2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的

拐点个数为（）

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、设21123x x y e x e ??

=+- ??

?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（）

（A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c ===

3、若级数

1

n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1

1n

n n na x ∞

=-∑的：

（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点

（C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点

4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则

(,)D

f x y dxdy =??

（A ）

1

2sin 21

4

2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π

θπθ

θθθ??

（B ）24

(cos ,sin )d f r r rdr π

πθθθ?

（C ）

13sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π

θπθ

θθθ??

（D

）34

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ?

5、设矩阵21111214A a a ?? ?= ? ???，21b d d ?? ?

= ? ???

，若集合{1,2}Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多个

解的充分必要条件为

（A ）,a d ?Ω?Ω （B ）,a d ?Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω?Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω

6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2

2

2

1232y y y +-，其中

123(,,)P e e e =，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为

（A ）2

2

2

1232y y y -+ （B ）2

2

2

1232y y y +- （C ）2

2

2

1232y y y -- （D ）2

2

2

1232y y y ++ 7、若,A B 为任意两个随机事件，则

（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥

（C ）()()()2P A P B P AB +≤

（D ）()()

()2

P A P B P AB +≥

8、设随机变量X,Y 不相关，且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=???? （A ）-3 （B ）3 （C ）-5 （D ）5

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、2

0ln cos lim

x x

x →=

10、2-

2

sin ()1cos x

x dx x

ππ

+=

+?

11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2z

e xyz x x ++=确定，则(0,1)

dz

=

.

12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(23)x y z dxdydz Ω

++???=

13、n 阶行列式2002-12020

022

0-12 =

14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ，则(0)P XY Y -<=

.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++?，3()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求a ，b ，k 值。 16、（本题满分10分）

设函数在()f x 定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式. 17、（本题满分10分）

已知函数xy y x y x f ++=),(，曲线3:2

2

=++xy y x C ，求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数. 18、（本题满分10分）

(Ⅰ)设函数(),()u x v x 可导，利用导数定义证明

[()()]'='()()()()'u x v x u x v x u x v x +

(Ⅱ)设函数12(),()...()n u x u x u x 可导，12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.

19、（本题满分10分）

已知曲线L

的方程为,

z z x ?=??=??

起点为A

，终点为(0,B ，计算曲线积

分2222()()()L

I y z dx z x y dy x y dz =

++-+++?

20、（本题满分11分） 设向量组

123,,ααα是3维向量空间3 的一个基，11322k βαα=+，222βα=，

313(1)k βαα=++。

（Ⅰ）证明向量组123,,βββ是3

的一个基；

（Ⅱ）当k 为何值时，存在非零向量ξ在基123,,ααα与基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的ξ。

21、（本题满分11分）

设矩阵02-3-1331-2A a ?? ?=- ?? ??相似于矩阵1-2000031B b ??

?= ?

? ??

. （Ⅰ）求,a b 的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P ，使得1

P AP -为对角阵.

22、（本题满分11分） 设随机变量X 的概率密度为

-2ln 20

()=00x x f x x ?>?≤?

对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为观测次数. （Ⅰ）求Y 的概率分布； （Ⅱ）求EY . 23、（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为

11(;)=10

x f x θθθ

?≤≤?

-???其他

其中θ为未知参数，12.....n X X X ，为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求θ的矩估计. （Ⅱ）求θ的最大似然估计.

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一答案

一、 选择题（答案） （1）【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★

【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). （2）【答案】(A)

【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】

211,23

x x

e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-

（3）【答案】(B)

【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为

1

n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1

1n

n n a x ∞

=-∑的条件收敛点，进而得

()11n

n n a x ∞

=-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故

()

1

1n

n n na x ∞

=-∑的收敛区间仍为()0,2，

因而x =3x =依次为幂级数()1

1n

n n na x ∞

=-∑的收敛点、发散点.

