利用函数的思想简捷解一道几何压轴题

一、题目已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90?，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图．

（1）若BD 是AC 的中线，求CE BD

的值；

（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，求CE

的值；（3）结合（1）、（2），请你推断CE BD 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究CE

的值能小于

吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由．（绵阳市初2011级学业考试暨高中阶段招生考试，满分14分）

二、原试题解法

（1）∵ ∠A =∠E = 90?，∠ADB =∠CDE ，∴ △ADB ∽△EDC ，∴CE

AB AD =

．由于D 是中点，且AB = AC ，得AB = 2 AD ，于是 CE = 2 DE ．在Rt △ADB 中，BD =AD AD AD AD AB 542222=+=+．在Rt △CDE 中，由 CE 2 + DE 2 = CD 2，有 CE 2 +41

CE 2 = CD 2，于是CD CE 5

．而 AD = CD ，所以

=CE BD ．（2）如图，延长CE 、BA 相交于点F ．∵ BE 是∠ABC 的平分线，且BE ⊥CF ，∴ △CBE ≌△FBE ，得 CE = EF ，于是 CF = 2 CE ．又 ∠ABD +∠ADB =∠CDE +∠FCA = 90?，且 ∠ADB =∠CDE ，

∴ ∠ABD =∠FCA ，进而有 △ABD ≌△ACF ，得 BD = 2 CE ，2=CE

．（3）

CE BD 的值的取值范围为CE

≥1．显然当D 与A 重合时，BD = AB ，CE = AC ，1==AC

CE BD ，且随D 从A 向C 移动时，BD 逐渐增大，而CE 逐渐减小，所以

的值是随着D 从A 向C 移动而逐渐增大．设P 是AC 上的点且满足3

=CE BD ，如图．设

λ=PC

，则AP = λ PC ，于是 AB = AC = AP + PC =（1 + λ）PC ． ∴ PB 2 = AB 2 + AP 2 = AC 2 + AP 2 =（1 + λ）2 PC 2 + λ2 PC 2 = PC 2· [（1 + λ）2 + λ2 ]．又由∠APB =∠EPC ，∠A =∠E ，知△APB ∽△EPC ， ∴PC BP CE AB =

，即BP

AB CE ?=，∴ PC AB BP CE BD ?=2． E

C A B E

D C

代入，得 3

1221)1(])1[(2222=+++=?+?++=λλλλλλPC PC PC CE BD ，整理，得 6λ2 + 2λ－1 = 0，解得6

71--=

λ（舍去），或6

72-=λ．即P 点位于AC 上且

7-=PC

处．综上，当D 点在线段AP （不含端点P ）上移动时CE

BD 小于34

．

三、试题新解

解法1 设AB = AC = 1，CD = x ，则0＜x ＜1，BC =2，AD = 1－x ．在Rt △ABD 中，BD 2 = AB 2 + AD 2 = 1 +（1－x ）2 = x 2－2x + 2．

由已知可得 Rt △ABD ∽Rt △ECD ， ∴

AB CE =

，即 2

212

+-=x x x CE ，从而 2

+-=

x x x CE ，

∴ 22

222

222222-+=+-=+-+-==x x x x x x x x x x CE

y ，0＜x ＜1，

（1）若BD 是AC 的中线，则CD = AD = x =21

，得 2

5==CE BD y ．（2）若BD 是∠ABC 的角平分线，则

AD CD =

，得 121=-x x ，所以22-=x ，222

22=--+-==CE BD y ．（3）若3

22=-+==

x x CE BD y ，则有 3x 2－10x + 6 = 0，解得 375-=x ∈（0，1）， ∴ 6171-=-=x x DC AD ，表明随着点D 从A 向C 移动时，BD 逐渐增大，而CE 逐渐减小，CE

的值则随着D 从A 向C 移动而逐渐增大．

解法2 设AB = AC = 1，AD = x ，则0＜x ＜1，BC =2，CD = 1－x ．在Rt △ABD 中，BD 2 = AB 2 + AD 2 = 1 + x 2．由已知可得 Rt △ABD ∽Rt △ECD ，

