安徽省皖南八校2014届高三第三次联考数学理试题 Word版含答案

安徽省皖南八校2014届高三第三次联考

数学理

一、选择题

1.设集合{(,)|2},{|},M x y y x N x y x ==-==则M N ?=

.{1,1}.{(1,1)}.{1}.A B C D ?

2.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1),f x f x +=-则函数()y f x =在[0,10]x ∈内零点个数至少有

.3.4.5.6A B C D 个个个个

3.由若干个棱长为1的正方体搭成的几何体主视图与侧视图相同（如图所示），则搭成该几何体体积的最大值最小值的和等于

.14.15.16

.17A B C D

4.设复数2(,)(z ai a R i z z

+∈是虚数单位，则是z 的共轭复数）是纯虚数的一个充分不必要条件是

...2.2Aa B a C a D a ===±

5.已知椭圆22

19x y +=与双曲线22221x y a b

-=共焦点，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ?=，则双曲线的渐近线方程为

(7)

3

7

A y

B y

C y

D y x ==±

=±

=±

6.已知函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><

，

其导函数'

()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为

11.()2sin()

.()2sin()

2326

11.()sin()

.()sin()

2326

A f x x

B f x x

C f x x B f x x ππ

π

π

=-=+=-=+

7.设数列{}n a 是首项为m ，公比为(1)q q ≠的等比数列，n S 是它的前n

项的和，对任意的

*n N ∈，点2(,

)n

n n

S a S 在直线（ ）上 .0.0

.0

.0

A qx my q

B qx my m

C mx qy q

D qx my m +-=-+=+-=++=

8.如图所示是用模拟方法估计椭圆2

214

x y +=的面积的程序框图，则图中空白框内应填入

..500500

44..500500

N M A S B S N M C S D S =

=

=

=

9.已知43

214()243

f x x x x a =-++在1x x =处取得极值2

，则

=?

111....339A B C D ππ

πππ 10.已知12345{,,,,}{1,2,3,4,5,6},a a a a a ?若21234345,,,a a a a a a a a >

>>>，称排列12345,,,,a a a a a 为好排列，则好排列的个数为 .20

.72.96.120A B C D

二、填空题

11.用二项式定理估算10

1.01________=（精确到0.001）

12.假设要考查某公司生产的500克袋装奶粉的质量是否达标，现从800袋奶粉中随机抽取10袋进行检测，利用随机数表法抽取样本时，先将800袋奶粉按001,002,003….800进行编号，然后从随机数表第8行第8列的数开始向右读，请你写出最先抽到的5袋奶粉的编号依次是_______（注：下表为随机数表的第8行）

6301637859 1695556719 9810507175 1286735807 4439523879 13.在极坐标中直线l 的方程

为sin()4

π

ρθ+

=，圆C 的参数方程为

23cos ()23sin x y α

αα=+??

=+?

为参数，圆C 与直线l 相交于点,A B ，则||AB 的长为

___________

14.若变量满足132110370

y x y x y ≥?

?

+-≤??+-≥?

，则22

xy x y +的取值范围是____________ 15.在正方体中1111-ABCD A BC D ，下列叙述正确的是

①过点A 仅能作一条直线与平面11BB C C 和平面11DD C C 都平行； ②过点A 仅能作两条直线与平面11BB C C 和平面11DD C C 均成45； ③过点A 能做四条直线与直线11111,,C C C D C B 所成角都相等； ④过点A 能作一条直线与直线111,,BC DD A B 都相交；

⑤过点A 、1C 的平面截正方体所得截面的最大值与正方形ABCD

三、简答题 16.(12分)

某市为了了解本市2014届高三学生的数学毕业考试成绩（满分100分），随机抽取45名学生进行调查，得到茎叶图如下图所示，将得分不低于80的成为“优秀”

①根据已知条件，完成上面的2×2列联表，据此资料你能否有90%的把握认为学生的数学成绩与性别有关；

②将上述调查所得到的频率视为概率，现从该市参加学业考试的女学生中随机抽取4名学生，记被抽取的4名学生成绩优秀的人数记为ξ，求ξ的分布列及其数学期望.

