高三数学第二轮专题复习系列(4)-- 三角函数
高三数学第二轮复习——三角函数
两角和与差的三角函数典型例题精讲
【例1】 已知3
,34π
βαππβαπ-<-<-<
+<，求βα-2的范围。 解：设βα-2=)()(βαβα-++B A ，（A 、B 为待定的系数），则
βα-2=βα)()(B A B A -++
比较系数 2
32
1
12???
????=
=???
?-=-=+B A B A B A ∴βα-2=)(23)(21βαβα-++ 从而可得：6
2πβαπ<
-<-
【例2】 设},2
3
|{},,10||,3
5|{Z k k B Z k k k A ∈=
=∈≤==πββπαα，求B A 的解的终边相同的角的集合。
解：先写出A 与B 的交，再写出终边相同的角的集合。 设B A ∈0α，则B A ∈∈00αα且；所以παπα20102
3
, 3
5
k k == ∴21233
5k k =，即2110
9
k k =，由于Z k k ∈≤11,10|| ∴10,02±=k ；因此}15,0{π±=B A
因此所有与B A 的角的终边相同的角的集合为{|,k Z}k γγπ=∈
【例3】 已知αtg 是方程01sec 22=++αx x 的两个根中较小的根，求α的值.
[解] ∵ αtg 是方程01sec 22=++αx x 的较小根，∴ 方程的较大根是αctg . ∵ αtg +αctg =αsec 2-，即 αααc o s
2
c o s s i n 1-
= ∴ 2
1
sin -
=α. 解得 672ππα+=k ，或Z ∈-=k k ,62π
πα.
当)(6
72Z ∈+=k k ππα时，αtg 33
=
，αctg 3=； 当)(6
2Z ∈-=k k π
πα时，αtg 33-=，αctg 3-=，不合题意.
∴ Z ∈+=k k ,6
72π
πα.
【例4】 已知 αβαβαπ
βπ
2222sin 2
1
sin sin 2sin 2sin 34
6-
=-<
≤-
，试求，的最值。 解：∵4
πβ6π<≤-
∴-22
sin 21<
≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤- 即???????<<-≤≤≤??? ???<--≥-1sin 3 10sin 1sin 32 01sin 2sin 30sin 2sin 322ααααααα或 ∴ 1αsin 3 2 0αsin 31<≤≤<-或 y=4 1)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当2sin ,13α?? ∈ ???? 时函数y 递增，∴当sina=23时 y min =92-； 当1sin ,03 α??∈ ??? 时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min = 2 1 ∴ 故当)sin 2 1(sin ,9 2)sin 2 1(sin 3 2sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值。 【例5】 求值 () ? +??+?+?10cos 110tg 60tg 110cos 40cos 2 解： 12cos402cos10222 ???+?+? ? == === = ==原式【例6】 已知 324π πβα<<< ,12cos()13αβ-=,3 sin()5 αβ+=-,求sin2α的值_________. 解法一：∵2π＜β＜α＜4π 3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜32 π, ∴sin(α－β)=.5 4 )βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+= -- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］ =sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β) .65 56)53(1312)54(135-=-?+-?= 解法二：∵sin(α－β)= 13 5,cos(α+β)=－54 , ∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－65 72 sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－65 40 ∴sin2α=65 56 )65406572(21-=-- 【例7】 *不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°) +3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220° =1－ 43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. 【例8】 设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )= 2 1 的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： ()21 (2)2 1 (22)214 (2) a a f a a a a a ≤-???=----< ∵f (a )= 21,∴1－4a =21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. 【例9】 *求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ??+?=20cos 10cos 20sin 2? ? +?= 20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?= ??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?= 80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【例10】 *已知5 4 βsin αcos ,53βcos αsin =+=+，求βαsin cos 的值． 解1：令γ2 π β-= ，则原题等价于： 已知5 4 γcos αcos ,53γsin αsin =+=+，求γcos αcos 的值． 两式分别和差化积并相除得：4 3 2γαtan =+，所以 ()2572γαtan 12γαtan 1γαcos 22 =? ? ? ?? ++? ?? ??+-=+. 