x x x x +++-+
4
1
4122．
【培优升级 奥赛检测】
1．(“信利杯”全国初中数学竞赛题)已知31+=x ，那么
2
1
41212--
-++x x x = ． 2．已知514=-++a a ，则a 26-= ． 3．(江苏省竞赛题)已知2002)2002)(2002(22=++++
y y x x ，
则5866432
2
+----y x y xy x = ．
4.. （05，则
则x ＝＿＿＿。 5.(T1杯全国初中数学联赛题)已知2
323+-=
x ，2
323-+=
y ，那么
2
2
y x x y +
= ．
6．(武汉市选拔赛试题)如果22002+=+b a ，22002-=
-b a ，3333c b c b -=+，那么a 3b 3
－c 3的值为( )
A ．20022002
B ．2001
C ．1
D ．0 7．(2002年绍兴市竞赛题)当2
2002
1+=
x 时，代数式20033)200120054(--x x 的值是( ) A ． 0 B ．－1 C ． 1 D ．－ 22003 8．(全国初中数学联赛试题)设a 、b 、c
为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则
2a +999b+1001c 的值是( )
A ．1999
B ． 2000
C ． 2001
D ．不能确定 9.计算： （1）
)
23)(36(23346++++；
（2）
21
15141021151410+++--+； （3）49
4747491
7
55715
33513
31++
+++
++
+ ；
(4)7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-
10．已知实数a 、b 满足条件1<=-a b b a ，化简代数式2)1()1
1(--?-b a b
a ，将结果表示成不含
b 的形式．
11．已知a
a x 2
1+=(a >0)，化简：
2
222-++--+x x x x ．
12．(加拿大“奥林匹克”竞赛题)已知自然数x 、y 、z 满足等式062=+--z y x ，求x+y+z 的值．
二次根式的化简 教学设计.
二次根式的化简教学设计2 2008-01-21 （第1课时） 一、教学目标 1.掌握二次根式的性质 2.能够利用二次根式的性质化简二次根式 3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法 二、教学设计 对比、归纳、总结 三、重点和难点 1.重点：理解并掌握二次根式的性质 2.难点：理解式子中的可以取任意实数，并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、多媒体 六、师生互动活动设计 复习对比，归纳整理，应用提高，以学生活动为主 七、教学步骤 （一）教学过程 【复习引入】 1．求值、、、… 求值、、、…
结论：当时，； 当时，． 2．求值、… 结论：当时，式子有意义，，对于，不能为负数． 3．求值、… 结论：当时，． 问：若根号内这个式子中的底数，根式还有意义吗？其值等于什么？ 例如，，其中－2与2互为相反数；，其中－3与3互为相反数；，其中与互为相反数． 【讲解新课】 提出问题：等于什么？引导学生讨论、猜测、联想，得到结论： 教师可结合学生的具体情况，将上面公式用最简练的语句表达，并反复提问中差学生，加深其印象，进一步提问：若时，能否等于，以增强学生的辨别能力，加强学生对公式的.理解和记忆． 例1 化简： （1）；（2）． 解：（略）． 注：可看作，把先写为； 可看作，把先写为． 例2 化简：． 分析：底数是非负数还是负数将直接影响结果，这时要注意条件，由条件，可得． ∴ ． 解：（略）． 例3 化简下列各式：
（1）（）；（2）（）； （3）（）；（4）（）． 解：（1）∵ ∴． ∴ ． （2）∵ ∴ ，即． ∴ ． （3）∵ ∴ ，即． ∴ ． （4）∵ ， ∵ ，即． ∴ ． 注：要从条件出发，判断根号下面式子的底数是非负数还是负数，再根据公式计算出结果，因此在解题过程中，也是先写出条件，后进行变形，判断底数的正、负． 在写解题步骤上，尽量完整，以减少失误，并训练学生的逻辑思维能力． （二）随堂练习 1．求值： （1）；（2）；（3）（）； （4）；（5）．
二次根式的计算与化简练习题(提高篇)
二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++
4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =222214164821442 a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。 7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x
10、已知2a =-a a a a a a a a 11212122 2- -+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ -
12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑷ 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。
二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a － 12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122 +-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 33x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋2 22y xy x ++＝………………………（ ）
《二次根式化简》教学设计(宁 夏县级优课)
