参数方程

第一节曲线的参数方程

1.定义：曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()(),,

x f t y g t ?=??????=??①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程①叫这条曲线的参数方程，联系变数,x y 的变数t 叫做参变数，简称参数。直接给出点的坐标,x y 间关系的方程叫做普通方程。说明：（1）参数是联系变数,x y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义得变数；（2）同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不同；（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。

2.参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程。将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系，例如()x f t =，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数t 的关系()y g t =，那么()()x f t y g t ?=??=??

就是曲线的参数方程。典例一：将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线

（1）134x t y t =-??=?（t 为参数）；（2）14cos 24sin x t y t

=+??=-+?（t 为参数）变式一：将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线

（1）11x t t y t t ?=+????=-??（t 为参数）；（2）2223161k x k k y k ?=??+??=?+?

（k 为参数）

第二节圆锥曲线的参数方程

常见曲线的参数方程

1.圆()2220x y r r +=>的参数方程为cos sin x r y r θθ

=??=?（θ为参数），参数θ的几何意义：半径绕原点逆时针旋转转过的角度，通常取02θπ≤<，并且把θ叫做旋转角。

2.圆()()()2220x a y b r r -+-=>的参数方程为cos sin x a r y b r θθ=+??=+?

（θ为参数），参数θ的几何意义：θ是旋转角。

3.椭圆()222210x y a b a b +=>>的参数方程为cos sin x a y b ??

=??=?（?为参数），参数?的几何意义：?是离心角，通常取02?π≤<。

4.抛物线()2

20y px p =>的参数方程为222x pt y pt ?=?=?（t 为参数），参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

说明：一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围等问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了。

典例二：写出下列参数方程对应圆锥曲线的普通方程

（1）2cos 2sin x y θθ=??=?（θ为参数）；（2）13cos 3sin x y θθ=+??=?（θ为参数）；（3）3cos sin x y ??

=??=?（?为参数）变式二：写出下列参数方程对应圆锥曲线的普通方程

（1）222x t y t

?=?=?（t 为参数）；（2）22cos 12sin x y θθ=+??=+?（θ为参数）；（3）2cos 3sin x y ??=??=?（?为参数）

第三节直线的参数方程

过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程的标准形式是00cos sin x x t y y t αα=+??=+?

（t 为参数，t 可正、可负、可为零）。

重要结论：若12,P P 是l 上的两点，其对应参数分别为12,t t ，则：

（1）12,P P 两点的坐标分别是()()01010202cos ,sin ,cos ,sin .x t y t x t y t αααα++++（2）011022

,P P t P P t ==（若0t >，则点P 在0P 上方；若0t <，则点P 在0P 下方；若0t =，则点P 与点0P 重合）.

（3）1212.

P P t t =-（4）若线段12PP 的中点P 所对应的参数为t ，则122

t t t +=

，中点P 到定点0P 的距离1202t t PP +=.（5）若0P 为线段12PP 的中点，则120.

t t +=（6）直线的参数方程的主要应用是解决直线与曲线相交时，交点到直线上定点的距离以及弦长等问题.

典例三：已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于,A B 两点，求线段AB 的长和点()1,2M -到,A B 两点的距离之积。变式三：在直角坐标系中，直线l 的参数方程为232252x t y t ?=-????=+??

（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；

（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()

3,5，求PA PB +.