男

女 5 6 7 8 9

8

4 5 6 7 7 8 9 0 2 3 3 4 5 6 8 9 0 2 3 4 5 6 5 8

9 8

9 8 7 6 5 5 3 1 9 8 7 6 6 0

7 6 5 0

17.（12分）

已知向量(2cos ,3sin 2),(cos ,1),m x x n x ==函数()f x m n =? ①求()f x 的解析式和函数图象的对称轴方程；

②在ABC ?中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，满足2a c b +≥，求()f B 的范围.

18.（12分）

一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为

平行四边形，且DC ABC ⊥平面； ①ACD ADE ⊥证明：平面平面；

②2,3

AB AC C AE B π

==--已知二面角的平面角为，

求｜BE ｜的长。

19.（13分）

已知抛物线2

2(0)y px p =>与过焦点且斜率为l 的直线交于A ，B 两点，若｜AB ｜＝2。 （1）求抛物线的方程；

(2)(1),P PE PF E F 过点作两条直线交抛物线于点，，若两直线互相垂直，求证：EF 恒过定点，并求出此点的坐标。

20.（13分）

已知(,)1()()

(0,0,0)x f x x x

β

αβααβ+=+>≥≥

(1,1)(1)()ln (),()(0,1)g x f x g x =令求证：在上单调递减；

（2）若(,0)()(0,)f x e α≤+∞在上恒成立，求a 的取值范围（e 为自然对数底数）

21.（13分）

已知正项数列n {a }的闪n 项和为*12111

1

,()()2n n n

n a n N s s s +=

++∈S 且 .12311(1),,;

(2){};

11

(3)1,(2).n n n n n n

a a a a a

b n b a -==

+≥求求数列的通项公式若数列{b }满足b

求证：2

12311111

22()(2)234

n n

b b b b b n n

-<+++++≥

参考答案 一、选择题：

二、填空题

（11）

1.105 (12) 169、555、671、105、071 （13）

（14）41,172??

????

（15）① ② ③ ⑤

三、解答题：

16：

……………3分

2

2

245(1710108) 1.5 2.70627182025

K K ??-?=

=∴

∴不能有%90的把握认为学生的数学成绩与性别有关 ……………7分 （2）由题意可知：8

~(4,)25

B ξ………10分832

42525

E ξ∴=?

=

………12分 17、

2(1)::()2cos 21cos 222sin(2)1

6

f x x x x x x π

=+=++=+

+解由已知可得

………4分

()2s i n (2)1

6:()

26

f x x k x k Z π

π

π∴=++∴=+∈函数的解析式为函数图象的对称轴方程为

………6分 222

2

2

2

22(2:(

)

332412cos 22882

a c a c a c b

a c ac ac B ac

ac ac ac ++-+-+-=≥

=≥=

）由题意可得

a c =当且仅当时等号都成立 (0]3

B π

∴∈，

5()2sin(2)1(0]2(]63666

f B B B B πππππ

∴=++∈∴+∈又，，

()[23]f B ∴∈， ………12分

18、 (1):

,//AB O CB AC DC ABC CB ABC

CD BC CD AC C CB ACD

DCBE CB ED

ED ACD

ED ADE

ACD ADE

∴⊥⊥?∴⊥?=∴⊥∴∴⊥?∴⊥证明是圆的直径

又

平面平面又平面又四边形是平行四边形平面又

平面平面平面

………

6分

(2):,,2,1//3

33||2

CO O OG AE G CG

AB AC CO AB CO CD BE CD ABC BE ABC BE CO CO ABC CGO CO AG OG AG BE BE AB BE π

⊥==∴⊥=⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴∠=

∴=

∴=

∴==∴=解连结过作于连结且又

平面平面平面即

（可利用向量法求解） ………12分

2

22

11221212219.(1):::30242(,),(,),3||4,||2

y px p p AB y x x px p y x A x y B x y x x p

AB x x p p AB ?=?=--+

=?=-

??

