《P及PI控制参数设计》课程设计

目录

课程设计任务书 (1)

摘要 (3)

1.P和PI控制原理 (4)

1.1 比例（P）控制 (4)

1.2 比例-积分（PI）控制 (5)

2.P和PI控制参数设计 (6)

2.1 原系统分析 (6)

2.1.1 初始条件 (6)

2.1.2 原系统稳定性分析 (6)

2.2 P控制参数设计 (7)

2.2.1 加入P控制器后系统稳定性分析 (7)

2.2.2 加入P控制器后系统动态性能指标计算 (9)

2.3 PI控制参数设计 (15)

2.3.1 加入PI控制器后系统稳定性分析 (15)

2.3.2 加入PI控制器后系统动态性能指标计算 (16)

3.P和PI控制特点的比较 (23)

3.1 比例（P）控制器： (23)

3.2 比例-积分（PI）控制器： (24)

4.心得体会 (25)

5.参考文献 (26)

课程设计任务书

学生姓名： 专业班级：自动化1002班 指导教师： 谭思云 工作单位： 自动化学院 题 目: P 和PI 控制参数设计 初始条件：

反馈系统方框图如下图所示。K (s)D =1（比例P 控制律），

s K K (s)D I +

=2（比例积分PI 控制律），)

6s )(1s (1

s G 1+-+=s (s)，)

2s )(1s (1

G 2++=

(s)

要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写

等具体要求）

（1） 当D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)时，确定使反馈系统保持稳定的比例增益

K 的范围。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的误差常数和稳态误差；

（2） 满足（1）的条件下，取三个不同的K 值（其中须包括临界K 值），

计算不同K 值下系统闭环特征根，特征根可用MATLAB 中的roots 命令求取；

（3） 用Matlab 画出（2）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，

通过响应曲线分析不同K 值时系统的动态性能指标；

（4） 当D(s)=D 2(s),G(s)=G 2(s)时，确定使系统稳定K 和K I 的范围，并画

)s (D G(s)

R

Y

e

+ -

出稳定时的允许区域。计算系统在单位阶跃信号输入作用下的误差常数和稳态误差；

（5）满足（4）的条件下，取三个不同的K和K

I 值，计算不同K和K

I

值下

系统闭环特征根，特征根可用MATLAB中的roots命令求取。画出其中一组值对应的波特图并计算相角裕度；

（6）用Matlab画出（5）中三个增益对应的单位阶跃输入的响应曲线，通过响应曲线分析不同K和K

I

值时系统的动态性能指标；

（7）比较P和PI控制的特点；

（8）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并包含Matlab源程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

时间安排：

（1）课程设计任务书的布置，讲解（半天）

（2）根据任务书的要求进行设计构思。（半天）

（3）熟悉MATLAB中的相关工具（一天）

（4）系统设计与仿真分析。（三天）

（5）撰写说明书。（二天）

（6）课程设计答辩（半天）

指导教师签名：年月日

系主任（或责任教师）签名：年月日

摘要

在自动控制系统中，输出量是最重要的参数之一，因此对被控系统的输出量要求严格。它可以要求保持为某一恒定值，如温度，压力或飞行航迹等；也可以跟随输入量变化。而控制装置则是对被控对象施加调节控制的机构，它可以采用不同的原理和方式对被控对象进行控制，但最基本的一种是基于反馈控制原理的反馈控制系统。

对于比例（P）控制，在串联校正中，加大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但也会降低系统的相对稳定性。

比例积分（PI）控制器相当于在系统中加入了一个位于原点的开环极点，从而提高了系统型别，改善了其稳态性能。同时也增加了一个位于S平面左半平面的开环零点，减小了阻尼程度，缓和了系统极点对于系统稳定性及动态过程产生不利影响。

根据系统的需要和调节要求，可以选择多种方式的校正系统，各种系统的性能会有所差异，选取最优的组合最大化满足校正要求，从而使之达到最好的校正效果。

关键词：自动控制，比例控制，比例积分控制

1.P 和PI 控制原理

1.1 比例（P ）控制

比例控制是最简单的控制方式。单独的比例控制也称“有差控制”，输出的变化与输入控制器的成比例关系，偏差越大输出越大。实际应用中，比例度的大小应视具体情况而定，比例度太大导致控制作用太弱，不利于系统克服扰动，余差太大，控制质量差，控制作用小；而比例度太小，控制作用太强，容易导致系统的稳定性变差，引发振荡。

对于反应灵敏、放大能力强的被控对象，为提高系统的稳定性，应当减少比例度；而对于反应迟钝，放大能力又较弱的被控对象，则可增大比例度，以提高整个系统的灵敏度，也可以相应减小余差。

比例（P ）控制主要组成部分是比例环节，比例环节的方块图如图1所示：

图1 比例环节方块图

其传递函数为：

()

