基于Levy过程的沪深300指数建模new

基于Lévy过程的沪深300指数建模

许业友

（华南理工大学金融工程研究中心，广东广州 510006）

摘要：本文利用沪深300指数样本数据，首先用高斯核密度法估计了样本的经验分布，证实沪深300指数收益率序列的分布具有超出峰度和偏度，收益率的波动率有聚类特征，采用正态分布拟合沪深300指数收益率序列出现较大偏差。引入Lévy过程中的Meixner过程对市场进行建模，并对样本数据进行了拟合。实证结果表明：Meixner过程能较好地拟合样本数据的超出峰度、偏度和厚尾现象。

关键词：资产定价；Lévy过程；Meixner过程；拟合；概率密度

资产定价是数理金融学中的重要内容，涉及到证券及其衍生产品的定价、利率期限结构理论。金融衍生产品定价过程中，需要对标的资产的价格运动过程作出假设。著名的Black-Scholes期权定价模型就公设标的资产价格过程为几何布朗运动，也就是资产收益率服从正态分布。该模型在一系列严格假设的基础上，得出了数学上近乎完美的欧式看涨期权的闭形解析公式。但正态分布对市场数据的拟合出现较大偏差，Black-Scholes期权定价模型受到质疑。实证研究表明金融资产的对数收益率的概率密布分布具有比正态分布大的峰度，是有偏分布。收益率的波动率具有聚类现象，并不为常数。为了更好地描述资产价格运动过程，必须寻找能拟合市场的有偏、超出峰度和波动率聚类等特征的分布。Lévy过程正是在这样的背景下被引入到金融应用中。本文拟利用Lévy过程中的Meixner过程对沪深300指数进行拟合，并与正态分布进行了比较。

一、文献综述

大量实证研究表明股票市场收益率不符合正态分布，而是呈明显偏离正态分布，具有尖峰和厚尾等特性。Osborne在1964年描绘股票市场收益率的密度函数时，就注意到了密度函数的尾部比本来应有的“近似正态”形状要肥胖；Cootner主编的经典文集《股票市场价格的随机性》发表后，一般人都接受了价格变化的分布形状具有肥胖的尾部这一事实，但对此正态性形状的偏离含义却无定论；Mandelbrot在1964年提出了收益率可能属于“稳定帕雷托”分布，这种分布具有无定义或无限的方差，严重动摇了股票市场收益率或价格变化的近似正态分布假说；Falna在1965年完整研究了股票日收益率，发现收益率是负偏斜的，在左边的尾部比在右边的尾部有更多的观测值；Sharpe在《资产组合理论和资本市场》中也注意到了这一点；Turner和Weigel在1990年对1928-1990年的S&P指数的日收益率进行了研究，发现与正态分布相比较，S&P指数的日收益率分布是负偏斜的，在均值附近有更大的收益率频数等。市场价格的非正态分布特性并不限于美国股票市场，Sterge在对欧洲美元合约的期货价格的研究中发生了同样的尖峰态分布，非常大的价格变化出现次数相当于正态分布所预言的两到三倍(Peters，EE.，1994)[1]。

相关文献对利用具体的Lévy过程拟合股票收益率作了详细的研究。Madan and Seneta (1987, 1990)建议使用方差伽玛过程（Variance Gamma process，VG process）。Eberlein 和Keller (1995) 建议双曲模型（Hyperbolic Model），而Barndorff and Nielsen (1995)则选择正态逆高斯分布（Normal Inverse Gaussian distribution，NIG distribution）。在一系列文献中(Eberlein and Prause 1998； Eberlein et al. 1998； Prause 1999)，Eberlein和他的合作者建立了广义双曲模型（Generalized Hyperbolic Model），前述三种模型是广义双曲模型的特例。Carr et al.（2002）引入CGMY模型，有些研究人员也称其为KoBoL模型。Schoutens（2002）利用Meixner过程对世界主要股票指数进行拟合，相对于正态分布拟合，取得了明显的改进效果[2]。

国内实证研究方面，王新宇等（2006）分别采用稳定分布、渐近帕累托分布和截断列维

分布拟合中国股票市场收益统计分布，对我国沪深股市收益的统计分布特征和市场风险规律进行了定量比较研究。实证研究发现中国股市收益分布的中间部分适合用稳定分布描述,分布的尾部适合用尾部指数大于2 的渐近帕累托分布描述,即是具有尖峰厚尾特征的有限方差不对称分布. 揭示出中国股市中高收益事件比低收益事件发生的更为频繁,深圳市场比上海市场的投资风险要高[3]。李道叶（2007）则在非线性框架下研究了我国股市收益率特征。结论认为：（1）我国股票市场价格收益率行为不符合有效市场假定，收益率分布存在明显尖峰胖尾行为，收益间存在长期相关性与持续性。(2)我国股票市场价格收益率行为存在周期性现象，具有一定数量的非规则周期。(3)异方差模型在我国股票市场能得到很好的拟合，好坏消息对两指数收益率变化的冲击是不对称的，交易成本的上调对股票市场价格波动性有明显的影响，而下调则影响甚微。(4)如果把股票市场视为一个复杂性系统，分形与混沌等理论检验表明我国股票市场价格收益率具有明显非线性特征，最少可用4个状态变量建立沪深两市大盘指数价格序列系统模型。(5)两市股价波动具有明显的时变性、聚类性及共动性，风险与收益间关系不显著；用ARIMA模型对我国股票市场收益率波动预测效果一般[4]。

