上都不正确 3．过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A 、2213,22y x y x == B 、2235,22 y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 4．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、ED 为边长构成的三角形的最大角是 A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定 5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题） A 、0 B 、5 C 、7 D 、以上都不正确 6．已知圆锥的顶点V 和底面圆心O 的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过VO 中点M 的平面与圆O 相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O 半径为1，则椭圆的短轴的长为 A 、 B C D 、以上结果都不对 二、（每小题9分，共54分） 7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为2006，则这样的数列共有_____个． 8．已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545 x x y y ?-+-=??-+-=-??，则x y +=_____． （旁注：联赛原题） 9．正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____． 10．若x 、y 为实数，且223x xy y ++=，则22x xy y -+的最大值和最小值分别为_____． 11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形． 12．若关于x 的方程2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是_____． 三、论述题（本题满分60分，每小题20分） 13．设有2006个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这2006个数的和． 14．求的值． 15．已知数列{}()0n a n ≥满足00a =，对于所有n N +∈，有 1115n n a a +=+，求n a 的通项公式． ∑∑∑===+-n k n k n k k n k n k n kC n C k n C k 11122332
河南省初三数学竞赛试题及答案
2018年河南省初三数学竞赛 试题及参考答案（实验区用） 一、选择题（每小题5分，本题满分30分） 1．已知关于x 的方程（3a+8b ）x=2007无解，则ab 是 （B ） A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数 2．在长方体中，有下列三个命题： （1）存在一个点，使它到长方体的各个顶点的距离相等； （2）存在一个点，使它到长方体的各棱的距离相等； （3）存在一个点，使它到长方体的各面的距离相等； 下列选项中，正确的是 （D ） A ．（1）与（2）是真命题 B ．（2）与（3）是真命题 C ．（1）与（3）是真命题 D ．（1）是真命题 3．如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ， BF FC =5，又AB=8，AE=2，则AD 的长为 （B ） A ．．12．2 D ． 4．中国象棋红方棋子共有：1个帅，5个兵，士、象、马、车、炮各2个，?将所有棋子反面朝上放在棋盘上，任取一个不是兵和帅的概率是 （D ） A ．116 B ．516 C ．38 D ．58 5．为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生人数最多有 （C ） A ．180 B ．200 C ．210 D ．225 6．平面上一点P 到一个凸四边形的四个顶点的距离都相等，则P?点与此四边形的位置关系是 （D ） A ．在四边形的内部 B ．在四边形的外部
C．在四边形的边上 D．以上三种情况都有可能 二、填空题（每小题5分，本题满分30分） 7．一次函数y=ax+a+2的图象在-2≤x≤1的一段都在x轴的上方，那么a?的取值范围是 -1
河南省2020年全国高中数学联合竞赛预赛试题(河南卷)
2020年全国高中数学联赛河南省预赛试题 本试卷满分140分 一、填空题（满分64分） 1、在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、在ABC ?中，26 C B ππ ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ?沿CM 折起，使,A B 之间的距离为22，则点M 到面ABC 的距离为_________________. 4、若锐角 α 满足 23tan10tan 2 tan 2 o α α =+，则角 α 的度数为 _________________. 5、函数 22|log |,04()270 8,43 3x x f x x x x <≤??=?-+>??，若 ,,,a b c d 互不相同，且 ()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是_________________. 6、各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为 _________________. 7、一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D - 顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最 短距离为6，则长方体的体积最大值为______________. 8 、 [] x 表示不 超 过 实 数 x 的最大整数，则 [][][][]2222log 1log 2log 3log 2012_________.++++=L 二、（本题满分16分）如图，已知四棱锥 E ABCD -的地面为菱形，且 3 ABC π ∠= ,2AB EC ==,2AE BE ==. （1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面； （2）求二面角A EC D --的余弦值. 三、（本题满分20分）已知函数ln(1) ()x f x x += （1）当时0x >，求证：
2016年度河南地区高级中学数学竞赛成绩
~ 2016年河南省高中数学竞赛成绩 一年级 一等奖 理工附中高艺炜洛一高郭怡欣 理工附中梁仕琦理工附中茹怡 理工附中曲希然宜阳一高李文艺 洛一高孙怡飞洛一高邓渝欣 洛一高段震宇河科大附中许志恒 理工附中霍睿哲理工附中李奕轩 偃师高中李远浩宜阳一高赵旭凯 河科大附中赵基尧洛一高张子昊 洛一高牛梦晨理工附中李若琪 洛一高黄泽理工附中郑雨辰 宜阳一高周顺博洛一高张海彤 河科大附中苗慧琳新安一高王禹辰 新安一高刘鸾凤宜阳一高李炳毅 洛一高龚金龙洛一高张锦涛 栾川一高王民政洛一高王一轩 栾川一高董昱 二等奖 十九中黄蔚洁新安一高孔坚强
