高等代数试题二
第五章 二次型
一、单项选择题 1.(6.2) 下列二次型正惯性指数等于2的是( )
A: ()2
22
3213212),,(x x x x x x x f -++=
B: 3231212322213212265),,(x x x x x x x x x x x x f +--++=
C: 21232221321),,(x x x x x x x x f -++=
D: 323121232221321222),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=
2.(6.3) 下列矩阵合同于单位矩阵( )
A: ????
? ?
?11
1111
111 B: ????? ??10
1010
101
C: ???
?? ?
?81
1172
121
D: ?
??????
?
?
?
-----42
322331
212
3.(6.4) 下列二次型属于正定的是( )
A: 2
221321),,(x x x x x f +=
B: 212
322213212),,(x x x x x x x x f +++=
C: 31212
32221321634),,(x x x x x x x x x x f --++=
D: 3231212
32221321222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
4.(6.1)
与二次型32212
132122),,(x x x x x x x x f +-=相对应的实对称矩阵是( )
A: ????
? ?
?--02
0201
011 B: ????? ??--01
0101
011 C: ????? ?
?--00
1001
111
D: ????
?
?
?--01
1100
101
5.(
6.4) n 阶实对称矩阵正定的充要条件是( ) A: A 的主对角线上元素全大于零 B: A 的所有元素都大于零
C: A 的所有主子式都大于零
6.(6.4) 如果任意()0000
2121全不为即n n x x x x x x ≠≠≠代入实二次型),(21n x x x f 中都有0>f 则
),(21n x x x f 是( )
A:正定 B:负定 C:不是正定 D:不一定正定,
7.(6.1)
设二次型AX X x x x f '=),,(321，???
?
?
?
?---=10
3001
311A 则这个二次型应是( )
A: 2
32121213x x x x x x -+-
B: 2331212162x x x x x x -+-
C: 233121212622x x x x x x -+-
D: 23212121262x x x x x x +-+-
答案：1、B; 2、C; 3、C; 4、B; 5、C; 6、D; 7、B;
二、判断题 1.(6.1) (1) ()()???
? ?????? ?
?-=21212111
23
,x x x x x x f 是二次型。( )
(2) A 为n 阶对称矩阵，且对任意n 维向量X ，都有0='A X X 则0=A 。( )
(3) A 为n 阶反对称矩阵，当且仅当对任意n 维向量X ，都有0='A X X 。( )
(4) 设A ，B 为n 阶对称矩阵，若存在n 阶矩阵C ，使B AC C ='则A 与B 合同。( )
答案： (1) √ (2)√ (3)√ (4) ╳
2.(6.2) (1) 数域F 上任意一个对称矩阵都合同于一个对角形矩阵。( ) (2) 数域F 上，两个n 阶矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( ) (3) 二次型的秩等于它的标准形中不为零的平方项的个数。( )
(4) 二次型的标准形中平方项的个数，与所作的非退化线性替换有关。( )
(5) 两个对称矩阵一定合同( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3)√ (4) ╳ 3.(6.2) (1) 复数域上两个n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( )
(2) 实数域上两个n 阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩。( )
(3) 矩阵???? ??10
01
与矩阵???
?
??-1001在复数域上不合同。( ) (4) 矩阵???? ?
?10
01与矩阵???
?
?