16.1 二次根式(2) 一、教材分析与处理 (一)教材的地位和作用：《二次根式》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十六章第一节.二次根式是在学习平方根基础上将具体数字抽象化，并且基于学习二次根式定义的基础上对二次根式的性质进行进一步的探究，本节课为学习二次根式的计算等知识做好了铺垫. (二)教学目标： 知识与技能目标： a ≥0）是一个非负数,掌握2=a （a ≥0）和a a =2， 并利用它们进行计算和化简． 过程与方法目标： （a ≥0）是 2=a （a ≥0）,运用结论解题；通 过具体数据的解答，探究（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 情感与价值目标：通过本节课的学习培养学生准确计算和化简的严谨的学习精神，培养学生观察、分析、发现问题的能力，并且通过探究感受学习的乐趣和获得成果的成就感，进一步增强学生自主参与意识. ． (三)教学重点与难点: 1.重点： a ≥0）是一个非负数,掌握()()02 ≥=a a a 、a a =2,并利用它们进行计算和化简． 2.难点：引导学生自主探究推导得出()()02 ≥=a a a 、a a =2. 二、学生情况分析及对策 八年级学生已经学习了算数平方根，而且基本能够理解算数平方根的意义，并且能根据算数平方根进一步扩展探究二次根式的定义及二次根式有意义的条件，但是对于二次根式的意义及运算结果探究不深，而且有些同学不能深入理解二次根式的意义，这样学习本节课就产生了一定的困难.根据学生的实际情况和特点，我采取由特殊到一般，有简到难逐一探究、突破难点的教学方法进行本节课的教学. 三、教法与学法 1.教法：回顾旧知探究新知，教师设计情境，提出问题，引导学生通过观察，由具体到抽象，得到二次根式的性质，培养学生由特殊到一般的思想方法，先大胆猜想，再进一步探究，最终得到结论，并借助多媒体演示教学，增强课堂实例的直观性和启发性.
初中常见二次根式化简求值的九种技巧
常见二次根式化简求值的九种技巧 1.估值法 例题1：估计184 132+?的运算结果应在（ ） A . 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 例题2：若将三个数3-，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是 。 2.公式法 例题3：计算)3225()65(-?+ 3.拆项法 例题4：计算 )23)(36(23346++++ 提示：)23(3)36(23346+++=++ 4.换元法 例题5：已知12+= n ，求：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n 的值。 5.整体代入法 例题6：已知2 231-= x ，2231+=y ，求4-+x y y x 的值。
6.因式分解法 例题7：计算 15106232++++ 例题8：计算 y xy x x y y x +++2 （y x ≠） 7.配方法 例题9：若a, b 为实数，153553+-+-= a a b ，试求22-+-++b a a b b a a b 的值。 8.辅元法 例题10：已知3:2:1::=z y x （0>x ，0>y ，0>z ） 求 y x z x y x 2++++的值。 9.先判后算法 例题11：已知8-=+b a ，8=ab ，化简b a a a b b +并求值。 巧用被开方数非负性解决代数式化简求值问题
例题：设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(成立，且x ，y ，a 互不相等， 求222 23y xy x y xy x +--+的值 友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 2．二次根式的性质 （1） () ()02 ≥=a a a （2）()()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a （3）()0,0≥≥?=? b a b a b a （4） ()0,0>≥=b a b a b a 3．运算法则： （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 4．最简的二次根式： （1）被开方数因数是整数，因式是整式． （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 方法:①单项 a =来确定． ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 如 : a 与a - 【经典例题】 例1．判断下列各式，是否是二次根式： ,12,4,,4,27,824233 +--a a a 2,21122 +?? ? ?? < -a a a
例2．计算下列各题： （1） () 2 7 （2）2 43??? ? ?? （3）() 2 23 （4）2 55??? ? ?? （5 （6 例4．把下列各式分母有理化 （1）12 1 （2） 2 33 （3） 12121 （4）50 3 51- 例5．化简 （1）121699?? （2）637? （3）221026- （4） ()()2512-?- 例6．计算 （1）??? ? ??-?32335 （2） ??? ? ??-?56215 （3）??? ? ??-?614123 （4）5433 1 12785??? -
《二次根式化简》教学设计1
16.1二次根式 第2课时 教学目标 知识与技能 1.理解(√a)2=a(a≥0)和2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简. 2.用具体数据结合算术平方根的意义推出(√a)2=a(a≥0)和探究2=a(a ≥0),会用这个结论解决具体问题. 3.了解代数式的概念. 过程与方法 在明确(√a)2=a(a≥0)和√a2=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性. 情感态度与价值观 通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力. 教学重点与难点 【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.【难点】能运用二次根式的性质化简. 教学准备 【教师准备】教学所需的习题资料. 【学生准备】课前自学教材第3-4页的内容.
