多重积分的方法总结

多重积分的方法总结

专业：水文与水资源工程

姓名：赵兆

学号：201103325

任课教师：王银霞

多重积分的方法总结

二重积分和三重积分的概念都有实际的几何或物理的背景，定义分为四个步骤用构造的方法给出，最终表现为“黎曼和”的极限．故多重积分具有极限的基本性质，如唯一性，线性性质等．定义给出了概念的一个准确描述方法，进而从定义出发可以从纯逻辑上考察概念具有的性质以及计算方法．和定积分的概念对应，多重积分和定积分的定义及性质一致，其定义和性质都不难理解．把握这里的概念，需要大家从这几个角度来理解：1. 几何和物理背景；2. 定义形式；3.概念的性质；4.计算方法；5.应用．

计算根据被积区域和被积函数的形式要选择适当的方法处理，这里主要是看被积区域的形式来选择合适的坐标形式，并给区域一个相应的表达，从而可以转化多重积分为多次的积分形式．具体的一些作法在下面给出．

一．二重积分的计算

重积分的计算主要是化为多次的积分．这里首先要看被积区域的形式, 选择合适的坐标系来进行处理．二重积分主要给出了直角坐标系和极坐标系的计算方法．我们都可以从以下几个方面把握相应的具体处理过程：1.被积区域在几何直观上的表现（直观描述，易于把握）；2.被积分区域的集合表示（用于下一步确定多次积分的积分次序和相应的积分限）；3.化重积分为多次积分．

1. 在直角坐标下： (a) X-型区域

几何直观表现：用平行于y 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()y y x =和2()y y x =；

被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y a x b y x y y x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：

21()()

(,)(,)b

y x a

y x D

f x y dxdy dx f x y dy =??

??

．

(b) Y-型区域

几何直观表现：用平行于x 轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数1()x x x =和2()x x x =；

被积区域的集合表示：12{(,),()()}D x y c y d x x x x x =≤≤≤≤； 二重积分化为二次积分：

21()

()

(,)(,)d

x y c

x y D

f x y dxdy dx f x y dx =???

?

．

2. 在极坐标下：

几何直观表现：从极点出发引射线线穿过区域内部，与边界的交点最多两

个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数1()r r θ=和2()r r θ=（具体如圆域，扇形域和环域等）；

被积区域的集合表示：1212{(,),()()}D r r r r θθθθθθ=≤≤≤≤，注意，如果极点在被积区域的内部，则有特殊形式2{(,)02,0()}D r r r θθπθ=≤≤≤≤；

直角坐标下的二重积分化为极坐标下的二重积分，并表示成相应的二次积分：

2211()

()

(,)(cos ,sin )(cos ,sin )r r D

D

f x y dxdy f r r rdrd d f r r rdr θθθθθθθθθθ==??

????

．

注：具体处理题目时，首要要能够选择适当的处理方法，并能够实现不同积分次序及直角坐标和极坐标的转化．

3. 二重积分的换元法：

(,)z f x y =在闭区域D 上连续，设有变换

(,),(,)(,)x x u v T u v D y y u v =?'∈?=?

将D '一一映射到D 上，又(,),(,)x u v y u v 关于u , v 有一阶连续的偏导数，且

(,)

0(,)

x y J u v ?=

≠?, (,)u v D '∈ 则有

(,)((,),(,))D

D f x y dxdy f x u v y u v J dudv '

=????．

二．三重积分的计算

三重积分具体的处理过程类似于二重积分，也分为三个步骤来进行处理． 1. 在直角坐标下：

空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =，并把区域投影到xoy 面上从而确定(,)x y 的范围，记为xy D ；

被积区域的集合表示：12{(,,)(,),(,)(,)}xy V x y z x y D z x y z z x y =∈≤≤, 进一步地, xy D 可以表示成X －型区域或Y －型区域;

三重积分化为三次积分：

21(,)

(,)

(,,)(,,)xy

z x y z x y V

D f x y z dV dxdy f x y z dz =??????

（所谓“二套一”的形式）

2211()

(,)

()

(,)

(,,)b

y x z x y a y x z x y dx dy f x y z dz =??

?

（xy D 为X －型）

2211()

(,)

()

(,)

(,,)d

x y z x y c

x y z x y dy dx f x y z dz =??

?