()

0U s K U s i =- 单纯的比例控制适用于扰动不大，滞后小，负荷变化小，要求不高，允许有一定余差存在的场合。工业生产中比例控制规律使用较为普遍。

比例环节主要由运算放大器、纯电阻、滑动变阻器等组成，其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。

在信号变换过程中，P 控制器值改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大了控制器增益k ，可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精度。

1.2 比例-积分（PI ）控制

比例控制规律是基本控制规律中最基本的、应用最普遍的一种，其最大优点就是控制及时、迅速。只要有偏差产生，控制器立即产生控制作用。但是，不能最终消除余差的缺点限制了它的单独使用。克服余差的办法是在比例控制的基础上加上积分控制作用。

比例—积分（PI ）控制主要组成部分是比例—积分环节，其中比例—积分环节的方块图如图2所示

图2 比例积分环节方块图

其传递函数为：

()()0U s 1

()U s i K TS

=-+

积分控制器的输出与输入偏差对时间的积分成正比。这里的“积分”指的是“积累”的意思。积分控制器的输出不仅与输入偏差的大小有关，而且还与偏差存在的时间有关。只要偏差存在，输出就会不断累积（输出值越来越大或越来越小），一直到偏差为零，累积才会停止。所以，积分控制可以消除余差。积分控制规律又称无差控制规律。

在串联校正时，PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s 左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，缓和PI 控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。只要积分时间常数i T

足够大，PI 控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，PI 控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。

2.P 和PI 控制参数设计

2.1 原系统分析

2.1.1 初始条件

反馈系统方框图如图3所示。K (s)D =1（比例P 控制律），s

K K (s)D I

+

=2（比例积分PI 控制律），)6s )(1s (1s G 1+-+=

s (s)，)

2s )(1s (1

G 2++=(s)

2.1.2 原系统稳定性分析

由题目给出的初始条件知，当)()(1s G s G =，未加入D(s ）校正环节时，系统开环传递函数为：

6)1)(s -s(s 1

s (s)H(s)++=G s s s 651s 2

3-++= 由系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为：

)6)(1(11)6)(1(1

)(+-++

+-+=s s s s s s s s s φ1551

23

+-++=s s s s 则系统的闭环特征方程为：

0155)(23=+-+=s s s s D

)s (D G(s)

R

Y

e

+ -

图3

按劳斯判据可列出劳斯表如表1：

表1 初始系统的劳斯表

3s 1 -5 2s 5

1

1s 524-

0 0s

1

由于劳斯表第一列符号不相同，1S 的系数为负，系统不稳定，需要校正。

2.2 P 控制参数设计

2.2.1 加入P 控制器后系统稳定性分析

当)()(1s D s D =,)()(1s G s G =时，系统结构图如图4所示。

图4 加入P 控制器的系统法结构图

系统的开环传递函数为：

(1)

()()(1)(6)

K S G s H s S S S +=

-+

则其闭环传递函数

为：

3

2(1)

()(1)(1)(6)

()(1)1()()5(6)1(1)(6)

K S G s K S S S S s K S G s H s S S K S K S S S φ++-+===++++-++-+

系统的环特征方程为：

32()5(6)0D s S S K S K =++-+= 按劳斯判据可列出劳斯表如表2：

表2 加入P 控制器后系统的劳斯表

3s 1 K-6 2s 5

K

1s 65

4-K

0 0s

K

要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即：

{

03040>->k k

解得，系统稳定时，K 的取值范围为5.7>K 。 当输入信号为单位阶跃信号()()U t 1t i =时，()1

U s i S

=

系统的误差系数为：

00(1)

lim ()()lim (1)(6)

p s s K S K G s H s S S S →→+===∞-+

系统的稳态误差为：

2.2.2 加入P 控制器后系统动态性能指标计算

由上述可知，系统稳定的条件为k>7.5。分别对k 分别取7.5、10、20来讨论分析系统的动态性能指标。

2.2.2.1 不同K 值下的系统闭环特征根

1）K=7.5时，系统的闭环传递函数为：

132

7.5(1)

()5 1.57.5S s S S S φ+=+++ 通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下： den=[1,5,1.5,7.5]; %描述当K=7.5时的系统传递函数中分母的多项式系数 roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-5.0000 0.0000 + 1.2247i 0.0000 - 1.2247i

系统闭环的特征根为：1235.0, 1.2247, 1.2247S S j S j =-==-。从23,S S 是一对共轭纯虚根，系统处于临界稳定状态。

2）K=10时，系统的闭环传递函数为：

232

10(1)

()5410S s S S S φ+=+++ 通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下： den=[1,5,4,10]; %描述当K=10时的系统传递函数中分母的多项式系