教学过程 一、新课导入 教师出示问题: 1.什么叫二次根式? 2.当a ≥0时,√a 叫什么?当a <0时,√a 有意义吗? 学生口答,老师点评. 通过前面的学习,我们知道了二次根式√a 具有双重非负性.今天我们主要 学习一些二次根式的其他性质. [设计意图] 复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定 了基础. 二、构建新知 1.二次根式的性质1:(√a )2=a (a ≥0) [过渡语] 我们先来探究性质1: (√a )2=a (a ≥0). 提问:你能解释下列式子的含义吗? (√4)2,(√)2,(√13)2 ,(√0)2. 学生口述,教师根据情况评价. (√4)2表示4的算术平方根的平方;(√)2表示2的算术平方根的平方;(√13)2 表示13的算术平方根的平方;(√0)2表示0的算术平方根的平方. 追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.
专题01二次根式的化简与求值
专题01二次根式的化简与求值 阅读与思考 二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、 换元等技巧. 有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、 二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是： 1、 直接代入 直接将已知条件代入待化简求值的式子 ? 2、 变形代入 适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值 数学思想： 数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式 与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学 就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展 ? 想一想：若 x 二、n （其中x, y, n 都是正整数），则x,.. y,、、n 都是同类二次根式，为什么? 例题与求解 B 、一 1 （绍兴市竞赛试 题） 【例1】 1 「200 2 时 —y 时， 代数式 (4x 3 -2005x-2OO1 )2003 的值是( 22003 (1) 丄B_b 丄a, 、b ”a . b ab -b （黄冈市中考试题） （五城市联赛试题）
【例2】化简
⑶? 4.3 3 2_ （.?6 .3）（「3 J2） 3、厉-、10 -2.6 3.3-2 18 .5 2,3 1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通 过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解 题的难度 【例3】 比?、、5）6大的最小整数是多少? （西安交大少年班入学试题） 解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设 想一想：设 X =.;；19-8；3,求 X _? x 字 18x 23 的值. x -7x +5x+15 形如：-A —「B 的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式 （北京市竞赛试题） x =6 5, y - , 6 - \ 5, （“祖冲之杯”邀请赛试题）
二次根式的计算与化简练习题(提高篇)
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 二次根式的计算与化简练习题（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2）x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a >
3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：221,39 a b ==。 6、已知1a =，222214164821442 a a a a a a a a a --++÷-+-+-,再求 值。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。
②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王*
⑷- 13、已知：11a a +=221 a a +的值。 14、已知()1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2 )2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ）
《二次根式化简》教学设计2
16.1.2二次根式化简 【教学目标】 1.知识与技能 （1）经历探索性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a)2= a（a≥0）和2a= a（a≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念。 2.过程与方法 （1）从具体到抽象自主探究得到二次根式的性质，增强学生自主参与的意识。 （2）发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 3.情感态度和价值观 （1）通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 （2）在独立思考的同时，通过小组交流能够得到他人的认同并认同他人。 【教学重点】 理解二次根式的性质性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0），并能用它们进行计算和化简。【教学难点】 引导学生自主探究推导出性质(a)2= a（a≥0）和2a=a（a≥0） 【教学方法】 引导学生通过观察，讨论，由具体到抽象，得出一般结论，并发现开平方运算与平方运算的互逆关系，培养学生由特殊到一般的思维方式。学生通过自学与小组合作学习相结合的方法探究推导并掌握二次根式的性质。 【课前准备】 教学课件，学案。 【课时安排】 1课时 【教学过程】 一、复习导入 【教师】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在，我们来复习一下吧。 课件展示复习题，学生快速回答。 【学生】形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