（4）【答案】(D)

【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★

【详解】由y x =得，4

π

θ=

；由y =得，3

π

θ=

由21xy =得，2

2cos sin 1,

r r θθ==

由41xy =得，2

4cos sin 1,

r r θθ==

所以

3

4

(,)(cos ,sin )D

f x y dxdy d f r r rdr π

πθθθ=???

（5）【答案】(D)

【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★

【详解】[]()()

()()2

2111111

11

,12011

11400

1212A b a d a d a d a a d d ??

???

?

??=??→--???

?

????----????

Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ?=< 1a ?=或2a =且1d =或2d =

（6）【答案】(A)

【考点】二次型 【难易度】★★

【详解】由x Py =，故222

123

()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且：200010001T P AP ????=????-??

100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ????

????====-????????-????

所以

222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+，故选(A) （7）【答案】(C) 【考点】

【难易度】★★

【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥

)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()

()2

P A P B P AB +∴≤

故选

（C ）

（8）【答案】(D) 【考点】

【难易度】★★★ 【详解】

()()()()()()()()()222

22225

E X X Y E X XY X E X E XY E X D X E

X E X E Y E X ??+-=+-=+-??????

=++-=

二、填空题（答案） （9）【答案】12

-

【考点】极限的计算 【难易度】★★

【详解】2

222200001ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2

x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- （10）【答案】2

4

π

【考点】积分的计算 【难易度】★★

【详解】2

2

2

0-2

sin ()21cos 4x x dx xdx x π

π

ππ+==

+?? （11）【答案】

【考点】隐函数求导 【难易度】★★

【详解】令(,,)cos 2z

F x y z e xyz x x =+++-，则1sin x F yz x '=+-，y F xz '=，z F xy '=，

又当0,1x y ==时，0z =，所以(0,1)1x z F z x F '?=-=-'?，(0,1)0y z F z

y F '?=-='

?，因而(0,1)

dz

dx =-

（12）【答案】

1

4

【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★

【详解】由轮换对称性，得

x +2y +3z ()dx dydz W

òòò=6zdx dydz W

òòò=6zdz 01

òdx dy D z

òò

其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面，其面积为

12

1-z ()2

.所以

x +2y +3z ()dx dydz W

òòò=6z dx dydz W

òòò=6z ×

121-z ()2dz =0

1

ò3z 3-2z 2

+z ()dz =0

1ò14

（13）【答案】1

2

2n +-

【考点】行列式的计算

【难易度】★★★

【详解】按第一行展开得

=2n +1-2

（14）【答案】

1

2

【考点】

【难易度】★★

【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N ，~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立

1~(0,1)X N ∴-，}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<

}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><，11111

22222

=?+?=

三、解答题（答案） （15）【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】★★★

【详解】()ln(1)sin f x x a x bx x =+++?

()()23333233!x x x x a x x bx x x οο????=+-+++-+????????

()()233 123a a a x b x x x ο??

=++-+++ ???

3()()f x g x kx ∴=与是等价无穷小 1+0110 22133a a a b b a k k ????==-??

??

∴-+=?=-????

??

==-????

（16）【考点】微分方程

【难易度】★★★ 【详解】如下图：

0x x =处的切线方程为l ：000()()()y f x x x f x '=-+

l 与x 轴的交点为：0y =时，000()()f x x x f x =-

'，则000()

()

f x AB x x f x ==-'， 因此，000011()

()()422()

f x S AB f x f x f x =

?=='.即满足微分方程：218y y '=，解得：

11

8

x c y =-+. 又因(0)2y =，所以12c =

，故8

4y x

=-. （17）【考点】方向导数，条件极值

【难易度】★★★

【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，

故

()x y y x gradf ++=1,1),(

故),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为

()22)1(1x y +++，其中y x ,满足322=++xy y x ，

即就求函数22)1()1(x y z +++=在约束条件0322=-++xy y x 下的最值. 构造拉格朗日函数=),,(λy x F )3()1()1(2222-++++++xy y x x y λ

令???