分别将已知两式平方并求和得：()2 1 γαcos -=-, 所以，()()()100 11γαcos γαcos 21 γcos αcos -=-++= . 解2：由54βsin αcos ,53βcos αsin =+=+平方相加得：()2 1 βαsin -=+． 上述两式平方相减得：()25 7 βαsin 2α2cos β2cos - =-+-． 将上式前两项和差化积，得：()()()25 7βαsin 2βαsin βαsin 2-=-+-+， 结合()21βαsin - =+，可解得：()257βαsin -=-． 所以，()()()βαsin βαsin 21 βsin αcos --+= 100 11-=． 三角函数的图象与性质典型例题精讲 【例1】 试确定下列函数的定义域 ⑴y = ；⑵(4lg(2cos 1) tg x y x π -=- 解：⑴要使函数有意义，只须满足条件 ??? ? ?? ??? ≠>≥-0sin 0sin 1 01sin 1log x x x 解得：},2652|{},622|{Z k k x k x Z k k x k x ∈+<≤+∈+≤<πππππππ ⑵要使函数有意义，只须满足条件 ???????? ?≠<≠≥-1 1-2cosx 00 1)-lg(2cosx 0 sin )4(x x tg 有意义π 解得},322|{Z k k x k x ∈+<<πππ 【例2】 已知函数( )2 2sin sin cos 1f x a x x x a b =-++-0a b a <（、为常数，），它的 定义域为0, 2π?? ???? ，值域为[]3,1-，试求a b 、的值。 解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1 =a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6 π2(-+++b a x ∵0≤x ≤ π2 ∴π6≤2x +π6≤π6 7 ∴1)6π 2sin(21≤≤+-x ∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π ≤－2a ∴3a +b －1≤－2a sin ()26 x +π +2a +b －1≤b －1 ∵值域为[－3,1] ∴???-=-+=-31311b a b ∴?? ??? =-=2 34b a 【例3】 已知函数)2 ||,0,0)(sin()(π ω>?+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右 侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （1）求)(x f 的解析式； （2）将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的3 1 （纵坐标不变），然后再将所得图象向x 轴正方向平移 3 π 个单位，得到函数y =g (x )的图象.写出函数y =g (x )的解析式并用列表作图的方法画出y =g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（1）由已知，易得A =2． ππ3)3(200=-+=x x T ，解得3 1,6=∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3 sin(2?+=x y ，得 1sin 2=?．又2 π ?< ，解得6π ?= ．∴)6 3sin(2π +=x y 为所求． (2)压缩后的函数解析式为)6 sin(2π +=x y 再平移， 得) πsin( 2)(+-=x x x g )πsin(2-=x 【例4】 求函数x x x y sin 23 sin 3sin 2-+-=的最值，并写出使函数y 取得最值的x 的集合。 解：令31sin 2≤≤-=u x u ，则， ∴函数1112-+=+-=u u u u u y ≥-=211 当且仅当u =1时，y 最小值=1 函数y 取得最小值的x 的集合? ??? ??∈+=Z k k x x ，2 2π π 又函数[]3111，在∈-+=u u u y 是单调递增的 证明如下：1312≤≤≤u u ()()??? ? ? ?--=-+-=--+ =-21212 112212211211 11 1u u u u u u u u u u u u u u y y ∵u u 12< ∴u u 120-< 11 01101102 121<<<<<< u u u u ，， ∴y y y y 12120-<<，即，∴[]3111 ，在∈-+=u u u y 是单调递增的 ∴当u =3时，函数3 121313=-+=最大值y 函数y 取得最大值的x 的集合? ?? ? ?? ∈-=Z k k x x ，2 ππ2 【例5】 已知函数( )22cos sin()sin cos 3 f x x x x x x π =+ -+ (1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求()f x 的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当7,1212x ππ??∈ ???? 时，()f x 的反函数为()1f x -，求()1 1f --的值. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3 π )－3sin 2x +sin x cos x =2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3 π ) ∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x + 3π =2k π－2 π，即x =k π－12π5 (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3 π)=1，又x ∈［2π 7,2π］, ∴2x +3π∈［3π,2π3］,∴2x +3π=6 π 5，则 x =4π，故f -－ 1(1)=4 π. 【例6】 设2 12(2),cos (sin )z m m i z i θλθ=+=++－,其中,,m R λθ∈，已知122z z =，求λ的 取值范围. 解法一：∵z 1=2z 2， ∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴???+=-=θ λθsin 222cos 22 m m ∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－sin θ－1=2(sin θ－41)2－8 9. 