黄金分割及比例线段

1、“黄金分割”之美

2、“黄金分割”应用两例

3、黄金分割矩形

4、人体中的黄金分割之美

5、美妙的黄金分割和黄金数

6、线段黄金分割点的几种求法

7、中考黄金分割问题两例

8、“黄金分割”考题透视

9、“比例线段”变式多多 10、证明比例线段方法多多 11、巧用面积比来证线段比 12、巧用面积比，妙解几何题

1、“黄金分割”之美

黄金分割是指一条直线（或矩形）被分割成两个不同的部分，分割点（或线）将较大的部分与较小的部分分割成一定的比例（如下图所示）。具体的比例公式是：AC

AB

BC AC （AC 为长边，BC 为短边），其比值约为1.618∶1或1∶0.618。

5

2

1D

C

B

A

BC

AC

≈ 1.618 ≈1.618

黄金分割广泛应用于建筑、艺术与设计中。早在埃及设计金字塔的时候就开始使用黄金分割，

如图

古希腊的巴台农神庙是希腊繁荣和美德的象征，它的外框矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比.这样的矩形称为黄金矩形.

古希腊几何学家毕达哥拉斯对黄金分割甚感兴趣，他提出人身体的各个部分就是以确定的黄金比例分布的。

达芬奇的蒙娜里莎，也是个很好的例子，如图

著名的巴黎圣母院的设计中也应用了黄金分割，如图

芭蕾舞演员翩翩起舞时不时地踮起脚尖，就为了使肚脐以下的部分和身高的比值接近0.618.

电视节目主持人在主持节目时，也往往是站在近于舞台的“黄金分割点”处，显得自然大方.

生活中还我许许多多地方存在“黄金分割”。

2、“黄金分割”应用两例

“黄金分割”虽然不好理解，但运用其实也很广，现举两例与大家共赏。

例1．如图1，已知线段AB，点C在AB上，且有AC BC

AB AC

=，则

AC

AB

的数值为；

若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在位置最好。

A

析解：由黄金分割的定义可知AC

AB

的数值为

2

1

5-

。依据“黄金分割”知识可知节目主

持人站在线段AB的黄金点C，这样台下的观众看上去感觉最好．

点评：本题实际上是属于黄金分割问题，即若点C把线段AB分成两条线段AC和BC （AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

例2．若一个矩形的短边与长边的比值为

21

5-

（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形。

（1）操作：请你在图2所示的黄金矩形ABCD（AB>AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；

（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。

图2 图3

析解：（1）在AB、DC边上，分别截取AE＝DF＝AD，连接EF，则四边形AECF即为所求作的正方形，如图3所示；

（2）在图3中，不妨设AB＝a，由题意可知：BC＝

21

5-

a，FC＝

25

3-

a，则FC：

BC＝

21

5-

，按照黄金矩形的定义可知四边形EBCF是黄金矩形；

（3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作一个正方形，则由此在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形．

3、黄金分割矩形

美丽宜人的黄金分割矩形是古希腊时代被认

为地球上最具有调和性而美丽的比例。在古希腊时

代，除了著名的巴特农神殿之外（如右图1），有许

多建筑物、美术品、工艺品都具有十分接近黄金分

割的作品。文艺复兴时代的万能艺术家达文西

（Leonardo da Vinci,1452~1519）据说用黄金分割的长

方形绘画。黄金分割不仅是几何学，也是整个数学

的重要内容。十七世纪德国著名的天文学家、数学

家开普勒（kepler,1571~1630）曾经这样说过：“几何

学里有两件宝，一是勾股定理，另一个是黄金分割”。

所谓的黄金分割矩形，是指矩形的长∶宽＝∶1，黄金分割矩形有一种特别的性质：在这种矩形中分出一个以宽为边长的正方形后，余下的矩形仍然是一个黄金分割矩形（如图2），由于它具有这一特性，因此每次余下的矩形都与原矩形相似，也就是说黄金分割矩形具有碎形自相似性的特质。