?-1001在实数域上不合同。( )
(5) 对称矩阵的秩r 和符号差s 具有相同的奇偶性。( )
答案： (1) √ (2) ╳ (3) ╳ (4) √ (5) ╳
4.(6.4)
(1) 实二次型AX X x x x f n '=),(21 正定当且仅当A 正定。( )
(2) 实二次型AX X x x x f n '=),(21 正定当且仅当n r p ==。(p 为正惯性指数r 为它的秩)( ) (3) 实二次型AX X x x x f n '=),(21 正定当且仅当它的正惯性指数r p =。(r 为二次型秩) ( ) (4) 二次型),(21n x x x f 的主子式全大于零则),(21n x x x f 正定。( ) (5) 正定矩阵的各阶主子式均大于0。( )
(6) 正定矩阵合同于单位矩阵。( )
(7) 实二次型),(21n x x x f 负定当且仅当r n =，0=p 。(p 为正惯性指数r 为它的秩) ( )
(8) 实二次型),(21n x x x f 负定，则它的矩阵A 的偶数阶顺序主子式全小于零。 ( ) (9) 实二次型),(21n x x x g 负定，则它的矩阵A 的奇数顺序主子式全大于零。( ) (10) 实二次型),(21n x x x g 半负定当且仅当0=p 。(p 为正惯性指数) ( )
答案： (1) √ (2) √ (3) ╳ (4) ╳ (5) √ (6)√ (7) √ (8) ╳ (9) ╳ (10) √ 5.(6.4) 下列二次型是否正定
(1) 2
33222312121321322422),,(x x x x x x x x x x x x f +++++= ( )
(2) 43423241312423222143212224684),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++-+++++=
( )
(3) 23322231212132128224810),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=
( )
(4) 2
33222
3121213217160130482499),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=
( ) (5) 32212
322
2132122),,(x x x x x x x x x x f ++++= ( ) 答案： (1) √ (2) ╳ (3) ╳ (4)√ (5) ╳
6.(6.2) (1) 若数域p 上二次型f 与g 等价则f 与g 的秩相等反之成立吗？( )
(2) 若A 与B 合同则B A 秩秩=，反之如何？( ) (3) 对称矩阵只能与对称矩阵合同。( )
(4) 两个二次型相等当且仅当它们的矩阵相等。( )
答案： (1) ╳ (2) ╳ (3) √ (4) √
7.(6.2) (1) 设nxm A 实矩阵则A A '，A A '都是对称矩阵。 ( ) (2) 若A 为反对称矩阵则2A 是对称矩阵。( ) (3) 若A 可逆对称矩阵则A 与1-A 合同。( )
(4) 若A 为实n 阶可逆矩阵A 与A -合同，则n 必为偶数。( ) (5) 令???? ?
?=21
0A A A ???
?
?
?=21
00B B B 如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同。 ( ) 答案： (1) √ (2) √ (3) √ (4)√ (5) √ 8.(6.4)
(1) 正定矩阵与单位矩阵合同，负定矩阵E -合同。( ) (2) 如果二次型()j i n
i n
j ij
n x x a
x x f ∑∑===
1
1
1...的各项系数都大于零，则()n x x f ...1是正定二次型。( )
(3) 正定矩阵只能与正定矩阵合同。( )
(4) 若A 为实对称，P 实可逆，则AP P '与A 的正定性一致的。( )
答案： (1) √ (2) ╳ (3) √ (4) √
9.(6.4) (1) A ，B 为n 阶正定矩阵，AB 也是正定的矩阵。( )
(2) A ，B 正定，则B A +也正定。( )
(3) A 为正定矩阵，则对任意正整数k ，k A 也是正定的。( )
(4) 正定对称矩阵的主对角线上元素都是正的。( )
答案： (1) ╳
(2) √ (3) √ (4) √
10.(6.4) (1) 设A 为正定矩阵，B 为实数可逆方阵，则B A B 1-'是正定的。( ) (2) 设A ，B 是n 阶正定矩阵，当AB 正定时BA AB =。( )
(3) 设A 的主对角线上一个元素0≤ij a ，则A 不是正定矩阵。( )
答案： (1) √ (2) √ (3) √
二、填空题 1.(6.2) 实二次型的正惯性指数为p 负惯性指数为q 。秩为r 符号差为s (1) 已知p ，q 则=r ，=s
(2) 已知p ，r 则=s
(3) 已知p ，s 则=q ，=r (4) 已知q ，r 则=p ，=s (5) 已知q ，s 则=p ，=r (6) 已知r ，s 则=p ，=q
答案： (1) q p +，q p -
(2)r p -2 (3)s p -，s p -2
(4)q r -，q r 2-
(5) s p +，s q +2
(6)
()r s +2
1，()s r -2
1
2.(6.1)
(1) 二次型()2234,y xy x y x f +-=的矩阵=A 。 (2) 323121321),,(x x x x x x x x x f -+=的矩阵为 。
(3) 2
44323322241312143217865423),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x f -++--+-=
的矩阵 。
(4) 2
44323222121432142),,,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=的矩阵 。
(5) ()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++=
的矩阵 。
答案： (1)???
?
?
?--32
21
(2)???????
? ??--02
12
12102121210 (3)????
??
?