??????=-++=??=+++=??=+++=??0302)1(202)1(222xy y x F x y y y F y x x x F

λ

λλλλ可得)1,1(),1,1(--)2,1(),2,2(,--

其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(-==-=--=z z z z 综上根据题意可知),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为3. （18）【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】()

I

()()()()()()()()[]

()()'

00

''()

lim ()()() lim

()()

x x u x x v x x u x v x u x v x x

u x x u x v x x u x v x x v x x

u x v x u x v x →→+?+-??=????+-?++?+-????==?+?

()∏

[]{}

[][][]{}

'

'12'

'1212'

'12123'''121212()()()() ()()()()()() ()()()()()()() ()()()()()()()()n n n n n n n n f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u =?=?+?=?+??=?+?++?

()

x

（19）【考点】曲线积分的计算 【难易度】★★★

【详解】曲线L

的参数方程为cos ,

,cos ,

x y z θθθ=??

=??=?

θ从2π到2π-

2222()()()L

I y z dx z x y dy x y dz =++-+++?

22

22

23222

22

20

2

cos )sin (cos 2sin )sin 1sin 2sin sin 2sin d d d d π

ππ

πππ

πθθθθθθθθθθθθθ

θθθθ-

-

-

??=-++-+????=+-- ??

?====???

（20）【考点】线性无关，基下的坐标

【难易度】★★★

【详解】（Ⅰ）123(,,)βββ=123201(,,)020201k k ααα?? ? ? ?+?

?

因为2

01

2

10

202

4021

201

k

k k

k ==≠++，

所以123,,βββ线性无关，123,,βββ是3

的一个基。

（Ⅱ）设201020201P k k ??

?= ? ?+??

，P 为从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵，又设ξ在基

123,,ααα下的坐标为123(,,)T x x x x =，则ξ在基123,,βββ下的坐标为1P x -，

由1

x P x -=，得Px x =，即()0P E x -=

由1

01

1

10

100220P E k k

k k

k

-==

=-=，得0k =，并解得10,1x c c -??

?= ? ???

为任意常数。

从而ξ13,c c c αα=-+为任意常数。 （21）【考点】相似矩阵，相似对角化 【难易度】★★★

【详解】由02313312A a -??

?=-- ?

?

-??

相似于12000031B b -?? ?= ? ??? 则0311

023120,1330012031a b b a ++=++??

--??--=?

??

解得4,5a b ==

223

()||133(1)(5)0124A f E A λλλλλλλ-=-=-=--=--

当121,λλ==123123()123000123000E A λ--????

? ?

-=-→ ? ? ? ?--????

特征向量12231,001ξξ-????

? ?== ? ?

? ?????

，

当35231231015,()123121011121523000E A λλ-??????

? ? ?

=-=→-→ ? ? ? ? ? ?--??????

则特征向量311,1ξ-?? ?=- ? ???所以123231(,,)101,011P ξξξ--?? ?==- ? ???得1100010005P AP -?? ?= ?

???

（22）【考点】

【难易度】★★★★ 【详解】{}23

132ln 8x P x dx +∞

->=

=

?

（I ）{}122

2211

717()()

(1)()(),2,3,4 (88)

88

k k k P Y k C k k ---===-=

（∏）2

22221717

(1)()()(1)()88648k k K k EY k k k k +∞

+∞--===-=-∑∑

设级数2

3221112()(1)646464(1)k k k k S x k k x x x +∞+∞-==''??=-==???-??

∑∑ 7()168S =所以7

()168

EY S == （23）【考点】 【难易度】★★★ 【详解】由题可得（I ）

21

111

11|1122

112

12n

n

i i i i x x EX dx x x n n θθθ

θθθθ∧

∧

==+==?=

--+=?=-?∑∑

（∏）联合概率密度

121

(,,,;),1(1)

n i n

f x x x x θθθ=

≤≤- (1)

ln ln f n θ-=-ln 01d f n

d θθ

=>-，故取 {}12min ,,,n x x x θ∧

=