图2 图3 图4 图5

至于黄金螺旋，则是将黄金矩形依黄金比例的长宽比往外扩张，然后将正方形顶点依序连接起来，就成为“黄金螺旋”如图3，4，5。同样地，

黄金螺旋也普遍存在于自然界中，如下右图6的鹦鹉螺即

是最著名的例子

4、人体中的黄金分割之美

人是万物之灵．大自然赋予了健康、迷人魅力的人体黄金分割比率．

经过研究与分析，人们发现，在人体中也包含着多种“黄金分割”的比例因素，至少可以找出：

① 18个“黄金点”（如图1：脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等）；

② 15个“黄金矩形”（如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等）；③ 6

个“黄金指数”（如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等）；

④ 3个“黄金三角”（如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等）．

此外，健美的人体（如古希腊雕塑《米罗的维纳斯》看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据《米罗的维纳斯》身材各部分的尺寸．她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近利西普斯所追求的人体美标准，即身与头之比为8∶1．由于8为3加5之和，这就可以分割成1∶3∶5，这就是“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则．）亦有多组比例符合黄金分割比．如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割．

图2

图1

F A B C D E

G X Y 5、美妙的黄金分割和黄金数

任取一条线段AB,在AB 上找一点C,使得

AC

BC

AB AC =，点C 就叫做线段AB 的黄金分割点.每条线段都有两个黄金分割点,若点C 把线段AB 分成AC ，BC ，如果AC BC

AB AC =，则点C 是线段AB 的黄金分割点，同样，若点D 把线段AB 分成AD ，BD ，如果BD

AD

AB BD =，则点D 也是线段AB 的黄金分割点.那么黄金分割点到底在什么位置呢？让我们来算一算.

如图，设AC ＝x ,那么 BC ＝AB －AC ＝AB －x

由于 AC 2＝AB ﹒CB, 所以 x 2＝AB(AB －x )

解这个方程得 215-=

x AB, 即 AC ＝2

1

5-AB≈0.618AB. 这个黄金分割值0.618就是人们所说的“黄金数”.黄金数0.618是十分有趣的，0.618

的倒数是1.618,而0.618×1.618＝1.

用纸可以折出黄金比例，裁一张正方形纸片ABCD, 先 折出BC 的中点E,然后折出直线AE,再通过折叠，使EB 落

到直线EA 上，折出点B 的新位置G ,因而EG ＝EB.类似的， 在AB 上折出点X,使AX ＝AG ,折出的点X 就是AB 的黄金分

割点.你不妨算一算.

数学家法布兰斯在13世纪写了一本书,其中有这样一些数的组合:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,……它们有以下一些特点：

1.数列中任意数字都是由前面两个数字之和构成；

2.前一数字与后一数字之比趋近于一固定常数0.618;

3.后一数字与前一数字之比趋近于1.618;

4.1.618与0.618互为倒数，其乘积约等于1；

5.任一数字与它后面第二个数字相比，其值趋近于0.382;与它前面第二个数字相比,其值趋近于2.618.

在所有矩形中，短边与长边之比为2

1

5-的矩形最为美观，人们把这种长与宽的比

值近似于0.618的矩形称为“黄金矩形”.

在正五角星中有两种特殊的等腰三角形，一种是顶角为360的等腰三角形，一种是底角为360的等腰三角形，毕达哥拉斯学派把它们称为“黄金三角形”.

黄金分割是几何中的一个著名问题,它实际上是比例线段问题.黄金分割有着广泛的应用,如在设计工艺品或日常用品的宽与长时,常设计成宽与长的比近似为0.618,这样易引起美感;在拍照时,常把主要景物摄在接近于画面的黄金分割点处,会显得更加协调、悦目；舞台上报幕员报幕时总是站在近于舞台的黄金分割点处，这样音响效果就比较好，而且显得自然大方.黄金分割与人体也有很大关系,人的肚脐把人从头到脚作了黄金分割,上肢的黄金分割点在肘关节,肚脐以上部分的黄金点在咽喉,肚脐以下部分的黄

B C

金点在膝盖.

生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异，但是叶子在茎上的排列却有着特殊的规律.我们从某种植物的顶端往下看，便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约为137.50,如果每层叶子只画一片来表示，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为137.50,以后二层到三层、三层到四层、四层到五层……两叶之间都成这个角度，这个角度对叶子的通风和采光最为有利.这叶子之间的137.50角与黄金数又有什么联系呢？我们知道，一周为3600，137.50：)

5.

137

360

(0

0-＝137.50：222.50≈0.618.也就是说，各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数.

