线性规划的实际应用
线性规划的实际应用
指导教师：
大连市第八中学数学组崔贺
课题组成员：
大连市第八中学高二（2）班全体同学
课题背景：
提高企业的经济效益是现代化管理的根本任务，各个领域中的大量问题都可以归结为线性规划问题。近几十年来，线性规划在各个行业中都得到了广泛的应用。根据美国《财富》杂志对全美前500家大公司的调查表明，线性规划的应用程度名列前茅，有85%的公司频繁地使用线性规划，并取得了提高经济效益的显著效果。
所谓线性规划，是求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。常见的问题在：物资调运问题、产品安排问题、下料问题。
研究过程：
一、研究性学习开题报告
（一）教师提出总体要求
（二）分析课题背景，可行性论证
（三）制定总体目标与计划
（四）明确具体操作过程
（五）划分小组，确定活动地点
（六）由组长负责小组成员分工
（七）确定成果形式：论文（数学模型与解答）、心得体会
二、小组活动（注：各小组数学模型见线性规划模型汇编）
第一小组
活动时间：2003.4.12
活动地点：大连市天津街改造办
活动目的：调查了解城市规划、布局与设计中的线性规划问题
参加人员：组长：陈燕
组员：丁琳许玲见琦任鑫王鑫刘姝言王全智孙颖李舒然冯昱黄漪墨活动过程：
来到活动地点，我们见到了有关规划设计的负责人，通过他的讲解，我们对天津街规划有了初步的认识。这个规划，考虑到了整体市容市貌，提升城市功能，加强布局的合理性，以及保护原有城市风貌，发挥天津街中心商业区的作用等各方面因素，为取得经济效益、社会效益和商业效益的最大化而建设的。
天津街改造工程预计投资10个亿，用五年左右的时间，完善各种服务设施，改善交通和购物环境，打造精品步行街和商业主力店，引入各种经营业态，让人们旅游购物更方便。新的规划会促进这一地区的繁华，进而带动整个城市的发展，这一地区将会成为繁华的象征，成为大连的又一个亮点。
我们还参观了正在建设中的天植商厦和修竹广场。
第二小组
活动时间：2003.3.22
活动地点：大连市汽车站
活动目的：考察汽车站的汽车调度中有关线性规划问题
参加人员：组长：张磊
组员：杨振业向飞黄超李易李成龙夏博尹家琳于秀张馨王晨婧王昱活动过程：
我们来到大连汽车站，对线性规划的应用进行了实地考察。考察了大连汽车站在运输旅客的过程中采取的一些措施。
调度人员首先根据地点的远近和旅客的多少作为标准确定使用的车辆，再根据中途旅客的上下车情况，决定行车路线，利用线性规划理论合理地调度车辆，既能满足旅客的乘车需要，又能最大可能地减少运费和人力消耗。
我们还了解了车票的定价依据和节假日客流高峰时的车辆分配情况。
第三小组
活动时间：2003.3.29
活动地点：大连机车车辆厂
活动目的：调查机车厂在生产机车过程中的有关线性规划问题
参加人员：组长：辛凌
组员：张学斌周颖张朋周晶曲晨周雯婷陈艳朱厚盛孙波刘宏达赵晓明活动过程：调查机车厂在生产机车过程中的有关线性规划问题
我们来到机车厂设计处，设计师们热情地为我们讲解了有关机车设计上所考虑的一些实际问题，比如机车所用的材料，机车的外形对速度的影响，机车的动力问题等等，使我们觉得生产一辆机车是那么的复杂。
我们还在工人师傅的带领下，参观了轻轨生产车间和准备运往巴基斯坦的火车头。设计人员还向我们介绍了在机车生产过程中哪些地方用到了线性规划问题。我们知道了线性规划在工厂生产中的具体应用。
第四小组
活动时间：2003.3.15
活动地点：大连市百盛购物中心
活动目的：调查商业超市的产品安排以及物资调运中的线性规划问题
参加人员：组长：张恩帅
组员：刘林林楠刘栋曾晟刘崇毅原野邓宏宇李之巍宋庆宇安倩
活动过程：
我们来到了百盛购物中心，找到了这里的销售部经理，了解了一下关于怎样进行产品分配，发现他们在进行产品调配时要根据商品的价格和顾客需求量来预测商品的销售量，进一步来调整进货量。其中有许多需要线性规划问题。
我们还考察了百盛购物中心在进货方面所采取的一些措施，根据产品生产厂家的不同地点和进货量的多少来合理分配人力、物力、资金，以达到最小的投入得到最大的收益。
第五小组
活动时间：2003.3.29
活动地点：大连电视台广告部
活动目的：调查电视台在播放电视节目和广告过程中的有关线性规划问题
参加人员：组长：马文静
组员：李丹乔祁玄仲明李颖张率张若雪隋文峰吴琼郑晓琳徐恂
活动过程：
与电视台联系后，我们来到了大连电视台广告部，有关人员热情接待了我们。他们向我们详细介绍了广告部的策划与招商工作，以及广告时段的设计等问题，使我们知道在策划过程中也涉及到了很多线性规划问题，虽然所用的知识远比我们想象的多很多。
我们还在工作人员的带领下，参观了电视台的技术部和直播间，进一步了解了电视制作方面的有关情况。
研究成果：
一、学生建立数学模型及解答（略）
二、研究性学习教学案例
课题：线性规划的实际应用
授课人：崔贺 授课班级：高二（2）班 时间：2003.4.16
教学目标：
1、了解简单的线性规划：在满足一次不等式组的条件下，寻求目标函数的最值问题。
2、会确定二元一次不等式的解所表示的点所在区域。
3、掌握用图解法求目标函数的最值。
4、会用简单的线性规划去解决在现实生活中遇到的一些实际问题。
重点：不等式所表示的区域
难点：实际问题数学模型化
关键：分析问题已知与所求
教学过程与内容：学生到附近工厂、企事业单位作调查研究，提出能用线性规划知识解决的实际问题，从实习和研究活动的成果中抽象出数学模型，并利用所学知识做出解答，并互相交流。
（一）问题的提出
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、 财力等资源，以便得到最好的经济效果。
例1 某厂需在长为4000mm 的圆钢上 ，截出长为698mm 和518mm 两种毛坯，问怎
样截取才能使残料最少？
初步分析：可以先考虑两种“极端”的情况：
（1）全部截出长为698mm 的毛坯（甲件），一共可截出≈5件，残料长为510mm 。
（2）全部截出长为518mm 的毛坯（乙件），一共可截出≈7件，残料长为374mm 。 由此可以想到，若将 x 个甲件和y 个乙件搭配起来下料，是否可能使残料减少？把 截取条件数学化地表示出来就是：
698 x + 518y ≤ 4000 x ，y 都是非负整数
目标是使：z = y
x 5186984000+材料利用率尽可能地接近或等于1（尽可能地大）。 该问题可用数学模型表示为： 目标函数：Max z =
y x 5186984000+ 满足约束条件： 698 x + 518y ≤ 4000 ， (1)
x ，y 都是非负整数 (2)
例2 某商业规划处在商场内要装修I 、II 两种经营不同商品的铺位各若干个，已知装
该商场每个铺位I可获利2万元，每个铺位II可获利3 万元，问应如何安排装修计划使商场获利最大？
这问题可以用以下的数学模型来描述：设x1,x2分别表示在计划期内装修I、II的数量。因为可调动的人数为8人，这是一个限制装修数量的条件，所以在确定I 、II的数量时，要考虑不超过可调动人数，即可用不等式表示为：x 1+2x 2≤8 .
