河北安国中学高二下学期开学考试(2018.3.3)

河北安国中学高二下学期开学考试（2018.3.3）

数学（理科）

一、选择题(本题共12x5=60分，在每题四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数

1

i 2

-的共轭复数是（ ） A ．1i -+ B ． 1i -- C ．1i - D.1i +

2．命题“0x R ?∈，2

0020x x ++≥”的否定是( ）

A ．0x R ?∈，20020x x ++≤

B ．0x R ?∈，2

0020x x ++< C ．x R ?∈， 20020x x ++≥ D.x R

?∈,

2

20x x ++< 3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有20名.现用分层抽样的方法在这50名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )

A ．4

B ．6

C ．10 D. 12

4. 若下面框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）

A ．8?k <

B ． 8?k ≥

C ．8?k > D.9?k =

5．一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上10，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( ) A ． 12, 13 B ．12, 3 C ． 2, 3 D. 2, 13

6．已知抛物线()2

0y ax a =>的焦点恰好为双曲线2

2

2x y -=的一个焦点，则a 的值为

（ ） A ．4 B ．

14 C ．8 D. 18

7.在如图所示的正方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )． A ．－1010 B ．－120 C.120 D.1010

8. 用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a ，b ，c 至少有两个偶数 B .假设a ， b ，c 都是奇数 C ．假设a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数 D ．假设a ，b ，c 都是偶数

9. 若函数

在（0,2）内有极小值，则（ ） A ．4b < B ．0b >

C ．04b << D. 2b <

10．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ） A ．36种

B ．30种

C ．24种

D ．6种

11.若双曲线C :22221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()22

24x y -+=所截得的

弦长为2，则C 的离心率为（ ） A ．2 B

．

3

12.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在2

(0,)e 上有三个零点（e 是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 （ ） A ．221(

,)e e B ．1(0,)e C ．2(0,)e D ．222

(,)e e

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．) 13. “x>a ” 是 “0322

>-+x x

” 的充分不必要条件, 则a 的取值范围为____________.

14．曲线2

y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为____________. 15.在区间（0,2）上随机取出两个数，则两数之和小于1的概率为 。

3

()33f x x bx

b =-+

16.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ， ,A B 是抛物线上两个动点且满足

3

AFB π

∠=

，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则

MN AB

的最大值是 。

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分) 已知命题p ：“不等式012>+-ax x 对任意R x ∈恒成立”，命题q ：

“方程11

42

2=-+a y x 表示焦点在ｘ轴上的椭圆”，若q p ∨为真命题，p ?为真，求实数a 的取值范围．

18．(本小题满分12分)某次考试中，从甲、乙两个班各随机抽取10名学生的成绩进行统计分析，学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格． （1）从甲班抽取3名学生其中恰有1人及格的抽取方法有多少种？ （2）从甲班10人中随机抽取一人，乙班10人中随机抽取两人，

恰有2人及格的抽取方法有多少种？

（3）从甲班抽取3名学生至少有一人及格的概率为多少？

19．(本小题满分12分) 某同学对他家经营的奶茶店某时间段的奶茶销售量及其价格进行了调查， 统计出售价x 元和销售量y 杯之间的一组数据如下表所示：

通过分析， 发现销售量y 对奶茶的价格x 具有线性相关关系. （1）求销售量y 对奶茶的价格x 的回归直线方程； （2）欲使销售量为13杯， 则价格应定为多少?

参考公式： 122

1,???n

i i i n

i i x y nxy

b a y bx x nx ==-==--∑∑. 参考数据： 24

1

146.5i

i x

==∑

20.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD, AD⊥AB，AB∥DC，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．用空间向量．．．．．进行以下证明和计算：

(1)证明：BE ⊥ DC ；

(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值； (3)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥ AC ， 求二面角F –AB -P 的正弦值．

21．(本小题满分12分) 椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为(0,2)A ，右焦点F 与点

B 的距离为2。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率≠0k 的直线:2l y kx =-使直线l 与椭圆相交于不同的两点M,N 满足

=||||AM AN ，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分12分)已知函数错误！未找到引用源。R 错误！未找到引用源。，曲线

