概率统计试卷及答案1

江汉大学 2011——2012 学年第 二 学期

试卷评分参考（B 卷）

课程编号： 410801009 课程名称： 概率论与数理统计

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1. 若事件,A B 互不相容．．．．

，已知 ()=0.2P A ，()0.4P B =，则 ()=P A B ，( )P A B = 。

2. 甲、乙两门炮彼此独立．．地向一架飞机射击，设甲击中的概率为0.3，乙击中的概率为0.4，则飞机被击中的概率为 。

3. 设()3E X =，()5D X =，()4D Y =，且,X Y 独立，则2[(2)]E X +=_________，

(21)D X Y -+= 。

4. 设随机变量X 的分布函数．．．．

为则A = ，

6{||}P X π<= 。 5. 设123,,X X X 是来自正态总体X ~(),1N μ的样本, 若112233?a X a X a X μ

=++是总体均值μ的无偏估计，则(1,2,3)i a i =应满足条件 ；当i a = _______时，?μ最有效。

1. 0.8，0.4

2. 0.58

3. 30, 24

4. 1，12

5.

3

1

1i

i a

==∑，13

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1.设,,A B C 表示3个事件，则ABC 表示

2. 某型号电子器件，其寿命(以h 计)为一随机变量，概率密度为2100100

()0, , x x f x ≥??=???其他

，某

电子设备内配有3个这样的电子器件，则电子设备使用150h 都不需要更换的概率为

3. 连续型随机变量X 的概率密度为()2, 00, f x x x A

=<

其他，则常数A =

4. 如果随机变量(0,1)X N ，则2

( )(,)Y N μσ=

5. 12,,(1)n X X X n > 是来自总体()0,1N 的样本,,X S 为样本均值和样本标准差，则有 B D C A C

三、计算题（本大题共7小题，每题10分，共70分）

1. 解：设事件(1,2,3)i A i =分别为“物价指数由第i 种商品构成”三个事件；B 为事件“物价指

数上涨”. 由已知1()0.4P A =，

2()0.3P A =，3()0.3P A =，1(|)0.6P B A =，2(|)0.8P B A =，3(|)0.5P B A =.

(1)由全概率公式得该物价指数上涨的概率为：

3

1()(|)()0.60.40.80.30.50.30.63i i i P B P B A P A ===?+?+?=∑ 6分

(2)由Bayes 公式得当物价指数上涨时三种商品价格上涨的可能性分别为：

22

0, 0

()sin , 0,1, x F x A x x x ππ??

11(|)()0.60.4(|)0.38()0.63P A B P B P A B P B ?=

=≈，22(|)()0.80.3

(|)0.38()0.63

P A B P B P A B P B ?==≈

33(|)()0.50.3

(|)0.24()0.63

P A B P B P A B P B ?==≈，

由上可知，如果该物价指数上涨，第三种商品价格上涨的可能性较小. 10分

2．随机变量X 的密度函数为：2,11

()0,

X Ax x f x ?-<<=??其他 ，试求： (1) 系数A ；(2) X 的

分布函数)(x F ；(3) 求31Y X =+的概率密度()Y f y ． 解：(1)由密度函数性质：

1

21

3232

()1f x dx Ax dx A A +∞

-∞

-===?=?

?； 2分 (2)2

31312

2110, 10, 1

(){}(), 11(1), 111, 1, x

x X x x x x F x P X x f t dt t dt x x x -∞

->>≤-?≤-????=≤=

=-<≤=+-<≤????

???

?

? (3) 13

1

3(){}{31}{}()Y X y y F y P Y y P X y P X f x dx -∞

--=≤=+≤=≤

=

?

21111833

(1), 24

()()()0, Y Y X y y y f y F y f -?--≤≤?'==

?=???其他

. 10分 3．设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二位随机变量(,)X Y 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处，并求()E XY 。 解：

331444()01E X =?+?=，7

1116236()012E Y =?+?+?=，,X Y 相互独立，故

377468()()()E XY E X E Y ==?=. 10分

4.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，(0,1)X U 在(0，1)上服从均匀分布，Y 的概率

密度为212, 00, 0

y

Y y f y e -?>?=?≤??。(1)求X 和Y 的联合概率密度(),f x y ； (2)设关于a 的二次方

程为2

20a Xa Y ++=，试求方程有实根的概率。 ((1)0.8413Φ=)

解：(1)因为(0,1)X U ，所以X 的概率密度为1, 01

()0, X x f y <

；

由于X 和Y 相互独立，故(,)X Y 的概率密度为：

212, 01,0(,)()()0, X Y y

x y f x y f x f y e -?<<>?==???其他

4分 (2) 要使方程有实根，必须方程220a Xa Y ++=的判别式2440X Y ?=-≥；

2

1

1

22

1

222

2

2

2

2

12

{440}{0}(1)1]1(1)(0)]0.1445

x y

x x x P X Y P X Y dx e dy e

dx

dx dx -----≥=-≥==-=-

=Φ-Φ=??

??

? 10分

5．设供电网中有10000盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7。假设各灯开、关时间彼此无关，利用中心极限定理计算同时开着的灯数在6900到7100之间的概率。

4.582≈，(2.18)0.9854Φ=)

解：设X 为同时开着的灯数，依题意~(,), 10000, 0.7X B n p n p ==

，由中心极限定理有

~(0,1)N =

=

（近似地服从），所求概率为

{69007100}2(2.18)10.9708P X P <≤=<≤≈Φ-≈.

10分

6．设总体X 的概率密度为(1)2,2

(;)0,

x x f x θθθθ-+???≥=??其他，1θ≠未知，12,,n

X X X 为来自该总体的一个样本。 求未知参数θ的矩估计和极大似然估计。

解：(1) 总体一阶矩：

1

12

2

22()()21

1

a E X xf x dx x dx x

θθ

θ

θθθ

θθθ+∞

+∞

--++∞-∞

?===?==

-+-?

?

， 解得2

111a a θ??= ?-??

，用样本一阶矩1A X =代替1a 得θ的矩估计量为?2X X θ

=-. 4分 (2) 基于样本n x x x ,,,21 (10<

(1)

(1)1

1

1

()()22

n n

n

n n i i

i i i L f x x

x

θ

θθ

θθθθ-+-+=====?=∏∏∏；

两边取对数，得： 1

ln ()ln ln 21ln n

i i L n n x θθθθ==++-+∑

（）；

求导令

0)(ln =θθd L d ，即：1

ln 2ln 0n

i i n n x θ=+-=∑，解得1

?ln ln 2

n

i

i n

X

n θ==-∑

即为参数θ的极大似然估计量. 10分

7．已知某厂生产的维尼龙纤度(表示细度程度的量)服从正态分布2(,)N μσ，标准差为

00.048σ=，某日抽取5根纤维，由测得数据计算得样本均值为21.414, 0.00778x S ==，问这天生产的维尼龙纤度的均方差σ是否有显著变化？取显著性水平0.01α=。 解：已知0.01α=，5n =，2 0.00778s =，00.048σ=；

依题意需对单正态总体方差进行假设检验：

假设：00:0.048H σσ==，10:H σσ≠，用2χ检验法. 3分

检验统计量：2

2

2(1)~(1)n s n χχσ

-=

-，拒绝域为：

2220.0052

(1)(4)14.86n αχχχ≥-== 或222

0.99512

(1)(4)0.207n αχχχ-≤-==

代入数据计算得2

2

(51)0.00778

13.510.048χ-?=

=，不在拒绝域内.故接受0H ，即认为均方

差没有显著变化. 10分