角平分线练习题[1]

角平分线练习

1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（） A.mn B.

21mn C.2mn D.3

1mn 2、如图，已知AC 平分∠PAQ ，点B ，B′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即

可推出AB=AB′，那么该条件可以是（）

A 、BB′⊥AC

B 、BC=B′

C C 、∠ACB=∠ACB′

D 、∠ABC=∠AB′C 3、如图，FD ⊥AO 于D ，F

E ⊥BO 于E ，下列条件：①O

F 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的度数是 . 5、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是 . 6、如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P’分别在边OA 、OB 上。如果要得到OP=OP’，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能的结果的序号为____________： ①∠OCP=∠OCP’ ②∠OPC=∠OP′C ； ③PC=P′C ； ④PP′⊥OC 7、如图，在ΔABC 中，BC =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则ΔPDE 的周长是___________ cm.

8、△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D 。若DC=7，则D 到AB 的距离是 . 9、已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且BO=CO ．求证：O 在∠BAC 的角平分线上．

10、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。

B D E

C A

C N M

（图7）

11、如图：在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足为E，F。求证：EB=FC。

12、如图：在△ABC中，，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。

求证：点O在∠A的平分线上。

13、如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D。求证：（1）OC=OD，（2）DF=CF。

14、如图：AB=AC，BD=CE。求证：OA平分∠BAC。

15、如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。

求证：点D在∠A的平分线上。

F E

专题16角平分线及中点问题

二轮复习之角平分线问题【考点一：角平分线+平行→等腰三角形】典例1. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=7，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则ED 的长为（） A ．4 B ．3 C ．72 D ．2 关键点分析：关注题目中有无平行线环境，这个平行线环境包括题目给出来的平行线条件，也包括平行四边形中的隐性平行线环境，在这样的题目中我们要积极地寻找等腰三角形。模型图总结：【考点二：角平分线+垂直→等腰三角形】典例2.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD ，若AC ＝5，BC ＝3，则CD 的长是（） A ．2 B ．2.5 C ．2 D ．关键点分析：关注题目中有无“双重身份”的线，即角平分线还有另外一重身份“垂线”，这样的题目中图形中也都隐藏着等腰三角形，需要我们作辅助线把这个等腰三角形找出来。模型图总结：

【考点三：见角平分线→作双垂】典例3．如图，△ABC 中，BC 的垂直平分线DP 与∠BAC 的角平分线相交于点D ，垂足为点P ，∠BAC=84°，则∠BDC=_______度。关键点分析：遇到角的平分线作双垂，应用角平分线的性质定理解题是基本的辅助线。模型图总结：【考点四：见角平分线→作对称】典例4. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ，若AC=3，CD=2，则AB=________。关键点分析：轴对称性是角平分线的本质属性，所以遇到含有角平分线的题目经常需要将角平分线一侧的三角形作对称处理，利用角的轴对称性来解决问题。模型图总结：【模型应用】 1．已知OC 平分∠AOB ，点P 为OC 上一点，PD ⊥OA 于D ，且PD=3cm ，过点P 作PE ∥OA 交OB 于E ，∠AOB=30°，求PE 的长度为_________cm 。 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，点M 在边CD 上，若AM 平分∠DMB ，则DM 的长是________． 3． M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC 的周长等于___________． 4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ，若AC=3，AB=5，则CE 的长为（）。

几何辅助线之角平分线专题

几何辅助线之角平分线专题1、角平分线辅助线四种基本模型已知：AD是∠BOC的角平分线（1）（2）（3）（4） 2、补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC

典型例题例1、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB 例2、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合，当∠A满足什么条件时，点D恰为AB中点？写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点. 例3、如图，AB=2AC，∠BAD=∠DAC,DA=DB ，求证：DC⊥AC。

B 例4、如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ， F ．求证：AD 垂直平分EF ．例5、如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例6、如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为E ，求证： BD ＝2CE 。

例7、如图，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。变式练习请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题： ⑴如图，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断写出FE与FD之间的数量关系； ⑵如图，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由。

