2015届高考数学文二轮专题训练专题二第2讲函数的应用
第2讲 函数的应用
考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．
1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点
对于函数f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数f (x )的零点． (2)函数的零点与方程根的关系
函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
热点一 函数的零点
例1 (1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的零点所在的区间是( )
A ．(1
2，1)
B ．(1，e －1)
C ．(e －1,2)
D ．(2，e)
(2)(2014·辽宁)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝???
cos πx ，x ∈[0，1
2]，
2x －1，x ∈(1
2
，＋∞)，则不等式f (x
－1)≤1
2的解集为( )
A ．[14，23]∪[43，74]
B ．[－34，－13]∪[14，2
3]
C ．[13，34]∪[43，74
]
D ．[－34，－13]∪[13，34
]
思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A
解析 (1)因为f (12)＝ln 32－4<0，f (1)＝ln 2－2<0，f (e －1)＝1－2
e －1<0，
f (2)＝ln 3－1>0，故
零点在区间(e －1,2)内．
(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．
∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝1
2.设与曲线
交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标． 令cos πx ＝12，∵x ∈[0，1
2]，
∴πx ＝π3，∴x ＝1
3
.
令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34
.
根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－1
3.
∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝1
2上及其下方的图象满足，
∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－1
3， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23
.
思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(1)已知函数f (x )＝(1
4
)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12
x 的零点，若0
C ．f (x 0)<0
D ．f (x 0)的符号不确定
答案 (1)C (2)C
解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(1
4)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个
数，而函数y ＝(1
4
)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.
(2)∵f (x )＝2x －log 12
x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 12
x 的零点，即f (a )＝0，
∴当0 热点二 函数的零点与参数的范围 例2 对任意实数a ，b 定义运算“?”：a ?b ＝????? b ，a －b ≥1，a ，a －b <1. 设f (x )＝(x 2－1)?(4＋x )， 若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1) 思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围． 答案 D 解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝ ? ???? x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)， x 2－1，x ∈(－2，3). 函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点． 如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1. 思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解． 定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程 3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 a <－12 解析 ∵函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f ′(x )＝0的根， ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， ∴??? (－1)＋1＝－ 2b 3a (－1)×1＝c 3a ，∴b ＝0，c ＝－3a ， ∴f (x )＝ax 3－3ax ， ∵3a (f (x ))2＋2bf (x )＋c ＝0， ∴3a (f (x ))2－3a ＝0，∴f 2(x )＝1，∴f (x )＝±1， ∴????? f (1)>1f (－1)<－1，即????? a －3a >1－a ＋3a <－1 ，∴a <－12. 热点三 函数的实际应用问题 例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋2 3，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，1 2]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数， 并记作M (a )． (1)令t ＝x x 2＋1 ，x ∈[0,24]，求t 的取值范围； (2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ 思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解． (2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋2 3，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )． 解 (1)当x ＝0时，t ＝0； 当0 x ≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x 2＋1 ＝1x ＋1x ∈(0，1 2]， 即t 的取值范围是[0，1 2 ]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋2 3 ， 则g (t )＝??? －t ＋3a ＋2 3 ，0≤t ≤a ， t ＋a ＋23，a 2 . ∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，1 2]上单调递增， 且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋7 6， g (0)－g (12)＝2(a －1 4 )． 故M (a )＝??? g (12)，0≤a ≤14 ，g (0)，14 2 . 即M (a )＝??? a ＋76，0≤a ≤14 ，3a ＋23，14 2. 当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋7 6 <2显然成立； 由??? 3a ＋2 3 ≤2， 14 2， 得14 ， ∴当且仅当0≤a ≤4 9 时，M (a )≤2. 故当0≤a ≤49时不超标，当49 2 时超标． 思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法． 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另 投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R (x )万元，且R (x )＝??? 10.8－1 30 x 2 (0 108x －1 000 3x 2 (x >10). (1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0 W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 3 30 －10； 当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 000 3x －2.7x . ∴W ＝??? 8.1x －x 3 30 －10 (0 98－1 000 3x －2.7x (x >10). (2)①当0 10＝0， 得x ＝9，且当x ∈(0,9)时，W ′>0； 当x ∈(9,10)时，W ′<0，∴当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130·93 －10＝38.6. ②当x >10时， W ＝98－????1 0003x ＋2.7x ≤98－2 1 000 3x ·2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝100 9时，W ＝38， 故当x ＝100 9 时，W 取最大值38. 综合①②知：当x ＝9时，W 取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大． 1．函数与方程 (1)函数f (x )有零点?方程f (x )＝0有根?函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. ①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一 个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0. ②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点． 2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题(文字语言)?建模(数学语言)?求解(数学应用)?反馈 (检验作答) 与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 真题感悟 1．(2014·重庆)已知函数f (x )＝????? 1x ＋1－3， x ∈(－1，0]， x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1] 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( ) A.????－94，－2∪????0，1 2 B.????－114，－2∪????0，1 2 C.????－94，－2∪????0，2 3 D.????