同理，因装修材料A 、B的限量，可以得到以下不等式：4x1≤16，4x 2≤12.
该商场的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定数量x1、x2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z = 2 x 1+3 x 2 。综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：Max z = 2x 1 + 3x 2
满足约束条件：x 1 + 2x 2≤8
4 x 1≤ 16
4 x 2≤ 12
x 1，x 2≥ 0
该模型的特征是：
（1）有一组决策变量（x 1 ,x 2,…,x n）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个
具体方案。一般这些变量取值是非负的。
（2）存在一定的约束条件，这些约束条件可用一组线性不等式（或等式）来表示。
（3）有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求实现目标函数最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划模型。其一般形式为：
目标函数：Max (Min) z = c 1x 1 + c 2x 2+ …+ c n x n
a11x 1 + a12x 2+…. + a13x n≤ (=,≥) b1
a21x 1 + a22x 2+…. + a23x n≤ (=,≥) b2
满足约束条件：… …
a m1x 1 + a m2x 2+….+ a m3x n≤ (=,≥)
b m
x 1 ,x 2 ,…, x n≥ 0
（二）穷举法
以例1为例介绍穷举法。
先根据（1）求出x 所有可能的取值为：0、1、2、3、4、5，再由（1）把相应y 的
。（三）图解法
1、用二元一次不等式表示平面区域
ax + by > c ax +by < c ax +by >c
c
a>0, b >0 a >0, b<0 a>0, b<0 a>0, b<0
2.图解法
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。现对例2进行图解。
在以x1、x2为坐标轴的直角坐标系中，非负条件x1, x2≥ 0 是指第一象限（及x轴正半轴、y轴正半轴）。每一个约束条件都表示一个半平面。若约束条件x 1 + 2x 2 ≤ 8 是代表以直线x 1 + 2x 2 = 8为边界的左下方的半平面，同时满足x 1 + 2x 2≤ 8，4 x 1≤ 16，4 x 2≤ 12
和x 1 ，x 2 0约束的点，必然在由这三个半平面围成的区域内。由例2的所有约束条件为半平面围成的区域见右下图阴影部分。阴影区域中的每一个点（包括边界点）都这个线性规划问题的解。
再分析目标函数Max z = 2x 1 + 3 x 2，在这
坐标平面上，它表示以 z 为参数、–32 为斜率的一族平行直线 ： x 2 = – 32x 1 + 31z 位于同一直线上的点，具有相同的目标函数
值，因而称它为“等值线”。当z 值由小变大
时，直线x 2 = – 32x 1 + 3
1z 沿其法线方向（法线方向是指与直线垂直的方向）向上方移动。当移动到Q 2点时，使z 值在可行域（阴影部分）边界上实现最大化，这就得到了例2的最优解Q 2，Q 2点的坐标为（4，2）。于是算得Max =14。
这说明该商场的最优装修计划方案是：装修铺位I 4间，装修铺位II 2间，可得到最大利润为14万元。
三、线性规划模型汇编（注：题目后的数字表示组别）
（一）物资调运问题
1．两个汽车公司春运期间为三条线路增派汽车，甲公司可提供12辆，乙公司可提供20辆；A 线路需9辆，B 线路需15辆，C 线路需8辆。已知甲公司运营A 、B 、C 三线的距离依次为10公里、5公里、6公里；乙公司运营A 、B 、C 三线的距离依次为4公里、8公里、15公里。若每辆每公里的运营费为常数a 元，则甲公司供应给A 、B 、C 三线各多少辆，使总运营费用最省？[2]
2．某机车厂在A 、B 两处分厂分别有库存机车16台、12台，现要运往甲、乙两地，其中甲地15台，乙地13台。已知从A 地运一台机车到甲地的运费为5000元，到乙地的运费为4000元；从B 地运一台机车到甲地的运费为3000元，到乙地的运费为6000元。问应设计怎样的调运方案，才能使这些机车的总运费最省？此时总运费是多少？[3]
3．A 市、B 市和C 市分别有某种机器10台、10台和8台。现在决定把这些机器支援给D 市18台、E 市10台。已知从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费分别为400元和500元。
（1）设从A 市、B 市各调x 台机器到D 市,当28台机器全部调运完毕后,求总运费W （元）关于x （台）的函数式,并求W 的最小值和最大值；
（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器全部调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最小值和最大值。[2]
4．今年甲、乙两矿生产相同的矿石，甲、乙每月的产量分别为10万吨和8万吨；又有A 、B 两工厂每月分别需要矿石6万吨和12万吨。已知甲、乙与A 、B 的距离由下图标出（单位：千米），问怎样调运才能使总运输量（单位：万吨·千米）最小？最小总运输量是多少？怎样调运总运输量最大？最大总运输量是多少？[4]
5．某两个煤厂A 1、A 2每月进煤数量分别为60吨和100吨，联合供应3个居民区B 1、B 2、B 3.3个居民区每月对煤的需求量依次分别为50吨、70吨、40吨，煤厂A 1离3个居民区B 1、B 2、B 3的距离依次分别为10千米、5千米、6千米，煤厂A 2离3个居民区B 1、B 2、B 3的距离依次分别为4千米、8千米、12千米。问如何分配供煤量使得运输量（单位：吨·千米）达到最小？最小运输量是多少？[4]
6．某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车与4辆载重量为10吨的B 型卡车，有9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A 型车8次，B 型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A 型车160元，B 型车252元，每天派出A 型车与B 型车各多少辆，公司所花的成本费最低？最低成本费是多少？[2]
7．甲、乙两个粮库要向A 、B 两个超市运送大米，已知甲库可调出100吨大米，乙库可调出80吨，A
⑵最不合理的调运方案是什么？它使国家造成不该有的损失是多少？[4]
（二）产品安排问题
1．某商场拟经营甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3、2千元/件。甲、乙产品都要在A 、B 两种设备上加工，所需工时甲在A 、B 两种设备上分别为1、2台时/件，乙在A 、B 设备上分别为2、1台时/件。A 、B 设备每月有效可使用台时数分别为400、500。如何安排生产，使产品月销售总收入最大？最大总收入是多少?[1]