+=∴=++==解设直线由得设则又

212

p y x

∴=

∴= ………5分

2222

2(2):(,),(,),(1,1)0(1)(1)(1)(1)0

(1)(1)(1(1)(1))0()2

4

0:()

11

()E E F F E F E F E F E F E F E F E F E E E F

E F E F E E y y F y y P PE PF PE PF y y y y y y y y y y y y y y EF y y x y y y y x y y y y y ∴?=∴--+--=∴--+++=∴=+-+≠-=-+∴=

+=++方法一：

证明由题意可设且与垂直

当时直线的方程为[()2]

(2,1)

=0()22(2,1)

E F F

E F E F E F E F x y y y EF y y y y y y y y EF x EF ++-∴-+=+-=-∴=∴-直线恒过点当时，由得直线的方程为直线恒过点

(2,1)EF -综上：直线恒过点 ………13分

22222·(,),(,):1

10111111201

1

:()

()

111

()12E E F F P E E F E F E F E E E F E F

E F

E y y

F y y PE x my m y x y my m x my m y y m y m y y y m m

m

y y FE y y x y y x y y y y y y y x m m m m =+-?=∴∴-+-=?=+-?∴=-∴=-∴=--∴+=-

-+≠-=-∴=

+++∴=

--=--方法二：由题意可得直线PE,PF 的斜率一定存在且不为0设令直线同理：当时直线2222(2)1122-1=021212

2

2-1E F E F x m m

FE y y m m y y m m FE x FE ----∴+-=∴==-+=∴=直线恒过点（，）

当时直线的方程为综上：直线恒过点（，）

120.(1)::

1111()ln(1)(1)ln(1)()ln(1)(1

,(1,)()ln(1)1()10()(1,)11()(1)ln 210()0x g x x g x x x x x t t h t t t x t

h t h t t t h t h g x +'=+=++∴=+-=∈+∞=+--'=-=<∴+∞++'∴<=-<∴<证明由题意可得可直接求导证明）

令则记则

在上单调递减

()(0,1)g x ∴在上单调递减; ………6分

(,0)

11

min

(2):

11

()()0(0,)ln()1(0,)11(0,)()1

(0,)

(),()10()(0,)()(0)1

x x x t t f x x x x e e x x t t x

x e t x e x t αααααφφφφφ=+≤+∞∴+≤+∞∴+≤+∞∴≤-=∈+∞'=-=->∴+∞∴<=解在上恒成立在上恒成立在上恒成立令,则设则在上单调递增

01α∴≤≤ ………13分

1112

11

2321.111

111

(1)()1()2:2,3

n n n a a a s s s s a a a +=

+++

∴==∴===由负值舍去同理 ………3分

112

1

1211

11

1:()

1211

11()2(1)21111111111

2[(1)()()]223

11121

2(1)11n n k k k k k k k k k k k k k k k a n a n n n k a k

k a s s s s k k a k S s s s s k k s a k k s a k s a a +++++++=====+=

+++

++=∴=

++++=-+-++-+++=-

+=+

++++∴=

(2)猜想下面用数学归纳法证明当时,命题成立

假设当时命题成立,即1

222

11211221

()

(1)212

2(1)(3)(1)(2)(1)0[2(1)(2)(1)][(1)]0k k k k k k k k k k a k a k k a k k k k a k k a k ++++++++++∴++--+++=∴++++-+=

11k a k +∴=+ ∴当1n k =+时命题成立

n a n ∴= ………8分

122

222

211

11

221121

222

23

23

2

1212222221(2)1111

2()2()11

111

1

2()()11111112()()

23231111111(1)()(232233n n n

n n n n n n n n

n n

n n n n n n b b a b b b b b b a a a a b b b b b a a a a a a b b b b n n

n -------=+

∴=++∴-=+∴-=?

+?++++++∴=+?+?++++++<-+-+-2

1212

1211111)()1(2)41111112()1231112()(2)

23n n n n n n n n

b b b b n n b b b b n n

--++-=-≥-∴<+?+?+++-

∴<+?+?++≥ ………13分