－114，－2∪??? ?0，23 答案 A 解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)． 因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝1 2， 可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1) 可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0 2，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋ 1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立????? y ＝1x ＋1－3， y ＝m (x ＋1)，得mx 2 ＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－9 4，可知当y ＝m (x ＋1) 在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94 4，－2]∪(0， 1 2 ]，故选A. 2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟 答案 B 解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得????? 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得????? 7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得????? a ＝－0.2， b ＝1.5， c ＝－2.0. 所以p ＝ －0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝15 4＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练 1．已知函数f (x )＝? ???? x ＋1，x ≤0， log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个． 答案 4 解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝1 4；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1. 故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点． 2．函数f (x )＝x e x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－1 e ，0) 解析 令f ′(x )＝(x ＋1)e x ＝0，得x ＝－1， 则当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )>0， f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，要使f (x )有两个零点，则极小值f (－1)<0，即－e － 1－a <0，∴a >－1e ，又x →－∞时，f (x )>0，则a <0， ∴a ∈(－1 e ，0)． 3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8 解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x >0，故y x ≤18－225 ＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元． (推荐时间：60分钟) 一、选择题 1．函数f (x )＝log 2x －1 x 的零点所在的区间为( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 C 解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－1 1 2 ＝－1－2＝－3<0， f (1)＝lo g 21－1 1＝0－1<0， f (2)＝lo g 22－12＝1－12＝1 2>0， f (3)＝lo g 23－13>1－13＝2 3>0， 即f (1)·f (2)<0， ∴函数f (x )＝log 2x －1 x 的零点在区间(1,2)内． 2．函数f (x )＝2x ＋ln 1 x －1，下列区间中，可能存在零点的是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(1,2)与(2,3) 答案 B 解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2 x －ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数， 当1 x >0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点； f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝2 3－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83， 因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e 即1<12ln 8，所以2 2－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点． 3．f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B 解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点， ∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5. 4．设函数f (x )＝? ???? x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[－1 2，1] B ．[－1 2，1] C ．(－1 4，0) D ．(－1 4 ，0] 答案 C 解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示． 当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－ 1 4 4 ，0)． 5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1， l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧 FG 的长为x (0 答案 D 解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N . 因为弧 FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ， 则AN ＝OM ＝cos x 2， 所以AN AH ＝AE AB ＝cos x 2， 则AE ＝233cos x 2， ∴EB ＝233－233cos x 2 . ∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋23 3 ＝－433cos x 2＋23(0 6．已知定义在R 上的函数f (x )满足： f (x )＝? ???? x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C 解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x ) 在区间[－5,1]上的图象如图所示： 由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ， 易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0 7．若函数f (x )＝? ???? 2x －a ，x ≤0， ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 (0,1] 解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点， 则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点， 令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0<2x ≤20＝1，所以0 8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝????? e x －1 ， x <1， 13x ， x ≥1， 则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是 ________． 答案 (－∞，8] 解析 当x <1时，x －1<0，e x － 1 ∴当x <1时满足f (x )≤2. 当x ≥1时，13 x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]． 9．已知函数f (x )＝1 x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________． 答案 m >1 解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1 x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根． ∵ 1x ＋2 ＝m |x |?1 m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足： 0<1 m <1， 故m >1. 10．我们把形如y ＝ b |x |－a (a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 4 解析 由题意知，当a ＝1，b ＝1时，y ＝1 |x |－1＝ ??? 1 x －1(x ≥0且x ≠1)，－ 1 x ＋1(x <0且x ≠－1). 在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点． 三、解答题 11．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点； (2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3和－1. (2)依题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根． ∴b 2－4a (b －1)>0恒成立， 即对于任意b ∈R ，b 2－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2－4(4a )<0?a 2－a <0，所以0 12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的3 4，为获得最大的经济效 益，该公司应裁员多少人？ 解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b 100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab . 依题意得2a －x ≥3 4·2a ， 所以0 2 . 又140<2a <420，即70 (1)当0 2，即70 (2)当a －70>a 2，即140 2，y 取到最大值．