2．某建筑公司投资兴建多层时，每建设一处需资金200万元，需地皮200m 2，可获利润300万元；投资兴建高层时，每建设一处需要资金300万元，需要地皮100m 2，可获利润200万元，该公司现有可使用资金1400万元，地皮900m 2，问应作怎样的组合投资，可使所获利润最多？最大利润是多少?[1]
3．某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房。大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？[1]
4．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台。已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
A B 乙 甲
12 10
4 8
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少(以千元为单位)？[2]
5．20个农场职工种50公顷田地，这些地可以种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每公顷所需的职工和预计的产值如下：
问怎样安排，才能使每公顷地都种上作物，所有职工都工作，而且农作物的预计总产值达到最高？最高预计总产值是多少？[3]
6．某商业规划处在商场内要装修I 、II两种经营不同商品的铺位各若干个，已知装修一个
划使商场获利最多？[4]
7．电视台为某个广告公司特约播放两套片集。其中片集甲播映时间为20分钟，广告时间为1分钟，收视观众为60万，片集乙播映时间为10分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万。广告公司规定每周至少有6分钟广告，而电视台每周只能为该公司提供不多于80分钟的节目时间。电视台每周应播映两套片集各多少次，才能获得最高的收视率？[5]
（三）生产下料问题
1．某机车厂制造A、B两种钢质产品，制造产品A每件需用钢9吨，电力4千瓦，3个工作日；制造产品B每件需用钢4吨，电力5千瓦，10个工作日。已知制造产品A和B每件分别可获利7千元和12千元，现在该厂由于条件限制，只有钢材360吨，电力200千瓦，工作日300个可以利用。
问A、B两种产品各应生产多少件产品才能获利最大？最大利润是多少？[3]
2．某轴承厂用A原料2吨和B原料4吨可产出1千套甲种轴承；用A原料5吨和B原料3吨可产出1千套乙种轴承。这两种轴承在北京、上海、广州三地销售所得单位利润（单位：万元/千套）如下表所示：
超过2.5千套，乙种轴承生产不能超过1.5千套，且只能将全部轴承销往同一地方。问这两种轴承分别生产多少千套，销往何地，才能使一周的总利润最大？最大总利润是多少？[2]
3．某家具厂有方木料9m3,五合板600m3，准备加工成书桌和书橱，已知每张书桌要方木料0.1m3，五合板2m3，生产每个书橱要方木料0.2m3，五合板1m3，出售一张书桌可获利80元，出售一张书橱可获利120元，如果只安排生产书桌可获利多少，如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？[5]
4．某厂需在长为4000mm的圆钢上，截出长为698mm和518mm两种毛坯，问怎样截取才能使残料最少？[3]
5．某工厂在计划内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，生产每件产品所需机时、工时、获利情况如下表，在不超过总机时100和总工时120的条件下，应如何安排生产使获利最大？最大利润是多少？[5]
收获与体会：
一、学生心得与体会
研究性学习心得体会
高二（2）向飞
在开放的情境中主动探索，亲身体验，在愉快的心情中自主学习，提高能力，我们在研究性学习中不断收获，得到锻炼，提升自我。
这是我们对本次研究性学习的真实体会。
在班主任崔贺老师的策划组织下，我们高二（2）班全体同学参与调查研究了《线性规划问题的实际应用》这一研究课题。由于研究性课题的主要内容―线性规划‖是我们在高中数学第二册上（试验必修）第七章的学习内容，在以前学习的过程中就有许多同学由于无法联系实际合理想象而掌握得不是很好，因此在这次研究性学习中大家都积极参加，十分踊跃，加之此次研究性学习中亲临社会调查研究的机会十分丰富，我们就热情投入，以求获得更多的收获。正是这种积极高昂的态度以及崔贺老师正确细心的指导，使我们最后的研究取得了成功。
下面我们就将联系实际情况，具体谈一谈在研究过程中的心得体会。
一、准备充分目标明确
在研究性学习的初期阶段，我们很多同学都按捺不住兴奋的心情，想早点走到社会上实际调查，这时崔贺老师及时地阻止了我们，并且耐心地告诉我们只有准备充分，明确了自己想调查什么内容，调查的具体对象是谁，调查的目的与意义是什么，想取得什么样的调查结果，采用什么样的调查方式等等这些具体的事项，才能高效率，高质量的完成调查研究。这
令我们恍然大悟，于是收拾好心情，调整好心态，安下心来做准备。我们按照崔贺老师事先计划的五个调查任务不同的活动小组，自愿报名参加自己想参加的小组。小组人员调整完毕后，我们就开始针对不同小组的调查对象自己准备相关内容。比如第一小组想要调查的内容是城市规划、布局与设计中的线性规划问题。于是在参考了网上的相关资料，以及报纸新闻等多方面信息后，组员们讨论决定将调查对象设置为天津街的设计改造规划项目，调查地点设计为天津街改造办。确定好目标后，我们又积极准备自己想了解的内容，比如事先设想天津街改造工程中会有那些具体的线性规划问题，不同问题中获得最大效益的解决方法又是什么，哪些规划好的内容已付诸实践并取得巨大的效益等等。我们的其它四个小组也都是如此，精心准备，不留一点漏洞。正是由于充分的准备，明确的目标，才使我们在后来的实际调查中，有理有据，从容不迫，如鱼得水，获得了巨大的成效。
二、团队精神合作至上
研究性学习是一项庞大的工程，单凭一人之力是无论如何也无法完成的。这时候我们需要的是合作，是整个团队，是大家共同的努力。这让我们深有体会。有人说重点高中的学生都很自私，不爱帮助人。然而在这次研究性学习中，我们分明地看到了热情帮助人的同学，也看到了合作的巨大力量。比如第二小组，他们的调查内容是汽车调度中有关线性规划问题。一开始大家都忙着各自分头寻找相关资料，没有分配任务，开会讨论，等到组内开会召集时，才发现，不是有的资料没找到，就是同样的资料找了好几份。组员们在这种情况下并没有互相埋怨，而是赶快聚到一起开会商议补救之策。他们将任务分割成几份，派给组员，大家同时工作但侧重点不同。组员杨振业、黄超、李易负责调查地点的确定联系，组员李成龙、夏博、尹家琳负责对客运中线性规划问题利用的收集工作，组员于秀、张馨、王晨婧、向飞负责查找在数学问题中，有关汽车调度的线性规划问题，以及调查后效果的设想，组长张磊负责调度协调。如果有的组员提前完成任务，他们也会热心主动地帮助别的组员。正是因为大家共同合作，互相帮助，以集体的利益为主，第二小组的任务才能在失误在先的情况下完成得很好。在五个小组之间，合作的关系依然紧密，如果查找到与其它小组有关的资料，大家都会拿出来共享，正是由于这样，虽然研究任务很重，我们也没有耽误很多学习时间。团队的精神在每个人心中，合作为了共同的目标。
三、理论联系实际与抽象思维的能力