冯雅琴等（2005）利用Esscher变换和风险中性Esscher测度探讨了符合泊松过程和meixner过程驱动的欧式看涨期权定价公式。陈旭（2007）利用几何Lévy过程研究了从属市场中期权定价，以及交换期权和外汇期权的定价问题。万建平（2007）研究了基于双指数跳扩散模型的可转换债权定价[5]。

二、沪深300指数的经验特征

沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份指数，指数基期是2004年12月31日，指数基点1000点。沪深300指数样本覆盖了沪深市场六成左右的市值,具有良好的市场代表性。沪深300指数是沪深证券交易所第一次联合发布的反映A股市场整体走势的指数。它的推出, 丰富了市场现有的指数体系,增加了一项用于观察市场走势的指标,有利于投资者全面把握市场运行状况,也进一步为指数投资产品的创新和发展提供了基础条件。我国拟推出的股指期货就将以其为标的资产。研究沪深300指数的收益分布特征，选择合适的模型进行拟合，对充分发挥沪深300股指期货套期保值功能、有效规避股票现货市场价格波动风险来说，具有重要的现实意义。

（一）数据描述

本文的研究对象为沪深300指数收益率序列。样本周期为2005年4月8日至2009年10月22日，共1104个观测值，然后把样本数据转换为连续复利日收益率，得到样本容量为1103的收益率序列。统计分析表明，沪深300指数收益率序列的分布具有超出峰度、有偏等特征，也具有其它金融序列中常见的波动聚类现象。

表10.11％，年度化波动率为35％，超出峰度5.04，偏度0.018。

（二）经验分布

为了获得沪深300指数的经验概率密度分布，本文采用高斯核密度估计方法估计其经验分布。估计的密度函数如下； 11?()()n i h i x x f x K nh h =-=∑， (1)

其中核函数为高斯核函数：2()exp(2)

K x x =-h 为带宽，根据Silverman 的经验法则，取151.06h n σ-=。

图2 样本的核密度估计和正态分布密度

图2给出了样本的高斯核估计密度分布和正态分布（以样本均值为均值，样本方差为方差的正态分布）。从图中可知，正态分布在拟合样本数据方面，尤其是对峰度的拟合，表现出很大的差距。

三、L évy 过程建模

（一）L évy 过程的定义

具有连续样本路径的Brownian 运动和纯跳的Poisson 过程均属于L évy 过程。L évy 过程最本质的特征是具有平稳独立增量。首先我们给出L évy 过程的定义。

((),0)X X t t =≥为一定义在概率空间(Ω, F , P )上的实值随机过程，若它满足：

（1） 对1n ?≥和010n t t t ≤<<< ，随机变量X (t 0)，X (t 1)－X (t 0)，X (t 2)－

06-Apr-2005 12-Oct-2006 18-Apr-2008 24-Oct-2009

00.1日期

收益率 图1 沪深300指数日对数收益率序列 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 5

10

15

20

25

Normal Kernal

X (t 1)，…，X (t n )－X (t N-1)相互独立，

（2） X (0)＝0 a.s ，

（3） X (s +t )－X (s)的分布不依赖于s,

（4） X 随机连续，即对0,0a s ?>≥, lim (()())0t s P X t X s a →->=， (2)

则X 是一L évy 过程。

L évy 过程是具有无穷可分（infinitely divisible ）分布函数的随机过程。令L évy 过程的特征函数为()()iuX X u E e φ=,则累积量（cumulant ）特征函数()log ()X u u ψφ=，也称为特征指数，满足L évy －khintchine 公式： 221{1}2()(exp()11)()x u i u u iux iux v dx ψγσ+∞<-∞

=-+--?， (3) 其中，γ∈R ，σ2≥0,ν是列维测度。（γ，σ2,ν(dx)）称为列维特征三元z 组。

从L évy －khintchine 公式可知，一个L évy 过程由三个部分组成：线性确定性部分、布朗运动和纯跳跃过程，L évy 测度控制跳是如何发生的。

（二）Meixner 过程

L évy 过程理论的在应用中产生了很多具体的概率密度分布，如Variance Gamma （VG ）分布、Normal Inverse Gaussian (NIG)、CGMY 分布、Hyperbolic Model ，以及Meixner 分布。文献[2]利用多个分布对多个股票指数建模，发现Meixner 过程对指数的拟合较好。本文选择Meixner 过程对沪深300指数的收益率系列进行建模。