在日常生活中，还存在着许多令人费解的“黄金分割”之谜.科学家们发现，当外界环境的温度约为人体体温的0.618倍时，人会感到最舒适.我们的书本和窗户，其形状大都基本符合黄金分割.黄金分割留给我们的是永远的美和未解的谜，它到底反映了一个什么样的普遍规律呢？但愿你能有所发现！

6、线段黄金分割点的几种求法

所谓黄金分割，就是一点C把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较长的线段（AC）是较短线段（BC）和整个线段（AB）的比例中项（如图1所示）．

图1

下面介绍黄金分割点C的几种求法，供同学们学习时参考．

1. 黄金分割点的几何求法

已知：线段AB

求作：线段AB的黄金分割点C．

作法：如图2所示，

图2

（1）过B点作BD⊥AB，使

1

2

BD AB

=；

（2）连结AD，在AD上截取DE=BD；（3）在AB上截取AC=AE．

则点C就是所求的黄金分割点．

证明：∵AC＝AE＝AD－1

2 AB，

而AD

∴ AC －12AB ＝－12AB ＝AB ． ∴C 点是线段AB 的黄金分割点． 2. 黄金分割点的代数求法 已知：线段AB

求作：线段AB 的黄金分割点C ．

分析：设C 点为所求作的黄金分割点，则

即

解这个方程，得

所以C 点可作． 注意：方程的解法将在九年级一元二次方程时学．

3. 黄金分割点的近似求法 已知：线段AB

求作：线段AB 的黄金分割点．

分析：若不限于尺规作图，用量角器可以作以线段AB 为一腰，顶角A=36°的等

腰三角形ABC ，如图3所示，然后作ACB 的平分线CD 交AB 于点D ．

图3

则点D 就是线段AB 的黄金分割点．

证明：在△ABC 中，∵AB=AC ，A=36°，

∴ ∠ACB ＝∠B ＝180362

?-?

＝72°，

又CD 平分∠ACB ，

∴∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠A ＋∠1＝72°． ∴BC ＝CD ＝AD ，∵△CDB ∽△ABC ，

∴ BD BC

BC AC

=，即BC 2＝AC ·DB ， ∴ AD 2＝AB ·DB ．

由于作顶角为36°的等腰三角形的底角平分线后，仍可得到另一个顶角为36°的等腰三角形，周而复始，永无止境，所以这类等腰三角形也被称为“黄金三角形”． 类似地，如果在宽与长之比为0.618∶1的长方形内，作以长方形的宽为边长的正方形，仍可得到另一个宽与长之比为0.618∶1的长方形，所以这类长方形也称为“黄金矩形”，如巴特农神庙，图4．

图4

7、中考黄金分割问题两例

华师大八年级教材71页的阅读材料里已经简单的向我们介绍了一些黄金分割问题。瞧，05年的中考试题中就出现了几例关于黄金分割的考题，现在将其列举出来与大家共同赏析。

一、确定演播厅的主持人站立的位置 例1、（湖北省十堰市）如图，已知线段AB ，点C 在AB 上，且有

AC BC AB AC =，则AC

AB

的数值为 ；若AB 的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在 位置最好。

解析：由黄金分割的定义可知AC AB 的数值为2

1

5-。依据教材上的介绍可知节目主

持人应站在线段AB 的黄金点C ，这样下面的观众看上去感觉最好。 二、黄金矩形

例2、（扬州市）若一个矩形的短边与长边的比值为

2

1

5-（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形。

（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD （AB>AD ）中，以短边AD 为一边作正方形AEFD ；

（2）探究：在（1）中的四边形EBCF 是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；

（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）。

解析：（1）在AB 、DC 边上，分别截取AE=DF=AD ，连接EF ，则四边形AECF

即为所求作的正方形，如上面右图所示，（2）在该图中，不妨设AB=a ，由题意可知：

BC=215-a ，FC=253-a ，则FC ：BC=2

15-，按照黄金矩形的定义可知四边形EBCF

是黄金矩形。（3）由上面的求解可以得出：在黄金矩形内，以黄金矩形的短边为一边在该矩形内作一个正方形，则由此在该矩形内又新得到一个矩形，则这个新矩形也为黄金矩形。

8、“黄金分割”考题透视

黄金分割是成比例线段中既特殊又重要的内容，考查的重点是与黄金分割有关的计算和推理题。下面举例予以说明。

一、利用黄金分割比进行有关的计算

例1 已知线段AB ＝4，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，求下列各式的值：（1）AC －BC ；（2）AC ?BC 。