∴ BD CD

AB CE =

，即 211x

x CE +-=，从而 x x x x x x x x CE BD y -+---=-+=+-+==12)1(2)1(11111222

2， ∴ 212

1--+-==

x CE BD y ，0＜x ＜1．下同新解1，略．解法3 设AB = AC = 1，∠ABD = α，则 BC =2，∠CBE = 45?－α．

在Rt △ABD 中，有 α

cos 1

cos =

∠=

ABD AB BD ；在Rt △BCE 中，有 CE = BC · sin ∠CBE =2sin （45?－α）．因此

)

452sin(212

cos sin cos 1cos )45sin(212?--=-=-?=ααααααCE

．下略．

解法4 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y

设A （0，1），则B （－1，0），C （1，0）．设直线BE 的方程为y = kx + b （0＜k ＜1），由于点B （－1，0所以得 0 = －k + b ，即 b = k ，于是BE 的方程为y = kx + k ，0＜k ＜进而点C （1，0）到BE 的距离为 2

12||k

k CE +=

．

注意到直线AC 的方程为 x + y = 1，所以联立x + y = 1和y = kx + k ，可解得点D 的坐标（k +1，k

+1）．因此 BD 2

=（k k +-11+ 1）2 +（k k +12）2 =2

1()1(4k k ++． ∴ 2222112112k k k k

k k k CE BD ++=+÷++=．下略．四、试题简评

1．该题命制的原意可能是考查直角（等腰）三角形的有关性质、勾股定理、角平分线性质、相似（全等）三角形的判定与性质、比例、二次方程的解法以及运动变化的观念．

2．试题已知条件简洁明了，图形线条清爽，是一个内涵丰富、形式优美、给人以启迪的好题．由于所提的三个问题没有思维递进关系，导致求解思路方法重复（见原解答），人为增加了思维回路和书写量，使

得本可以一气呵成解决的问题（求

CE BD 的值的取值范围，或求CE

关于AD （CD ）的函数关系）而变得支离破碎，冗繁无比．尤其是第（3）问的解答，不可预想，无法推广． 3．事实上，“请你推断

的值的取值范围”是这道压轴题的核心问题，除了要求写出结论，而作一定的证明、推理更能考查学生的数学素养和能力．

4．逻辑推理如下：

由已知，得 CE ＜CD ≤CA = BA ≤BD （D 分别在端点处取等号），

∴ CE ＜BD ，显然CE ＞0（原题应加以限制D 与C 不重合），因此CE

＞1．当点D 越来越接近点C 时，CE 趋于0，此时CE

趋于无穷大． 5．问题“探究

CE BD 的值能小于34吗？”没有意义．由上述看到：这不明摆着CE

BD 的值能小于34

吗，根

本没有探索的必要．

6．已知“D 是腰AC 上的一个动点”，这时过C 只能是作CE 垂直于BD 的延长线，垂足为E ；由于已知中D 可能与A 或C 重合，所以试题第（3）问应加以限制说明“D 与C 不重合”．

7．因为几何图形的运动变化，直观而形象，所以若设置一些基本的参变量（线段、角等），通过对图形（点、线、角）位置关系和度量关系的运动变化情况的研究，寻找出这些基本参变数之间的关系（这些关系可能是函数、也可能是方程），然后用代数方法（函数思想和方程思想）去定量研究基本参变量的内在

规律，是初中数学要着力培养的高层次能力，也是写作本文的初衷．

用方程的思想解一道初中几何题

用方程的思想解一道初中几何题大方一中李顺题目：如图，在ΔABC 中，点D,E 分别在AB,AC 上，且CD 与BE 相交与点F ，已知ΔBDF 的面积为6，ΔBCF 的面积为9，ΔCEF 的面积为6，则四边形ADFE 的面积为底之比，想到连接DE,ΔCEF 与ΔBCF 积之比为6:9，即为2:3,即EF ：BF=2:3 所以ΔDEF 与ΔBDF 的面积之比为2:3， ΔDEF 与ΔBDF 的面积之比等于EF ：，而的面积是6，所以ΔDEF 的面积是4设ΔADE 的面积为x ,则 BD AD S S DB AD S S BDC ADC BDF ADE = =????, BDF ADC BDF ADE S S S S ????= ∴ 9 66446+++=+∴x x 20,1001015=+=∴x x x 24420=+=+=∴??D FE AD C AD FE S S S 四边形探究：用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得到下面的解法 1596,1596=+==+=??BEC BD C S s BFC BD C S S ??=∴ 所以，D 、E 两点到BC 边的距离相等，DE ⅡBC ，ΔADE 与ΔABC 相似，于是有 94 322 22=??? ??=??? ??=??? ??=??FC DF BC DE S S ABC ADE 设ΔADE 的面积为S,则有ΔABC 面积为S+4+6+6+9=S+25 F

20,1005,10049,94 25==+==+∴ S S S S S S 24420=+=+=∴??D FE AD C AD FE S S S 四边形写于2018年5月16日

二次函数与几何综合压轴题题型归纳88728

学生：科目：数学教师：刘美玲一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝）（1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。（2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点的个数有两个交点 ? 0＞?

