重庆八中2013-2014学年高一上学期期末考试 数学试题 Word版含答案

重庆八中2013—2014学年度（上）期末考试高一年级

数 学 试 题

命题：桂本祥 罗毅 审核：曾昌涛 打印：罗毅 校对：陈方玉

数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集={1,2,3,4,5,6}I ，集合={1,2,4,6}A ，={2,4,5,6}B ，则()I A B =e

（A ）{1,2,4,5,6}

（B ）{1,3,5}

（C ）{3}

（D ）Φ

2. 下列关于向量的命题，正确的是

（A ）零向量是长度为零，且没有方向的向量 （B ）若b = -2a （a ≠0），则a 是b 的相反向量 （C ）若b = -2a ，则|b |=2|a |

（D ）在同一平面上，单位向量有且仅有一个 3. 若sin()sin()sin()1παπαα++-+-=，则sin =α （A ）1

（B ）1

3

（C ）13

-

（D ）-1

4. 已知向量a =(1, 2)，b =(x , -6)，若a //b ，则x 的值为 （A ）-3

（B ）3

（C ）12

（D ）-12

5. 已知角θ为第四象限角，且3

tan =4θ-，则sin cos θθ+= （A ）

15

（B ）75 （C ）15

-

（D ）7

5

-

6.要得到函数2sin(2)4

y x π

=+的图象，只需将函数2sin y x =的图象上所有点

（A ）向左平移8π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的1

2

倍（纵坐标不变） （B ）向左平移4π

个单位长度，再把横坐标缩短为原来的12

倍（纵坐标不变） （C ）向左平移8

π

个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） （D ）向左平移

4

π

个单位长度，再把横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） 7. 已知4log 5a =，12

4b -=，sin 2c =，则a 、b 、c 的大小关系是 （A ）b c a <<

（B ）c a b <<

（C ）a b c <<

（D ）c b a <<

8. 已知()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x >时，3()24x f x x =+-．若存在0x I ∈，

使得0()0f x =，则区间I 不可能．．．是 （A ）(2,1)-- （B ）(1,1)- （C ）(1,2) （D ）(1

0)-， 9. 函数1122

11()tan()log ()|tan()log ()|4242f x x x x x π

π=+----在区间1

(,2)2

上的图像大致为

（A ） （B ） （C

） （D ）

10．如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A 在劣弧PQ （包含端点）上运动，其中60POx ∠=，OP OQ ⊥，作AH BC ⊥于H ．若记AH xAB =

yAC +，则xy 的取值范围是

（A ）1

(0,]4

（B ）11[

,]164

（C ）13[

,]1616

（D ）31

[,]164

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(3,4)B -，则2OA OB +的坐标为 ． 12. 函数3

)

4lg(--=x x y 的定义域是 ．

13.

2cos 202

sin 503

-=- ．

14. 若实数x 满足方程(32)(12)4x x -+-=，则x = ．

O 1

2

1

2 x

y 12

y O 1

2

1 2 x

y 12

O 1

2 1

2 x

12

O 1

2

1

2 x

12

15. 已知定义在R 上的函数()f x 、()g x 满足：对任意,x y R ∈有()()()f x y f x g y -=

()()f y g x -且0)1(≠f ．若)2()1(f f =，则=+-)1()1(g g ．

三.解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

已知二次函数)(x f y =满足(0)(1)1f f ==，且13

()24

f =，求： （Ⅰ）)(x f 的解析式； （Ⅱ）)(x f 在(0,1)上的值域．

17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

已知向量a 、b 满足：|a |=1，|b |=2，且a 、b 的夹角为60． （Ⅰ）求a +b 的模；

（Ⅱ）若λa -6b 与λa +b 互相垂直，求λ的值．

18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

已知函数3

()cos (3cos sin )2

f x x x x =--．求： （Ⅰ）函数)(x f y =的对称轴方程； （Ⅱ）函数)(x f y =在区间[0,]2π

上的最值．

19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知3sin(

)cos(

)8

2

8

2

4π

α

π

α

+

+

=

,(,)42ππα∈，3cos()45πβ-=，(,)2

π

βπ∈． （Ⅰ）求)4

cos(π

α+

的值；

（Ⅱ）求cos()αβ+的值．

20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知函数()lg f x kx =，()()lg 1g x x =+． （Ⅰ）当=1k 时，求函数()()y f x g x =+的单调区间；

（Ⅱ）若方程()2()f x g x =仅有一个实根，求实数k 的取值集合．

21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

设(,)P x y 是角θ的终边上任意一点，其中0x ≠，0y ≠，并记22r x y =+．若定义

cot x y θ=

，sec r

x

θ=，csc r y θ=． （Ⅰ）求证222222sin cos tan cot sec +csc θθθθθθ+--+是一个定值，并求出这个定值；

（Ⅱ）求函数()|sin cos tan cot sec +csc |f θθθθθθθ=++++的最小值．

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数学试题参考答案

一、选择题 BCDAA BADAC

10 析：易知(1,0)B ，(1,0)C -，由三角函数定义，可设(cos ,sin )A θθ，则(cos ,0)H θ，

5[,]36ππ

θ∈．(0,sin )AH θ=-，(1cos ,sin )AC θθ=---，(1cos ,sin )AB θθ=--，由

AH x AB y AC

=+

0(1

c o s )(1c o s s i n s i n c o s x y x y θθθθθ=--+-???-=--?

