正方体截面的探究

正方体截面的探究

教学设计

无为县襄安中学李向林背景介绍

为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。

在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。

因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。

教材分析

《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下：

教学目标

(一)知识与技能：

1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。

2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。

(二)过程与方法：

在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。

(三)情感、态度与价值观：

通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。

教学重点、难点：

重点：正方体截面的结构特点。

难点：正方体截面结构的多重性。

教学用具：

大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。

教学方法：

1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。

2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。

教学过程：

活动一：情境导入，引发思考

师：（拿出西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体）

师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切）

师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）

师：（演示用刀切西瓜的过程）用刀切西瓜的过程就好像用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。（动画演示）

活动二：试验演示，截面探究

问题1：什么叫几何板的截面？

答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。

问题2：截面的边是如何得到的？

答：截面的边是平面和几何体各面的交线。

问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体。那么会得到什么形状的截面图呢？

师：同学们手中都有橡皮泥及其小刀，以同桌为单位，先用橡皮泥捏一个正方体，小刀的刀面我们就可以将它当成截这个正方体的面，当我们用小刀截你手中的正方体时，便可得到一个截面.下面看我手中的这块正方体的橡皮泥，我用小刀去截这个正方体，截面可能是什么形状呢？

探究1：截面多边形的边数最多有几条？

小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截得截面图最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。（学生上黑板用正方体玻璃模型演示）

探究2：截面图为三角形时，有几种情况？

1.是否可以截出等腰三角形？

2.是否可以截出等边三角形？

3.是否可以截出直角三角形？

小结：用一平面去截正方体能截出的三角形：

(1)等腰三角形；(2)等边三角形；(3)锐角三角形；（为什么？）(4)不能截出直角三角形。（为什么？）

首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和三个两两相邻的面相交

才可以（如图所示）。下面只要说明这个截面△PMN不是直角三角形或钝角三角形就可以啦。

图中有三个直角三角形，△BMN、△PMB

和△PBN。如果MN是最长边，那么只需要说明

PM2 +PN2和MN2不相等就可以了。

在Rt△BMN中，根据勾股定理可得BM2

+BN2=MN2；

同样，BM2 +BP2=MP2、BN2 +BP2=NP2。也就是，

PM>BM、PN>BN。

因此，PM2 +PN2>MN2。由余弦定理可得，△

PMN是锐角三角形。

同样，也可以说明PM2 +MN2>PN2

探究3：如果截面为四边形，那么可以截出哪几类呢?

1.是否可以截出长方形？

2.是否可以截出正方形？

3.是否可以截出梯形？

小结：用一平面去截正方体能截出的四边形：

(1)长方形；(2)正方形；(3) 平行四边形；（4）菱形；（5）梯形；（6）等腰与不等腰梯形

探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？

小结：截面是正多边形有可能。可能有正三角形，正方形和正六边形。不可能是正五边形。（为什么？）探究5:如果截面是三角形，其面积最大是多少?四边形呢？

探究6：正方体中能用几个平面截出正四面体、正八面体吗？

小结：

以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以正方体的六个面的中心的连线即为正八面体。

最后，几何画板演示正方体的截面图。

活动三：合作交流，巩固提高

例1、如图1-1所示，已知正方体A1B1C1D1—ABCD，E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点，过三点E、F、H作截面．

策略：本题的关键是作出截面所在的平面与正方体的各面相交

时的交线，因为E、F两点在截面内，也在平面A1C1内，所以EF

是截面与平面A1C1的交线．若将EF延长，它与棱A1D1和C1D1的延

长线相交，其交点得到的新点之一与H点又具有上述性质，这样

下去，就能作出截面．

解答：连接EF，并且延长，与A1D1、D1C1的延长线交于N、R

两点，连接NH并延长分别交AA1和D1D的延长线于S、T，连接TR

分别交CD、CC1于M、G，顺次连接点E、F、G、M、H、S、E，则

六边形EFGMHS就是所画截面．图1-1

练习1．如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中

心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_______．

解析：四边形BFD1E在面ABCD与面A1B1C1D1，在面ABB1A1与面DCC1D1的射影都是②，四边形BFD1E在面ADD1A1与面BCC1B1的射影是③．

答案：②③例2、（2008

年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为

外接球的表面积是 .

解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很

所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD=

求表面积是9π.(如图

图图2

例 3、（2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为

此球的表面积为（）

A. 3π

B.

4π

C. D. 6π

.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，

，四面体A BDE

-满足条件，即

2

BE

==1，体对角线为

外接球的直径也为 A. (如图2) 练习2.(20106)如图，若Ω是长方体

1111

A B C D ABC D

-被平面E F G H截去

几何体

11

EFGHB C后得到的几何体，其中E为线段

11

A B上异于

1

B的点，F为线段

1

BB上

异于

1

B的点，且EH∥

11

A D，则下列结论中不正确的是( D ).

