2015广东肇庆中考数学试卷
肇庆市2015年初中毕业生学业考试
数 学 试 题
说明:全卷共4页,考试时间为100分钟,满分120分.
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的4个选项中,只有
一项是符合题目要求的.) 1.计算 23+- 的结果是
A .1
B .1-
C . 5
D . 5- 2.点M (2,1-)向上平移2个单位长度得到的点的坐标是
A .(2,0)
B .(2,1)
C .(2,2)
D .(2,3-) 3.如图1,已知D 、
E 在△ABC 的边上,DE ∥BC ,∠B = 60°,∠AED = 40°, 则∠A 的度数为
A .100°
B .90°
C .80°
D .70° 4.用科学记数法表示5700000,正确的是
A .6107.5?
B .5
1057? C .410570? D .7
1057.0?
5.一个多边形的内角和与外角和相等,则这个多边形是
A .四边形
B .五边形
C .六边形
D .八边形
6.如图2是某几何体的三视图,则该几何体是
A .圆锥
B .圆柱
C .三棱柱
D .三棱锥
7.要使式子x -2有意义,则x 的取值范围是
A .0>x
B .2-≥x
C .2≥x
D .2≤x
8.下列数据3,2,3,4,5,2,2的中位数是
A
B
C
D E
图
1
左视图
主
视图俯视图
图2
A .5
B .4
C .3
D .2
9.等腰三角形两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为
A .16
B .18
C .20
D .16或20
10.某校学生来自甲、乙、丙三个地区,其人数比为2:3:5,如图3所示的扇形图表示上述分布情况.已知来自甲地区的为180人,则下列说法不正确的是 A .扇形甲的圆心角是72° B .学生的总人数是900人
C .丙地区的人数比乙地区的人数多180人
D .甲地区的人数比丙地区的人数少180人
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.) 11.计算5
1
20?
的结果是 ▲ . 12.正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合,则这个角至少为 ▲ 度 . 13.菱形的两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为 ▲ . 14.扇形的半径是9 cm ,弧长是3πcm ,则此扇形的圆心角为 ▲ 度. 15.观察下列一组数:
32,54,76,98,11
10
,…… ,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k 个数是 ▲ .
三、解答题(本大题共10小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分6分)
解不等式:04)3(2>-+x ,并把解集在下列的数轴上(如图4)表示出来.
图3 1 2
17.(本小题满分6分)
计算:10445sin 623-+--.
18.(本小题满分6分)
从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生,求下列事件的概率:
(1)抽取1名,恰好是男生;
(2)抽取2名,恰好是1名女生和1名男生.
19.(本小题满分7分)
如图5,已知AC ⊥BC ,BD ⊥AD ,AC 与BD 交于O ,A C =BD .
求证:(1)BC =AD ;
(2)△OAB 是等腰三角形. 20.(本小题满分7分)
先化简,后求值:1
)111(2-÷-+x x
x ,其中x =-4. 21.(本小题满分7分)
顺安旅行社组织200人到怀集和德庆旅游,到德庆的人数是到怀集的人数的2倍少1人,到两地旅游的人数各是多少人? 22.(本小题满分8分)
如图6,四边形ABCD 是矩形,对角线AC 、BD 相交于点O ,BE ∥AC 交DC 的延长线于点E .
(1)求证:BD=BE ;
(2)若∠DBC =30?,BO =4,求四边形ABED 的面积.
23.(本小题满分8分) 已知反比例函数x
k y 1
-=
图象的两个分支分别位于第一、第三象限. A
B
C
D
O
图
5
C
D
图6
(1)求k 的取值范围;
(2)若一次函数k x y +=2的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4. ①求当6-=x 时反比例函数y 的值; ②当2
1
0< 24.(本小题满分10分) 如图7,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E ,交BC 于点D ,连结BE 、AD 交于点P . 求证: (1)D 是BC 的中点; (2)△BEC ∽△ADC ; (3)AB ? CE=2DP ?AD . 25.(本小题满分10分) 已知二次函数p nx mx y ++=2图象的顶点横坐标是2,与x 轴交于A (1x ,0)、 B (2x ,0),1x ﹤0﹤2x ,与y 轴交于点 C ,O 为坐标原点,1tan tan =∠-∠CBO CAO . (1)求证:04=+m n ; (2)求m 、n 的值; (3)当p ﹥0且二次函数图象与直线3+=x y 仅有一个交点时,求二次函数的最大值. 肇庆市2015年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案和评分标准 图7 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.) 二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.) 三、解答题(本大题共10小题,共75分.) 16.