全国中学生物理竞赛课件17：静电场：原理与方法

静电场的两大外观表现?对引入电场的任何带电体产生力的作用

.当带电体在电场中移动时,电场力做功,说明电场具有能量.

描述静电场的基本规律?对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变——原来为零的始终为零，原来为某一量Q 的，则始终为Q ，此即电荷守恒定律．12

kq q F r 在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的ε0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理．0

i e q εΦ=∑等效处理方法?等效对称替代法

等效电像变换法示例规律

规

律应用示例示例

球在第一次与板接触后获得电量为q ，说明有量值为q 的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为(Q-q ),

球与板这一系统中的总电量是按比例分配到球上与板上的．q Q q

-当多次操作直至最终板上电量又一次为Q 但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电量达到最大: max

q q Q Q q =-max q q

q Q Q =-一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，

板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q ．如果球在第一次与板接触后带电量为q ，求球可获得的最大电量.专题17-例1

如图所示，半径相同的两个金属球A 、B 相距很远，原来不带电，C 球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A 接触，再与B 球接触；然后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已．已知C 球第一次与电池接触后的

带电量为q ，第一次与A 球接触后A 球的带电量为Q 1，求⑴A 球与B 球最后的带电量

Q 与Q ′；⑵设，至少经过几次与C 球接触后，A 球的带电量可达最后带电量的一半？1910Q q =C A B ⑴设A 、B 球半径为R ,C 球半径为r ,C 球与A 球第1次接触后有11q Q Q r R -=①q Q r R =时电荷不再从C 球移向A 球，故R Q q r =C 球与B 球接触最终亦有q Q r R '=11Q q q Q Q '-=⑵由①式及题给条件19r R =若第２次C 与A 接触后A 又获电量Q 2，212q Q Q Q r R -+=則22910Q q ??= ???n 次C 、A 接触后有91910 4.51

1010n q q ??- ?

??=n 7=次

返回11Q q q Q -=

r 2r 1m O ?Ω2α1α1S ?2S ?M

Q q 2

1121cos cos r k q

F k q

r λα

λα?Ω?Ω

==22222cos cos r k q

F k q

r λα

α?Ω?Ω

==带电球壳内场强为零!

20343k r E r r

ρρ

πε==r

把两个相同的电量为q 的点电荷固定在相距l 的地方，在二者中间放上第三个质量为m 的电量亦为q 的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T ．专题17-例2

F B F A q A A q B B O l l x 22A B kq F F l

==质点在平衡位置O 时：

质点在距平衡位置x 的某位置时：2

22224212A kq kq x F l l l x -??==+ ?????+ ???222224212B kq kq x F l l l x -??==- ?????- ???2332kq x

l =-kq x x F l l l 2241414??????=--+ ? ?????????∑22l

ml q T k π=

2kQ R 点电荷q 在两侧场强等值反向!

E q

E q 整个带电球内部场强为0;外表面场强大小为设球壳除A 外其余部分在A 处的场强为E A

A 在A 内侧有0

q A E E -=在A 外侧有2q A kQ E E R +=22A E kQ R =22F kqQ R

=均匀带电球壳半径为R ，带正电，电量为Q ，若在

球面上划出很小一块，它所带电量为q ．试求球壳的其余部分对它的作用力．专题17-例3

一个半径为a 的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U 0．将此环靠近半径为b 的接地的球，只有环中心O 位于球面上，如图．试求球上感应电荷的电量．

专题17-例4O 点O 1点电势均为0;

环上电荷在O 点的总电势为U 00i i

kq U a =∑球上感应电荷在O 1点引起的电势U b O 1

a O O 点O 1点电势均由环上电荷及

球上感应电荷共同引起！

1i b O i kQ U U b ==-∑环上电荷在O 1点的总电势为122i O i

kq U a b =+∑0212O U aU a b +=022aU a b =+-022abU k a Q b +=

正点电荷Ｑ1和正点电荷Ｑ2分别放臵在A 、B 两点，

两点间相距L ．现以L 为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最

小的位臵P ，设PA 与AB 的夹角为α，则α＝．（用三角函数表示）αα

α切向场强为0位置为

电势最小的位置！

()()1

222sin cos cos sin kQ kQ L L αααα=3

tan Q Q α∴=1Q 2Q 3121

tan Q Q -

电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O

处电场强度等于E 0．两个平面通过同一条直径，夹角为α，从半球中分出一部分球面，如图所示．试求所分出的这部分球面上（在“小瓣”上）的电荷在O 处的电场强度E ．

E 0

ＯE 2α0sin 2α

E E =小半球面均匀分布电荷

在O 点引起的场强可视

为“小瓣”球面电荷

与“大瓣”球面电荷

在O 点引起的电场的矢

量和.