当sin θ= 41时λ取最小值－8 9 ，当sin θ=－1时，λ取最大值2. 解法二：∵z 1=2z 2 ∴?? ?? ?+=-=θsin 2λ22θ cos 22 m m ∴??? ???? --= =2λ22θsin 2θcos 2 m m , ∴4 )λ22(4222--+ m m =1. ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0,设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2 －8λ,则?????????≥≥≤-≤≥?0 )4(0)0(42 λ4300 f f 或f (0)·f (4)≤0 ∴???? ?? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥0λ2λ2λ043λ4 5 89λ或或 ∴－ 8 9 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是［－8 9 ，2］. 【例7】 如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数： y =A sin(ωx +φ)+b ；(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式. 解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)； (2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象. ∴ ω π221? =14－6,解得ω=8π ,由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8 πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43 π.综上所求的解析式为 y =10sin(8 πx +43 π)+20,x ∈［6,14］. 【例8】 已知函数()b x a x x x f ++?? ? ? ? -+?? ? ? ? +=cos 6πsin 6πsin （R b a ∈,，且均为常数）， （1）求函数()x f 的最小正周期； （2）若()x f 在区间,03π?? -???? 上单调递增，且恰好能够取到()f x 的最小值2，试求b a , 的值． 解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如?+wx ）、一种三角函数的形式． （1） ()b x a x x x f ++?? ? ? ? -+?? ? ? ? +=cos 6πsin 6πsin b x a x ++=cos 6 π cos sin 2 b x a x ++=cos sin 3()b x a +++=θsin 32 （其中θ由下面的两式所确定：3 3θcos ,3 θsin 2 2 += += a a a ） 所以，函数()x f 的最小正周期为π2． （2） 由（1）可知：()x f 的最小值为b a ++-32，所以，232=++-b a ． 另外，由()x f 在区间?? ? ?? ?-0,3π上单调递增，可知：()x f 在区间?? ? ?? ?-0,3 π上的最小值为 ??? ??-3πf ，所以，?? ? ??-3πf =232=++-b a ． 解之得：1,4a b =-= 【例9】 设R x ∈，试比较()x f =()cos cos x 与()x g =()sin sin x 的大小关系． 解：观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等． 初步判断便可以确定：()x f 、()x g 都是周期函数，且最小正周期分别为π、π2．所以，只需考虑[]π,π-∈x 的情形． 另外，由于()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的 x 的范围继续缩小？ 事实上，当[]0,π-∈x 时，()x f >0，()x g 0≤恒成立，此时，()x f >()x g ． 下面，我们只需考虑[]π,0∈x 的情形． 如果我们把()x f 看作是关于x cos 的余弦函数，把()x g 看作是关于x sin 的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性． ?? ? ??-=x x sin 2πcos sin sin 至此为止，可以看出：由于 x sin 2π-和x cos 同属于余弦函数的一个单调区间， （即x sin 2π -，x cos ∈[]π,0） ，所以，只需比较x sin 2 π -与x cos 的大小即可． 事实上， （ x sin 2π-）—x cos =x sin 2π-—x cos =??? ? ? +-4πsin 22πx 022π>-≥ 所以，利用余弦函数在[]π,0上单调递减，可得： x sin sin 综上，()x g <()x f ． 点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性等性质， 对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助．是一道很有训练价值的好题． 解斜三角形典型例题精讲 【例1】 ABC ?中角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，若,2,32==c a b c tgB tgA 21=+ ， 求ABC ?的面积S 。 解：由b c tgB tgA 21= +及正弦定理，得 () B C B B B A B A sin sin 2cos sin cos cos sin =+，即 21 cos =A ，S =【例2】 已知ABC ?中，0sin )cos (sin sin =-+?C B B A ，02cos sin =+C B ， 求：角A B C 、、 的大小。 解：0sin )cos (sin sin =-+?C B B A 得)sin(sin cos sin sin sin B A C B A B A +==?+? ∴B A B A sin cos sin sin ?=? ∵0sin >B ∴1=tgA 又0 则4 π = A , 即 B C -= 4 3π 由02cos sin =+C B 得0)4 3( 2cos sin =-+B B π 即02sin sin =?B B 亦即0)cos 21(sin =-?B B ∴21cos =B 得3 π=B , 从而125π =C ′ 则所求的角4π=A , 3 π=B , 125π =C . 【例3】 在ABC ? 