~ 洛一高高云飞宜阳一高杨艺博 伊川一高刘瑶瑶栾川一高马奔 理工附中苏渤伦洛一高常耘玮 理工附中介明俊洛一高杨云冲 偃师高中裴贺园伊川一高吉博文 偃师高中王浩文河科大附中朱欣怡 偃师高中魏正瑞河科大附中邢伊娜 洛一高戴傲初新安一高王卓 孟津一高吕润豫偃师高中高浩飞 理工附中王敖宜阳一高闫铎泷 理工附中李昶霖宜阳一高王珊珊 理工附中蒋贺平宜阳实验（西）张乐歌 偃师高中杨皓圆汝阳一高马瑞良 宜阳一高刘甜甜理工附中郭承岩 洛一高罗咏琪汝阳一高刘行行 洛一高张瑾汝阳实验耿显超 洛一高袁琦洛一高牛浩成 洛一高陈昊阳河科大附中丁一鸣 河科大附中李正阳河科大附中满佳星 河科大附中李钰龙孟津一高裴英豪 河科大附中侯翱翔孟津一高卢凯新 孟津一高宋世豪新安一高张孟俊
~ 理工附中王晓波宜阳一高张靖康 三等奖 洛一高岳艺双孟津一高赵纪尧 洛一高张玮光理工附中李鑫沅 洛一高徐嘉明新安一高王硕 洛一高邓锐剑新安一高杨哲 洛一高许王子路新安一高韩世博 洛一高杨文韬新安三高毛继伟 河科大附中陈浩南偃师高中王嘉祥 孟津一高许原阳偃师高中刘龙飞 理工附中于歆宜阳一高郭校源 新安一高郭燚宜阳一高王博洋 新安一高张雪雯宜阳一高许笑天 偃师高中程龙宜阳一高李帅康 偃师高中刘佳鑫宜阳一高汪中华 宜阳一高宋佳楠汝阳一高黄怡宾 洛阳外语学校党浩然汝阳一高滕丽红 栾川一高侯瑞远洛宁一高李昌琪 栾川一高田家鸣洛宁一高孟帅毅 洛一高袁世龙第二实验中学张庆阳 洛一高杨中信洛一高李智杰
全国高中数学联赛试题及详细解析
全国高中数学联赛 （10月4日上午8：00—9：40） 题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15 得分 评卷人 复核人 学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。 2、用圆珠笔或钢笔作答。 3、解题书写不要超过装订线。 4、不能使用计算器。 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 本题共有6个小是题，每题均给出（A ）（B ）（C ）（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1、已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2 +2=0,x ∈R}的子集的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000 ， 则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（ ）． （A ）3333 （B ）3666 （C ）3999 （D ）3 2001 6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（ ）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________． 8、若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2= 2 3 -I,则z 1z 2= 。 9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，则直线A 1C 1与BD 1的距离是 。
全国高中数学联赛试题
全国高中数学联赛试题 一、填空题 1、若正数b a ,)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则b a 11+的值为__________ 2、设集合}21|3{≤≤≤+ b a b a 中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=_________ 3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______ 4、数列}{n a 满足)(1 )2(2,211?+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________ 5、已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________ 6、设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________ 7、设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。若点P 满足1=PI ，则ABC ?与APC ?的面积之比的最大值为__________ 8、设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以2 1的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________ 二、解答题 9、平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上一个动点， 满足条件：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线P l 与PO 垂直。设直线P l 与PO ，x 轴的交点分别为R Q ,， （1）证明：R 是一个顶点 （2）球 | |||QR PQ 的最小值
河南省初中数学竞赛预赛试题及答案
2014年全国初中数学竞赛预赛 试题及参考答案 （竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00） 一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分） 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 是倒数等于它本身的自然数，则201520132014c b a ++的值为【 】 （A ）2013 （B ）2014 （C ）2015 （D ）0 【答】D ． 解：最大的负整数是－1，∴a =－1； 绝对值最小的有理数是0，∴b =0； 倒数等于它本身的自然数是1，∴c =1. ∴201520132014c b a ++= 20152013 1020141+?+-）（=0. 2. 已知实数z y x ,,满足542 2.x y z x y z ++=??+-=?， 则代数式144+-z x 的值是【 】 （A ）3- （B ）3 （C ） 7- （D ）7 【答】A ． 解：两式相减得3-3-3441 3.x z x z =-+=-，则 3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN 在图2中的对应线段是【 】 （A ）a （B ）b （C ）c （D ）d 图2 图1 d c b a N M 【答】C ． 解：将图1中的平面图折成正方体，MN 和线段c 重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN 和△ABM 所在的面为组合面，则△AMN 和△ABM 所在的面为两个相邻的组合面，比较图 N M B A B A 图2 图1 d c b a N M （第3题图）