??------74
2413003512013
(4)??????? ?
?--12
0210000110011
(5)
??????
? ?
?0...
1
1
1...............1 (101)
1 (110)
3.(6.1)
(1) 写出实对称矩阵????
???
?
?
?--02
5325021
3210所决定的二次型=),,(321x x x f 。 (2) 写出???
?
?
?
?-----=23
0301
011A 所决定的二次型=),,(321x x x f 。 答案： (1) 32312156x x x x x x +- (2) 23
322121262x x x x x x ---
4.(6.1)
两个复二次型等价充分必要条件是 。
答案： 秩相等
5.(
6.1) 两个实二次型等价充分必要条件是 。
答案： 秩相等，正惯性指数相同。
三、计算题
1.(6.2)
已知二次型32212
2
21321442),,(x x x x x x x x x f --+=试对它作如下非退化线性替换。
(1)????
? ??????? ?
?-=????? ??32132110
0210011
y y y x x x (2) ?
???? ????????
? ?
?--=????? ??321321210
110
1121
y y y
x x x (3) ????
?
??????? ?
?--=????? ??32132121
2221
122
31y y y x x x
解： (1)
()()()y
y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x x x x f 88847244
447444210
210
011
02
212022120011001020212022)(31212
32
22
132132
1
32132
1
32132
1
321+---+=??
??
?
??????? ?
?-----=????
?
??????? ??-????? ??----????? ??-=??
??? ??????? ??----= (2) 方法同(1)得 23
2221321),,(y y y x x x f +-=
(3) 方法同(1)得
2
32
22
132124),,(y y y x x x f -+=
2.(6.2) 用配方法化下列二次型为标准形。
(1) 32212
221321623),,(x x x x x x x x x f ---=
(2) 23322221213214422),,(x x x x x x x x x x f ++++=
(3) 323121321224),,(x x x x x x x x x f ++-=
(4) 42433241312124222143212222442),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++++++=
(5) 4232434143218228),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=
解：
(1) 二次型
2
3
2
322
21322
22
2212
13
2212
22
13214
9)2
32()(64)2(623),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f +
+
--=--+-=---=
()
?
?
???=+=-=3
3322211232x y x x y x x y 令 所以232
22132149),,(y y y x x x f +-=
(2) 同样方法可求得 2
221321),,(y y x x x f +=
(3)
?????=-=+=332122
11y x y y x y y x 令二次型2
3
222
31312
2213231213214214444224),,(y y y y y y y y x x x x x x x x x f ++??? ??--=++-=++-=
???
????
==-=332231121y z y z y y z 令 故2
3222132144),,(z z z x x x f ++-=
(4) 同(1)的方法得2
32
2213212
12),,(y y y x x x f +
-=
(5) 同样方法得2
423222143212228),,,(z z z z x x x x f -+-=
3.(6.2) 用合同变换化二次型为标准形，并写出相应的可逆矩阵。
(1) 32212
221321222),,(x x x x x x x x x f -++=
(2) 32212
132145),,(x x x x x x x x f -+=
(3) 32212
32
2132122),,(x x x x x x x x x f ++-= (4) 323121321),,(x x x x x x x x x f ++=
解： (1)
二次型矩阵????
?
?
?--=01
0121
011A ()????
? ?
?---?→?????
?
?
?---???→??????
??--=11
1
1
0011010
00100110
1
0011110
001001
100010010121
001011合同变换E A
故2
32221321),,(y y y x x x f -+= 相应的可逆矩阵为????
?
?
?--=10
0110
111
C ?????????
? ?
?---?→????
???
???? ?
?---???→????
???????
?
?--=
????? ??10
0110111
100010
001
10
0010011
010110
00110
0010001010
121
011合同变换
E A (2) 同样方法可得2
3222132125
16425),,(y y y x x x f +-
= ??
??
???
?
?
?-
-
=10
02581054
2
51C (3) 2
221321),,(y y x x x f -=
????? ??--=100110
111C (4) 2
32221321),,(z z z x x x f --=
????
? ?
?---=10
0111
111C 4.(6.2) 用可逆线性变换化下列二次型为标准形。
(1) 4321432122),,,(x x x x x x x x f -=
(2) n n n n n x x x x x x x x x f 11222121),(--+++=
解： (1) 作如下线性替换
???????+=-=+=-=4
34
433212211y y x y y x y y x y y x
得2
42322214321222),,,(y y y y x x x x f +--=
(2) ???
