二次函数中寻找等腰三角形问题

二次函数中寻找等腰三角形问题

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，

直线C，交y轴于点G,且∠AGO=30°。

(1)点C、D的坐标

(2)求顶点在直线C、D的抛物线的解析式；

(3)将(2)中的抛物线沿直线平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点

E。平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

2．如图1，梯形A B C D中，A D∥B C，5

B C=．一个动点

AB AD D C

===，11

P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段B C方向运动，过点P作PQ BC

⊥，交折线段BA AD

-于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线B C上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（0

t>）．

（1）当正方形PQMN的边M N恰好经过点D时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△B C D的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

（3）如图2，当点Q在线段A D上运动时，线段PQ与对角线B D交于点E，将△DEQ 沿B D翻折，得到△D E F，连接P F．是否存在这样的t ,使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

3．已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（－3，0），并且当两直线同时相交于

y正半轴的点C时，恰好有l

1⊥l

2

，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l

2

交于点

K，如图所示．

（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；

（2）抛物线的对称轴被直线l

1、抛物线、直线l

2

和x轴依次截得三条线段，问这三条

线段有何数量关系？请说明理由；

（3）当直线l

2

绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标：

4．如图，已知二次函数的图象经过点A（3，3）、B（4，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；

（2）当点P在直线OA的上方时，用含m的代数式表示线段PC的长，并求线段PC的最大值；

（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，请直接写出所有P的坐标；如果不存在，请说明理由．

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（14,0）和C（0，－8），对称轴为x＝4．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系中，二次函数2

=++的图象与x轴交于A（－3，0），B

y ax bx2

（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

7．如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）

（1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF 的形状．

8．在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．

（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物

线解析式；

（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段

AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．

①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；

②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，ABO=30°．动点P在线段AB上

从点A向终点B设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C 在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

10．如图,

y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的

坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为以AC为腰的等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

参考答案

1．【解析】（1）根据题意可得点C 的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C 的横坐标，继而

也可得出点D 的坐标；

（2）由题意可得点C 和点D 关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为，再

由抛物线的顶点在直线，可得出顶点坐标为()

，设出顶点式，代入点C 的

坐标即可得出答案．

（3）分EF=EG 、GF=EG 、GF=EF 三种情况分析。 解：(1)C(4，

)，D(1，

)；

(2)顶点()，解析式；

(3)EF=EG

GF=EG

GF=EF

2．（1）4t = 即4秒时，正方形PQMN 的边M N 恰好经过点D .

（2

时，作FR EP

⊥，垂足为R

3．解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，

又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴点C的坐标是

由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入

函数解析式得

所以，抛物线的函数解析式为；

（2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．

（3）当点M的坐标分别为时，△ MCK为等腰三角形．

（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），

又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，

∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，

∴△CGK为正三角形

∴当l

2与抛物线交于点G，即l

2

∥AB时，符合题意，此时点M

1

的坐标为（﹣2，），

（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，

∴当l

2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M

2

坐标为（﹣1，），

（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，

综上所述，当点M的坐标分别为时，△MCK为等腰三角形．4．（1）设y=ax（x﹣4），把A点坐标（3，3）代入得：a=﹣1，

函数的解析式为y=﹣x2+4x，…………………………………………………4分

（2）0＜m＜3，PC=PD﹣CD=﹣m2+3m，=﹣+，……………… 6分

∵﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，

当D（，0）时，PC

max

=，…………………………………………………8分

（3）P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．………………………………………………………………………12分

（3）简单解答过程如下：

当0＜m＜3时，仅有OC=PC，∴，解得，

∴；

当m≥3时，PC=CD﹣PD=m2﹣3m，OC=，

由勾股定理得：OP2=OD2+DP2=m2+m2（m﹣4）2，

①当OC=PC时，，

解得：，

∴；

②当OC=OP时，，

解得：m

1=5，m

2

=3（舍去），

∴P（5，﹣5）；

③当PC=OP时，m2（m﹣3）2=m2+m2（m﹣4）2，

解得：m=4，

∴P（4，0），

存在P的坐标是（3﹣，1+2）或（3+，1﹣2）或（5，﹣5）或（4，0）．

5．（1）；

（2）存在，理由如下：

综上所述：存在5个M点，即

6．【解析】解：（1）由抛物线过A（－3，0），B（1，0），则

，解得。

∴二次函数的关系解析式为。

（2）设点P坐标为（m，n），则。

连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N。

PM =，，AO=3。

当时，，所以OC=2。

111

∵＜0，∴函数有最大值，当时，有最大值。

此时。

∴存在点，使△ACP的面积最大。

（3）存在。点。

7．【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为坐标原点，∴A、D关于抛物线的对称轴对称。∵E是AB的中点，∴O是矩形ABCD对角线的交点。