作为学生，我们所接触到的只是书本上的知识，应该说，我们很难体会到自己现在所学习的高深的数学知识与实际生活有什么联系。然而在这次关于线性规划的实际应用的研究中，我们惊奇地发现，原来我们所学习的知识如此广泛而紧密地和我们的生活联系着。正是如此，我们也越加希望能将自己的所学，应用到现实中来。然而事实并非如我们所料，比如说，车票的售价，这就是一个线性规划的问题，可是它与季节，客流量，油价等等复杂的问题相关联我们根本就无法解决。正当我们愁眉不展时，崔贺老师告诉我们，线性规划的确在我们的生活中应用广泛，然而很多问题是十分复杂的，是我们的能力无法解决的，但这并不意味着，我们就不去解决它。我们在课本上，练习册上不是也见到过许多线性规划的问题吗，它们是怎么来的呢？是人们在大量实际观察后抽象出来的理想模型。我们需要思考的就是如何用书本上的知识解释实际中的线性规划问题，和从实际中提取出理想的问题模型。在老师的指导后，我们又对本次研究性学习产生了更深刻的认识，努力的目标和方向也更加明确了。比如第三小组，他们的研究内容是机车厂在生产机车过程中的线性规划问题。他们将理论联系实际，分析出机车的材料，机车的外形，机车的速度，机车的动力种种因素对机车最后的质量以及机车厂获得的效益之间的线性规划关系，并从中抽象出几道与此有关的题目，如生产投料类题目（见线性规划模型汇编）。其它小组也同样通过不同的角度抽象出许多理想的数学模型。很多从前对线性规划不很明白的同学，现在不仅可以用它解释生活中的问题，甚至可以自己出题考别人呢。一些数学成绩不是很好的同学，也在这个过程中找到了学习数学
的乐趣，提高了自身的能力。这些会让我们在以后的学习中受用不尽。
总而言之，本次研究性学习活动让我们得到了极大的锻炼，无论是社会交往的能力，还是自身的学习能力都得到了巨大的提高。
二、教师论文
应用数学——校本课程开发的新领域
大连市第八中学数学组崔贺
目前，我国的基础教育课程改革，正从原先单一的国家课程模式走向国家、地方、学校三级管理体制的课程模式。以校为本，是新世纪学校教育改革与发展的全新的教育理念。其中，校本课程的开发已成为21世纪初我国课程改革的热点问题。
校本课程是指学校在保证实施国家和地方课程的前提下，通过对本校学生的需求进行科学地评估，充分利用当地社区和学校的课程资源而开发的多样性的、可供学生选择的课程。它是学校根据本校的教育理念，通过与外部力量的合作，采用选择、改编、新编教学材料或设计学习活动的方式，并在校内实施以及建立内部评价机制的各种专业活动。
应用数学是把所学的知识与社会现实生活与实践紧密联系起来，在身边发现和解决问题。可以说应用数学是数学校本课程开发的有效载体之一。
首先，应用数学课程的开发符合我校的教育理念：使学生学会学习，学会生活，学生发展，学会合作。所谓―校本‖，即是以所在学校的学生为本，从学生的发展需要和学校独有的教育环境出发，以参与、合作、民主、多样性为原则，充分体现学校独特的办学理念和办学特色。在应用数学学习过程中，学生要到实践中去发现问题，然后建立合理的数学模型，再选用学过的知识加以解决。在这个过程中，学生有机会更深层地接触社会，学会与他人交流与合作，也有助于锻炼学生克服困难、探求知识的毅力。
第二，应用数学可以弥补传统数学教学中过于强调知识传授、学科独立、偏重结论的不足。20世纪40年代，国际著名数学家柯朗曾经十分尖锐地批评过数学教育中的问题，指出：―两千年来，掌握一定的数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，数学在教育中的这种特殊地位，今天正在出现严重危机，不幸的是数学教育工作者对此无清醒的认识。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练，固然这可以发展形成演算能力，但它无助于真正理解数学，无助于提高独立思考能力，忽视应用与其它领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的，相反，在重视智力训练的人们中，必然激起强烈的反感。‖可见，仅以记忆储存知识为目标的传统教育是不能适应知识经济时代的要求。所以，强调数学的广泛应用有着重要的现实意义中，中学数学教育是数学教育过程中的重要一环，应注重培养学生的应用意识，使学生对数学有一个比较完整的了解，树立正确的数学观。在数学教学中，要注重提高学生的创新能力，我们可以利用再现数学知识的发现过程，让学生在已有的知识上观察，归纳，总结规律，猜想结论，发现定理，从而提高创新能力，这样有助于培养学生独立思考的能力，有助于学生得到成功的喜悦而增强自信心。
第三，应用数学的内容很广泛，可以紧密结合教材开发，使之成为一门课程。所谓―课程‖，即所进行的教学专业活动不是单纯某个课时的设计或某次教学活动的组织，它必须更学科化、目标化、系统化、规范化。现实生活中蕴藏着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。我们要对生活中的数学现象具有一定的敏感性，认识到生活中处处有数学，数学就在我们身边，认识到数学是有用的，随着时代的发展，数学的应用价值会日益明显；而且许多教材中的数学问题都是源于生活的，这就决定了应用数学的研究有广阔的空间。随着现代生活方式的不断进步，数学的应用还有广阔的前景，可以随着层出不穷的问题而不断地更新学习内容。
第四，应用数学将是未来高考能力考查的重点内容。数学是科学的语言、其他学科的基础、解决问题的工具，数学是培养人们养成良好思维习惯的重要载体。―应用能力薄弱‖恰成为我国数学教学最大的失落，数学知识的应用反过来又促进数学的应用。如何相互渗透，提高思维品位，融知识、能力于一体，做到数学的时代性、应用性与理论性的有机结合，已成为高考检测考生已有的和潜在学习能力的重要标准。应用数学的学习重点就是要通过理论联系实际的学习，开发学生的创造潜能，培养学生乐于探索的好奇心和勇于创新的欲望，善于发现问题，解决问题，学会学习，学会思考，从而形成现代社会所必备的创新素质生存能力。而高考改革就是以能力考查为主要方向，特别是近几年的数学高考题中应用题的数量不断加大，从一个侧面说明数学的应用能力越来越受到重视。
以上几点说明应用数学的开发势在必行，这就要求广大的一线教师能够不断提高自身的理论素养和科学意识，以数学教材为依托，以现实生活中的数学问题为背景，开发出切实可行的校本课程。生活永远是数学问题不枯竭的源泉，关注现实世界中数学的应用，培养新一代具有数学应用意识的人才应是我们广大数学教育工作者的重要任务和责任。
参考文献：
1.《培养学生终身学习的愿望为最主要的目标》文汇报1999.1
2.30
2.《数学课程的重要目标——应用意识》数学教育学报2002.2
3.《2000高考总复习》闻武知识出版社
专家评价：
《线性规划问题的实际应用》课题的形成本身很有新意，教师提出研究问题及方向，由学生开始调查整理归纳，师生共同完成学习任务，这很值得提倡。从课题本身来看，把教材和生产、生活联系起来，这应该是研究性学习的一个方向，也是数学学科高考的一个命题方向，这个尝试是很成功的。
指导教师将本次研究性学习的成果与校本开发联系起来，提出了应用数学校本课程开发的必要性和可行性，观点新颖，论证详实，为校本课程开发拓展了新的领域，也把这次研究性学习成果提高到了一个更高层次。
线性规划计算方法