【教师】当a ≥0时，a 表示： ？ 【学生】a 的算术平方根，即当a ≥0时，a ≥0 【教师】同学们能回忆一下算数平方根的意义吗？ 学生讨论后师生共同回忆 二、新课教学 1.出示学习目标 （1）经历探索性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）的过程，并理解其意义； （2）会运用性质(a )2= a （a ≥0）和2a =a （a ≥0）进行二次根式的化简； （3）了解代数式的概念． 2．探究二次根式的性质1 【教师】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。 (4)2= ；(2)2 = ； (3 1 ) 2 = ； (0 )2 = 。 学生快速计算，请同学回答 【教师】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a ，那么就会有得到什么结论呢？请同学们思考。 教师通过几何画板，借助数轴动态演示，帮助学生的到结论 请学生总结：(a )2= a （a ≥0） 【教师】这就是二次根式的第一个性质： (a )2= a （a ≥0） 解决问题：1.计算（1）：(3)2 ；（2）：(23)2 ． 2．探究二次根式性质2 【教师】接下来，我们来看第二个探究内容。 填空： 22= ；21.0= ； 2 32??? ??= ；20 = 。
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？使用转化策略，换个角度思考，往往能够打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，所以我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为能够约分和和能够合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算b a b a b a b a b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2 b =()b a +()b a -，能够协助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式能够使一些问题从复杂到简单。 解：原式=()b a b a --2+()() b a b a b a +-+=()b a -+() b a -=2a -2b 二、适当配方法： 例2．计算：3216 3223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+32-的因式，于是能够发现3+22=()221+，且() 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。
解：原式= ()()32163223-++-+=()()=-++-+3212132121+2 三、准确设元化简法： 例3：化简53262++ 分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再使用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a =2，c =5，,3b =6=ab ，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222c b a =+所以0222=-+c b a ，于是在分子上可加0222=-+c b a ，所以可能能使分子也有望化为含有c b a ++因式的积，这样便于约分化简。 解：设,2a =,3b =c =5则262=ab 且0222=-+c b a 所以： 原式=()()()5322222222-+=-+=++-+++=+-+=++-++=++c b a c b a c b a c b a bc a c b a c b a c b a ab c b a ab 四、拆项变形法： 例4，计算()()76655 627++++ 分析：本例通过度析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成： b a ab b a 11+=+再化简，便可知其答案。 解：原式==()()()()()()()() 76657676656576657665+++++++=+++++ 576756761651 -=-+-=+++ 五、整体倒数法： 例5、计算()()13251335++++
二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算
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二次根式 【知识要点】 1．一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数式，它们都必须是非负数(即不小于0),a 的结果也是非负数. 2.二次根式的性质 （１)()()02≥=a a a （2）() ()() ?????<-=>==00002a a a a a a a (3）()0,0≥≥?=?b a b a b a (4）()0,0>≥=b a b a b a 3.运算法则： （１）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a (2)除法运算：()0,0>≥=b a b a b a 【化简以及分母有理化】 外移：2||a b a b = 内移:a b ， 当0a >时,2a b a b = 当0a <时,2a b a b =- 4．最简的二次根式： （１）被开方数因数是整数,因式是整式. （２)被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 5．分母有理化 定义:把分母中的根号化去，叫做分母有理化.