(本小题满分6分) 解:0462>-+x (1分) 22->x (3分) 1->x (4分) 解集在数轴上表示出来为如图所示 (6分) 17.(本小题满分6分) 解:原式=4 1 22623+? - (3分) =4 1 2323+- (4分) = 4 1 (6分) 18.(本小题满分6分) 解:(1)抽取1名,恰好是男生的概率是 3 1 (3分) (2)用男、女1、女2表示这三个同学,从中任意抽取2名,所有可能出现的结果有: (男,女1),(男,女2),(女1,女2),共三种情况,恰好是1名女生和1名男生的情况有2种, ∴恰好是1名女生和1名男生的概率是 3 2 (6分) 19.(本小题满分7分) 证明:(1)∵AC ⊥BC ,BD ⊥AD ∴ ∠D =∠C =90? (1分) 0 1 2 1 2 在Rt △ACB 和 Rt △BDA 中,AB = BA ,AC =BD , ∴ △ACB ≌ △BDA (HL ) (4分) ∴BC =AD (5分) (2)由△ACB ≌ △BDA 得 ∠C AB =∠D BA (6分) ∴△OAB 是等腰三角形. (7分) 20.(本小题满分7分) 解:原式= ) 1)(1(111-+÷ -+-x x x x x (2分) = x x x x x )1)(1(1-+?- (4分) =1+x (5分) 当x =-4时,原式=1+x =-4+1 (6分) =-3 (7分) 21.(本小题满分7分) 解:设到德庆的人数为x 人,到怀集的人数为y 人 依题意,得方程组:?? ?-==+12200 y x y x (4分) 解这个方程组得:? ??==67133 y x (6分) 答:到德庆的人数为133人,到怀集的人数为67人. (7分) 22.(本小题满分8分) (1)证明:∵四边形ABCD 是矩形∴AC =BD , AB ∥CD (1分) 又BE ∥AC , ∴四边形ABEC 是平行四边形 (2分) ∴BE= AC (3分) ∴BD=BE (4分) (2)解:∵四边形ABCD 是矩形 ∴AO=OC=BO=OD=4,即BD=8 ∵∠DBC =30? ,∴∠ABO= 90°— 30°= 60° ∴△ABO 是等边三角形 即AB=OB=4 于是AB =DC =CE =4 (5分) 在Rt △DBC 中,tan 30°= BC BC DC 4= ,即BC 4 33=,解得BC=34 (6分) ∵AB ∥DE ,AD 与BE 不平行,∴四边形ABED 是梯形,且BC 为梯形的高 ∴四边形ABED 的面积=32434)444(2 1 )(21=?++?=?+?BC DE AB (8分) 23.(本小题满分8分) A B C D O C D 解:(1)∵反比例函数x k y 1 -= 图象的两个分支分别位于第一、第三象限 ∴01>-k ,∴1>k (2分) (2)①设交点坐标为(a ,4),代入两个函数解析式得:?? ???-=+=a k k a 1424 (3分) 解得?????== 3 21k a ∴反比例函数的解析式是 x y 2= (4分) 当6-=x 时反比例函数y 的值为 31 62-=-=y (5分) ②由①可知,两图象交点坐标为(2 1 ,4) (6分) 一次函数的解析式是32+=x y ,它的图象与y 轴交点坐标是(0,3) (7分) 由图象可知,当2 1 0< 证明:(1)∵AB 是直径 ∴∠ADB = 90°即AD ⊥BC (1分) 又∵AB=AC ∴D 是BC 的中点 (3分) (2)在△B EC 与 △ADC 中, ∵∠C=∠C ∠CAD=∠CBE (5分) ∴△BE C ∽△ADC (6分) (3)∵△BEC ∽△ADC ∴ CE BC CD AC = 又∵D 是BC 的中点 ∴2BD=2CD=BC ∴ CE BD BD AC 2= 则 CE AC BD ?=2 2 ① (7分) 在△BPD 与 △ABD 中, 有 ∠BDP=∠BDA 又∵AB=AC AD ⊥BC ∴∠CAD=∠BAD 又∵∠CAD=∠CBE ∴∠DBP=∠DAB ∴△BPD ∽△ABD (8分) ∴ BD AD PD BD = 则 AD PD BD ?=2 ② (9分) ∴由①,②得:AD PD BD CE AC ?==?222 ∴AD DP CE AB ?=?2 (10分) 图7 25.(本小题满分10分) (1)将2代入顶点横坐标得:22=- m n (1分) ∴04=+m n (2分) (2) ∵已知二次函数图象与x 轴交于A (1x ,0)、B (2x ,0),且由(1)知m n 4-= ∴4421=--=- =+m m m n x x ,m p x x =?21 (3分) ∵ 1x ﹤0﹤2x , ∴在Rt △ACO 中,tan ∠CAO = 1 x OC OA OC -= 在Rt △CBO 中,tan ∠CBO = 2 x OC OB OC = ∵1tan tan =∠-∠CBO CAO , ∴ 1x OC -12 =-x OC (4分) ∵ 1x ﹤0﹤2x ,∴0≠=p OC ∴ p OC x x 111121-=-=+ 即p x x x x 12121-=+ ∴ p m p 1 4-= ∴p m p 4-= (5分) ①当0>p 时,4 1 -=m ,此时,1=n (6分) ②当0 1 = m , 此时,1-=n (7分) (3)当0>p 时,二次函数的表达式为:p x x y ++-=2 4 1 ∵二次函数图象与直线3+=x y 仅有一个交点 ∴方程组?? ??? +=++-=34 12x y p x x y 仅有一个解 ∴一元二次方程p x x x ++- =+2413 即034 1 2=-+-p x 有两个相等根 (8分) ∴0)3()4 1 (402 =-?-?-=?p 解得:3=p (9分) 此时二次函数的表达式为:3412++-=x x y 4)2(4 1 2+--=x ∵04 1 <- =a ,∴y 有最大值4 (10分) [注:以上的解答题若用了不同的解法,可按评分标准中相对应的步骤给分]