分析：本题主要利用线段的黄金比1

2

进行有关计算。

解：（1）因为AB ＝4，C 为AB 的黄金分割点，

所以=AC AB 所以AC

AB

＝2。

所以AC －BC ＝AC －（AB －AC ）＝2AC －AB

＝248-=） 。 （2）因为BC ＝AB －AC ＝4

－（2）＝6

－。 所以AC ?BC

＝（2）（6

－

）＝32。 二、推理题

例2 如图2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，设以AP 为边长的正方形的面积为1S ，以BP 和AB 长为边的矩形的面积为2S ，试比较2S 1S 与的大小。 分析：根据点P 是线段AB 的黄金分割点，抓住PB AP

=AP AB 这个定义关系式即可判断2S 1S 与的大小。 解：因为P 是线段AB 的黄金分割点，所以PB AP

=AP AB ，即2

AB BP AP = ,

又22,AB BP S AP == 1S ，所以2S =1S 。

例3 如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC

＝

01,36A ∠=，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，试

说明点D 是线段AC 的黄金分割点。

分析：本题可先判别AD ＝BD ＝BC

1，再根据黄金分割的概念确定这个特征的比值，即可判定点D 是线段AC 的黄金分割点。

解：在△ABC 中，因为0,36AB AC A =∠=，所以072ABC C ∠=∠=。 因为BD 平分∠ABC ，所以01236∠=∠=，所以∠1＝∠A ，所以AD ＝BD 。

所以∠BDC ＝∠1＋∠A ＝072，所以∠BDC ＝∠C ，从而有BC ＝BD ＝AD

1。

图 1

图2

3

所以

1

2

=

AD AC ，即点D 为线段AC 的黄金分割点。 9、“比例线段”变式多多

同学们初学线段的的比时有些不适应，为此学习时应治意以下问题： 一、明确线段比的含义

如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线

段的长是a ∶b =m ∶n 或写成n

m

b a =，和数的比一样，两条线段的比a ∶b 中，a 叫做比

的前项，b 叫做比的后项。

注意：∶（1）针对两条线段（2）两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关，（3）其比值为一个不带单位的数。 二、弄清线段成比例及有关概念的意义

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段

叫做成比例的线段，简称比例线段，己知四条线段a ，b ，c ，d ，如果d

c

b a =或a ∶b =

c ∶

d ，那么a ，b ，c ，d 叫做成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项。

三、掌握比例的基本性质

如果a ∶b =c ∶d ，那么ad =bc ，反之，如果ad =bc ，那么a ∶b =c ∶d 。 特别地，如果a ∶b =b ∶c ，那么b 2＝ac ，反之，b 2=ac ，那么a ∶b =b ∶c 。

要注意灵活运用比例线段的多种不同的变化形式，但无论怎样变化，它们都保持ad =bc 的基本性质不变。具体有八种不同的表达形式：

（1）若ad =bc ，则d

c

b a =

（2）若ad =bc ，根据乘法的交换律，可得da=bc ，因此a

c

b d =实际上交换了1中两个外

项的位置）

（3）若ad =bc ，则ad =cd ，因此d b

c a =（这里交换了1中两个内项的位置）

（4）若ad =bc ，则da =cb ，因此a b

c d =（这里交换了1中两个内项和外项的位置）

（5）若ad =bc ，则bc =ad ，因此c

d

a b =（这里把等式ad =bc 的左边和右边交换了位置，

也可以看作是同时交换了1中两个比的前项和后项的位置） 仿照上面的方法，由（5）又可以得到下列三个式子：

（6）若bc =ad ，则cb =ad ，因此b d

a c =

（7）若bc=ad ，则bc =da 因此c

a

d b =

（8）若bc =ad ，则cb=da 因此

b

a d c = 四、学会运用比例线段解决实际问题

在比例尺为1∶900000的江西黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4cm ，这两地的实际距离是（）

A ．2250厘米

B ．3.6千米

C ．2.25千米

D ．36千米

析解：根据比例尺的定义，设黄山风景区与市政府所在地之间的距离为x cm ，（应与图

上距离单位相同）则

x

4

9000001= 解得x =3600000厘米=36千米．故应选D

五、学会创新

例2．有三条线段，它们的长分别为a =1cm ，b =2cm 和c =2cm 请再添上一条线段x ，使这四条线段a ，b ，c ，x 为比例线段，请问线段x 该有多长？ 解：这是一道多种答案的开放性创新题