中，已知a = ,b =45B =?，求,A C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA= 2 32 45sin 3sin = ?= b B a , 因为B=45°<90°且b (1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c= 2 2 645 sin 75sin 2sin sin +=?= B C b , (2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °， c= 2 2 645sin 15sin 2sin sin -=?= B C b 思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情 况的讨论． 【例4】 已知锐角ABC ?中，3 1sin sin 55 A B A B +=-= （），（） （1）求证：tan 2tan A B =； （2）设3AB =，求AB 边上的高 分析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，以（1）为铺垫，解决（2） （1）证明：∵sin （A +B ）= 53，sin （A －B ）=5 1， ∴?????? ? =-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ? ??? ????= =?=2 ∴tan A =2tan B （2）解： 2 π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）3 ∴tan （A +B ）=－4 3， 即 B A B A tan tan 1tan tan -+=4 3 将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0， 解得tan B =2 6 2±（负值舍去） 得tan B = 2 6 2+， ∴tan A =2tan B 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB = A CD tan + B CD tan 由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为 评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力 【例5】 在ABC ?中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边长，已知a b c 、、成等比数列，且 22a c ac bc -=-，求A ∠的大小及 sin b B c 的值 分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理由b 2 =ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c B b sin 的值 解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 在△ABC 中，由余弦定理得 cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2 1，∴∠A =60° 在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a A b sin ， ∵b 2=ac ，∠A =60°， ∴ac b c B b ? = 60sin sin 2=sin60°=23 解法二：在△ABC 中， 由面积公式得 21bc sin A =2 1 ac sin B ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B ∴ c B b sin =sin A =23 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用 正弦定理 【例6】 在?ABC 中，sin cos A A += 2 2 ，AC =2，AB =3，求A t a n 的值和?ABC 的面积． 解法一： 先解三角方程，求出角A 的值． . 2 1 )45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴= -=+ A A A A 又0180 < tan tan(4560)2A ∴=+= =- .4 6 260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin += +=+== A S AC A B A AB C ?= ?=???+=+12122326434 26sin () 解法二： 由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值． sin cos A A += 2 2 ① . 0cos ,0sin ,18002 1 cos sin 22 1)cos (sin 2<>∴<<- =∴= +∴A A A A A A A 2 3cos sin 21)cos (sin 2= -=-A A A A , ∴-= sin cos A A 6 2 ② ① + ② 得 s i n A = ① － ② 得 cos A = 从而 sin tan 2cos A A A = ==- 以下解法略去． 点评 本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 【例7】 7 tan ,2 ABC a b c A B C C c ?==中，、、分别为角 、、的对边，已知 .ABC ABC S a b ??= +又的面积为求的值 解：∵ A+B+C=π， ① °得由° .22 2)27(60cos 2,2760,3=-+==∴=ab b a c C tgC ②°得由 .2 3 360sin 21,233== ab S ABC ?? ???== -+④③由①、②得方程组6,4 492 2ab ab b a ,4121 )(32= ++b a 得×④③ 2 11=+b a ∴ 【例8】 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2B . B C A cos 2cos 1cos 1- =+，求cos 2 C A -的值. 解法一：由题设条件知B =60°，A +C =120°. 设α= 2C A -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， , 43cos cos sin 43cos 41cos sin 2 3cos 211sin 23cos 211) 60cos(1)60cos(1cos 1cos 1222-αα =α-αα=α+α+α-α=α-?