中考专题--方程思想

方程应用试题姓名___________ 应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力；(正确的找到等量关系)③要掌握运用方程思想解决问题的要点一．方程思想在代数问题中的应用（1）整式与方程思想 1．已知25A x mx n =-+，2 321B y x =-+-，若A B +中不含有一次项和常数项，则222m mn n -+的值为 2．单项式2343m n m n x y ++与422y x -是同类项，则m n 的值为（2）函数与方程思想 3．若函数2 1 5m m y mx --=+是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m = 4．已知反比例函数k y x = 与一次函数2y x k =+的图像的一个交点的纵坐标是4-，则k 的值为 5．已知点(1,)P m 在正比例函数2y x =的图像上，那么点P 的坐标为二．方程思想在几何问题中的应用在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程；②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程（1）三角形和四边形与方程思想通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（） A ．1 B ． 34 C ．2 3 D ．2 7．如图，如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连接CE ，则CE 的长________. 8．如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则 AD AC 的值为( ) ． A ． 1 2 B ．51- C ．1 D ．51+ 9．如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值（3）圆与方程思想通常以半径相等或者切线长相等为突破口以“勾股定理”为等量关系列出方程 10．如图，ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，4=AC ，3=BC ，以BC 上一点O 为圆心作⊙O，与AC 、AB 分别相切于C 点、E 点，则⊙O 的半径为 11．如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A ′ G D C 6题第7题 F A D O E B C E B O 第10题 O B A P D 第11题第8题

二次函数与几何综合(习题及答案)

二次函数与几何综合（习题） ?例题示范例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1) 可知A(-3，0)，B(1，0)， ∵OA=OC， ∴C(0，-3)，将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，解得，a=1， ∴y=x2+2x-3． 1

△ 第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为 S △ACP 的最大值，分析 A ，C 为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0；（2）设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S △ACP ．【过程示范】如图，过点 P 作 PQ ∥y 轴，交 AC 于点 Q ，易得 l AC ：y =-x -3 设点 P 的横坐标为 t ，则 P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)， ∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0）， ∴ S = 1 PQ ? (x - x ) = - 3 t 2 - 9 t （-3＜t ＜0） △ ACP 2 C A 2 2 ∵ - 3 < 0 ， 2 ∴抛物线开口向下，且对称轴为直线t = - 3 ， 2 ∴当t = - 3 时，S ACP 最大，为 27 ． 2 8 第三问：平行四边形的存在性【思路分析】分析不变特征：以 A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点 A ，B 连接成为定线段 AB ．分析形成因素：要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线．画图求解：先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条 2

一次函数与几何综合(一)(讲义及答案).

一次函数与几何综合（一）（讲义） ? 课前预习 1. 若一次函数经过点 A (2，-1)和点 B (4，3)，则该一次函数的表达式为． 2. 若直线 l 平行于直线 y =-2x -1，且过点(1，4)，则直线 l 的表达式为． 3. 如图，一次函数的图象经过点 A ，且与正比例函数 y =-x 的图象交于点 B ，则该一次函数的表达式为．第 3 题图第 4 题图 4. 如图，点 A 在直线 l 1：y =3x 上，且点 A 在第一象限，过点 A 作 y 轴的平行线交直线 l 2：y =x 于点 B ．（1）设点 A 的横坐标为 t ，则点 A 的坐标为，点 B 的坐标为，线段 AB 的长为；（用含 t 的式子表示）（2）若 AB =4，则点 A 的坐标是． ? 知识点睛 1. 一次函数与几何综合的处理思路：从已知的表达式、坐标或几何图形入手，分析特征，通过坐标与横平竖直线段长、函数表达式相互转化解决问题． 2. 函数与几何综合问题中常见转化方式：（1）借助表达式设出点坐标，将点坐标转化为横平竖直线段长，结合几何特征利用线段长列方程；（2）研究几何特征，考虑线段间关系，通过设线段长进而表达点坐标，将点坐标代入函数表达式列方程．表达线段长：横平线段长，横坐标相减，右减左；竖直线段长，纵坐标相减，上减下．