如果是x c b a =那么221

2

2=?==a bc x （cm ）

如果是c x

b a =那么22

21=?==b ac x （cm ） 如果是x b a c =那么2

2

221=

?==c ab x （cm ） 答：线段x 长为22cm 或2cm 或

2

2

cm 10、证明比例线段方法多多

证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种． 一、利用相似三角形

例1．如图1，AD 是直角△ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC

于E 、F ，求证：AF AD BE

BD

=。

图1

【分析】AF 、AD 与BE 、BD 分别在△ADF 和△BED 中，只要能证明△ADF ∽△BED 就行了．

证明：∵∠B ＝∠DAC ，∠BDE ＋∠ADE ＝90°＝∠ADE ＋∠ADF ， ∴ ∠BDE ＝∠ADF ，∴△ADF ∽△BED ，

∴AF AD BE

BD

=． 【点评】当要证的比例线段在两个三角形中，且可证这两个三角形相似，可利用此法． 二、利用中间比

例2．如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于点E ，BF ∥CD 交CA 的延长线于点F ．求证：EF ·AD ＝EC ·BC ．

【分析】由AD ∥BC ，得△ADE ∽△CBE ，由BF ∥CD ，得△BEF ∽△DEC ，从而得到

成比例线段BC AD ＝BE DE ，EF

EC

BE DE =，由此易证到结论。

证明：∵ AD ∥BC ，∴ △ADE ∽△CBE ，

∴ BE

DE

BC AD =； 又∵ BF ∥CD ， ∴ △BEF ∽△DEC ， ∴ EF EC BE DE =． ∴ EF

EC

BC AD =，∴ EF ·AD ＝EC ·BC ． 【点评】本题利用了中间比（BE

DE

）进行过渡，证明比例式，进而得到等积式，这是在

解题中经常使用的一种方法。 三、利用等线段进行代换

例3．如图3，已知：正方形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，∠DAC 的平分线AP

交CD 于点P ，∠BDC 的平分线DQ 交AC 于点Q ，求证：BD CD AP

BQ

=。 A D

P O Q

B C

图2

【分析】BD 、CD 和AP 、BQ 不能构成两个三角形，但根据正方形的性质有BD ＝AC ，

BQ ＝DQ ，可证△ACP ∽△DCQ ． 证明： ABCD 为正方形，

∴ BD ＝AC ，且AC 、BD 互相垂直平分， ∴ BQ ＝DQ ，

F

E

D

C B A

因AP平分∠DAC，DQ平分∠BDC，

∴∠CAP＝1

2

∠DAC＝

1

4

∠BAD＝

1

4

∠ADC＝

1

2

∠CDB＝∠CDQ，

又∠ACP＝∠DCQ，∴△ACP∽△DCQ．

∴

AC AP

CD DQ

=，∴

BD

CD

AP

BQ

=．

【点评】当需证的比例线段不在两个三角形中，或虽然在两个三角形中但不相似时，可由已知条件寻找与比例式中某些线段相等的线段作等量代换后，再寻找相似三角形去证明。

11、巧用面积比来证线段比

运用三角形的面积比证明线段成比例问题，别开生面，且能开阔我们的视野，培养创新思维能力．

这种方法的理论根据是：

①“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底之比”，基本图形如图1；

图1

在图1（1）中，

∵△ABD与△ADC的底BD与CD上的高相同，

∴D

ADC

S

S

?AB

?

＝

BD

DC

．

在图1（2）中直线

1

l∥

2

l，∴△ABC与△BDC的底AB与CD上的高相等，∴C

CD

S

S

?AB

?B

＝

AB

DC

．

②“同底（或等底）的两个三角形的面积比等于对应高之比”，你来画画基本图形；

运用三角形的面积比证明线段成比例，其基本思路是运用上述理论依据由面积比建立线段比，现举例如下：

例1．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，求证：

AD

DB

＝

AE

EC

．证明：如图2，连结BE、CD，

∴

===∴

=S S AD DB S S AE

EC DE BC S S AD DB AE

EC

ADE DE DE CDE DE CDE ??B ?A ??B ?，。又，，。 //

图2

例2． 已知：如图3，AD 是?AB C B AD E AC 的中线，过点的直线与相交于，与相交于F ，

求证：

AC AF BE

EF

=。

B D C

图3

证明：连结CE ， ACE ABE AEF AEF S S AC BE

S AF S EF ????==Q ，。

ABD ACD BDE CDE BD CD S S S S ????=∴==Q ，

，

EF

BE AF AC S S S S S S AEF ABE AEF ACE ACE ABE =∴=∴=∴??????