方法:①单项二次根式:利用a a a ?=来确定. ②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定. 如: a b +与a b -，a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 例题. 化简：(1)3227a b = ； （2)32418a a ?= ． 例题32 27= . 2 3649y x ＝ ; 同类二次根式 (1)定义: 几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类 二次根式。 (2)判断方法: 注意以下三点： ①都是二次根式,即根指数都是2； ②必须先化成最简二次根式； ③被开方数相同. 【重难点解析】 1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。 如:21223=?= 23 21832=?＝ 32 25052=?＝ 52 2.根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。 如29482379=??= 2379?，24202553=?＝ 253? ３．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。如: 542 x x x x x =?=、()()()3232111x x x x x x +=++=()()11x x x x ++ 4．单项的分母有理化,可以直接分子分母同时乘以分母再约分。 如：11333333?==? 、 2223233233823233 ?====??
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 21418122 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102132531-??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (()2 771+--
16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x - 20.
(231 ?++ ? 22. (()2771+-- 23. ((((2222 1111- 24. 22 - 26. (选做 28. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。
29. 已知：11a a + =221a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1-039322y x x x y x ，求=+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452－242； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a 33. 化简： （1）2700； （2）202－162； （3） 1681； （4）8a 2b c 2 ．
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案修订版
八年级数学二次根式的化简求值练习题及答案 修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】
二次根式的化简求值 练习题
m n，m n，则 B. 2 )n)n()n “黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧 3 33= 3 3 23 = 2 (23) (23)(23) =43, 一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化
1276 3 2 3 . 2332 3 (23)(2 3) ，33，23.答案：解：原式=2-3+33-23=2.(201221 3 2 4 3 2012 2011 111 (1)(1 ) n n n n n n n n n n ，将各个分式分别分母有理 化后再进行计算. 324320122011）（20121）=（2012）2-12=2012-1=2011. 3232,b=32 32 ,23ab b 的值. 2 2(32)52632 (32)(32) ，同理22632 ；26+ 526=10，a b=（526）（26），然后将所要求值的式子和a b 表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= 3252632 ，b= 3252632 ， 所以a + b= 526+ 526=10，a b=（526）（526）=1. 所以223a ab b =2()5a b ab =21051=95. 小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到. 利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a +b ）(a -b )=a -b ,(a+b )(a -b )=a 2-b, (a +b )(a - b )=a -b 2. 举一反三： 2. 如图,数轴上与1,2对应的点分别为A ,B ，点B 关于点A 的对称点为C ,设点C 表示的数为x ,则|x -2|+ 2 x =（ ） A. 2 B. 22 C. 32 D. 2 解析：因为点B 和点C 关于点A 对称，点A 和点B 所表示的数分别为1，2，所以点C 表示的数为2-2，即x=2-2，故|x -2|+ 2 x =|2-2-2|+ 222 =22-2+2 2=32. 例3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)22-5与10-7. 解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.