错误！未找到引用源。

在点错误！未找到引用源。

处的切线方程为错误！未找到引用源。．

（Ⅰ）求错误！未找到引用源。的解析式；（Ⅱ）当错误！未找到引用源。时，

错误！未找到引用源。

恒成立，求实数错误！未找到引用源。的取值范围．

数学（理科） 答 案

一、选择题 ADA CB CDCCB AA

二、填空题 13、[)∞+，1 14、

43 15、 1

8 16、

1

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．试题解析：

因为 p 为真：22,042<<-<-=?a a ；

q 为真：014,1 5.a a <-<∴<< 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 因为p q ∨为真命题，p ?为真，所以p 假q 真，

22,

2 5.15,a a a a ≤-≥?∴≤

或所以则a 的取值范围是[)5,2. 。

。。。。。10分

18．试题解析：1)21

6460

C C = 2) 11112

45565160C C C C C += 3) 5

6

19.【答案】（1）y=-4x+32（2）4.75元

【解析】试题分析：（1）根据回归系数公式计算回归系数； （2）把 代入回归方程计算x ．

20. 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得

，

，

，

。由为棱

的中点，得

。

（Ⅰ）证明：向量

，，故

，所以，

。…4分

（Ⅱ）解：向量

，

。设

为平面的法向量，

则

即

不妨令，可得为平面的一个法向

量，于是有cos〈n，BE〉＝

n·BE

|n|·|BE|＝

2

6×2＝

3

3，所以直线与平面所成角的正弦值为。……8分

（Ⅲ）解：向量，，

，

。由点在棱上，

设，

。故。由

，

得，因此

，

，解得

，即。设为平面

的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量。取平面的法向量，则cos〈n1，n2〉＝

n1·n2

|n1|·|n2|

＝－3

10×1

＝－

310

10

.

sin〈n1

，n2〉＝. 所以，二面角F-

AB-P的正弦值为. (12)

分21.【答案】(1)

(2) 存在;-

2

y或=-2

y 。

【解析】

(1)依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为，由=|

|FB2，得，即

又∵2

=

b，

∴ 12222=+=b c a ，即椭圆方程为。 (4分)

（2）方法一: 由

||||AN AM =知点A 在线段MN 的垂直平分线上，

由

消去y 得

12)2(322=-+kx x 即012)31(22=-+kx x k （*） ( 5分)

由0≠k ,得方程(*)的0144)12(22>=-=?k k ,即方程(*)有两个不相等的实数根。 (6分) 设),(11y x M 、),(22y x N ，线段MN 的中点),(00y x P ，

则

，

∴，

∴

，即

0≠k

，∴直线

AP 的斜率为， (9分)

由AP MN ⊥，得，∴ 66222=++k ，解得：

， (11分)

∴ l 的方程为=-2

y 或=-2y 。 ( 12分) 方法二:

直线l 恒过点(0,-2), 且点(0,-2)在椭圆上, ∴不妨设M(0,-2), 则|AM|=4 (6分) ∴|AN|=4, 故N 在以A 为圆心, 4为半径的圆上,即在+-=22x (y 2)16的图像上．

联立?+-=?

?+=??2222x (y 2)16

1124

x y 化简得+=220y y ,解得=-或02y (8分)

当y=-2时,N 和M 重合

,舍去．当y=0时,±(

N ,

因此=k 分)

∴ l 的方程为=

-2

y 或=-2y 。 ( 12分)

22.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）由点错误！未找到引用源。处的切线方程为错误！未找到引用源。，可得

1(1)2f '=

，又过点1

(1,)2

，可分别建立关于,a b 的方程组，求解可得解析式； （2）由题为恒成立问题，可先进行变量分离，再构建函数，运用导数转化为最值问题而解决． 试题解析：（Ⅰ）∵错误！未找到引用源。， ∴错误！未找到引用源。．

∵直线错误！未找到引用源。的斜率为错误！未找到引用源。，且曲线错误！未找到引用源。过点错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。即错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。．所以 错误！未找到引用源。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。恒成立即 错误！未找到引用源。，等价于错误！未找到引用源。

．

令错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。． 令错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。．

当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调递增，故错误！未找到引用源。． 从

而，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，即函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。上单调递增， 故错误！未找到引用源。．

因此，当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。恒成立，则错误！未找到引用源。．∴ 错误！未找到引用源。的取值范围是错误！未找到引用源。