线性规划法的数学模型如下： 设X1，X2，X3，…，X n为各变量，n为变量个数，m为约束条件数，a ij(i＝1，2…,m；j＝1，2…,n)为各种系数，b1,b2,b3,…，b m为常数，C1，C2,C3,…C n为目标函数系数，Z为目标值，则线性规划模型如下： a11X1＋a12X2＋…＋a1n X n≥(＝≤)b1 a21X1＋a22X2＋…＋a2n X n≥(＝≤)b2 ………………… a m1X1＋a m2X2＋…＋a mn X n≥(＝≤) b m X1，X2，…，X n≥0 目标函数Zmin（max）＝C1X1＋C2X2十…＋C n X n 线性规划计算方法: 鲜花店向李大民预定两种花卉——百合、玫瑰。其中每株收购价百合为4元,玫瑰为3元,鲜花店需要百合在1100～1400株之间,玫瑰在800～1200株之间,李大民只有资金5000元, 要去购买良种花苗, 在自家902m的温室中培育,每株苗价百合为2.5元,玫瑰为2元,由于百合与玫瑰生长所需采光条件的不同,百合每株大约占地0.052m，玫瑰每株大约占地0.032m，应如何配置才能使李大民获利最大? 数学建模：设种百合x1 株,玫瑰x2 株,则 2. 5 x1 + 2 x2 ≤5000 0. 05 x1 + 0. 03 x2 ≤90 x1 ≥1100 x1 ≤1400 x2 ≥800
x2 ≤1200 目标函数求最大值(即获利)Max z = (4 - 2. 5) x1 + (3 - 2) x2 = 1. 5 x + x1 可以看出,变量数为2,约束方程数为6,目标函数求最大值,打开线性规划计算软件,输入如下所示: 输入完成后点“计算”按纽，即可完成计算结果如下图：
线性规划案例
附录2 线性规划案例 Appendix 2 Projects of Linear Programming 案例1 食油生产问题(1) 食油厂精炼两种类型的原料油——硬质油和软质油，并将精制油混合得到一种食油产品。硬质原料油来自两个产地:产地1和产地2，而软质原料油来自另外三个产地：产地3，产地4和产地5。据预测，这5种原料油的价格从一至六月分别为： 产品油售价为200元/吨。 硬质油和软质油需要由不同的生产线来精炼。硬质油生产线的每月最大处理能力为200吨，软质油生产线最大处理能力为250吨/月。五种原料油都备有贮罐，每个贮罐的容量均为1000吨，每吨原料油每月的存贮费用为5元。而各种精制油以及产品无油罐可存贮。精炼的加工费用可略去不计。产品的销售没有任何问题。 产品食油的硬度有一定的技术要求，它取决于各种原料油的硬度以及混合比例。产品食油的硬度与各种成份的硬度以及所占比例成线性关系。根据技术要求，产品食油的硬度必须不小于3.0而不大于6.0。各种原料油的硬度如下表（精制过程不会影响硬度）：
假设在一月初，每种原料油都有500吨存贮而要求在六月底仍保持这样的贮备。 问题1：根据表1预测的原料油价格，编制逐月各种原料油采购量、耗用量及库存量计划，使本年内的利润最大。 问题2：考虑原料油价格上涨对利润的影响。据市场预测分析，如果二月份硬质原料油价格比表1中的数字上涨Ｘ％，则软质油在二月份的价格将比表1中的数字上涨2Ｘ％，相应地，三月份，硬质原料油将上涨2Ｘ％，软质原料油将上涨4Ｘ％，依此类推至六月份。试分析Ｘ从1到20的各情况下，利润将如何变化？ 案例2 食油生产问题（2） 在案例1中，附加以下条件，求解新的问题： 1.每一个月所用的原料油不多于三种。 2.如果在某一个月用一种原料油，那么这种油不能少于20吨。 3.如果在一个月中用了硬质油1或硬质油2，则在这个月中就必须用软质油5。案例3 机械产品生产计划问题 机械加工厂生产7种产品（产品1到产品7）。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中的短划表示这种产品不需要相应的设备加工。
第四章 非线性规划1-约束极值问题
第四章 非线性规划 ???? ???? 无约束最优化问题线性规划约束最优化问题非线性规划 ?? ?凸规划约束最优化问题非凸规划 ?? ?直接解法约束最优化问题求解方法间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于这类方法可以选用有效的无约束优化方法，且易于处理同时具有不等式约束和等式约束的问题，因而在工程优化中得到了广泛的应用。 直接解法是在满足不等式约束的可行设汁区域内直接按索问题的约束最优解。 第一节 目标函数的约束极值问题 所谓约束优化设计问题的最优性条件．就是指在满足等式和不等式约束条件下，其目标函数值最小的点必须满足的条件，须注意的是，这只是对约束的局部最优解而言。 对于带有约束条件的目标函数，其求最优解的过程可归结为： 一、约束与方向的定义 一）起作用约束与松弛约束 对于一个不等式约束()0g X ≤来说，如果所讨论的设计点() k X 使该约束()0g X =(或 者说() k X 当时正处在该约束的边界上)时，则称这个约束是() k X 点的一个起作用约束或紧约 束，而其他满足()0g X <的约束称为松弛约束。
冗余约束 40g ≤ 当一个设计点同时有几个约束起作用时，即可定义起作用约束集合为 {}()()()|()0,1,2, ,k k u I X u g X u m === 其意义是对() k X 点此时所有起作用约束下标的集合。 二）冗余约束 如果一个不等式约束条件的约束面(即()0g X =)对可行域的大小不发生影 响，或是约束面不与可行域D 相交，即此约束称为冗余约束。 三）可行方向 可行方向：一个设计点()k X 在可行域内，沿某一个方向S 移动，仍可得到一个属于可行域的新点，则称该方向为可行方向。 1）设计点为自由点 设计点() k X 在可行域内是一个自由点，在各个方 向上都可以作出移动得到新点仍属于可行域，如图所示。 2）设计点为约束边界点 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，它的移动就会受到可行性的限制。此时，()k X 点的可行方向S 必满足条件： ()0T k i S g X ?≤ （解释：()()cos ,()T k k T k i i i S g X S g X S g X ?=??，,()90T k i S g X ?≥?）） 当,()90T k i S g X ?=?时，方向S 是约束函数i g 在()k X 点处的切线方向，即()0T k i S g X ?=。 当某个设计点x 同时有几个约束起作用时(如
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。 毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。 1数学模型
线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。 设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数； 线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。20世纪70年代末，上述分支领域都得到了极大发展，但是却都不完善。而且数学规划领域中存在许多Nfkhard问题，如TP问题，整数规划问题等。这些问题的基本模型都可以写成线性规划形式，因此通过对线性规划算法的进一步研究，可以进一步启发及推动数学规划领域内其他分支的发展。 2边界点算法 由于单纯形法与基线算法都是在可行集的边界上
