高考数学：利用导数研究函数的单调性、极值、最值
利用导数研究函数的单调性、极值、最值
一、选择题
1.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1
3
sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a
的取值范围是 ( )
A.[-1,1]
B.11,3
?
?
-???
?
C.11,33
??-???
?
D.11,3??
--???
?
【解析】选C.方法一:用特殊值法: 取a=-1,f (x )=x-1
3
sin2x-sinx , f'(x )=1-23
cos2x-cosx ,
但f'(0)=1-23-1=-23
<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A ,B ,D. 方法二:f'(x )=1-23
cos2x+acosx ≥0对x ∈R 恒成立, 故1-23
(2cos 2x-1)+acosx ≥0, 即acosx-43cos 2x+53
≥0恒成立,
令t=cosx ,所以-43t 2+at+53
≥0对t ∈[-1,1]恒成立, 构造函数f (t )=- 43 t 2+at+53
,
开口向下的二次函数f (t )的最小值的可能值为端点值,
故只需()()1
f 1a 0,3
1f 1a 0,
3
?-=-≥????=+≥??
解得-13≤a ≤13
.
2.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1,
?-<
>?图象上点P 1,P 2处的切
线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2)
C.(0,+∞)
D.(1,+∞)
【解题指南】设出两切点的坐标,两切线方程,从而求出点P 的坐标,表示出三角形的面积,进而求出取值范围.
【解析】选A.由题设知:不妨设P 1,P 2点的坐标分别为:
P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),其中0 f'(x )=1 ,0x 1,x 1,x 1, x ?-<??得l 1的斜率k 1为-11 x ,l 2的斜率k 2为21x ;又l 1与l 2垂直,且0 得:k 1·k 2=-11 x ·21x =-1?x 1·x 2=1,我们写出l 1与l 2的方程分别为:l 1:y=-1 1 x (x-x 1)-lnx 1…①,l 2:y= 2 1 x (x-x 2)+lnx 2…②,此时点A 的坐标为(0,1-lnx 1),点B 的坐标为(0,-1+lnx 2),由此可得:|AB|=2-lnx 1-lnx 2=2-ln (x 1·x 2)=2,①,②两式联立可解得交点P 的横坐标为x= 1212 122lnx x 2= x x x x -++,△PAB 的面积为:S △PAB =12|AB|·|P x |=12×2×12 2 x x += 11 21 x x + ≤1,当且仅当 x 1=1 1 x 即x 1=1时等号成立,而0 3.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a= ( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 【解题指南】求出f'(x ),解出方程f'(x )=0的根,再根据不等式f'(x )>0,f'(x )<0的解集得出函数的极值点. 【解析】选D. f'(x )=3x 2-12=3()()x 2x 2-+,令f'(x )=0,得x=-2或x=2,易知f (x )在()2,2-上单调递减,在()2,∞+上单调递增,故f (x )的极小值为f ()2,所以a=2. 二、解答题 4.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T21)已知函数f (x )=(x-2)e x +a (x-1)2 有两个零点. (1)求a 的取值范围. (2)设x 1,x 2是f (x )的两个零点,证明:x 1+x 2<2. 【解析】(1)f'(x )=(x-1)e x +2a (x-1)=(x-1)(e x +2a ). ①设a=0,则f(x)=(x-2)e x,f(x)只有一个零点; ②设a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)在(-∞,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<0且b 2 , 则f(b)>a 2(b-2)+a(b-1)2=a23 b b 2 ?? - ? ?? >0, 故f(x)存在两个零点; ③设a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a). 若a≥-e 2 ,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,因此f(x)在(1,+∞)内单调递增. 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点. 若a<-e 2 ,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0; 当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0. 因此f(x)在(1,ln(-2a))内单调递减,在(ln(-2a),+∞)内单调递增, 又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点, 综上,a的取值范围为(0,+∞). (2)不妨设x1 由于f(2-x2)=-x222x e-+a(x2-1)2, 而f(x2)=(x2-2)2x e +a(x2-1)2=0, 所以f(2-x2)=-x222x e--(x2-2)2x e, 设g(x)=-x2-x e -(x-2)e x, 则g'(x)=(x-1)(2x e- -e x). 