1cos 21cos 2x y θ

θ

-?=????+?=??

，21cos 1cos 1=sin 224xy θθθ-+=?，

由5[,]36ππθ∈，知xy ∈13[,]1616，选C ．

二、填空题 11.(1,8)-

12. (,3)(3,4)-∞ 13.

12

14.

2log 3-

15． 1 析：令

v

u x -=，则

)()]()()()([)()()()()()(x f v f u g v g u f u f v g u g v f u v f x f -=--=-=-=-

∴)(x f 为奇函数．)1()1()1()1()1()1()1()1()]1(1[)2(f g g f f g g f f f +-=---=--=

=)]1()1()[1(g g f +-．又∵0)1()2(≠=f f ，∴1)1()1(=+-g g ．

三、解答题 16.（

Ⅰ）由待定系数法可求得

2()1f x x x =-+ ……………………………………………………..…………6分

（Ⅱ）21

3()(),(0,1)2

4

f x x x =-+∈；当21=x 时，min 3

()4f x = ；又(1)1f =，

综

上

，

)(x f 在(0,1)

上的值域是

3

[,1)4

…………………………………………………………13分 17.

（

Ⅰ

）

||7a b += ……………………………………………

……………6分

（Ⅱ）由条件，知(6)()0a b a b λλ-?+=2

2

2560a a b b λλ?-?-=2

5240λλ?--=，

8λ=或3λ=- ………………

……………13分 18.

（Ⅰ）

23

()3cos sin cos 2

f x x x x =--1cos 213

=3sin 2222

x x +?

--31

=

cos 2sin 222

x x -

sin(2)3

x π

=-- …………………………

………4分 令2()3

2

x k k Z π

π

π-=+

∈，解得5()212

k x k Z ππ=

+∈ 故

()

y f x =的

对

称

轴

方

程

为

5()212

k x k Z ππ=

+∈ ……………………………………7分 （Ⅱ）由02

x π

≤≤

223

3

3x π

π

π?-

≤-

≤

，所以3sin(2)123

x π

-≤-≤，从而min 1y =-，max 3

2

y =

……13分 19.（Ⅰ）由题知：1331

sin()sin()cos()2444242

πππααα+=

?+=?+=±， 因

为

?

?

? ??∈2,4ππα，所以

3(

,)

4

2

4

π

π

π

α+∈，故

1

c

o s (

)42

π

α+=- …………………………………5分 （Ⅱ）因为3cos(),45πβ-=所以4sin()45πβ-=±，又(,)2π

βπ∈，故3(,)444πππβ-∈

从而4sin(),45πβ-=cos()cos[()()]44

ππ

αβαβ+=++-

1334433cos()cos()sin()sin()4444252510

ππππαβαβ+=+--+-=-?-?=- ……

………………………12分20.（Ⅰ）当=1k 时，()()lg lg(1)lg (1)y f x g x x x x x =+=++=+ (其中0x >)

所以，()()y f

x g x =+的单调递增区间为(0,)+∞，不存在单调递减区

间． ………………………………………5分

（Ⅱ）由()2()f x g x =，即lg 2lg(1)kx x =+．该方程可化为不等式组

()2010

1kx x kx x ?>??

+>??=+??

………………………………………8分

① 若0k >时，则0x >，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(0,)+∞上有根，解得4k =； ② 若0k <时，则10x -<<，原问题即为：方程2(1)kx x =+在(1,0)-上有根，解得0k <． 综上可得0k <或4k =为所

求． ………………………………………12分 21. （Ⅰ）222222sin cos tan cot sec +csc =3θθθθθθ+--+ …………………………………………………………4分 （Ⅱ）由条件，cot tan x y θθ==，1sec cos x θ=，1csc sin θθ

= 令

()sin cos tan cot sec +csc g θθθθθθθ=++++sin cos 11

sin cos +

cos sin cos sin θθθθθθθθ

=++

++ 1sin cos sin cos sin cos sin cos θθ

θθθθθ

θ

+=++

+

…………………………………………………………6分

令sin cos t θθ+=，则s i n c o s

=2s i

n ()4

t π

θθθ=+

+[2,2]∈-，1t ≠±，且

21

s i n

c o s 2

t θθ-=，

从

而

2222()11t g y t t t θ==+

+--221t t t +=+-21t t =+-2111

t t =-++-，……………………………………………9分 令1u t =-，则2

1y u u

=+

+，[21,21]u ∈---，且0t ≠，2t ≠-．所以，(,12

2]

[322,)y ∈-∞-++∞

． 从

而

()

|

|

2

f y θ=≥

-，即m

i n

()221f θ

=

-． …………………………………………………………12分

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