第五章运筹学 线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用 5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表： 量，使得公司的利润最大化。 1、判别问题的线性规划数学模型类型。 2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。 3、建立该问题的线性规划数学模型。 4、用线性规划求解模型进行求解。 5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。 6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。 解： 1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。 2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件 4x1+ 3x2≤350 车床限制条件 3x1+ x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型 max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x1≥0、x2≥0、x3≥0 4、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。 5、灵敏度分析
目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束松弛/剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范围 : 变量下限当前值上限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范围 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5 （1）最优生产方案： 新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。 （2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。 （3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时； 三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。 （4）目标函数系数范围 表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。 （5）常数项范围 表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。 6、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤500 4x1+ 3x2≤350 3x1+ x3≤150 x3≥18 x1≥0、x2≥0、x3≥0 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解（44，10，18），最优值：28.5元。 灵敏度报告： 目标函数最优值为 : 28.5 变量最优解相差值 x1 44 0 x2 10 0
线性规划的实际应用
线性规划的实际应用 摘 要：线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 关键词：研究性学习；线性规划，教学改革 随着当前基础教育的改革的深入，研究性学习成为当前基础教育的一个热点，引起了教育界和社会的广泛关注，也成为当前培养学生能力的一个崭新的课题。我们本着教学过程始于课内，终于课外的原则对线性规划的实际应用进行研究。主要是把实际问题抽象为数学模型，使其在约束条件下，找到最佳方案。也就是说求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题。 一． 线性规划问题 在实际社会活动中遇到这样的问题：一类是当一项任务确定后，如何统筹 安排，尽量做到最少的资源消耗去完成；另一类是在已有的一定数量的资源条件下，如何安排使用它们，才能使得完成的任务最多。 例如1-1：某工厂需要使用浓度为的硫酸10，而市场上只有浓度为，0080kg 00600 070和的硫酸出售，每千克价格分别为8元，10元，16元，问应购买各种浓度的硫酸各多0090少？才能满足生产需求，且所花费用最小？ 设取浓度为，，的硫酸分别为千克，总费用为，则 006000700090321,,x x x Z s.t ?? ?=++=++8 9.07.06.010 321321x x x x x x ) 3,2,1,0(16108321=≥++=j x x x x Z j 例如1-2：某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲产品需要种原料不超过3千克，但 A 每千克甲产品需要种原料为2千克；生产乙产品需要种原料不超过4.5千克，但每千克C B 乙产品需要种原料为3千克。每千克甲产品的利润为3元，每千克乙产品的利润为4元， C 工厂生产甲，乙两种产品的计划中要求所耗的种原料不超过15千克，甲，乙两种产品各应C 生产多少，能使的总利润最大？ 设生产甲，乙两种产品分别为千克，利润总额为元，则 21,x x Z s.t ???????≥≤+≤≤0 ,15325.43212121x x x x x x 2143x x Z +=二． 线性规划问题的模型 1．概念 对于求取一组变量使之既满足线性约束条件，又使具有线 ),,3,2,1(n j x j ???=性目标函数取得最值的一类最优问题称为线性规划问题。
线性规划案例分析
2.某市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究 1)问题的提出 某市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一，主要产品有2105柴油机、 X2105柴油机、X4105柴油机、X4110柴油机、X6105柴油机、X6110柴油机，产品市场占 有率大，覆盖面广，广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等。在同行 业中占有一定的优势。但另一方面，也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题， 尤其是随着经济体制改革的深入，以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场 经济的要求。为改变这种不利局面，厂领导决定实行科学管理，其中努力提高企业编制产品 生产计划的科学性是一个重要的目标。 2)生产现状及资料分析 柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料，再进行热处理、机加工工序，进入 总装，最后试车、装箱、入成品库。该厂将毛坯生产工艺，即锻造、铸造或下料过程渐渐向 外扩散，形成专业化生产，以达到规模效益，故该厂柴油机生产过程主要可以分三大类：热 处理、机加工、总装。