(完整word版)角平分线导学案.doc

角平分线导学案一、探索性质（一）自主学习要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB 的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。（二）小组展示要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位（三）自主学习检测(口答 ) 1、 AD ， AE 分别是 △ABC 中∠ BAC 的内角平分线和外角平分线 ,它们有什么位置关系 ? C E D B A 2、下列推理步骤是否正确 A E P O B F ∵OP 平分∠ AOB ∴PE=PF 3、已知： OP 平分∠ AOB PE⊥ OA,PF ⊥ OB, PE=3 求： PF A E P O B F 4、已知： AO 平分∠ BAC ， OD⊥ BC ， OE⊥AB ，垂足分别为D， E，且 OD=OE 。求证： CO 平分∠ ACB 。 A E O B C D 小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升）二、性质运用（巩固练习） 1、△ ABC 中，∠ B=90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D,BC=10cm,CD=6cm, 则点 D 到 AC 的距离是。 2、点 P 在∠ AOB 的角平分线上，PE⊥ OA,PF ⊥ OB,且 PE+PF=8 ，则 PF=. 3、在 Rt △ABC 中，∠ C =90 °， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D, BC=32,BD:CD=9:7, 则则点 D 到 AB 的距离是。 4、已知：在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， BD=CD ， DE ⊥AB ， DF ⊥ AC ，垂足分别为点E， F。求证： EB=FC A E F B C D

角平分线定理专题

1.如图，2是/ DE = DG* △ ADG*U A AED 的而枳分别为 35,见I △ EDF 的而积为( ) 2 - A ?25 B ? 5.5 C ? 7.5 2?如图f 是ZAOB 平分线OC 上一点f D 丄OB,垂足为D, 若PD=2M 点P 到边OA 的距离是 3?如图,AABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,M 三条角平分线将Z\ABC 分为三个三角形，则 S. .ABO : S A BCO : S/.CAO ，： .r \ ' _______________ ? 4. （2016?怀化）如图,OP 为Z AOB 的角平分线，PC 丄OA, PD 丄OB,垂足分别是C, D,则下列结论错误的是（） 4 PC=PD B ? ZCPD=Z DOP C ? ZCPO = Z DPO D ? OC = OD 5. （2016?淮安）如图，在PtAABC 中，ZC=90°,以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC, AB 于点M, N,再分别以点M, N 为圆心，大于扌MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D,若CD=4, AB = 15,则厶ABD 的面积是（ 6. 如图，AABC 中，ZC=90°, AD 平分Z BAC 交BC 于点D ?已知BD ： CD = 3 ： 2，点D 到 AB 的距禽是6,则BC 的长是 _________ 7. 如图所示，已知AABC 的周长是20, OB, OC 分别平分Z ABC 和Z ACB, OD 丄BC 于点D, 且OD = 3,贝U ABC 的面积是. _______ 之定理专题（基础题） B.2 C. 4 1 5 B. 30 C ? 45 D ? 60 () 為DF 丄AB ，垂足为& A D. B D B O A D H

《角平分线的判定》同步练习题

第2课时角平分线的判定一、选择题 1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2．如图，AD ⊥OB ，BC ⊥OA ，垂足分别为D 、C ，AD 与BC 相交于点P ，若PA=PB ，第2题图第3题图第4题图 3. 如图，在Rt △ABC 的斜边BC 上截取CD=CA ，过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于E ，线交于点第5题图第6题图第7题图 M F E D C B A

6．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A 、1处 B 、2处 C 、3处 D 、4处 7．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（）（A ）DE ＝DF ．（B ）ME ＝M F ．（C ）AE ＝AF ．（D ）BD ＝DC ． 8. 如图，△ABC ，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，有下列四个结论： ①DA平分∠EDF ； ②AE=AF； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等； ④到AE ，AF 距离相等的点到DE 、DF 的距离也相等．第8题图第10题图第11题图二、填空题 9. 在角的内部到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的． 10.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA 于C ，QD⊥OB 于D ，若QC=QD ，则∠AOQ= °． °． 12.如图，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA=PB ，∠MON=50°， ∠OPC=30°，则∠PCA= °．第12题图第13题图 13.如图，△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 相