二次根式的化简与计算的策略与方法
二次根式的化简与计算的策略与方法 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式（， ） ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，下面通过具体的实例进行分类解析． 1．公式法 【例1】计算①；② 【解】①原式 ②原式 【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．2．观察特征法 【例2】计算： 【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下： 【解】原式．
【例3】把下列各式的分母有理化． （1）；（2）（） 【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法： 【解】①原式 【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下： 【解】②原式 3．运用配方法 【例4】化简 【解】原式 【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“” 4．平方法 【例5】化简 【解】∵
8、二次根式的化简求值-培优 数学张老师
8、二次根式的化简求值 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式．有理式(rational expression)和无理式(irrational expression)统称代数式，整式和分式统称有理式． 有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形． 【例l 】 已知 ,21=+ x x 那么 1 91 32 2 ++++x x x x x x 的值等亍 (河北省初中数学创新与知识应用竞赛题) 思路点拨通过平方或分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用x+x 1的代数式表示． 【例2】满足等式2003200320032003=+ - - + xy y x y x y x 的正整数对(x ，y)的个数是 ( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (全国初中数学联赛题) 思路点拨对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解． 【例3】 已知a 、b 是实数，且,1)1)(1(22=++-+b b Fa a 问a ，b 之间有怎样的关系?请推导． (第20届俄罗斯数学奥林匹克竞赛题改编) 思路点拨 由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式人手，而化简的基本方法是有理化． 【例4】 有这样一道题，计算 2 2 2 22 4 44 4x x x x x x x x x -++ --+ -- -+的值，其中x=1005，某同学把 “x=1005”错抄成“x=1050”，但他的计算结果是正确的．请回答这是怎么回事?试说明理由． (2005年辽宁省中考题) 思路点拨解题的关键是正确化简待求式． 【例5】(1)设a 、b 、c 、d 为正实数，aad ，有一个三角 形的三边长分别为 ,)()(,,2 2 2 2 2 2 c d a b d b c a -+-++求此三角形的面积； (第12届“五羊杯”竞赛题)
二次根式的化简(含字母)教学设计
《16.1二次根式化简》教学设计 姜杰 本节课教学内容“二次根式”是湘教版八年级下册第四章第l 节第一课时。主要内容是学习二次根式的定义和性质，重点是对二次根式的性质的理解及应用2. 难点是性质的区别与联系.本节课是一节新授课。在备课时我就按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课，尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件，便于学生对重点内容的理解和难点的解决.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法。在整个学习过程中，突出引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，学生自己就初步得出了结论，培养了学生总结规律的能力。 16.1二次根式 教学目的： 1、使学生理解二次根式的意义 2、理解和应用二次根式的性质a 0≥()0≥a 和()()02≥=a a a 及掌握二次根式 的化简. 3、掌握用解一元二次不等式的方法求二次根式的被开方数中字母的取值范围; 4、培养学生观察、分析、归纳、概括的能力。 教学重点：理解二次根式的意义及其性质 教学难点：难点是理解性质及掌握二次根式 的化简. 教具：多媒体课件 教学过程： 一、复习： 请回答下列问题 二次根式的性质 求下列各数的算术平方根的平方值，并说出这些值与原来的各数有什么关系？ 5.0,9 4,0,2,4 问：如果用字母a 表示数，上述结论是否成立？成立的条件是什么？ 答：如字母,0≥a 那么()a a =2， 我们得到 二次根式的基本性质 (1) ()()02≥=a a a 请判断下列各式是否成立？ 2a 2a
二次根式运算和化简超级经典
二次根式运算和化简(超级经典)
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二次根式的运算 【知识梳理】 1、 当0≥a 时，称a 为二次根式，显然0≥a 。 2、 二次根式具有如下性质： （1）() ()02≥=a a a ； （2）?? ?<-≥==时；，当时，，当002a a a a a a （3）()00≥≥?=b a b a ab ，； （4）()00>≥=b a b a b a ，。 3、二次根式的运算法则如下： （1）()()0≥±=±c c b a c b c a ； （2）()()0≥=a a a n n 。 4、设Q m d c b a ∈，，，，，且m 不是完全平方数，则当且仅当d b c a ==，时， m d c m b a +=+。 5、二次根式是代数式中应掌握的非常复杂的内容，其运算常用到换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。 6、最简二次根式与同类二次根式 （1）一个根式经过化简后满足： 被开方数的指数与根指数互质； 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数； 被开方数不含分母。 适合上述这些条件的根式叫做最简根式。 （2）几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。