与产品生产有关的数据资料如下： 每种产品的单位产值如下表： 序号产品型号及产品名称单位产值(元) 1 2105柴油机5400 2 X2105柴油机6500 3 X4105柴油机12000 4 X4110柴油机14000 5 X6105柴油机18500 6 X6110柴油机20000 每件产品所需的热处理、机加工、总装工时及全厂能提供的三种总工时如下表：序号产品型号及产品名称热处理(工时) 机加工(工时) 总装(工时) 1 2105柴油机10.58 14.58 17.08 2 X2105柴油机11.0 3 7.05 150 3 X4105柴油机20.11 23.96 29.37 4 X4110柴油机32.26 27.7 33.38 5 X6105柴油机37.68 29.3 6 55.1 6 X6110柴油机40.84 40.43 53.5 全年提供总工时120000 95000 180000 产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源，供应科根据历年的统计资 料及当年的原材料市场情况，给出了各种原材料的最大供应量如下表： 原材料名称生铁(吨) 焦碳(吨) 废钢(吨) 钢材(吨) 最大供应量1562 951 530 350 单位产品原材料消耗情况如下表： 序号产品型号及名称生铁(吨) 焦碳(吨) 废钢(吨) 钢材(吨) 1 2105柴油机0.18 0.11 0.06 0.04 2 X2105柴油机0.19 0.12 0.06 0.04 3 X4105柴油机0.35 0.22 0.12 0.08 4 X4110柴油机0.36 0.23 0.13 0.09 5 X6105柴油机0.54 0.33 0.18 0.12
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例 即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划( 的实际应用举例加以说明。个变量的线性规划) 1 物资调运中的线性规划问题 万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲 地，调运运万个到乙地。20-y 从而有 。z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000 1)(图，即可行域。作出以上不等式组所表示的平面区域 z'=z-7000=20x+30y. 令 ：20x+30y=0，作直线l 且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。30+30×z=20× 0+7000=7600(min 万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。运费最小，且总运费的最小值为7600 2 产品安排中的线性规划问题 吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4
吨，其余添加剂0.2． 吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大 1。分析：将已知数据列成下表 2表1例表 元，那么吨、y吨，利润总额为z解：设生产甲、乙两种饲料分别为x z=400x+500y。 即可行域。(图2)作出以上不等式组所表示的平面区域 平行，所以线段l4x+5y=6000与。并把400x+500y=0l向右上方平移，由于l：作直线l：1。，N(0，1200)M(250MN上所有坐标都是整数的点(整点)都是最优解。易求得，1000) ，y=1000时，1000)取整点M(250，，即x=250 。元1000=600000()=60(万元)=400×z250+500×max 吨，能使利润总额达到最大。最大利润为1000可安排生产甲种饲料250吨，乙种饲料答：万元。60 使我们认识到最优解的个数还例2课本题中出现的线性规划问题大都有唯一的最优解。注：有其他可能，这里不再深入探究。
线 性 规 划 算 法 详 解
线性规划算法详解 线性规划 首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。 举个例子： ?M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨 怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。 设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出 6x1+4x2=24 x1+2x2=6 -x1+x2=1 z=5x1+4x2 如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法 我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满
足约束条件 对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。 最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5 这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。 以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。 单纯形法 当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式： 所有的变量都是非负数 所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下 6x1+4x2+s1=24 x1+2x2+s2=6 -x1+x2+s3=1
线性规划应用案例
线性规划应用案例
市场营销应用 案例一：媒体选择 在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。 REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。 考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。表4-1列出了收集到的这些信息。 表4-1 REL发展公司可选的广告媒体
REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。应当推荐何种广告媒体选择计划呢？ 案例二：市场调查 公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。 市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问： ●至少访问400个有儿童的家庭； ●至少访问400个无儿童的家庭； ●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量； ●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问； ●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。 因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示： 以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的
