高三月考数学(12月份带答案2014.12.30 )
莱钢高中2014-2015学年度12月教学质量检测
高三数学（文）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项 是符合题目要求的.
1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)
2. 设全集U=R ，集合A={|21x
x >}，B={|15x x -≤≤}，则B A C U ?等于( ) (A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5] 3. 已知命题p 、q ，“p ?为真”是“p q ∧为假”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4. 若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )
(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+=
(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+= 5. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( )
(A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014
6.高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方 法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样 本中，则样本中还有一个学生的编号为( ) (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 21
7. 函数||
x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下
的图象可能是（）
8. 三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为( )
(B) 32π (C) 3π (D) 12π
9. 对任意实数a ，b 定义运算“?”：,1,,1.ba
b a b a a b -≥??=?
-<
?设2()(1)(4)f x x x =-?+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )
(A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1) 10.如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2
=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛
物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )
(A)
13
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则
cos 2α= ．
12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
13．若x 、y 满足条件210
2101x y x y y x --≤??
++≥??≤+?
，则z =x +3y 的最大值是 .
14．已知a>b>0,ab=1，则22
a b a b
+-的最小值为 ．
15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3
)x ∈
时，2()log (1)f x x =- 给出以下4个结论：
①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．(本小题满分l2分) 已知函数()sin cos f x x x =+．
(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；
(Ⅱ)在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ．
17．(本小题满分12分)
如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=
3
π．
(I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ； (II)若AE=AB=2，求三棱锥B —CDE 的体积．
18. (本小题满分l2分)
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．
问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?
19．(本小题满分12分)
已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足n n n n na a n b -+=++11)1(3，且
13b =．
(I)求n a ，n b ；
(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．
20．(本小题满分13分)
已知函数3()f x x x =- (I)判断
()
f x x
的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；
(III)令2()ln
g x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值
范围；
21．(本小题满分14分)
已知双曲线C ：22
221x y a b
-=的焦距为0x =．以双
曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点． (I)求椭圆E 的方程；
(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =，求22||||GA GB +的取值范围； (Ⅲ)若椭圆上点P 满足|PA|=|PB|，求证222
112
||||||OA OB OP ++为定值.
2014莱钢高中高三第二次月考（文数答案）
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：1.A2.C3.A4.D5.A.6.C7.D8.C9.D10.C 二、填空题
11.7
25
-
12．12 13．11 14．．123 三、解答题
16．(本小题满分l2分)
(Ⅱ)由题意()sin cos ,f C C C =+
//m n ，()10a f C b ∴?-?=，即()sinC cosC a b =+……………………………………7分
由正弦定理：
sin sin a b
A B
=，
得：()sinA sin sin cos sinBsinC sinBcosC B C C =+=+，………………………………8分 在ABC ?中，()sin sin sinBcosC cosBsinC,A B C =+=+
sinBsinC cosBsinC,∴=………………………………………………………………………10分
又sin 0,sinB cosB C ≠∴=，…………………………………………………………………11分
tan 1B ∴=，又0,4
B B π
π<<∴=
.……………………………………………………12分
考点：1、三角函数的性质；2、正弦定理；3、向量共线的条件. 17．(本小题满分12分)
又
//FG CD
所以四边形CDFG 为平行四边
形，……………………………………4分
//DF CG ,……………………………………
…………………………5分 又DF ?/平面EBC
CG ?平面EBC //DF ∴平面
EBC ………………………………………………………………6分
(II)等腰梯形ABC 中, 作CH AB ⊥于H ,则1
2
BH =
,
在Rt BHC ?中,60ABC ∠=,则
13
tan 602CH =
=
9分 又EA ⊥平面ACD , 所以,三棱锥B CDE -的体积
1
3
B CDE E BD
C BC
D V V S EA --?==??……………………10分
=11123226
???
=
12分
18. (本小题满分l2分)
19．(本小题满分12分)
试题分析：(I) 由21n n S a n =+-构造另一个等式211(1)1,n n S a n --=+-- 两式相减,根据n S 与n a 的关系可求数列{}n a 的通项公式n a ,再将所得n a 的表达式代入到
113(1)n n n n b n a na ++?=+- 中即可求数列{n b } 的通项公式;
20．(本小题满分13分) 试题分析：(I) ()()21f x x x
x ?=
=-，先求其定义域：()0,+∞，在其定义域上由()x ?导数符号判断的的单调性.
设()2
(2)1h x x a x =-++，
则()0h x =有两个不同的根12,x x ，且一根在10,e ?? ???
内, 不妨设11
0x e
<<，由于121x x ?=，所以,2x e >………………………………………………11分
由于()01h =,则只需10h e ??< ???
，即
()211210,a e e
-++<………………………………12分
解得:1
2a e e
>+-……………………………………………………………………………13分
21．(本小题满分14分)
()11,B x y --,由22
112133
x y +=,将22GA GB +表示成1x 的函数,从而求出它的取值范围. (Ⅲ) ①若,A B 在椭圆的短轴顶点上，则点P 在椭圆的长轴顶点上,,OA OB b OP a ===可得
2
2
2
1122OA
OB
OP
+
+
=;②若,A B 在椭圆的长轴顶点时，则点P 在椭圆的短轴顶点上,
,OA OB a OP b ===,可得2
2
2
1122OA
OB
OP
+
+
=③当点,,A B P 不是椭圆顶点时，设
直线l 的方程为()0y kx k =≠,由22,213
3y kx x y =???+
=??解得：2
22
1122
33,1212k x y k k ==++于是写出
2
2
2
112OA
OB
OP
+
+
的表达式并化简可得定值.
=2
111
3
x +…………………………………………………………………………………8分
又
[]22111111120,0,3,333
x x x ?∈-∴∈∴≤+≤? ∴2
2
GA GB +的取值范围是1120,33??
????
.………………………………………………9分
222112
OA OB OP
∴++=()()()()2
22
222
2212122313131k k k k k k +++++=+++
综上
2
2
2
112OA
OB
OP
+
+
为定值2.………………………………………………………………
14分
考点：1、双曲线、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的位置关系.