高中数学11空间几何体116棱柱、棱锥、棱台和球的表面积优化训练新人教B版2

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

5分钟训练(预习类训练,可用于课前)

1.在一个长方体上钻一个圆柱形的孔，钻孔后得到的几何体与原长方体相比，其表面积( )

A.变大了

B.变小了

C.相等

D.不一定

解析：当钻的孔即圆柱底面面积之和等于侧面积时，相等；当底面面积之和小于侧面积时，变大；当底面面积之和大于侧面积时，变小. 答案：D

2.一个正三棱台的上下底面边长为3 cm 和6 cm ，高为2

3

cm ，则此三棱台的侧面积是( ) A.327 B.39 C.

32

27

D.以上都不对 解析：虽然根据正三棱台的侧面是等腰梯形,可以求出这个等腰梯形的高，进而可求得侧面积，但这里的选项Ａ、Ｂ、Ｃ中皆没有单位cm ，所以选D. 答案:D

3.若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为____________. 解：正方体的对角线即为球的直径，直径d=3327333222==++，由

d=33?R=

3

3

3?S=4πR 2=27π. 答案：27π

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.已知正六棱柱的高为h ，底面边长为a ，则它的全面积为( ) A.ah a 6332

+ B.h a 632

+ C.ah a 6342+ D.

ah a 632

3

2+ 解析：柱体的全面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其全面积为S 侧

+2S

底

=6ah+33a 2

.

答案：A

2.如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A.2π B.

23π C.3

32π D.2π 解析：可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公式分别求出圆台的侧面积

和轴截面的面积. 答案:C

3.侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a ，则此棱锥的全面积是( ) A.

2433a + B.2

2

33a +

C.

2

4

36a + D.都不对 解析：首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥,这是因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面顶角之和小于360°,则易得答案为A. 答案:A

4.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )

A.

163 B.169 C.83 D.32

9 解：如图所示，设球半径为R,由题意知OO′=2

R

，

OF=R,

S

∴r=

2

3R. S 截面=πr 2

=π(2

3R)2=43πR 3

,

S 球=4πR 2

.

∴

163

44322

==R

R

S S ππ球

截面.

答案：A

5.图1-1-6-1所示的是由18个边长为1 cm 的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？

图1-1-6-1

解析：从图中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后、左、右两个面的表面积也是分别相同的.

解：因为小正方体的棱长是1 cm ，所以上面的表面积为12×9=9（cm 2

）；

前面的表面积为12×8=8（cm 2）；左面的表面积为12×7=7（cm 2

）, 几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48. 30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)

1.长方体的一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )

A.25π

B.50π

C.125π

D.都不对

解析：由于长方体的对角线的长是球的直径.所以可求得这个球的直径是50,然后代入球的表面积公式S=4πR 2

即可. 答案:B

2.若正三棱锥的斜高是高的

3

3

2倍，则棱锥的侧面积是底面积的( ) A.

32倍 B.2倍 C.3

8

倍 D.3倍 解析：由已知易求侧棱与高的夹角是60°,进而求得对于同一底边,侧面三角形和底面三角形的高的比为2∶3,由此易得答案. 答案:B

3.现要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为3 m,长和宽的和为20 m,那么仓库的容积的最大值是( )

A.300 m 3

B.400 m 3

C.200 m 3

D.240 m 3

解：设长方体的长为x,则宽为20-x,所以V=3x(20-x)=-3(x-10)2

+300≤300.故最大容积为

300 m 3

. 答案：A

4.下列四个结论中,错误的个数为( )

①经过球面上任意两点,可以作且只可以作一个球的大圆;②球面积是它大圆面积的四倍;③球面上两点的球面距离,是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长. A.0 B.1 C.2 D.3

解析：当球面上的两点与球心共线时可作无数个球的大圆,①错;S 球=4πR 2,S 大圆=πR 2

.所以S 球=4S 大圆,②正确;球面上两点的球面距离是球面上的两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,并非任意截面圆上,所以③错. 答案：C

5.如图1-1-6-2所示,正方体棱长为3 cm,在每个面正中央有个入口为正方形的孔道通到对面,孔的边长为1 cm,孔的各棱平行于正方体各棱.则所得几何体的总表面积为( )

图1-1-6-2

A.54 cm 2

B.76 cm 2

C.72 cm 2

D.84 cm 2

解：由题意知该几何体的表面积包含外部表面积与内部表面积.S 外=6×32-6×12=48( cm 2

),S

内=4×6=24( cm 2

).

∴S 总=48+24=72( cm 2

).

答案：C

6.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,以顶点A 、C 、B 1、D 1为顶点的正三棱锥的全面积为34,则正方体的棱长为( )

A.2

B.2

C.4

D.22

解：设正方体的棱长为a,侧面的对角线长为a 2,∴正三棱锥ACB 1D 1的棱长为a 2,它的表

面积为4·

4

3·(a 2)2=34.∴a 2

=2,即a=2. 答案：A

7.正方体的8个顶点中,有4个恰为正三棱锥的顶点,则正方体与正三棱锥的表面积之比是( )

A.2

B.3

C.

2

6

D.6 解：不妨设正四面体的顶点为A 、C 、B 1、D 1,设正方体的棱长为1,则正四面体棱长为2. ∴正方体的表面积为6,正四面体的表面积为32.∴它们的表面积之比为3. 答案：B

8.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A.

ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.π

π

241+ 解：设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr. ∴S 全=2πr 2

+(2πr)2

=2πr 2

(1+2π),S 侧=h 2

=(2πr)2

=4π2r 2

.∴

π

π

221+=

侧全S S . 答案：A

9.在球内有相距1 cm 的两个平行截面，截面面积分别是5π cm 2和8π cm 2

，球心不在截面内，求球的表面积.

解:轴截面如图所示.圆O 是球的大圆，A 1B 1、A 2B 2分别是两个平行截面圆的直径，过O 作OC 1⊥A 1B 1于C 1，交A 2B 2于C 2，由于A 1B 1∥A 2B 2，∴OC 2⊥A 2B 2.由圆的性质可得C 1和C 2分别是A 1B 1和A 2B 2的中点.设两平行截面的半径分别为r 1和r 2且r 2＞r 1,依题意

πr 12=5π,πr 22=8π,∴r 12=5,r 22

=8.∵OA 1和OA 2都是球的半径R,

∴OC 1=822

22-=

-R r R ,OC 2=52212-=-R r R .

∴8522---R R =1.

解这个方程得R 2

=9.

∴S 球=4πR 2=4π·32=36π( cm 2

).

10.如图1-1-6-3，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R ，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R 和3R ，斜高为0.6R.

图1-1-6-3

（1）求这个容器盖子的表面积（用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；

（2）若R=2 cm ，为盖子涂色时，所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m 2

，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1 kg ）. 解：（1）S 正四棱台=4×2

1×（2.5R+3R ）×0.6R+（2.5R ）2+（3R ）2

=

2

1（4×2.5+4×3）×0.6R 2+6.25R 2+9R 2=21.85R 2,则S 球=4πR 2

. 因此这个盖子的全面积为S 全=（21.85+4π）R 2

.

（2）取R=2，π=3.14，求得S 全=137.67 cm 2

，（137.67×100）÷10 000×0.4≈0.6（kg ）. 因此100个这样的盒子共需涂料约0.6 kg.