《角平分线的性质》导学案

《角平分线的性质》导学案教学目标：1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用。 2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。教学重点和难点：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． } 如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，沿着AC 画一条射线AE ，AE 就是∠BAD 的角平分线，你知道为什么吗用直尺和圆规作角的平分线已知：∠AOB 求作：射线OC 使∠AOC =∠BOC ] 做法：探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论 (2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 、求证: PD=PE 几何书写在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则： ⑴图中相等的线段有哪些相等的角呢 ⑵哪条线段与DE 相等为什么 - ⑶若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长。 P A O 》 B C E D 1 |

在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长。 | 如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EB 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，（点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上． D ） B A C D ~ E B F

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法

专题训练(四)线段垂直平分线和角平分线的辅助线作法类型之一线段垂直平分线的辅助线作法 1．如图4－ZT－1，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB ＋BC＝BE，则∠B的度数是() A．45°B．60°C．50°D．55° 图4－ZT－1 2．如图4－ZT－2，AB＋AC＝7，D是AB上一点，若点D在BC的垂直平分线上，则△ACD的周长为________．图4－ZT－2 3．如图4－ZT－3，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，连接OB，OC，若∠BAC等于84°，求∠OBC的度数．图4－ZT－3 4．如图4－ZT－4，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足为D，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC交于点F，求∠A的度数．

图4－ZT－4 类型之二角平分线的辅助线作法 5．如图4－ZT－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且DC＝8 cm，则点D到AB的距离是() A．16 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 图4－ZT－5 6．如图4－ZT－6，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于() A．10 B．7 C．5 D．4 图4－ZT－6 类型之三线段垂直平分线和角平分线综合运用的辅助线作法 7．如图4－ZT－7所示，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，OB 和OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，试说明：BE＝EF＝FC(提示：三个内角相等的三角

12.3角平分线的性质精品导学案新人教版9

c 第十二章全等三角形 12.3 角平分线的性质一.学习目标 1.学会角平分线的画法；会用角平分线的性质和判定解决相关问题。 2.在学习过程中，培养动手能力和推理归纳能力 3.在自主学习过程中，体验获取知识的成就感和正反看问题的辩证思想。二.学习重难点角平分线的性质、判断及应用。三.学习过程第一课时角平分线的画法及性质（一）构建新知 1.阅读教材48～49页（1）如图，已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线。（2）在角平分线上任取一点P ，作AO 和BO 的垂线PE 和PF ，交AO 和BO 于E ，F 。（3）我们发现角平分线上的点到角两边的________相等。（二）合作学习 1.如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到铁路和公路的距离相等，并离铁路和公路的交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（在图上标出其位置，比例尺1:20000）？（三）课堂检查

1.如图，线a，b，c是三条公路，现要建一个货物中转站，要求到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处。 A．1 B．2 C．3 D．4 2. 已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为___________。 3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为________。 4. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为_______。 5. 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥ AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）。 A．3 B．4 C．6 D．5 6. 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF。（四）学习评价（五）课后作业 1.学习指要23～24页 2.教材43～44页 1题，2题,4题，5题

角平分线导学案

a 角平分线导学案一、探索性质（一）自主学习要求：先独立完成，后小组交流，采用一帮一互助作用，让全组提升 1、利用尺规作出∠AOB的角平分线，分条理，清楚说明作图步骤。 2、为你的作图方法寻找理论支撑，并分析出正确的理由。 3、借助你的作图，探索出角平分线的性质，并证明该性质定理的正确性，分别用文字语言和几何语言表示该性质。 4、试写出角平分性性质定理的逆定理，并证明，用几何语言表示该性质。（二）小组展示要求：全员参与，分工明确，讲解清楚，提升到位（三）自主学习检测(口答) 1、AD，AE分别是 2、下列推理步骤是否正确 3、已知：OP平分∠AOB △ABC中∠BAC的 PE⊥OA,PF⊥OB, PE=3内角平分线和外角平分线,它们有什么位置关系 ∵OP平分∠AOB ∴PE=PF 4、已知：AO平分∠BAC，OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，且OD=OE。求证：CO平分∠ACB。小结：在运用角平分线性质和判定的过程中，两个条件缺一不可（*学生提升）二、性质运用（巩固练习） 1、△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10cm,CD=6cm,则点D到AC 的距离是。 2、点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA,PF⊥OB,且PE+PF=8，则PF= . 3、在Rt△ABC中，∠C =90°，AD平分∠BAC交BC于点D, BC=32,BD:CD=9:7,则则点D到AB的距离是。 4、已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点E，F。求证：EB=FC