+ α+?=+C A 所以 依题设条件有 ,cos 2 43 cos cos 2B -=- αα .224 cos cos ,21cos 2-=-αα ∴=B 整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M ) (2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0， ∴2cos α－2=0.从而得cos 2 2 2= -C A . 解法二：由题设条件知B =60°，A +C =120° 22cos 1 cos 1,2260cos 2-=+∴-=?-C A ①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C ②， 利用和差化积及积化和差公式，②式可化为 )]cos()[cos(22cos 2cos 2C A C A C A C A -++-=-+ ③， 将cos 2C A +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得： )cos(22 2 2cos C A C A --=- ④ 将cos(A －C )=2cos 2(2C A -)－1代入 ④：42cos 2(2C A -)+2cos 2 C A -－32=0，(*)， .2 2 2cos :,022cos 2,032cos 22,0)32 cos 22)(222cos 2(=-=--∴=+-=+---C A C A C A C A C A 从而得 【例9】 *ABC ?中，已知三内角A B C 、、依次成等差数列，求2 2 cos cos A C +的取值范围。 解：由已知得60120B A C =?+=?， 22cos 122cos 1cos cos 22C A C A +++= +()12cos 2cos 2 1 ++=C A ()()1cos cos +-+=C A C A ()C A --=cos 2 1 1 ()()4 5cos 211211cos 2 1 120120<--≤∴≤-<-∴?<- 即C A 22cos cos +的取值范围为?? ? ???4521， 【例10】 在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ， 上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？ 解：(1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米) 在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =3 3 (千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90° )/(3026 1 330330)3()33( 2222时千米=÷=+=+= ∴AB AC BC (2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB = 1010 3 3 303= =BC AB sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°1010 3 = . 20 10 )133()10103(121232-= -?- 在△ACD 中，据正弦定理得 CDA AC DCA AD sin sin = ， ∴133920 10 )133(1010333sin sin +=-? =?=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为 13 3 9+千米. 【例11】 已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2C A -，f (x )=cos B (C A cos 1 cos 1+). (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域. 解：(1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120° , 342122 ) cos()cos(2cos 2cos 2cos cos cos cos 21)(22 -=-+-=-++-+= ?+?=x x x x C A C A C A C A C A C A x f ∵0°≤| 2C A -|＜60°，∴x =cos 2 C A -∈(21 ，1] 又4x 2－3≠0，∴x ≠ 23，∴定义域为(2 1 ，23)∪(23，1］. (2)设x 1＜x 2，∴f (x 2)－f (x 1)=3 423 422 112 22-- -x x x x = ) 34)(34()34)((22 2 2 12121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0， x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0 即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈( 2 3 ，1］，则4x 12－3＞0. 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0. 即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在( 21,2 3 )和(23，1]上都是减函数. (3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－2 1 或f (x )≥f (1)=2. 故f (x )的值域为(－∞，－2 1 )∪［2，+∞). 【例12】 在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +?=-60cos 2，求角A ． 解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角．可得 ()C A C B +??=-60cos sin 2sin sin . 因为π=++C B A ，故有()C A C A C C A sin sin 3cos sin sin sin -=-+， ∴ C A C C A sin sin 3sin sin cos -=-. 又∵ 0sin ≠C , ∴ 1sin 3cos =+A A , 即2 16πsin = ?? ? ??