?????
???
??-=-=-=+=-=+=--+++n n
n n n n n n n n n n
y
y x y y x y y x y y x y y x y y x 21212212111212211 令 得2
2212222121),(n n n n y y y y y x x x f ---+++=+
5.(
6.2)
求把二次型3231212
322
211048392x x x x x x x x x --+++化为二次型 3231212
32221321844632),,(y y y y y y y y y y y y g +--++=的非退化线性替换。
解：
二次型),,(321x x x f 的矩阵?????
??----=352594
242
A 二次型),,(321y y y g 的矩阵????
?
?
?----=64
2432
222B ?????????
?
?
?--?→????
???
???? ?
?---?→????
???
???? ?
?----10
0110121
000010
002
10
0010121
110110
002
10
0010001352594242 ????
? ?
?--=?????
?
?='10
0110
121
00
0010
002
111C AC C ???
??????
?
?
?--?→????
???
???? ???→????
???
???? ?
?----10
0210111
000010
002
10
0010111
420210
002
10
0010001642432222
()B
AP P C C P B C AC C C BC C AC C BC C ='?==''?'='∴????
? ?
?='∴---则令1
211
2111
2
22
1122
00
0010002
????
?
??--=????? ??--?????? ?
?--=????
?
??--??????
?
?--=∴-10
310
631
10
210
11110
0110121
10
210
11110
0110
121
1
P ??
????==+=--=∴Y P X y x y y x y y y x 333
223
211363
则有),,(),,(321321y y y g x x x f =
6.(6.3) 在复数域中化下列二次型为规范形并写出相应线性变换。
(1) 3231212
322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f ++++-=
(2) 31212
322
213214245),,(x x x x x x x x x x f -+-+=
解： (1)
()
23
2
322
3213
231212
32
22
13213831322422),,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -???
?
?+-++=++++-=
?
????=+=++=3
33223
21131x y x x y x x x y 令 则232
221321383),,(y y y x x x f --=
???
?
???==
=3
3221
13223iy Z iy Z y Z 再令 则2
32
22
1321),,(z z z x x x f ++=
(2) 同样可得2
32221321),,(w w w x x x f ++=
7.(6.3) 在实数域中化二次型为规范形并写出相应线性替换。
(1) 3231212
322213213444),,(x x x x x x x x x x x x f -+-++=
(2) 3231212
322213212243),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
(3) 323121321),,(x x x x x x x x x f ++=
解：
(1)
实二次型),,(321x x x f 的矩阵为???????
?
?
?----=12
322312
224A 由合同变换可求得????
?
?
?-'??????
? ?
?-=10
0010
001AC C 11
0110
102
1＝使C 则2
32221321),,(y y y x x x f +-= Y C X ?=
(2) 同样方法可得
2
32221321),,(y y y x x x f +-=
Y C X ?= ?????
????
?
?
-
-
-=233
0211310
211
321C (3) 同样方法可得
2
32
22
1321),,(y y y x x x f --=
Y C X ?= ????
?
?
?---=10
0111
111C 8.(6.3) 求下列二次型的秩与符号差。
(1) 31212
3222132144465),,(x x x x x x x x x x f ++---=
(2) 32212
1432135),,,(x x x x x x x x x f -+=
(3) 4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=
(4) 2
423423222413121214321242222),,,(x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -+-++-+-=
解：
(1) 二次型矩阵???
?
?
?
?---=40
2062
225A 对A 进行合同变换 化为对角形
3
3)(13
400
00526000
55165
40545260
00540
2062225
321-∴???????
? ?
?-
-?→????????? ?
?
--
-?→?????
? ?
?---，符号差
的秩实二次型x x x f
(2) 同样方法可得
),,,(4321x x x x f 的秩为3，符号差1
(3) 同样方法可得
),,,(4321x x x x f 的秩为4，符号差0
(4) 同样方法可得
),,,(4321x x x x f 的秩为3，符号差1
9.(6.3) 求下列二次型的秩与符号差
(1) n n n x x x x x x x x x f 2124321221),(-+++=
(2) n
n n x nx x x x x x x x x x x x f 21287654321221432),(-+++++=
解： (1) 作非退化线性替换
?