所以当x>1时,g'(x )<0,而g (1)=0, 故当x>1时,g (x )<0. 从而g (x 2)=f (2-x 2)<0,故x 1+x 2<2. 5.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T21)(本小题满分12分) 设函数f (x )=acos2x+(a-1)(cosx+1),其中a>0,记|f (x )|的最大值为A. (1)求f'(x ). (2)求A. (3)证明|f'(x )|≤2A. 【解析】(1)f'(x)=-2asin2x-(a-1)sinx. (2)当a ≥1时,()()()()() cos 21cosx 11232,||0f a x a a a a f x =+-+≤+-?=-= 当0 令cosx=t ∈1,1??-?? ,则f (x )=g (t )=2at 2+()a 1-t-1,其对称轴为t=1a 4a -, 当t= 1a 4a -∈()1,1-时,解得a<-()1舍去3或a>1 5, 所以当15 1a 17a 1a g g 104a 8a -+?? ---= > ??? , 所以A=g 21a a 6a 1 4a 8a ??-++= ??? . 当0 时,()g 1- =a ,()g 1 =2-3a 所以此时()g 1-<()g 1=2-3a. 综上可得:A=2123a,0a ,5a 6a 11 ,a 1, 8a 53a 2,a 1.?-<≤?? ?++< ?-≥?? (3)由(1)得. 当0 5 时,()f'x ≤1+a ≤2-4a<2()23a -=2A , 当15 ++=++≥. 所以()f'x <2A. 当a ≥1时,()f'x ≤3a-1≤6a-4=2(3a-2)=2A. 综上所述:()f'x ≤2A. 6.(2016·全国卷Ⅲ·文科·T21)(本小题满分12分) 设函数f (x )=lnx-x+1. (1)讨论f (x )的单调性. (2)证明当x ∈(1,+∞)时,1< x 1 lnx - 【解析】(1)由题设,f (x )的定义域为()0,∞+,f'(x )=1x -1,令f'(x )=0,解得x=1. 当0 当x 1,∞时,lnx x 1,ln 1,即x x ∈+<-<- x 1 1x.lnx -< < (3)由题设c>1,设g (x )=1+(c-1)x-c x ,则g'(x )=c-1-c x lnc ,令g'(x )=0. 解得x 0= c 1 ln lnc lnc -. 当x c 1 lnc - 7.(2016·浙江高考文科·T20)设函数f (x )=x 3+ 1 1x +,x ∈[0,1].证明: (1)f (x )≥1-x+x 2. (2)3 4 . 【解题指南】(1)利用放缩法,得到41x 11x 1x -≤ ++,从而得到结论.(2)由0≤x ≤1得x 3 ≤x ,进行放缩,得到f (x )≤3 2,再结合第一问的结论,得到f (x )> 3 4 ,从而得到结论. 【证明】(1)因为1-x+x 2 -x 3 =() 44 1(x)1x 1x 1x ---=+--, 由于0≤x ≤1,有41x 1 1x 1x -≤ ++,即1-x+x 2-x 3≤11x +, 所以f (x )≥1-x+x 2 . (2)由0≤x ≤1得x 3 ≤x ,故 f (x )=x 3+11x +≤x+11x +=x+11x +-32+3 2 = ()()() x 12x 13322 2x 1-++ ≤+, 所以f (x )≤32 , 由(1)得f (x )≥1-x+x 2 =2 133 x 244??-≥ ?? ?+, 又因为f 12?? ???=1924>34,所以f (x )> 3 4, 综上, 34 2 . 8.(2016·山东高考理科·T20) 已知f (x )=a ()2 2x 1 x lnx x --+ ,a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性. (2)当a=1时,证明f (x )>f'(x )+3 2 对于任意的x ∈1,2????成立. 【解题指南】(1)求导后,对a 分情况讨论. (2)令g (x )=f'(x )+32 =23 5x 2x 22x +--,对其求导,求其最大值,判断f (x )min 与g (x )max 的关系,进而可给出证明. 【解析】(1)由题意,函数f (x )的定义域为( ) 0,∞+,f'(x )= ()()2 3 ax 2 x 1x --. ① a ≤0时,x ∈(0,1)时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 在x ∈()1,∞+时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减. ② a>0时,f'(x )= ()3 a x 1x x x ? ?--+ ? ? , 当0 时, f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈? ?时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减. ③ a=2时, ,x ∈()0,∞+时,f'(x )≥0,函数f (x )在(0,+∞)上单调递增. ④ a>2时,,当x ∈? ? 或x ∈()1,∞+时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增, 当x ∈? ??? 时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减. 综上:当a ≤0时,函数f (x )在(0,1)内单调递增,在()1,∞+内函数f (x )单调递减. 当0 +??? 内单调递增, 在? ? 内函数f (x )单调递减. 当a=2时,函数f (x )在()0,∞+内单调递增, 当a>2时,函数f (x )在? ? 和()1,∞+内单调递增,在???? 内函数f (x )单调递减. (2)方法一:由(1)知函数f (x )在[1, 内递减,在(,2]内递增.