Meixner 过程理论源自正交多项式理论，首先由Schoutens 和Teugels （1998）提出，Grigelionis （1999）认为Meixner 过程可以更好的拟合股票收益率。Meixner 过程的分布密度函数为： 22(2cos(/2))()()(;,,,)exp()|()|2(2)d Meixner b b x m i x m f x a b d m d a d a a π--=Γ+Γ (4) 其中a > 0；－π< b <π；d > 0,m 为实数。Meixner 过程的特征函数为： 2cos(/2)

(;,,,)exp()cosh(()/2)()d Meixner b u a b d m ium au ib φ=-。 (5)

Meixner 过程的L évy 特征三元组为（γ，0，v(dx ）），其中： 1sinh()tan(2)2sinh()bx a ad b d dx x a γπ∞=-?

， (6) exp()()sinh()bx a v dx d dx x x a π=。 (7)

从Meixner 过程的L évy 特征三元组可知，Meixner 过程是不含布朗运动的纯跳跃过程。表2给出了Meixner 分布的均值等数字特征量的参数表达式。从公式可知，当参数b ＝0时，

Meixner 分布为对称分布（未进行均值校正），均值和偏度为零。

表2 Meixner 过程的数学特征

（三）市场模型与拟合 假设金融市场中风险资产的价格运动过程0exp()t t S S X =，其中Χ＝{Χt,t ≥0}为Meixner 过程。因此这个市场模型的风险资产的对数收益率为log(/)t s t S S +是一个具有独立和平稳分布增量的随机序列，即服从Meixner 分布的随机过程。本文采用Meixner 过程对样本数据的收益率序列进行拟合。首先用最大似然估计法（MLE ）对Meixner 分布的参数进行了估计，结果如表3。

图3是根据估计的Meixner 分布参数绘出的Meixner 分布的概率密度函数。为了便于比较，也绘制了样本数据的高斯核估计分布密度。与图2的正态分布相比，Meixner 分布较好地拟合了样本数据的超出峰度、偏度和半厚尾现象。

图3 样本的核密度估计和拟合的Meixner 分布

沪深300指数作为我国未来股指期货的标的资产，研究其分布特征，寻找相应的随机过程模拟其随机行为，对未来进行股指期货投资，构建于其上的权证等衍生产品设计、开发、投资等具有重要意义。

四、结论

本文利用沪深300指数样本数据，首先用高斯核密度法估计了样本的经验分布，证实沪深300指数收益率序列的分布具有超出峰度、有偏，收益率的波动率有聚类特征,样本均值为0.11％，样本年度化波动率为35％，峰度为5.04，偏度为0.018。正态分布在拟合具有这些特征量的沪深300指数收益率时出现大的偏差。在此背景下，提出采用L évy 过程的Meixner 过程对市场进行建模，并对样本数据进行了拟合。实证结果表明：Meixner 过程能较好地拟合样本数据的超出峰度和偏度。

参考文献：

[1] Wim Schoutens. The Meixner Process: Theory and Applications [J]. February 12, 2002.

[2] Wim Schoutens. L évy Processes in Finance [M]. John Wiley &Sons Ltd, 2003.

[3] 王新宇等. 拟合中国股票市场收益的统计分布[J]. 系统过程理论与实践，2006年第12期。

[4] 李道叶. 非线性框架下中国股票市场价格收益率特征分析[D]. 广州，暨南大学，2007年.

[5] 陈旭. 基于几何L évy 过程的期权定价[D]. 武汉，华中科技大学，2007年.

[6] David Applebaum. L évy Processes and Stochastic Calculus [M]. Cambridge University Press, UK. 2004.

[7] Luis Valdivieso. Maximum likelihood estimation in processes of Ornstein-Uhlenbeck type [J]. Springer, Stat Infer Stochastic Process (2009) 12:1–19.

[8] 孙键. 金融衍生品定价模型[M]. 中国经济出版社，2007年2月第1版.

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0 5

10

15

20

25

Meixner Kernal

Modeling Hushen 300 Index by Lévy Processes

Xu yeyou

(Research Center of Financial Engineering, South China University of Technology. Guangzhou 510006)

In this paper, an empirical density distribution is first estimated by Gaussian kernel density estimator for a sample data of Hushen300 Index. By comparing the kernel density with Normal distribution density, it can be shown that daily log return of Hushen 300 Index has a density with excess kurtosis, skewness and volatility clustering. For obtaining improved goodness of fitting sample data, Meixner process as a subclass of Lévy process is proposed and sample data is fitted by the new distribution. Empirical result shows that Meixner process can better fit the behavior of excess kurtosis and fat tail in return of financial assets.

作者简介：许业友，男，1969年出生。华南理工大学金融工程研究中心博士生，手机137********。广州，邮编：510006。主要从事金融资产定价研究。