（xy D 为Y －型）

注：类似于以上的处理方法，把空间区域投影到 yoz 面或zox 面又可把三重积分转化成不同次序的三次积分．这时区域几何直观表现，区域的集合表示，以及新的三次积分次序如何？可见，三重积分最多可以对应六种积分次序．这里还有所谓一套二的处理方法，区域的直观表现为：平行于xoy 面的截面面积容易求得．作为被积函数最好与x ，y 无关，即可表示为为()f z ．则区域表示为：

{(,,),(,)}z V x y z c z d x y D =≤≤∈,

其中z D 表示垂直于z 轴的截面．此时，三重积分化为：

(,,)()z

d

c

V

D f x y z dV dz f z dxdy =???

??? （所谓“一套二”的形式）

()z d

D c

f z S dz =?

其中z D S 表示截面z D 的面积，它是关于z 的函数．

2. 在柱坐标下：

柱坐标与直角坐标的关系：

cos sin ,(0,02,)x r y r r z z z θθθπ=??

=≤<∞≤≤-∞<<+∞??=?

空间区域几何直观表现：用平行于z 轴的直线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个函数1(,)z z x y =和1(,)z z x y =．空间区域在xoy 面上的投影区域易于用参数r 和θ表示范围（具体如圆域，扇形域和环域等），并且1(,)z z x y =和1(,)z z x y =也易于进一步表示z 成关于,r θ较简单的函数形式，比如22x y +可以看成一个整体（具体如上、下表面为旋转面的情形）；

被积区域的集合表示：

121212{(,),()(),(,)(,)}V r r r r z r z z r θθθθθθθθ=≤≤≤≤≤≤；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

(,,)(cos ,sin ,)V

V

f x y z dV f r r z rdrd dz

θθθ=??????

2221

11()

(,)

()

(,)

(cos ,sin ,)r z r r z r d rdr f r r z dz θθθθθθθθθ=??

?

．

3. 在球坐标下：

球坐标与直角坐标的关系：

sin cos sin sin ,(0,02,0)cos x r y r r z ?θ?θθπ?π?=??

=≤<∞≤≤≤≤??=?

空间区域几何直观表现：从原点出发引射线穿过区域内部，与边界曲面的交点最多两个，从而可以由下面和上面交点位于的曲面确定两个球坐标函数

1(,)r r r θ=和2(,)r r r θ=; （具体如球心在原点或z 轴上的球形域）

被积区域的集合表示：

121212{(,,),,(,)(,)}V r r r r θ?θθθ???θ?θ?=≤≤≤≤≤≤；

直角坐标下的三重积分化为极坐标下的三重积分，并表示成相应的三次积分：

2

(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin V

V

f x y z dV f r r r r drd d ?θ?θθ?θ?=??????

=

212(,)

20

0(,)

(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r d d f r r r r dr π

π

θ?θ?θ??θ?θθ??

??

．

如球心在原点半径为a 的球形域下：

220

(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin a

V

f x y z dV d d f r r r r dr π

πθ??θ?θθ?=???

???．

4. 三重积分的换元法：

(,,)u f x y z =在闭区域V 上连续，设有变换

(,,)

:(,,),(,,)(,,)x x u v w T y y u v w u v w V z z u v w =??

'=∈??=?

将V '一一映射到V 上，又(,,),(,,)x u v w y u v w 和(,,)z u v w 关于u , v 和w 有一阶连续的偏导数，且

(,,)

0(,,)

x y z J u v w ?=

≠?, (,)u v V '∈

则有

(,,)((,,),(,,),(,,))V

V

f x y z dV f x u v w y u v w z u v w J dudvdw =??????．

三．重积分的几何和物理应用

1. 几何应用

a) 二重积分求平面区域面积；b) 二重积分求曲顶柱体体积；c)三重积分求空间区域的体积；d) 二重积分求空间曲面的面积．

求曲面的面积A ，对应着曲面方程为直角坐标系下的二元函数形式和参数方程形式分别有以下公式：

i ) 曲面方程 :(,),(,)S z f x y x y D =∈

D

A =

ii )曲面参数方程(,):(,),(,)(,)uv x x u v S y y u v u v D z z u v =??

=∈??=?

()()uv

uv

u u u v v v u

u u D D v

v

v

i

j k A x i y j z k x i y j z k dudv x y z dudv x y z =++?++=???? 注：这里的公式都对函数有相应的微分条件． 2. 物理应用

包括求质量、质心、转动惯量和引力等应用，积分是研究物理问题的重要工具．建立物理量对应的积分公式的一般方法是从基本的物理原理出发，找到所求量对应的微元，也就是对应积分的被积表达式了．

以上对多重积分的计算方法做了个小结，关键要在具体的情况下要找到对应的适宜的处理方法．处理重积分计算时从几何形式出发，则易于直观把握．注意选择适当的坐标系，注意被积区域的表达，还要注意函数关于区域的对称性．这种对称性包括奇对称和偶对称，从而可以简化计算过程．