例3 △ABC 中，

AB AC AD BC AD M CM AB =，为边上的高，的中点为，的延长线交于点K ，求证： AK AB 3=

证明：如图4，连结DK ，

AB AC AD BC BD CD AM DM S S S S S S S S S S S AK AB AB AK AMK DMK AMC DMC KDB KDC ACK KDC KDB ACK ABC =∴==∴===∴==∴==∴=,为边上的高，，又，

，，，，。???????????13

3

图4

例4 过?AB C C AB AD F E 的顶点任作一直线，与边及中线分别交于点和，求证： AE ED AF BF ：：。=2 证明：如图5

∴

==++==S S S S AE

ED

S S S S S S AE

ED

AEC DEC AEF DEF AEC AEF DCE DEF ACF DCF ??????????，，

又，，，即，，即：：。 BD DC S

S S S S S AF FB S S AF

FB AE ED AF FB

AE ED AF FB DBF DCF ACF BCF ACF DCF ACF DCF =∴=∴==

=∴==????????2222

D D C

图5

对于线段比是同一条直线上有公共端点的两线段比问题，若题中再有相等线段或平行线等条件，就可考虑用这种方法，用面积比作为中间比，在这里面积比起着沟通、联系线段比的作用。

12、巧用面积比，妙解几何题

用三角形面积比可以解决一类几何问题，解法很有独到之处，现举例如下：

例1.如图1，在四边形ABCD中，E是AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S

△BEC

＝1，S

△ADE ＝3，则S

△CDE

等于（）

图1

A．2B．3

2

C．3D．2

解法1：因为AD∥CE，所以∠A＝∠CEB

因为DE∥BC

所以∠AED＝∠B

△ADE∽△ECB

DE BC

AD

CE

AE

BE

==，

S S

AE

BE ADE

ECB

△

△

==

3

1

2

()

得AE

BE

DE

BC

S

S

DEC

BCE

===

△

△

3

1

故选C。

解法2：也可用同底的△DEC与△BCE（同底为CE）

S S

h

h

AE

BE

CDE

ECB

△

△

===

1

2

3

1

，

S

CDE

△

=3

解法1的关键是△DCE与△BCE等高（平行线DE、CB之间的距离）。

解法2的关键是同底。

例2.如图2所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之比为

1∶2。若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S 等于（ ）

图2

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

解法1：由DE ∥AB ∥FG 知，

图3

△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△CFG ，

所以S S CDE CAB △△=232＝()CD CA

2

， 所以

CD CA =1

4

又由题设知，

FD FA =1

2

， 所以

FD AD =1

3， FD AD AC AC ===1313341

4×，

故 FD ＝DC

于是

S S C D E C F G △△==()121

4

2， S S CFG CDE △△==48

以上是由DE ∥AB ∥FG ，及相似三角形对应高的比等于相似比，把FG 到DE 、AB

的距离之比1：2，转到DF ：AF ＝1：2，从而知△CDE 和△CFG 边长的相似比为1：2。

解法2：因为DE ∥AB ∥FG ， 所以 △CDE ∽△CAB S S CD CA

CDE CAB △△===2321162

() CD CA =1

4

于是

CD AD =1

3

作梯形ABGF 的中位线KH ，由题设知 FD FA =1

2

所以 DF ＝FK ＝AK ， CD ＝DF S S CDE CFG △△==()121

42 于是 S C F G △=8

以上是由FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2，作梯形ABGF 的中位线KH ，从而知D 是AC 的四等分点。得到△CDE 和△CFG 的相似比。

例3．如图4所示，平行四边形DEFG 内接于△ABC ，已知△ADE 、△EFC 、△DBG 的面积分别为1、2.8和1.2，求平行四边形DEFG 的面积。

图4

解：过D 作DH ∥CE 交BC 于点H ， 由DE ∥HC ，DH ∥EC ，

可知四边形DECH 为平行四边形。 因为DH ＝EC ，

所以△DGH ≌△EFC ， 即 S △DGH ＝S △EFC ， 于是 S △BDH ＝4

因为 DH ∥AE ，DE ∥BH ， 故△ADE ∽△DBH

则()AD DB S S ADE BDH

2=

△△ AD BD =12 S S ADE ABC △△=()1

3

2 于是 S S ABC ADE △△==99

从而 S 平行四边形DEFG ＝S △ABC －S △ADE －S △EFC －S △DBG ＝9－1－2.8－1.2＝4

这是由DE ∥BC ，及等高的两个三角形的等积变形，再转化到两个三角形的相似。