故 f (x )min =f =+ f'(x )+23 35x 2x 2 22x +-=-. 若令g (x )=235x 2x 22x +--,则有g'(x )=24 x 4x 6 x +-. 故存在x 0∈[1,2]使得函数g (x )在[1,x 0)递减,在(x 0,2]递增, 则g (x )max =max ()(){}g 1,g 2,而g (1)=32 ,g (2)=74 , 所以g (x )max =7 4 . 因为f (x ) min -g (x )max 7 494-12ln2>2.82-2.25-12ln2>12 (1-ln2)>0, 所以,f (x )>f'(x )+3 2 对于任意的x ∈1,2????成立. 方法二:因为lnx ≤x-1(当且仅当x=1时等号成立), G (x )=() ()2222333 3x 2x 22x 15x 2x 233x x 21022x x x 2x -+-??-+--+-+--=+=≥ ??? . 又f (x )≥2 2x 1 1x -+ (当且仅当x=1时等号成立), 即可得f (x )>f'(x )+32 . 9.(2016·山东高考文科·T20)设f (x )=xlnx-ax 2+(2a-1)x ,a ∈R . (1)令g (x )=f'(x ),求g (x )的单调区间. (2)已知f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围. 【解题指南】(1)通过二次求导,研究g (x )的单调性. (2)通过端点分析,找到分界点1 2,再分情况讨论. 【解析】(1)g (x )=f'(x )=lnx-2ax+2a , 所以g'(x )=1x -2a= 12ax x -. 当a ≤0,x ∈()0,∞+时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增. 当a>0,x ∈10, 2a ? ? ??? 时,g'(x )>0,函数g (x )单调递增, x ∈1,∞2a ?? + ??? 时,g'(x )<0,函数g (x )单调递减. 综上:当a ≤0,函数g (x )单调递增区间为(0,+∞). 当a>0,函数g (x )单调递增区间为10, 2a ? ? ?? ?,函数g (x )单调递减区间为1,∞2a ??+ ??? . (2)由(1)知f'(1)=0. ①当a ≤0,f'(x )单调递增,所以 x ∈()0,1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,x ∈()1,∞+时, f'(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意. ②当0 1 2a >1时,由(1)知f'(x )在10,2a ?? ??? 内单调递增, 所以x ∈()0,1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,x ∈11,2a ?? ?? ? 时,f'(x )>0,f (x )单调递增, 所以f (x )在x=1处取得极小值,不合题意. ③当a=12, 1 2a =1时,f'(x )在()0,1内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x ∈()0,∞+时,f'(x )≤0,f (x )单调递减,不合题意. ④当a>12 ,0< 1 2a <1时,x ∈1,12a ?? ??? ,f'(x )>0,f (x )单调递增, 当x ∈()1,∞+时,f'(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x )在x=1处取得极大值,符合题意. 综上可知a>12 . 10.(2016·四川高考理科·T21)设函数f (x )=ax 2 -a-lnx ,其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性. (2)确定a 的所有可能取值,使得f (x )>11 x x e --在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数). 【解题指南】(1)对f (x )求导,对a 进行讨论,判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性,判断最值,证明结论. 【解析】(1)由题意, f'(x )=2ax-212ax 1 x x -=,x>0. ① a ≤0时,2ax 2-1<0, f'(x )<0, f (x )在(0,+∞)上单调递减. ② a>0时,f'(x)=2a x x x ?? +- ????, 当x ∈? ? 时,f'(x)<0;当x ∈∞? +? ? ? 时,f'(x)>0. 故f(x) 在? ? 上单调递减, 在∞? +? ? ? 上单调递增. (2)原不等式等价于f(x)-1 x +e1-x>0在x∈(1,+∞)上恒成立. 一方面,令g(x)=f(x)-1 x +e1-x=ax2-lnx-1 x +e1-x-a, 只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可. 又因为g(1)=0,故g'(x)在x=1处必大于等于0. 令F(x)=g'(x)=2ax-1 x + 2 1 x -e1-x,g'(1)≥0,可得a≥1 2 . 另一方面, 当a≥1 2时,F'(x)=2a+ 2 1 x - 3 2 x +e1-x≥1+ 2 1 x - 3 2 x +e1-x= 3 3 x x2 x +- +e1-x, 因为x∈(1,+∞),故x3+x-2>0,又e1-x>0,故F'(x)在a≥1 2 时恒大于0. 所以当a≥1 2时,F(x)在x∈(1,+∞)上单调递增.所以F(x)>F(1)=2a-1≥0,a≥1 2 ,故g(x)也在x∈(1,+∞) 上单调递增.所以g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0. 综上,a≥1 2 . 11.