数

roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-4.6030 -0.1985 + 1.4605i -0.1985 - 1.4605i

01

()lim ()0

11ss s P R e sE s K →∞====++∞

当K=10时，1234.6030,0.1985 1.4605,0.1985 1.4605S S j S j =-=-+=--。

3）K=20时，系统的闭环传递函数为：

20

14520

20)(233++++=s s s s s φ

通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下： den=[1,5,14,20]; %描述当K=20时的系统传递函数中分母的多项式系数 roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-2.5786 -1.2107 + 2.5081i -1.2107 - 2.5081i

当K=30时，5081.22107.1,5081.22107.1,2.5786321j S j S S --=+-=-=。

2.2.2.2 不同K 值下的单位阶跃响应曲线

1)K=7.5时，系统的闭环传递函数为：

13

27.5(1)

()5 1.57.5S s S S S φ+=+++

用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出K=7.5时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num1=[7.5,7.5]; %描述当K=7.5时的系统传递函数中分子的多项式系数 den1=[1,5,1.5,7.5]; %描述当K=7.5时的系统传递函数中分母的多项式系数 t1=0:0.1:15; %选定仿真时间向量，并设计步长 y1=step(num1,den1,t1);%求当K=7.5时系统单位阶跃响应

2）K=10时，系统的闭环传递函数为：

23210(1)

()5410

S s S S S φ+=

+++

用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出K=10时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num2=[10,10]; %描述当K=10时的系统传递函数中分子的多项式系数

den2=[1,5,4,10]; %描述当K=10时的系统传递函数中分母的多项式系数 y2=step(num2,den2,t1); %求当K=10时系统单位阶跃响应

3）K=20时，系统的闭环传递函数为：

20

14520

20)(233++++=

s s s s s φ

用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出K=20时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num3=[20,20]; %描述当K=20时的系统传递函数中分子的多项式系数 den3=[1,5,14,20]; %描述当K=20时的系统传递函数中分母的多项式系数 y3=step(num3,den3,t1); %求当K=20时系统单位阶跃响应 4）单位阶跃响应曲线

plot(t1,y1,':r',t1,y2,'g.',t1,y3,'b'),xlabel('t'),ylabel('c(t)'),title('不同K 值时单位阶跃响应'),grid;%以x 为横坐标，分别以y 为纵坐标，画出y1、y2、y3多重折线，如图5所示：

5

1015

-1-0.500.511.5

22.53t

c (t )

不同K 值时单位阶跃响应

K=5K=10K=20

图5 单位阶跃响应曲线

2.2.2.3不同k值下的系统动态性能指标

1）K=7.5时

利用ltiview命令观察和读出系统单位阶跃响应时的暂态性能指标，MATLAB 程序如下：

num1=[7.5,7.5]; %描述当K=7.5时的系统传递函数中分子的多项式系数den1=[1,5,1.5,7.5]; %描述当K=7.5时的系统传递函数中分母的多项式系数step(num1,den1); %求当K=7.5时系统单位阶跃响应

sys1=tf(num1,den1); %生成当K=7.5时的传递函数

ltiview(sys1); %对sys1进行仿真

grid on;

图6 K=7.5时的单位阶跃响应

从图6可以看出，当K=7.5时，系统的单位阶跃响应为等幅振荡，处于无阻尼状态。

2)K=10时

程序如下：

num2=[10,10]; %描述当K=10时的系统传递函数中分子的多项式系数 den2=[1,5,4,10]; %描述当K=10时的系统传递函数中分母的多项式系数 step(num2,den2); %求当K=10时系统单位阶跃响应 sys2=tf(num2,den2); %生成当K=10时的传递函数 ltiview(sys2); %对sys2进行仿真 grid on;

图7 K=10时的单位阶跃响应

当光标移到对应点后，在如图7浮出的文本框中可读出数据，列出如下：

上升时间：s t r 647.0=

峰值时间：s t p 57.1= 超调量：%119%p =σ

调节时间：s t 7.30s =（0.05?=）

3)K=20时

程序如下：

num3=[20,20]; %描述当K=20时的系统传递函数中分子的多项式系数 den3=[1,5,14,20]; %描述当K=20时的系统传递函数中分母的多项式系数 step(num3,den3); %求当K=20时系统单位阶跃响应 sys3=tf(num3,den3); %生成当K=20时的传递函数 ltiview(sys3); %对sys3进行仿真 grid on;

图8 K=30时的单位阶跃响应

当光标移到对应点后，在浮出的文本框中可读出数据，列出如下：

上升时间：s t r 443.0=

峰值时间：s t p 935.0= 超调量：%78%p =σ

调节时间：s t 52.5s =（0.05?=）

由上述数据可以看出，在K>7.5时，适当增大K 的值，上升时间、超调时间、超调量、调节时间都减少了，改善了系统的暂态性能，加快了系统的响应速度；同时提高了系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度。