又∵B（2，1），∴A（2，﹣1）、D（﹣2，﹣1）。

∵抛物线的顶点为（0，0），∴可设其解析式为：y=ax2，则有：4a=﹣1，a=﹣。

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2。

（2）①证明：由抛物线的解析式知：P（a，﹣a2），而R（a，1）、F（0，﹣1），

则：PF=

PR=，

∴PF=PR。

②∵RF=，∴若△PFR为等边三角形，则由①得RF=PF=PR，得：

=，即：a4﹣8a2﹣48=0，得：a2=﹣4（舍去），a2=12。

∴a=±2，﹣a2=﹣3。

∴存在符合条件的P点，坐标为（2，﹣3）、（﹣2，﹣3）。

③同①可证得：QF=QS。

在等腰△SQF中，∠1=（180°﹣∠SQF）。

同理，在等腰RPF中，∠2=（180°﹣∠RPF）。

∵QS⊥BC、PR⊥BC，∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°。

∴∠1+∠2=（360°﹣∠SQF﹣∠RPF）=90°

∴∠SFR=180°﹣∠1﹣∠2=90°，即△SFR是直角三角形。

（1）根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x 轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式。

（2）①首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比较即可得证。

②首先表示RF的长，若△PFR为等边三角形，则满足PF=PR=FR，列式求解即可。

③根据①的思路，不难看出QF=QS，若连接SF、RF，那么△QSF、△PRF都是等腰三角形，先用∠SQF、∠RPF表示出∠DFS、∠RFP的和，用180°减去这个和值即可判断出△RSF的形状。

8．【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。

∵A（—1，0）B（3，0）

∴可设过A、B、C三点的抛物线为。

又∵C（0，）在抛物线上，∴，解得。

∴经过A、B、C三点的抛物线解析式即。

（2）①当△OCE∽△OBC时，则。

∵OC=，OE=AE—AO=x－1，OB=3，∴。∴x=2。

∴当x=2时，△OCE∽△OBC。

②存在点P。

由①可知x=2，∴OE=1。∴E（1，0）。此时，△CAE为等边三角形。

∴∠AEC=∠A=60°。

又∵∠CEM=60°，∴∠MEB=60°。

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称。

∵C（0，），∴M（2，）。

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=。∴EN=1。

∴。

若△PEM为等腰三角形，则：

ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P(1，2)或P（1，－2）。

ⅱ）当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P(1，2) 。

ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P(1，)

∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，2）或（1，）时，

△EPM为等腰三角形。

（1）由已知，根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值可求出OC和AB的长，从而求得点B、C的坐标。设定交点式，用待定系数法，求得抛物线解析式。

（2）①根据相似三角形的性质，对应边成比例列式求解。

②求得EM的长，分EP=EM，EM=PM和PE=PM三种情况求解即可。9．解：（1）当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时，

MP⊥AB，∵∠A=60°，∴，∴2

t。（2分）

=

（2）∵

又∵∠B=30°，∠PMB=600°，∴∠BPM=90°

tan∠

∴t

=，即等边△PMN的边长为t2

16-.（4分）

16-

PM2

（3）①当1

≤t时，如图

0≤

，∴t

8-

=，

MO4

∴t

=.

ON2

8+

过F作FQ⊥0B于Q，则QN=4，∴EF=OQ=t2

4+.

等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为四边形EFNO的面积，设为S

1，

随t的增大而增大，

0，∴S

1

∴t=1时，，∴S

（7分）

1

②当1＜t＜2时，如图

在△EGK 中，EK=44-t ，

∴S △GEK

∴等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为四边形EFNO 的面积与△EGK 的面积差，设为S 2，

时，2S 的最大值为（9分）

当2=t 时，

S （10分）

（4）过R 作RH ⊥OB 于H ，HN=4，

OH=t 24+，OD=12，DH=t 28-， ①OR=OD=12时，2

2

2

OR RH OH

=+，

，0 t ，∴2，不合题意舍去。

②DR=OD=12时，2

2

2

DR RH

DH

=+，

20，都不合题意舍去。

③OR=DR 时，H 为CD 中点，OH=6，∴624=+t ，∴1=t 。 综上所述，1=t 时，△ODR 是等腰三角形。（12分）