5、．已知：∠C=90°，∠B=30°，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。第5题 6、若∠1=∠2，则S△ABD︰S△CAD= 7、如图：∠BOC=∠AOC,OA=OB,PE⊥AC,PF⊥ 8、已知:P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C,D。求证：（1）OC=OD（2）OP是CD的垂直平分线。组内解决1-5题，全班解决6-8，第6题要注意与相似比的区别，7、8注意训练学生从问题入手的推理能力三、小结 1、本节课，主要学习的内容有什么？ 2、在运用角平分线性质及运用时，应该注意到什么问题？ 3、解决几何问题时，分析思路是什么？ 4、你还有哪些疑惑？四、课堂检测在△ABC中，∠C=90°,AB=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足分别为点E。（1）如果CD=4，求AC （2）求证：AB=AC+CD

《角的平分线的性质》同步练习(1)及答案

角的平分线的性质知识点1：角平分线的性质 1．如图11.3-1所示,在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，BC=20cm ，DB=17cm ，则D 点到AB 的距离是_________． 2．如图11.3-2所示，点D 在AC 上，∠BAD=∠DBC ，△BDC 的内部到 ∠BAD 两边距离相等的点有_______个，△BDC 内部到∠BAD 的两边、∠DBC 两边等距离的点有_____个．图11.3-1 图11.3-2 图11.3-3 3.如图11.3-3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，CD=2，则点D 到AB 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图11.3-4，已知AC ⊥BC ，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，下面结论错误的是（） A ．BD+ED=BC B ．DE 平分∠ADB C ．A D 平分∠EDC D ．ED+AC ＞AD 图11.3-4 图11.3-5 5．如图11.3-5，Q 是△OAB 的角平分线OP 上的一点，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，QE ⊥OB 于E ，FQ ⊥OQ 交OA 于F ，则下列结论正确的是（） A ．PA=P B B ．PC=PD C ．PC=QE D ．QE=QF 6．如图11.3-6，AP 平分∠BAC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，点O 是 AP 上任一点（除A 、P 外）．求证：OF=OE ． B D A E A D C B A C B D A B C D E A O B P C D F E Q

角平分线习题精选(专题)

第 1 页共 2 页角平分线习题精选 1、已知：如图1，中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC+CD 。 2、已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ，求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。 3、如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交 BC 的延长线于点D ，若∠CAD ＝2∠ADC ，求∠B 的度数 5、如图5、A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠DAB 。 6、如图6、在△ABC 中，AB ＝7，求内心到边的距离。 7、如图7、已知在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边向外作正△BCE 、正△ACD ，BD 与AE 交于M ，求证：（1）AE ＝BD 。（2）MC 平分∠DME 。 D D C

第 2 页共 2 页 8、如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面积，求证：OP 平分∠BOD 。 9如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线 AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。 10、如图10、已知在四边形ABCD 中，B D ＞AB ，AD ＝DC ， BD 平分∠ABC ，求证：∠A+∠C ＝180°。 11、如图11、△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF+∠BAF ＝180°，求证：DE ＝DF 。 12、如图12、△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F 。求证：FD 2＝F B ×FC C F

等腰三角形常用辅助线专题练习含答案

等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案） 1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。∵AB=AC，AD=AE 又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。∴BD=CE. 2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．

解法2：过A点作△ABC底边上的高，再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE 3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=

∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形． 4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE 的延长线与BC相交于F。求证：DF⊥BC. 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED， ∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF， ∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC; 若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。 5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD. 证明：连接AC,AD ∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)

1.4 角平分线导学案

1.4角平分线（一）一、学习准备：角平分线的定义：_______________________ ______ 。二、学习目标： 1、掌握角平分线的性质及判定定理和它们的证明， 2、能熟练地运用定理解决实际问题。三、学习提示：阅读P28~29完成下列任务： 1，自主探究：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。求证：PD=PE 得到定理：。练习：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ，求证：BE=CF [分析]要证BE=CF ，只需证△BDE ≌△FDC 2. 合作探究：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。求证：OC 是∠AOB 的角平分线得到定理。 O D A P E C O D A P E B C