? 精讲精练 1. 如图，直线 y = - 3 x + 3 与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，点 C 4 是 y 轴负半轴上一点，若 BA =BC ，则直线 AC 的表达式为．第 1 题图第 2 题图 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y =kx +b 的图象经过点A (-2，6)，且与 x 轴相交于点 B ，与正比例函数 y =3x 的图象交于点 C ，点 C 的横坐标为 1，则△OBC 的面积为． 3. 如图，直线l ：y = 3 x + 6 与 y 轴相交于点 N ，直线l ：y = kx -3 1 4 2 与直线l 1 相交于点 P ，与 y 轴相交于点 M ，若△PMN 的面积为 18，则直线l 2的表达式为． 4. 如图，一次函数 y = 1 x + 2 的图象与 y 轴交于点 A ，与正比例 3 函数 y =kx 的图象交于第二象限内的点 B ，若 AB =OB ，则 k 的值为．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)

一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结：（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结：（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b =0时，直线经过原点；当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交；当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点；当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限；当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限；当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限；当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；

当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系．直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ；当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ．（3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y

一次函数与几何图形综合题

一次函数与几何图形 1、平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少？ 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（15，6），直线y=1/3x+b 恰好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大

值为多少？ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A点，交x轴于点B（-6，0），△AOB的面积为15，且AB=AO，求正比例函数和一次函数的解析式。 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A 点的坐标是（-1，0），（1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；（2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。

9、在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(b 小于0）的图像分别与x 轴、y 轴和直线x=4交于A 、B 、C ，直线x=4与x 轴交于点D ，四边形OBCD 的面积为10，若A 的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 10、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y 轴交于点A ，且OA=OB ：求这个一次函数解析式 11、如图，A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点，点P （2，m ）在第一象限，直线PA 交y 轴于点C （0，2），直线PB 交y 轴于点D ，S AOP =6. 求：（1）△COP 的面积（2）求点A 的坐标及m 的值；（3）若S BOP =S DOP ，求直线BD 的解析式 12、一次函数y=- 3 3x+1的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以AB 为边在第一象限内做等边△ABC

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习 Last revision on 21 December 2020

浅说函数与几何综合题的解题策略及复习函数与几何是初中数学中的重点内容,是中考命题重点考查的内容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；这一特点在孝感市近三年的中考数学试卷中表现得尤为突出；如2001年的中考压轴题是以直角三角形为背景，揉合一次函数、相似形、直线与圆的位置关系等知识构成；2002年的中考压轴题是以矩形为背景，揉合轴对称、二次函数、几何证明等知识构成；2003年的压轴题是以二次函数为背景，揉合直角三角形的知识构成；因此，将函数知识与几何知识有机结合编制出综合题作为压轴题是我市中考命题的一大特点，也是今后中考命题的一大趋势；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题；本文特从2003年各地的中考试题中略选几例，谈一谈解决这类问题的策略和复习方法，以期达到抛砖引玉的目的。一、函数与几何综合题例析（一）“几函”问题： 1、线段与线段之间的函数关系：由于这类试题的主要要素是几何图形，因此，在解决此类问题时首先要观察几何图形的特征，然后依据相关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等）找出几何元素之间的联系，最后将它们的联系用数学式子表示出来，并整理成函数关系式，在此函数关系式的基础上再来解决其它的问题；解决此类问题时，要特别注意自变量的取值范围。例1 如图，AB是半圆的直径，O为圆心 AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段 AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC 的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x 的函数关系式及x的取值范围。（2003年山东省烟台市中考题）O

方程思想 (几何)