??
??????
?
?-=+=-=+=-=+=---n
n n n n n y y x y y x y y x y y x y y x y y x 2122212124344332
12211 则2
221224232221221),(n n n y y y y y y x x x f -++-+-=- 故二次型秩为2n ，符号差为0。
(2) 用同样方法可得),(221n x x x f 秩为2n ，符号差为0。
10.(6.4) t 取什么值时下列二次型为正定二次型
(1) 3231212
322214225x x x x x tx x x x +-+++ (2) ()32212
3222122x x x x x x x t -+++
(3) 3231212
3222161024x x x x x tx x x x +++++
解： (1) 二次型矩阵
时二次型为正定
05405
411045011000
52
121112
32
213
21<<-??????<<-<<-∴>--==?>-=?=????
??>?>?>?????
? ?
?--=t t t t t A t t
t A (2) 时二次型正定当2>t
(3) 无论t 取何值时，二次型都不是正定的
11.(6.4) 求λ的值，使二次型2
2
2
2
222)(),,,(w xz yz xy z y x w z y x f ++-+++=λ为正定。
解： 二次型),,,(w z y x f 的矩阵秩为
()()时二次型正定
当时
当时当二次型也正定正定
易知时当20
2020
,01
1
,01
1
11
1
1
A 221100001101
1011
1232
>∴<<==∴∴>=?>=
?>--=?>>-+=??????
? ?
?--=
λλλλλ
λ
λ
λ
λ
λλλλ
λ
λA A A A A
12.(6.4) 判断下列二次型是否正定
(1)∑∑-=+=+
=
1
1
11
2
n i i i
n
i i
x x
x
f
(2) ∑∑≤<≤=+
=
n
j i j i
n
i i
x x
x
f 112
(3) ∑∑≤<≤=+=n
j i j i
n
i i x x
x f 11
2
2
2
解： (1) 二次型f 的矩阵为
????????????
?
?
?=12
12112
121121211
A A 的任意k 阶顺序主子式
()原二次型为正定的∴>?
?
?
??+=0211K
K
K A
(2) 二次型矩阵
?????
???
? ??=12
12
12
1212112
12121211
A A 的任意k 阶顺序主子式
()原二次型为正定的
∴>?
?
?
??+=0211K
K
K A
(3) 同样方法知(3)也为正定二次型
四、证明题 1.(6.2) 证明：秩等于r 的对称矩阵可表示成r 个秩为1对称矩阵和。
证：设A 为n 阶对称矩阵且秩等于r ，则存在可逆矩阵P ，使得
??????
????
?
?
?='00
2
1
r
a a a AP P ，r i a i ,,2,1,0 =≠ 故
()
()1
211
--+++'=P
A A A P A r ，其中
??????
????
?
?
?=00
i
i a A ，r i ，，，
21= 即()()()1
1
1
2
1
1
11
------'++'+'=P
A P
P A
P
P
A P A r
且()1
1
--'P
A P
i
的秩等于1,又是对称矩阵()r i ，，， 21=
2.(6.2) 令
???? ??=21
0A A A ,???
?
??=21
00B B B 如果1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，则A 与B 合同。
证：如果1A 与1B 合同，所以1111P B P A '=所以(1P 是可逆矩阵)；
2A 与2B 合同，有222BP P A '= (2P 是可逆矩阵)，
作矩阵???
?
??=21
0P P P ,显然P 可逆，而
???
?
??=???? ??''=???? ?????? ?????? ?
?''=???? ??'21
2221
1121
21
2121000
00
00000A A P B P P B P P P B B P P P B B P
故A 与B 合同。
3.(6.2)
求证：非零反对称矩阵A 合同于下列形式的矩阵
???????????????
? ?
?---00
1
100
1
100
110
证：用数学归纳法 当2=n 时，???
? ??-?→????
? ?
?-=0110
00
1212a
a A ，故A 与???
?
??-0110
合同。
假设k n ≤时结论成立，今考察1+=k n 时的情形，这时
???
?
??
?
?
?---=
++++000
1
1111111kk k kk k
k k a a
a a
a a A
如果最后一行(列)元素全为零，则由归纳假设结论已经成立，不然经过行列的同时对换，可设
01≠+kk a ，最后一行和最后一列都乘以
1
1+kk a 则A 化成
??????