3、自学：P29例1 4、练习：1、P29随堂练习1、2 四、学习小结：你有哪些收获五、夯实基础 1、在RT △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE 是是斜边AB 的垂直平分线，且DE=1CM ，则AC=_________. 2、如图所示，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DF ⊥AC ，垂足为F ，则下列结论不正确的是（） A 、△AEG ≌△AFG B 、△AED ≌△AFD C 、△DEG ≌△DFG D 、△BD E ≌△CDF 3、△ABC 中, ∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，连结AO ，若∠OBC=25°， ∠OCB=30°，则∠OAC=_____________° 4、∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为2CM ，则M 到OB 的距离为____________。 15、已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F 。求证：EB=FC 六、能力提升 1、如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD .求证：AD 平分∠BAC . 作业：P30习题1.9—3、4 C A B F E D

角平分线的性质知识点

角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图： ∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边） 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图： ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。如下图： ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'

角平分线垂直平分线及辅助线专题

1在ABC V 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC V 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC V 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB V 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC V 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若 DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE V 的周长

于F，垂足为N，求EAF 的度数 10. 中，和分别是边AB和的垂直平分线，，则的周长 V V =8 ABC DE FG AC BC EAG 11.ABC V中，AB边的垂直平分线交BC于E，垂足为M，AC边的垂直平分线交BC于F，垂足为N， BC=12，求EAF V的周长 12.在ABC ，，AB的垂直平分线，与边V中，AB=AC DE BC所在的直线相交所成锐角为50°，

ABC B V的底角的大小为 ∠ 13.在ABC ，°， ∠ V中，AB=AC A=50 AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，则DBC ∠的度数是 14.如图，在 ABC BC=8AB AB D AC V中，，的垂直平分线交于点，交边于点 cm ，BCE V的周长等于18cm,则AC 的长等于＿＿＿＿＿＿ 15.如图， ABC AB=AC DE AB AB=8BC=436 V中，，是的垂直平分线，，，°，则 ∠ ∠＿＿＿＿＿＿BDC DBC= V的周长为＿＿＿＿＿

角平分线性质定理和判定(经典)

角平分线的性质定理和判定第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于点E，AB=15cm，（1）求证：BD+DE=AC．（2）求△DBE的周长．例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少

第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系请说明理由． 2 1 N P F C B A

（3）CD、AB、AD间直接写出结果【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

角平分线判定导学案

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人：12.3 角平分线性质导学案温馨寄语：朝霞般美好的理想，在向你们召唤,你们是一滴一滴的水，全将活跃在祖国的大海里. 一．学习目标： 1、掌握角平分线的判定方法。 2、能够利用角平分线的性质和判定定进行推理和计算。二．重点与难点 1、角的平分线的判定的证明及运用。5 2、灵活应用角平分线的性质和判定解决问题。三、学习过程知识链接角的平分线的性质是：角平分线上的到角两边的相等。合作探究阅读教材第49页（关键处、疑难处做好标记）.独立思考解决以下问题：角平分线上的到角两边的相等。那么反过来，到角两边的距离相等的点是否在角平分线上呢？你能利用三角形全等来证明吗？请试一试。求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）角的平分线的判定定理；角的内部到角两边的距离的点在上。用数学语言表示为： ∵，， ∴

和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人：四、合作探究 1、要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． ∴ 同理PE=PF． ∴ 即点P到三边AB、BC、CA的距离

3、比较角平分线的性质与判定和安中学2017-2018学年第一学期八年级数学导学案审核人：五、课堂跟踪 1、如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在_____．． 2、如图，AD平分∠BAC，DB⊥AB，若要证明AD=DC,则可以添加的一个条件______．． 3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________. 第1题第2题第3题 4、到三角形三边距离相等的点是（）

(完整版)中考复习2角平分线专题

角平分线专题【类型一】角平分线倒角模型例1、把一副学生用三角板)9060 30(???、、和)904545(???、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC . (1)把图1中的AED Rt ?绕A 点顺时针旋转α度)900(?<≤α得图2,此时AGH ?的面积是10,AHF ?的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标; (2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值. 检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。 x y