方程思想类型一找等量关系例1 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，△PQA 是其内接等边三角形。求PB 的长。变式1：如图，在△ABC 中，∠B=30°,∠ACB=120°,D 是BC 上一点，且∠ADC=45°，若CD=8，求BD 的长。变式2：（潍坊）已知线段AB 的长为a ．以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB ．取AB 边上一点E ．以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM ．过E 作EF ⊥CD ．垂足为F 点．若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等．则AE 的长为________________．变式3：如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，4=AD ，14=BC ，5=AB ，65=DC ，则梯形ABCD 的面积为变式4：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、AF 是两条高线，?=∠60EAF ,6CE =,3CF =,则线段BE 长为变式5：如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB ＝10cm ，PB ＝4cm ，OP ＝5cm ，则⊙O 的半径等于______________cm 。 A C D A B C D P Q C B D A E B C F A D

变式6：如图，已知正方形纸片ABCD 的边长为8，⊙0的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA 恰好与⊙0相切于点A ′(△EF A ′与⊙0除切点外无重叠部分)，延长F A ′交CD 边于点G ，则A ′G 的长是变式7：如图，已知等腰△ABC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则AD AC 的值为( ) ． A ． 12 B C ．1 D 变式8：如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r ＝2，则△ABC 的周长为变式9：如图，矩形ABCD 中，E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点，且AB ＝6，BC ＝7， AE ＝3，DM ＝2，EF ⊥FM ，则EM 的长为 ( ) A ．5 B ．5 2 C ．6 D ．6 2 变式10：如图，在△ABC 中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ 的一边QP 在边上，E 、F 两点分别在AB 、AC 上，AD 交EF 于点H 。设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求其最大值

八年级数学下《一次函数及几何综合》专题练习题.doc

2019-2020 年八年级数学下《一次函数与几何综合》专题练习题 1.如图，直线 l1的函数解析式为 y＝－ 3x＋3，且 l1与 x 轴交于点 D，直线 l2经过点 A，B，直线 l 1，l2交于点 C. (1)求点 D 的坐标； (2)求直线 l 2的函数解析式； (3)求△ADC 的面积； (4)在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标． 1 2. 如图，直线 y＝2x＋6 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 y＝－2x＋1 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，两直线交于点 E，求 S△BDE和 S 四边形AODE . 4 3．如图，直线 y＝－3x＋8 分别交 x 轴、y 轴于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 C，D 两点． (1) 求点 C 的坐标； (2) 求直线 CE 的解析式； (3) 求△BCD 的面积．

4.如图，在平面直角坐标系中，点 A( －1，0)，B(0，3)，直线 BC 交坐标轴于 B，C两点，且∠ CBA ＝45°.求直线 BC 的解析式． 5.如图， A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD 于点 F，交 AB 于点 E，BM ⊥OB 交 OE 的延长线于点 M. (1)求直线 AB 和直线 AD 的解析式； (2)求点 M 的坐标； (3)求点 E，F 的坐标． 6.如图，正方形 OBAC 中， O(0，0)，A( －2，2)，B，C 分别在 x 轴、 y 轴上， D(0，1)，CE⊥BD 交 BD 延长线于点 E，求点 E 的坐标． 1 7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0 ，1)，B(3，2)，P 为 x 轴上一动点，则 PA＋PB 最小时点 P 的坐标为 ________．

一次函数与几何图形综合题10及答案(供参考)

1文档来源为: . 专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； (2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM=4，BN=3，求MN 的长。 (3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线1l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，已知直线1l 的解析式为3y x =+， x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图① 2题图② 题图③

2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. （1）求直线2l 的解析式；（3分）（2）过A 点在△ABC 的外部作一条直线3l ，过点B 作BE ⊥3l 于E,过点C 作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分） 4.如图，在平面直角坐标系中，A (a ，0)，B (0，b )，且a 、 b 满足 . (1)求直线AB 的解析式； (2)若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值； (3)过A 点的直线交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为-1，过N 点的直线交AP 于点M ，试证明的值为定值． 5.如图，直线AB ：y =-x -b 分别与x 、y 轴交于A （6，0）、B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于C ，且OB ：OC=3：1。（1）求直线BC 的解析式：（2）直线EF ：y =kx-k （k ≠0）交AB 于E ，交BC 于点F ，交x 轴于D ，是否存在这样的直线EF ，使得S △EBD =S △FBD ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P 为A 点右侧x 轴上的一动点，以P 为直角顶点，BP 为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ ，连接QA 并延长交ｙ轴于点K ，当P 点运动时，K 点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 C B A 0x y Q M P C B A x y

一次函数与几何图形综合题10及答案

专题训练：一次函数与几何图形综合 1、直线y=-x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC 的解析式； (2) 在OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM 的值不变；②(MQ-AC)/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。 2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点。 (1)当OA=OB 时，试确定直线L 的解析式； x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第2题图①