由对称性及半球几何关系可知E 大与E 小垂直，如图所示:

有两个异种点电荷，其电量之比为n ，相互间距离为d ．试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ．

O y

-q

nq 以小电量电荷所在位臵为坐标原点，建立直角坐标

[],x y ()2222

knq x y d x y =+-+d -q 与nq 在坐标为（x 、y ）的点电势迭加为零，即有2222211d nd x y n n ????++= ???--????

2,01d n ??-??-??球心坐标球半径21nd

r n =-

半径分别为R 1和R 2的两个同心半球相对放臵，如

图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为σ1和σ2，试求大的半球面所对应底面圆直径AOB 上电势的分布．

A B

大半球面上电荷量为2112R σπ大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球

面上电荷引起电势的一半,即211111122k R U k R R πσπσ==小半球面上电荷量为222

2R σπ小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球

面上电荷引起电势的一半,即222

222222k R U k R R πσπσ==根据电场叠加原理,直径AB 上电荷分布为:()()()11222121221222k R R R R r U r R U R r R k πσσσπσ+??+ ? ?=???≤?=≥????? 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半,即222222k R U r πσ'=

一半径为R 、带电量为Q 的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数σ，σ定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力．

R φ?E 2φ?sin 2R φ??T

T 2sin 2S R φπ????=?? ???222sin sin 2424Q Q q R R φφππ???????=??= ? ?????208Q E R πε= 在球面上取一面元面元受力如示

20222sin 4s 2i 28n 23e Q F R Q Q R φφππεε???= ???? ??∴????=面元周边所受张力合力大小为2sin sin 22T R φφσπ??=??∑面元处于平衡,则2220sin 232sin sin 222Q R R φπεφφσπ???? ???=???223

064Q R πεσ=返回

q 点电荷电场S S '

球面上各处场强大小均为

2204kq q E r r

πε=

=1222018.8510C /N m 4k επ-=≈??从该球面穿出的电通量220

044e q q ES r r πεπεΦ==?=e Φe E S

Φ=电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则0

e q

εΦ=根据电场线的性质——在电场中

没有电荷处电场线是连续的、不

相交的，可以肯定包围点电荷q 的

任意封闭曲面S′上的电通量也是

S ''Φ=Φ入出

e Φ=0q =0e q εΦ=根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为,i i q ∑0

e i q ε=Φ∑則返回

O R r <由高斯定理有

2200440e

E R

R ππεΦ===R r ≥由高斯定理有22

2044e

R Q E k R R ππεΦ===R E 0r

R r <由高斯定理有

330e R Q r εΦ=R r ≥由高斯定理有22

2044e

R Q

E k R R ππεΦ===R E 0r

R 23044e E R Q R r ππεΦ==3E kQ R r

σE

?由高斯定理有0e S σε??Φ=022e E S σεΦ==?Q Q

-两面积S 、间距d 平行板电容器当

带电荷量Q 时，板间电场由电场

叠加原理可得为0022E σεσε==4kQ S π=

半径为r 的圆板，在与其中心O 距离为d 处臵一

点电荷q ，试求板上电通量．专题17-例5球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！

q d

r R 222kq

E R r d ==+距q 为R 处电场强度大小为

球冠面积为()2S R R d π?=-()22e kq R R d R πΦ=-22012q d d r ε??- ? ?+??

在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为＋及－λ．求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度．

专题17-例6

由高斯定理有

Φ=

R l R

πε

λλ

E 12

E E

πε

d d

x x

πε

????

? ?

????

()

x d

πε+