(2016·北京高考理科·T18)设函数f(x)=xe a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值. (2)求f(x)的单调区间. 【解题指南】(1)利用 () () f22e2, f'2e1 ?=+ ? ? =- ?? 列方程组求解. (2)求导数后,再构造新的函数,二次求导. 【解析】(1)f'(x)=e a-x-xe a-x+b,由切线方程可得 () () a2 a2 f22e2b2e2, f'2e b e 1. - - ?=+=+ ? ? =-+=- ?? 解得a=2,b=e. (2)f(x)=xe2-x+ex,f'(x)=(1-x)e2-x+e. 令g(x)=(1-x)e2-x,则g'(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2). 令g'(x)=0得x=2. 当x<2时,g'(x)<0,g(x)单调递减; 当x>2时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以x=2时,g(x)取得极小值-1,也是最小值.所以f'(x)=g(x)+e≥e-1>0.所以f(x)的增区间为(-∞,+∞),无减区间. 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 导数的应用—单调性与极值的习题课 【复习目标】 1.理解导数在研究函数的单调性和极值中的作用； 2.理解导数在解决有关不等式、方程的根、曲线交点个数等问题中有广泛的应用。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 4.结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三 次的多项式函数的极大值、极小值，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 【重点难点】 ①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；④利用导数证明函数的单调性； ⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题； 【基础过关】1． 函数的单调性 ⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则) (x f 为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的 ； ② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺 序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区 间内的增减性. 2．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称 )(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '； ② 求方程)(x f '＝0的 ； ③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函 数y ＝)(x f 在这个根处取得 . 【基础训练】 例1．如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数, ()y f x =的图像可能是（ ） 例2. 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( ) 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 导数的应用（单调性与极值） 一、求函数单调区间 3－3x的单调递减区间是________________ x1、函数y＝ x的单调递增区间是_______________ －3)e(x)＝(x2、函数f 3、函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为() 11A．(0，) B．(，＋∞) aa1B．C．(－∞，) D．(－∞，a) a 4、函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________． 2x x5、求函数f(x)＝x(e－1)－的单调区间． 2 a6、已知函数f(x)＝＋x＋(a－1)ln x＋15a，其中a<0，且a≠－1.讨论函数f(x)的x单调性． 二、导函数图像与原函数图像关系 1 导函数正负决定原函数递增递减导函数大小等于原函数上点切线的斜率 导函数大小决定原函数陡峭平缓 1、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a， b]上的图象可能是() 2、若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是先增后减的函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是() 2x cos x)·，则函数y＝g(g在其任一点＋1(x，y)处切线斜率为(x)＝3、设曲线yx) (的部分图象可以为 ) 的图象，如图所示，则(xx)的导函数f′()f4、函数 ( 0是极小值点B．x＝x＝1是最小值点 (1,2)上单增在xf D 是极小值点＝．C x2 ．函数()三、恒成立问题2 123+bx+cxf(x)=x-b-∞，+∞）上是增函数，求.若f(x)1、已知函数在（2; 的取值范围 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 导数与单调性极值最基础值习题 评卷人得分 一.选择题(共14小题) 1.可导函数ｙ=ｆ（x）在某一点的导数值为０是该函数在这点取极值的() A．充分条件B．必要条件 C.充要条件?Ｄ．必要非充分条件 2.