A.EH∥FG；

B.四边形E F G H是矩形；

C.Ω是棱柱；

D.Ω是棱台

解析：因为EH∥

11

A D，

11

A D∥

11

B C，所以EH∥

11

B C，又EH?平面11

BCB C，

所以EH ∥平面11BCB C ，又EH ?平面E F G H ，平面EFGH ∩平面11BCB C =FG ，所以EH ∥FG ，故EH ∥FG ∥11B C ，所以选项A 、C 正确；因为11A D ⊥平面11ABB A ，EH ∥11A D ，所以EH ⊥平面11ABB A ，又EF ?平面11ABB A ， 故EH ⊥EF ，所以选项B 也正确，故选D. 练习3.(2010北京卷理8)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若EF=1，1A E =x ，DQ=y ，DP ＝ｚ(ｘ，ｙ，ｚ大于零)，则四

面体PEFQ 的体积( D ).

A.与ｘ，ｙ，ｚ都有关

B.与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关

C.与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关

D.与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关

解析：这道题目延续了北京高考今年8，14，20的风格，即在变化中寻找不变，

从图中可以分析出，EFQ ?的面积永远不变，为面1111A B C D 面积的14

，而当P 点变

化时，它到面11A B CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化。

练习4.(2003年江苏高考题)棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ).

A.33a

B.34a

C.36a

D.3

12

a 解析：由题意易知，此八面体为正八面体，将正方体按图2的方式，切割成8个

相同的小正方体，则八面体也被分割为8个相同的四面体，考察四面体与小正方体

体积的关系，即为图3中四面体1C BCD -与正方体1111A B C D ABC D -的关系。∵1111116

C BC

D ABCD A B C D V V --=，∴八面体的体积为正方体体积的16

，故选C. 活动四：课堂小结，主动反思

师：同学们，通过本课的学习，你们有什么收获？

(学生自主完成，教师评价)

活动五：回味无穷，深化拓展

CT 是一种医学影像诊断技术，它就是类似于今天所要学习的“截一个几何体”的方法，只不过这里的“截”并不是真正的截，这里的“几何体”是病人某个患病器官，“刀”是射线，它的原理是用射线透射人体，然后用检测器测定透射后的放射量，通过计算机进行处理，重建人体断层图象并作出诊断，这是数学的“图象重建原理”在医学上的成功应用．CT 的发明具有划时代的意义,获得了诺贝尔奖．

我们在座的每位同学，我相信经过勤奋、刻苦的努力，也会成为未来的诺贝尔奖获得者，为中华民族增光.

教学反思：

根据新的《数学课程标准》，设置数学课程的基本目的，不再只是让学生获得必要的数学知识、技能，它还包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面的发展。关于正方体切截载体的选择，我想到了“以水代刀”，意在以正方体的截面问题为切入口，诱导学生数学源于生活、寓于生活、用于生活。用水面形状来代替切口形状即是将生活题材数学化的一个前所未有的创新。我的创新过程将启迪学生思维、解决问题的方式、方法，并增加学生学习数学的勇气，增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发学生潜在的创造力，逐步形成创新意识。当代伟大的数学家M ·阿蒂亚先生指出：几何是数学中这样的一部分，其中视觉思维占主导地位……，几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养，有人说，几何作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价值，却是独特的、难以替代的。

“从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程，学习数学，获取知识，收获的将是自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识……实践能力等这些远比升学重要的公民素质。”探究一个正方体的切口形状作为教学内容是一个源于教材的很有意义的课程资源，以水代刀，将水面形状代替切口形状作为教学媒体也是廉价的推广可行的课程资源。

“用教材”（几何体的“展”“叠”“截”“切”是高考数学重点考查内容，课本也有许多，如P10B1，P28A3，P58练习2，P59例3，P63B4，基于此设计了本节课)而不是“教教材”，教材是我国学校教育的主要课程资源，但不是唯一的课程资源。教师应根据自身实际，创造性地使用教材。

创新所带给人的精神愉悦是任何物质享受和感官享乐所无法比拟的，那是灿烂的生命之花最深沉、最辉煌、最恣意的绽放，从某种意义上说，创新是自我实现的最高表现形式，教育作为人道主义的事业，理所当然应该关注个人生命质量的提升。

在课堂教学中，教师应该与学生建立一种新型的民主平等的师生关系，从独奏者的角色过渡到伴奏者的角色，从此不再主要是传授知识，而是帮助学生去发现、组织和管理知识，引导他们而非塑造他们。

在整个课堂教学过程中，较好的实现了学生主体地位。当学生面对问题“用一个平面去截一个正方体，所得到的截面可能是什么形状？”时，悬念顿生，激发起浓厚的求知欲，使他们在探索中主动合作，在归纳规律时积极发言。通过设置“实物切截”和“电脑切截”两个探究环节，使教学过程一环扣一环，容易吸引学生的注意力，使他们更灵活地掌握新知识；同时也消除了以往学生在学习中所体现的紧张、枯燥、厌烦、苦恼等情绪，而且还觉得学习“易”、“趣”、“活” ，真正感受到学习数学的乐趣。

美国著名的教育心理学家布鲁纳说过："追求优异的成绩……不但同我们教什么有关系，而且同我们怎样引起学生的兴趣有关系。"这节课我把"用刀切西瓜"作为引例，激发学生参与学习的兴趣，使学生全身投入到数学中去。