2.3 PI 控制参数设计

2.3.1 加入PI 控制器后系统稳定性分析

当D(s)=D 2(s),G(s)=G 2(s)时，系统结构图如图9所示。

图9 加入PI 控制器的系统结构图

系统的开环传递函数为：

32

1()()()(1)(2)32I I K KS K G s H s K S S S S S S

+=+

?=++++ 则其闭环传递函数为：

323

2

32()

32()1()()3(2)132I I I I KS K KS K G s S S S s KS K G s H s S S K S K S S S φ++++===+++++++++ 系统的闭环特征方程为：

32()3(2)0I D s S S K S K =++++=，

可以列出劳斯表，如表3：

表3 加入PI 控制器后系统的劳斯阵

3s 1 K+2

2s 3

1K

1

s

23

I

K K -

++ 0

0s

1K

劳斯判据中要满足系统稳定则劳斯表第一列必需满足符号相同。即：

??

?>>+-00

631

1k k k 所以系统稳定的条件为：6301+<

图10 K 和i K 允许范围图

当输入信号为单位阶跃信号()()U t 1t i =时

()1

U s i S

=

系统的误差系数为：

32

lim ()()lim

32I

p s s KS K K G s H s S S S

→→+===∞++ 系统的稳态误差为：

01

()lim ()0

11ss s P R e sE s K →∞====++∞

2.3.2 加入PI 控制器后系统动态性能指标计算

由上述可知，系统稳定的条件为6301+<

10,5I K K ==；5,5I K K ==的情况下求取系统的闭特征根。

2.3.2.1 不同K 和1K 值下的系统闭环特征根 1）0,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

13

25

()325s S S S φ=+++

通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下：

den=[1,3,2,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数 roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-2.9042 -0.0479 + 1.3112i -0.0479 - 1.3112i

当0,5I K K ==时：

1232.9042,0.0479 1.3112,0.0479 1.3112S S j S j =-=-+=--。

2）10,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

232105

()3125

S s S S S φ+=

+++

通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下： den=[1,3,12,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数 roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-0.4618 -1.2691 + 3.0360i -1.2691 - 3.0360i

当10,5I K K ==时：1230.4618, 1.2691 3.0360, 1.2691 3.0360S S j S j =-=-+=--。

3）5,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

33255

()375

S s S S S φ+=

+++

通过MATLAB 的roots 命令求取系统闭环特征根，其程序如下：

den=[1,3,7,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数

roots(den); %求系统特征根

其运行结果如下：

ans =-1.0000 -1.0000+2.0000i -1.0000-2.0000i

当5,5I K K ==时：1231,12,12S S j S j =-=-+=--。

2.3.2.2 不同K 值下的单位阶跃响应曲线

1)0,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

1327.5(1)

()5 1.57.5

S s S S S φ+=+++

用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出0,5I K K ==时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num1=[5]; %描述系统传递函数中分子的多项式系数 den1=[1,3,2,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数 t1=0:0.1:10; %选定仿真时间向量，并设计步长 y1=step(num1,den1,t1); %求系统单位阶跃响应

2)10,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

232

105

()3125

S s S S S φ+=+++ 用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出10,5I K K ==时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num2=[10,5]; %描述的系统传递函数中分子的多项式系数 den2=[1,3,12,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数 y2=step(num2,den2,t1); %求系统单位阶跃响应

3)5,5I K K ==时，系统的闭环传递函数为：

33

2

55

()375

S s S S S φ+=+++ 用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出5,5I K K ==时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num3=[5,5]; %描述系统传递函数中分子的多项式系数

den3=[1,3,7,5]; %描述系统传递函数中分母的多项式系数 y3=step(num3,den3,t1); %求系统单位阶跃响应

4）单位阶跃响应曲线

plot(t1,y1,':r',t1,y2,'g.',t1,y3,'b'),xlabel('t'),ylabel('c(t)'),title('不同K 、Ki 值时单位阶跃响应'),grid; %以x 为横坐标，分别以y 为纵坐标，画出y1、y2、y3多重折线。

其结果如图11所示：

1

2

3

4

56

7

8

9

10

00.20.40.60.811.2

1.41.61.82t

c (t )

不同K 、Ki 值时单位阶跃响应

K=0,Ki=5K=10,Ki=5K=5,Ki=5

图11 单位阶跃响应曲线

2.3.2.3不同k 值下的系统动态性能指标 1)0,5I K K ==时

利用ltiview 命令观察和读出系统单位阶跃响应时的暂态性能指标，MATLAB 程序如下：

num1=[5]; %描述当K=0,Ki=5时的系统传递函数中分子的多项式系数