函数y＝1＋3ｘ﹣x3有( ) A．极小值﹣1，极大值3?B．极小值﹣2,极大值３ C.极小值﹣1，极大值１ D.极小值﹣2，极大值2 ３.函数f（x）＝ｘ3+ax2﹣３ｘ﹣9，已知f（ｘ)的两个极值点为x1，x２,则x1?ｘ2＝（） Ａ.9 B．﹣９C．1 Ｄ．﹣1 4．函数的最大值为（） A．?Ｂ．e２C．e D．ｅ﹣1 5.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点，则ａ=（) Ａ．﹣4 B．﹣2 Ｃ．4 Ｄ.2 6．已知函数y=x３﹣3x+c的图象与ｘ轴恰有两个公共点，则c=（) A.﹣2或2? B.﹣9或3 C.﹣１或1 D．﹣3或1 7．设函数f(ｘ）＝xeｘ,则() A.x＝１为f（x)的极大值点 B.ｘ＝１为f(x）的极小值点 C．x=﹣1为f（x)的极大值点?D．x=﹣１为f(x）的极小值点 8.函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值,则实数a的取值范围是（) A.(0，3）?Ｂ.(0，)?C.(0，+∞）?D．（﹣∞,3) ９.已知函数ｆ(x）＝x3+ax２+bx+ａ2在x=1处有极值１0,则f（2)等于（) Ａ.11或18?B．１1 C.1８?D．17或18 １０．设三次函数f(ｘ）的导函数为f′(x)，函数y=x?ｆ′(x)的图象的一部分如图所 示，则正确的是（） A.f（x）的极大值为，极小值为 B．ｆ(x）的极大值为,极小值为 C.f（ｘ)的极大值为f（﹣3),极小值为f(3） D．f（x）的极大值为f（3）,极小值为f(﹣3） 1１．若ｆ（x)=ｘ3+２ax2+3（a+２）x+１有极大值和极小值,则ａ的取值范围是( ）A．﹣a 《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 教学重点：利用导数判断函数单调性； 教学难点：利用导数判断函数单调性 教学过程： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， 1.3.1函数的单调性与导数 [学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次). 知识点一函数的单调性与其导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？ 答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减. 知识点二利用导数求函数的单调区间 利用导数确定函数的单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间. 知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y ＝f (x )在(a,0)和(0，b )内的图象“陡峭”，在(－∞，a )和(b ，＋∞)内的图象“平缓”. 题型一 利用导数确定函数的单调区间 例1 求下列函数的单调区间. (1)f (x )＝3x 2－2ln x ；(2)f (x )＝x 2·e － x ； (3)f (x )＝x ＋1x . 解 (1)函数的定义域为D ＝(0，＋∞).∵f ′(x )＝6x －2x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝33，x 2＝－ 3 3(舍去)，用x 1分割定义域D ，得下表： ∴函数f (x )的单调递减区间为? ???0， 33，单调递增区间为??? ?3 3，＋∞. (2)函数的定义域为D ＝(－∞，＋∞).∵f ′(x )＝(x 2)′e － x ＋x 2(e － x )′＝2x e － x －x 2e － x ＝e － x (2x －x 2)，令f ′(x )＝0，由于e － x ＞0，∴x 1＝0，x 2＝2，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： ∴f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f ′(x )＝1－1 x 2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1，用x 1，x 2分割定义域D ，得下表： 高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/ 【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解． 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞ 函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞ 二轮复习导数 （一） 2015. 02. 07 一、 运用导数研究函数的单调性 单调区间： （1） 求单调区间 （2）已知单调区间 （3）在某区间上不单调 运用导数求函数单调区间的思维流程图： 答题步骤： 第一步：求定义域； 第二步：求)(x 'f ； 第三步：令)(x 'f ＝０，求相应的导函数零点值；（是一次型还是二次型？是否有解？有几个解） 第四步：列表分析函数的单调性， （列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小） 第五步：由表格写结论。 例1：（2012西城一模）已知函数()e (1)ax a f x a x =?++，其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间. 解：2 (1)[(1)1] ()e ax x a x f x a x ++-'=，0x ≠．