高等数学练习答案12-3

习题12-3

1. 求下列齐次方程的通解:

(1)022=---'x y y y x ;

解 原方程变为

1)(2--=x y x y dx dy . 令x

y u =, 则原方程化为 12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 11

12=-, 两边积分得

C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12, 将x

y u =代入上式得原方程的通解

Cx x y x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+. (2)x

y y dx dy x

ln =; 解 原方程变为x

y x y dx dy ln =. 令x

y u =, 则原方程化为 u u dx

du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得

ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将x

y u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.

(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0;

解 这是齐次方程. 令x

y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,

两边积分得

u 2=ln x 2+C , 将x

y u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).

(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0;

解 这是齐次方程. 令x

y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u

u

121332=-, 两边积分得

C x u ln ln )21ln(213+=--, 即2

312x C

u -=, 将x

y u =代入上式得原方程的通解 x 3-2y 3=Cx .

(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy x

y x dx x y y x y x ; 解 原方程变为x

y x y dx dy +=th 32. 令x

y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x

du u u 2sh ch 3=, 两边积分得

3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x

y u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx x

y =. (6)0)1(2)21(=-++dy y

x e dx e y x

y x . 解 原方程变为y

x y

x

e e y x dy dx 21)1(2+-=.

令y

x u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+-=+, 即u

u e e u dy du y 212++-=, 分离变量得

dy y du e

u e

u u 1221-=++, 两边积分得

ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将y

x u =代入上式得原方程的通解 C e y

x y x =+)2(, 即C ye x y x

=+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:

(1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;

解 这是齐次方程. 令x

y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,

即 dx x du u u u 1332=--, 或dx x

du u u u 1)11113(=-+++- 两边积分得

-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将x

y u =代入上式得原方程的通解 y 2-x 2=Cy 3.

由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3.

(2)x

y y x y +=', y |x =1=2; 解 令x

y u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx x

udu 1=, 两边积分得

C x u +=ln 212,

将x

y u =

代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).

由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).

(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1.

解 这是齐次方程. 令x

y u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0,

即 dx x du u u u u u 11

12232-=+++-+, 或 dx x

du u u u 1)12

11(2=+-+, 两边积分得

ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将x

y u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).

由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).

3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解 设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得

20)(2

1)(x x xy dx x y x

=-?, 两边求导得

x x y x x y x y 2)(2

1)(21)(='--, 即 4-='x

y y . 令x

y u =, 则有 4-=+u dx du x u , 即dx x du u 41-=,

两边积分得

u =-4ln x +C . 将x

y u =代入上式得方程的通解 y =-4x ln x +Cx .

由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .