2015年高考理数专题复习--排列组合二项式定理(理科)(解析版)

2015年高考理数专题复习--排列组合二项式定理排列、组合、二项定理是高中数学中独立性较强的一部分，也是密切联系实际的一部分，是高考必考内容，每年都有1—2道有关的试题，题型一般为选择题和填空题，考查基础知识、思维能力，多数题难度与教材习题难度相当，但也有个别难度较大。预测明年仍以考查排列、组合应用题、通项、二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合。

复习建议

1.排列组合应用题的处理方法和策略

?使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.

?排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.

?复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.

?按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.

?处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.

?在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.

常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；

③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理

的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.

2.二项定理问题的处理方法和技巧

? 运用二项式定理一定要牢记通项T r+1 =C r n a

n －

r b r

，注意(a +b)n 与(b+a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分.

? 对于二项式系数问题，应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1； ②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； ③证明不等式时，应注意运用放缩法.

? 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求T r+1，有时还需先求n ，再求r ，才能求出T r+1.

? 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.

? 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

? 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.

? 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决. 母题一：

641)1)的展开式中x 的系数是( )

A ．3-

B ．4-

C ．4

D ．4

【答案】A

【解析】641)1)241)1)]=4(1)(1)x x =+-．

其展开式中含x 的项是：00411

344(1)1(1)3xC x C x x -+?-=-，系数等于3-所以选A 。

母题二：

将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？

解法1：∵7＝1＋1＋1＋4＝1＋1＋2＋3＝1＋2＋2＋2，∴分三类，共有分法121

44420().C A C ++=种 解法2（隔板法）：将7个小球排成一排，插入3块隔板，故共有分法3620().C =种

母题三： （x 2

-2x

）8

展开式中4x 的系数为 .(用数字作答)

母题四：

有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种

B ．36种

C ．60种

D ．66种

母题五、 已知(

4

1x

＋3x 2)n

展开式中的倒数第三项的系数为45，求：?含x 3的项；?系数最大的项． 解：?由题设知22

45,45,10.n n n C C n -==∴=即

高考模拟

1．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少名教师，则不同的分配方案的种数为（ ）

A ．12

B ．36

C ．72

D ．108

【解析】先从4名实习教师选出2名教师有2

4C 种情形，再将选出的2名教师看成1名教师与余下

的2名全

排列有33A 种情形，所以不同的分配方案的种数为：2343=36C A ?，故选B 。

2．若

n 的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

3．计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有（ ） （A ）60种 （B ）42种 （C ）36种 （D ）24种 【答案】A

4.现有1位教师,2位男学生，3为女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3为女生中有且只有两位相邻，则不同的排法的种数是（ ） A.12 B.24 C.36 D.72 【答案】B

5.用数字1,2,3,4组成数字可以重复的四位数，其中有 且只有一个数字出现两次的四位数的个数为（ ）

A, 144 B.120 C.108

D.72

【答案】A

6．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ）

(A) 36 种 （B) 30 种 （C) 24 种 （D) 6 种

【答案】B

A.i

B. -i

C. -1 +i

D.1+i

【答案】C

8．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数和原数相加，若和中没有一个数字是偶数，

则称这个数是奇和数。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ） A ．80 B ．100 C ．120 D ．160

【答案】B

9.有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一 项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比

【答案】24

10.在35

(1)(1)x x ++的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字作答） 【答案】11

11．已知0>a ，若26(1)(1)x ax ++的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2

x 项的系数为___________ 【答案】61

12.将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参 加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安 排一人，并要求甲安排在乙、丙的前面，则不同的安排方法共有______种. 【答案】20

13．在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此展开式中含2

x 项的系数 . 【答案】135

14．已知1

1(1,a dx -=?则6

1()2a x x π?

?--???

?展开式中的常数项为 .

【答案】-160

15.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位。现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？ （用数字作答）.

【答案】 346 16．已知n x x f )2()(+

=, 其中*N n ∈．

(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；

(2)当3=x 时, 求证：)(x f *)s N ∈的形式.