?
?
?---=
01
100
11
b a
b a A k
k ， 再利用1，-1将最后；两行两列的其他元素化成零，则A 又化成
???????
?
?
?
--
=--01
100000000
01111
k k b b A 由归纳假设知
????? ?
?---001111
k k b
b 与????????????
?
?
?--00
1
100
110
合同，从而A 合同于矩阵
???????????????
? ?
?---01
100
1
100
110
再将最后两行和两列交换到前面去，便知结论对1+k 级矩阵也成立，从而对于任意级数的反对称矩
阵结论成立。
4.(6.4)
设???
?
??=2221
1211
A A
A A A 是一对称矩阵，且011≠A 证明：存在???? ??=E X E
T 0
，使???
?
?
?='*0011
A AT T ，其中*表示一个阶数与22A 相同的矩阵。 证：令
???
?
?
?-=-E A A E T 0121
11 因为2112A A =',()1
11111--='A A ,所以
???
? ?
?-=???
?
??-???? ??-=???
?
??-???? ?????? ??
-='-----121
112122
11121
11121112122
12
11
121
11222112111
112100
0000A A A A A E A A E A A A A A A E A A E
A A A A E A A E AT T
5.(
6.2) 设A 是n 阶对称矩阵，A 的秩是r
证明：存在秩为r n -的对称矩阵B ，使0=AB 。
证：据题设可知，A 的合同标准形D 是
??????
????
? ?
?00
2
1
r
d d d ，r i d i ,,2,1,0 =≠ 则存在可逆矩阵P 使D AP P ='，对D 来说，显然有秩为r n -的矩阵
??????
????
?
?
?=+n r C C C
1
0，n r j C j ,,10 +=≠， 使0=DC ，于是0='APC P ，所以0=APC ，从而0='P APC 。令B P PC ='，因为P 是可逆的，P PC '与C 的秩相等，而且P PC '是对称的，所以B 是秩为r n -的对称矩阵，而且0=AB 。 6.(6.2) 在实数域上，将相互合同的n 阶对称矩阵放在一起组成一个合同类，问一共有多少个合同类？
解：n 元实二次型的秩有1+n 种可能：n ,,2,1,0 ，而秩为)(n r ≤的实二次型的正惯性指数有1+r 种可能：r ,,1,0 因此n 元实二次型按合同关系分类的情况如下表
()()()
2
211321++=
++++++n n n n
7.(6.2) 证明：E 与E -在复数域上合同，但在实数域上不同 证： 复数域上两对称矩阵合同?秩相同 ∴E 与E -秩相同∴它们合同
又实数域上两个对称矩阵合同?秩相同，符号差相同
而E 与E -秩相等，但符号差不同∴不合同
8.(6.2)
证明：实二次型()∑=++=
n
j i j i
n x x
j i x x x f 1
,21),(λ 的秩和符号差均与λ无关()2≥n
证：实二次型),(21n x x x f 的矩阵为
????
??
?
?
?++++++++++++++=
n
n n n n A 221243132λλλλλλλλλ
因为A 与????
??
? ??=
00
000000001
0010
B 合同，而B 秩符号差与λ无关
∴A 的秩符号差与λ无关
9.(6.2)
证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1。
证：必要性：设()()0),(111121≠++++=n n n n n x b x b x a x a x x x f 若()n a a a ,,,21 与()n b b b ,,,21 成比例，设i i ka b =，且01≠a ，
则可对f 进行非退化线性替换
??
?
?
?
?
?==++=n n n n x y x y x a x a y 22111化成21ky f =，此时f 的秩为1。
若()n a a a ,,,21 与()n b b b ,,,21 不成比例，不妨设()21,a a 与()21,b b 不成比例，
从而02
1
21≠b b a a ，则可对f 连续进行下列非退化线性替换
?????????==++=++=n n n n n n x y x y x b x b y x a x a y 3
3112111及?????