【例题精讲】 【例1】已知254245222+-----=x x x x y ，则=+22y x ___________________。 【巩固一】若y x ，为有理数，且42112=+-+-y x x ，则xy 的值为___________。 【巩固二】已知200911+-+ -=x x y ，则=+y x _______________________。 【拓展】若m 适合关系y x y x m y x m y x --?+-= -++--+19919932253， 求m 的值。 【例2】当b a 2<时，化简二次根式a b ab a b a a 2 2442+--。 【巩固】 1、化简()2 232144--+-x x x 的结果是__________________。
最新二次根式的化简与计算
二次根式的化简与计算 1 【知识要点】 2 1．定义：一般地，式子()0≥a a 叫做二次根式，这里的a 可以是数，也可以是代数 3 式，它们都必须是非负数（即不小于0），a 的结果也是非负数． 4 2．二次根式的性质 5 （1） () ()02 ≥=a a a 6 （2）() ()()?? ? ??<-=>==000 02a a a a a a a 7 （3）()0,0≥≥?=?b a b a b a 8 （4） ()0,0>≥=b a b a b a 9 3．运算法则： 10 （1）乘法运算：()0,0≥≥=?b a ab b a 11 （2）除法运算： ()0,0>≥= b a b a b a 12 4．最简的二次根式： 13 （1）被开方数因数是整数，因式是整式． 14 （2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数． 15 5．分母有理化 16 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 17 方法:①单项 a =来确定． 18
②两项二次根式：利用平方差公式()()22b a b a b a -=-+来确定． 19 如: a b +与a b -，a b a b +-与， 20 a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 21 练习： 22 1．判断下列各式,是二次根式有_________________. 23 ,12,4,,4,27,824233+--a a a 2,21122+??? ? ? <-a a a 24 2．下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） 25 A ． B ． C ． D ． 26 3. 与最简二次根式是同类二次根式，则m=______． 27 28 4.若1＜x ＜2，则的值为（ ） 29 A ．2x ﹣4 B ．﹣2 C ．4﹣2x D ．2 30 5．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ） 31 32 A ．﹣2a+b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 33 6．若式子有意义，则x 的取值范围为（ ） 34 A ．x ≥2 B ．x ≠3 C ．x ≥2或x ≠3 D ．x ≥2且x ≠3 35
二次根式加减法教学设计
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 * 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 。 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式
2与可以化简吗 （学生回答） ) A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项 （） 4、如何进行整式的加减运算 （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） " 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式 B、判断是否同类二次根式时应注意什么 （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 > 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习）
二次根式化简与计算的方法和技巧
谈谈二次根式的化简与计算的方法和技巧 安陆市辛榨中学 周俊军 同学们从小学就开始学习数的计算，到了七、八年级后又学习了代数式的计算与化简。在这个过程中他们早已熟练地掌握了运算的顺序、法则和运算律，并掌握了因式分解在化简中的运用。对于二次根式的化简与计算只是这些知识的延伸和继续运用，但二次根式有其独特的性质，在解题时仍需掌握一些技巧和方法，这样才会更简便更快地去进行化简和计算。下面我来谈谈二次根式的化简与计算中常用的方法和技巧。 一、拿出来 当二次根式下出现分母时，需要将分母“开出来”，从而化简。 例如：化简a 1- 解：a 1-=2a a -= a a -- 归纳：对于此类二次根式，首先要利用分式的性质，将分子分母同时乘以a 将分母变 成平方的形式以便开方，同时要挖掘题中的隐含条件，考虑到二次根式的意义，应有a<0.而当a<0时，a a -=2。 二、放进去 有时将根号外面的式子放到根号里面去，同样可消除根号下的分母，从而达到化简的目的。 例如：化简a a 1- 解：a a 1-=a a a --=?? ? ??-?-12 归纳：对于此类问题，也可利用上面的方法将根号下的分母“拿出来 ”，但若将根号外面的a 放到根号里面去计算会更简便。 此题同样要注意到a<0这个隐含条件，而当a<0时，2a a -= 。 再如：计算：()0,01222 n m m n b a m n n m n m ab m n a ÷??? ? ??+- 分析：此题除式中出现因式m n ，而将mn m ab 中根号外面的m 和m n n 1中根号外面的n 分别放到根号里面去即可得 m n ，再将括号中的各项分别与m n b a 22相除，运算更简便。 解：原式m n b a mn n m mn ab m n a 22222÷??? ? ??+-=