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。 (3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。问：当点B在 y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。 3、如图，直线 1 l与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 2 l与直线 1 l关于x轴对称，已知直线 1 l的解析式为3 y x =+，（1）求直线 2 l的解析式；（3分）第2题图② 第2题图③ C B A l2 l1 0x y

中考专题方程思想

A ．1 B ． C ． D ．2 A ．如图，已知等腰△8 A BC 中，顶角∠A=36°，BD 为∠ABC 的平分线，则的值为( ) ． A ． B ． C ．1 D ．中考数学专题复习—方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思想方法。方程思想在初中数学的多个知识点中均有体现，并且应用其解题可以使问题由复杂变得简单，易懂，易于求解。方程思想也是解几何计算题的重要策略。应用方程思想解题时应注意：①要具备用方程思想解题的意识；②要具有正确列出方程的能力； ③要掌握运用方程思想解决问题的要点一．方程思想在代数问题中的应用（1）整式与方程思想 1．已知 A = 5 x 2 - mx + n ， B = -3 y 2 + 2 x - 1 ，若 A + B 中不含有一次项和常数项，则 m 2 - 2mn + n 2 的值为 2．单项式 3x m +2n y 3m +4n 与 -2 y 4 x 2 是同类项，则 n m 的值为（2）函数与方程思想 3．若函数 y = mx m 2-m -1 + 5 是一次函数，且 y 随 x 的增大而减小，则 m = 4．已知反比例函数 y = k 与一次函数 y = 2 x + k 的图像的一个交点的纵坐标是 -4 ，则 k 的值为 x 5．已知点 P(1,m ) 在正比例函数 y = 2 x 的图像上，那么点 P 的坐标为二．方程思想在几何问题中的应用在解答几何问题中经常会①运用勾股定理建立方程； ②运用相似三角形对应边成比例建立方程；③运用锐角三角函数的意义建立方程（1）三角形和四边形与方程思想通常解决等腰三角形相关问题时要列出方程 6．如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG ，则 AG 的长为（） 4 3 3 2 7．如图，如图，矩形 A BCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD ，BC 于点 E 、 F ，连接 CE ，则 CE 的长________. D C E D A ′ O A G 6 题 B B F C 第 7 题第 8 题 AD AC 1 5 - 1 5 + 1 2 2 2 △9．如图，在 ABC 中，∠C=45°，BC=10，高 AD=8，矩形 EFPQ 的一边

一次函数与几何综合专题练习题含答案

一次函数与几何综合专题练习题 1. 如图，直线l 1的函数解析式为y ＝－3x ＋3，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过点A ，B ，直线l 1，l 2交于点C. (1)求点D 的坐标； (2)求直线l 2的函数解析式； (3)求△ADC 的面积； (4)在直线l 2上存在异于点C 的另一点P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标． 2. 如图，直线y ＝2x ＋6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y ＝－12x ＋1与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E ，求S △BDE 和S 四边形AODE . 3．如图，直线y ＝－43x ＋8分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C ，D 两点．

(1)求点C的坐标； (2)求直线CE的解析式； (3)求△BCD的面积． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，0)，B(0，3)，直线BC交坐标轴于B，C 两点，且∠CBA＝45°.求直线BC的解析式． 5. 如图，A(0，4)，B(－4，0)，D(－2，0)，OE⊥AD于点F，交AB于点E，BM⊥OB 交OE的延长线于点M. (1)求直线AB和直线AD的解析式； (2)求点M的坐标； (3)求点E，F的坐标． 6. 如图，正方形OBAC中，O(0，0)，A(－2，2)，B，C分别在x轴、y轴上，D(0，1)，CE⊥BD交BD延长线于点E，求点E的坐标．

7. 如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，12)，P 为x 轴上一动点，则PA ＋PB 最小时点P 的坐标为________． 8. 如图，直线y ＝x ＋4与坐标轴交于点A ，B ，点C(－3，m)在直线AB 上，在y 轴上找一点P ，使PA ＋PC 的值最小，求这个最小值及点P 的坐标．

一次函数与几何综合(习题)