????==-=+=n
n z y z y z z y z z y 33212211 2
22
121z z y y f -==，即此时f 的秩为2且符号差为0。
必要性：设f 的秩为2，符号差为0，则f 可通过非退化线性替换CY X =，化为 ))((21212
22
1y y y y y y f -+=-=
由X C
Y 1
-=，即21,y y 可由n x x x ，，
21,线性表示，代入上式，即知f 是
n x x x ，， 21,的两个一次齐次式的乘积
若f 的秩为1，则f 的规范形为2
1y ，根据同样道理知，结论成立。
10.(6.4) 证明：实二次型22cy bxy ax ++是正定的当且仅当0>a 且042>-b ac 。
证：二次型矩阵
?????
?
??=c b b a A 2
2
400
42
202
22
1>->?>-=?
???
?
?
??=?>=??b ac a b ac c b b a a A 且正定
11.(6.4) 设)(ij a A =为正定矩阵1-n A 是A 的1-n 级顺序主子式。
证明：1-≤n nn A a A 并且等式成立的充分必要条件是0,121====-n n n n a a a
证：()n n n n nn n a a a X a X X A A ,1211
--='????
?
?'
= 其中 0
111X X A a X A a X X A A n nn
n nn
n '
+='
=
∴---
而???
?
??'-=???? ??'
???? ??
'-------X A X X
A X X A A X I n n n n n 111
1
1
10
010 两边取行列式
()X A X X A X A X X A n n n n *
-----'-='-?='
111110
X A X A a A n n nn *
--'-?=∴11
0,121,121111====??≤====≥'?∴--*
-*
--n n n n nn n n n n n n n a a a A a A a a a Z X A X A A A 且等号成立
故时等号成立即当且仅当所以正定
正定正定
12.(6.4) 如果A 是正定矩阵，那么nn a a a A ??≤ 2211，那么当且仅当A 为对角线形时等号成立。 证：用归纳法 ()
11111
a A a A n ===
假设1-n 阶时成立 看n 阶矩阵()ij a A =
011>∴a A 正定
经合同变换P
111111
0B a A AP P B B a AP P ?=='=???
? ?
?='且有
其中()ij b B =1为1-n 阶方阵有n j i b a a a a b ji
j i ij ij 3,2,11
1
1==?-
=
1B ∴为1-n 阶正定矩阵，由归纳假设nn b b a B a A -?≤?=2211111
又ij j ij ij a a a a b ≤-=11
2
1
nn a a a A ???≤∴ 2211
13.(6.4) 如果()ij t T =是n 级实可逆矩阵，那么()∏=+++≤
n
i ni i i
t t t
T 1
222212
证：合同与即＝为实对称，又
可逆E T T ET T T T T T T ''''∴,
T T '∴为正定。而T T '∴的主对角线上元素为
21221211n t t t +++ ，22222221n t t t +++ ，2
222nn n in t t t +++
∴由上题()∏=+++≤
'=n
i ni i i
t t t
T T T 1
222212
14.(6.4) 设???
?
??'
=b A A αα1其中A 为n 阶正定方阵，α为n 维实列向量，b 为实数。 证明：1A 为正定矩阵的充分必要条件是αα1-'>A Bb
证：A 正定
1
-∴A 正定
B A b A
E A E
b A E A E
=???
?
??'-=???? ??-???? ??'
???? ?
?'----αααααα11
10
00 B ∴是由1A 经合同变换而得到的。
αααα1
1
10--'>?>'-??A b A b B A 正定正定
αα1
1-'>?∴A b A 正定
15.(6.4) 设mxn B 实矩阵()n x x x X ,,21='实向量 证明：齐次线性方程但0=BX 只有零解B B '?是正定矩阵。 证：必要性 若0X 是任意非零实列向量，则()()000
≥'=''BX BX
BX B X 又()B B B B '='
'为实对矩阵B B '∴是半正定的
下面证0≠'B B 反证法，若0='B B 则()n B B r <'
齐次线性方程组0='BX B 有非零解 设有1X 于是()()011='
BX BX 从而01=BX 与
0=BX 只有零解矛盾。故0≠'B B 故B B '正定
充分性 B B ' 正定 ∴对任意非零实向量X ，都有()()0>''=
'BX B X BX BX
若0=BX 有非零解0X ，则00
0>''BX B X ，这B B '正定矛盾
0=∴BX 只有零解
16.(6.3) 设A 是一个n 阶实对称矩阵，且0 -= 使2 21221n p p y y y y BY Y AX X ---++='='- 其中()1 1--' =AC