……………6分 ①当1-=a 时，令()0f x '=，解得1x =-． )(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……8分 当1a ≠-时，令()0f x '=，解得1x =-，或1 1 x a = +． ②当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+； 单调递增区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +．………10分 ③当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．…………11分 ④当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1 (0, )1 a +； 单调递增区间为(,1)-∞-，1 ( ,)1 a +∞+．…………13分 1）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，一元二次方程根的大小确定 。 例2：（2012-2013朝阳第一学期期末）已知函数1 ()()2ln ()f x a x x a x =--∈R ．求函数()f x 的单调区间. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．222 122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-= （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立， 则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………4分 （2）当0a >时，244a ?=-， （ⅰ）若01a <<， 由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a +>；………………5分 由()0f x '<，即()0h x 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 导数讨论含参函数的单调性 【思想方法】 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 【典例讲解】 例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调 增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数， 即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号) 小题快练 1．(2013全国Ⅰ卷理)设曲线1 1 x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．1 2 - D ．2- 2．(2013全国Ⅰ卷改编)设函数2 )1()(x e x x f x --=，则函数()f x 的单调递增区间 为 ,单调递减区间为 . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时, ()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=- 令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表: 右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. 3.(2013湖北理)若f(x)=2 1ln(2)2 x b x - ++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（C ） A.[-1，+∞] B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，-1） 4.已知函数x bx ax x f 3)(2 3 -+=在1±=x 处取得极值. （1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数f (x )的极大值还是极小值； （2）过点)16,0(A 作曲线y= f (x )的切线，求此切线方程. （1）解：323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即 ?? ?=--=-+. 0323, 0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(2 3 -+=-='-=x x x x f x x x f . 令0)(='x f ，得1,1=-=x x . 若),1()1,(∞+--∞∈Y x ，则0)(>'x f ，故 f (x )在)1,(--∞上是增函数， f (x )在),1(∞+上是增函数. 若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故f (x )在)1,1(-上是减函数. 所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值. （2）解：曲线方程为x x y 33 -=，点)16,0(A 不在曲线上. 设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03 003x x y -=. 因)1(3)(2 00-='x x f ，故切线的方程为))(1(3020 0x x x y y --=- 注意到点A （0，16）在切线上，有 )0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得83 0-=x ，解得20-=x . 所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x . 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数.知识点一-导数与函数的单调性
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