一次函数与几何综合（习题） ? 例题示范例1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知长方形纸片ABCO 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且BC =15．将纸片沿过点C 的直线折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点B ′处，折痕交AB 于点D ．若3 4 OC OB'=，则直线CD 的表达式为 _____________． D (15，4)； 3. 例2：如图，点A 的坐标为(-2，0)，点B 在直线1 22 y x =-+上运动，则当线段 AB 最短时，点B 的坐标为_____________．思路分析： 1. 如图，当AB ⊥l 时，线段AB 最短； 2. 因为AB ⊥ l ，所以1 ()12 AB k ?-=-，故k AB =2，设l AB ：y =2x +b ，把A (-2，0)代入，得b =4； 3. 联立可求得点B 的坐标为(? 巩固练习

1.如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A，D是x轴上的两点．若四边形ABCD是长方形，且AB:AD=1:2，则k的值为____________．第1题图第2题图 2.如图，已知直线l1：y=-x+2与直线l2：y=2x+8相交于点F，l1，l2分别交x 轴于点E，G，矩形ABCD顶点C，D分别在直线l1，l2上，顶点A，B都在x轴上，且点B与点G重合，则长方形ABCD的面积为____________． 3.如图，已知长方形纸片OABC，D是OA上的一点，且OD:AD=5:3， CD OCD沿折痕CD向上翻折，若点O恰好与AB边上的点E重合，则CD所在直线的表达式为____________．第3题图第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4， 0)，P为AB边上一点，沿CP折叠正方形，折叠后的点B落在平面内的点B′ _____________，直线CP的表达式为___________________． 5.如图，点A的坐标是(-2，0)，点B的坐标是(6，0)，点C在第一象限内，且 △OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为点E，交OC于点F，则点C的坐标为_______，直线AE的表达式为______________．

《一次函数与几何图形综合》专题

《一次函数与几何图形综合》专题总论：函数与几何是初中数学中的重点容,是中考命题重点考查的容之一；函数中的几何问题，能使代数知识图形化，而几何中的函数问题，能使图形性质代数化；由于函数与几何结合的综合题的形式灵活、立意新颖，能更好地考查学生的思维水平和数学思想方法，因而成为近几年各地中考的一类热门试题；函数知识与几何知识有机结合的综合题，根据构成命题的主要要素可分为以下两类：一类是几何元素间的函数关系问题（这类问题不妨称简称为“几函”问题），这类问题的特点是：根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似，特别是成比例）建立自变量与函数所表示的几何元素间的等量关系，求出函数关系式，运用函数的性质解决几何图形中的问题；另一类是函数图像中的几何图形的问题（如三角形、四边形，特别是圆）（这类问题不妨简称为“函几”问题），这类问题的特点是：根据已知函数图像中的几何图形的位置特征，运用数形结合方法解决有关函数、几何问题。一次函数与几何综合题是八年级学生初次接触一种用代几综合解决问题的方法，这种方法和能力是九年级解决中考压轴题所必须具备的。 1.代数（1）表达什么函数（包括其系数的代数意义、几何意义、物理意义）（2）显现怎样的图形（自身、与坐轴、与其他图形）（3）既是一个方程，也是一个坐标 4）藏有那些数据，含有什么些关系（5）要建立某种代数关系缺少那些数据 2.几何（1）基本图象有几个（2）图象之间有怎样关系（3）图象与所要证明（求解）的结论怎样的关联（4）要建立图象与图象之间的关系缺少那些数据 3.代数与几何（1）代数（几何）在那些地方为几何（代数）提供了怎样的数据（2）几何（代数）通过什么方式为几何（代数）提供关系式（3）怎样设数据（坐标或线段长）函数与几何综合题的解题思想方法： “函几问题”与“几函问题”涉及的知识面广、知识跨度大、综合性强，应用数学方法多、纵横联系较复杂、结构新颖灵活、注重基础能力、探索创新和数学思想方法，它要求学生有良好的心理素质和过硬的数学基本功，能从已知所提供的信息中提炼出数学问题，从而灵活地运用所学知识和掌握的基本技能创造性的解决问题，正因如此，解决这类问题时，要注意解决问题的策略，常用的解题策略一般有以下几种： 1.综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”，“从要求到需求”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问题得以解决。 2.运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决；在运用这种思想时，要注意充分挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组； 3.注意使用分类讨论的思想（函数方法）。函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽

利用函数的思想 简捷解一道几何压轴题