检测2、如图探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．

角平分线的判定定理

一、学习目标 1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理； 2、会用尺规作已知角的平分线．二、温故知新如图1，在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON ，MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．求证：（1） Rt △MOC ≌Rt △NOC （2） ∠MOC=∠NOC ．三、自主探究合作展示探究（一） 1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？ 2、思考:把上面的方法改为“在已知∠AOB 的两边上分别截取OM=ON ，使MC=NC ，连接 OC ，则OC 即为∠AOB 的平分线。”结论是否仍然成立呢？ 3、受上题的启示，我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）思考：如何作出一个角的平分线呢？已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．请同学们依据以上作法画出图形。议一议： 1、在上面作法的第二步中，去掉“大于12 MN 的长”这个条件行吗？ 2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？探究（三）如图3，OA 是∠BAC 的平分线，点O 是射线AM 上的任意一点. 操作测量：取点O 的三个不同的位置，分别过点O 作OE ⊥AB ，OD ⊥AC,点D 、E 为垂足，测量OD 、OE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段OD 与OE 的大小关系，写出结论：下面用我们学过的知识证明发现：已知：如图4，AO 平分∠BAC ，OE ⊥AB ，OD ⊥AC 。图2 图1 OD OE 第一次第二次第三次 B O A

角平分线的性质导学案

角平分线的性质（1）导学案学习目标： 1.会用尺规作图作角平分线。 2.探究理解角平分线的性质并会应用。一、自主学习角平分线：从一个的顶点引出一条，把这个角分成两个的角，这条叫做这个角的角平分线。二、探究活动活动1：不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？活动2：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？你能用三角形全等的知识说明角平分仪的工作原理吗？活动3：如何用尺规作角的平分线？探究验证： 1.操作测量：在上图的角平分线oc上取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥ 3.得出结论：证明结论：已知：求证：证明：活动4：师生共同总结证明命题的步骤A D O B E P C O A C B

三、例题讲解：例：在△OAB 中，OE 是∠ AOB 的角平分线，且EA=EB ，EC 、ED 分别垂直OA ，OB ，垂足为C ，D ，求证：AC=BD 。四、课堂达标： 1.如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D 、E,PD=4cm,则PE=__________cm. 2.如图，OC 平分∠AOB ， PM ⊥OB 于点M ，PN ⊥OA 于点N ， △POM 的面积为6，OM=6，则PN=_______。 3:如图，在△ABC 中，∠C ＝900，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC ＝8,BD ＝5，则点D 到AB 的距离为？ O A B E C D A D O B E P C A C B A B M N P C

角平分线的性质1

课题：11.3 角的平分线的性质（1）课型：新授课教学目标： 1、知识与技能：应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．会用尺规作一个已知角的平分线． 2、过程与方法：通过操作、探究角的平分线的性质 3、情感、态度与价值观：敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难。教学重点：利用尺规作已知角的平分线．教学难点：角的平分线的作图方法的提炼。教学方法：探究、合作交流教学资源：三角尺、圆规、纸张教学过程一．提出问题，创设情境三角形中有哪些重要线段．你能作出这些线段吗？二．导入新课议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ． ∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．看看条件够不够． AB AD BC DC AC AC =??=??=? 所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N 为圆心，大于2 1MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ．（3）作射线OC ，射线OC 即为所求．议一议： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于2 1MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？总结： 1．去掉“大于2 1MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．

初一角平分线的性质专题一

D C A E B 角平分线的性质及判定专题填空题： 1．已知：△ABC 中，∠B =90°， ∠A 、∠C 的平分线交于点O ，则∠AOC 的度数为 . 2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________． 3．∠AOB 的平分线上一点M ，M 到 OA 的距离为1.5 cm ，则M 到OB 的距离为_________. 4．如图，∠AOB =60°，CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ，则∠DOC =_________. 5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm . 6．如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF ______FG ，CE ________CF . 7．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等． 8．点O 是△ABC 内一点，且点O 到三边的距离相等，∠A =60°，则∠BOC 的度数为_____________．选择题： 9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（） A 、4㎝ B 、6㎝ C 、10㎝ D 、不能确定 10．如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD 11．如图，直线l 1，l 2，l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）第4题第5题第6题