多目标线性规划的若干解法及MATLAB实现
多目标线性规划的若干解法及MATLAB 实现 一．多目标线性规划模型 多目标线性规划有着两个和两个以上的目标函数,且目标函数和约束条件全是线性函 数,其数学模型表示为： 11111221221122221122max n n n n r r r rn n z c x c x c x z c x c x c x z c x c x c x =+++??=+++?? ??=+++? （1） 约束条件为： 1111221121122222112212,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x +++≤??+++≤?? ??+++≤?≥?? （2） 若（1）式中只有一个1122i i i in n z c x c x c x =+++ ，则该问题为典型的单目标线性规划。我们记:()ij m n A a ?=,()ij r n C c ?=,12(,,,)T m b b b b = ,12(,,,)T n x x x x = ， 12(,,,)T r Z Z Z Z = . 则上述多目标线性规划可用矩阵形式表示为: max Z Cx = 约束条件：0 Ax b x ≤?? ≥? （3） 二．MATLAB 优化工具箱常用函数[3] 在MA TLAB 软件中，有几个专门求解最优化问题的函数，如求线性规划问题的linprog 、求有约束非线性函数的fmincon 、求最大最小化问题的fminimax 、求多目标达到问题的fgoalattain 等,它们的调用形式分别为： ①.[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) f 为目标函数系数,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束系数, lb,ub 为x 的下 限和上限, fval 求解的x 所对应的值。 算法原理：单纯形法的改进方法投影法 ②.[x,fval ]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub ） fun 为目标函数的M 函数, x0为初值,A,b 为不等式约束的系数, Aeq,beq 为等式约束
线性规划模型在生活中的实际应用
线性规划模型在生活中的实际应用 一、线性规划的基本概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用 （1）线性规划在企业管理中的应用范围 线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益. 8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用 在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资
源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策.
线性规划的应用(简介和案例)
线性规划的应用 线性规划是运筹学中一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。如：经济管理、交通运输、工农业生为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 线性规划作为运筹学的一个研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的重要分支，它在日常生活中的典型应用主要有：1合理利用线材问题：如何下料使用材最少 2配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 3投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 4产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 5劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6运输问题：如何制定调动方案，使总运费最小 其实，也就是说，线性规划在运筹学中的研究对象主要是在有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高和在某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。 例如： 某公司现有三条生产线来生产两种新产品，其主要数据如表1.1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？
表1 产品组合问题的数据表 此问题是在生产线可利用时间受到限制的情形下寻求每周利润最大化的产品组合问题。 在建立产品组合模型的过程中，以下问题需要得到回答： （1）要做出什么决策？ （2）做出的决策会有哪些条件限制？ （3）这些决策的全部评价标准是什么？ （1）变量的确定 要做出的决策是两种新产品的生产水平，记x1为每周生产产品甲的产量，x2为每周生产产品乙的产量。一般情况下，在实际问题中常常称为变量（决策变量）。 （2）约束条件 求目标函数极值时的某些限制称为约束条件。如两种产品在相应生产线上每周生产时间不能超过每条生产线的可得时间，对于生产线一，有x1≤4，类似地，其它生产线也有不等式约束。 （3）目标函数 对这些决策的评价标准是这两种产品的总利润，即目标函数是要求每周的生产利润（可记为z，以百元为计量单位）为最大 这样，可以把产品组合问题抽象地归结为一个数学模型： max z = 3x1+5x2 s.t. x1 ≤4 2x2 ≤12 3x1+ 2x2 ≤18 x1≥0，x2 ≥0
线 性 规 划 算 法 详 解
机器学习--支持向量机（四）SMO算法详解 上篇我们讲到，线性和非线性都转化为求解的问题即： 求解的方法就是SMO算法，下面详细介绍SMO算法： 在讲解SMO算法之前先说明一下讲解思路，首先先帮助大家理解这个式子，说明推倒的过程细节，然后和原论文对照，本文不打算刚开始就深入数学公式，先带大家感性认识一下SMO的算法实现过程，通过语言描述继续讲解，让大家对该算法有一个整体的认识?，然后在循序渐进深入数学公式，吃透原理，这样符合知识的接受过程。 从倒数第二行，大家可以看到第一项我们可以看做一个含有未知数的常数项，第二项大家感觉是不是很眼熟即，向量的转置乘以本向量这就是求內积啊，只是说这里的A不简单而已，两个i不是同时变化的，因此为了方便把其合在一起，而合在一起的前提是需要表现两个i不一样，因此引入了j以示区别，至于为什么不一样，举一个简单的例子，因为里面是求和，大家各自展开求和在相乘,举个例子，含有三项的： ?（a1 + a2 + a3）* （a1 + a2 + a3）=?+ a1*a2 + a1+a3 + a2*a1 +?+ a2*a3 + a3*a1 + a3*a2 +? ? =?+?+?+ 2a1*a2 + 2a1*a3 + 2a2*a3 求和后各自展开，结果是上式，如果直接把两个i合并为一个i，那么化简会是什么样呢？ ?其实就只有平方项了即：++ 之所以讲解这个，原因是希望大家能拿笔自己推一下上面的式子，同
时按照下面的要求展开试试，虽然没必要推这些，但是如果去做一下，你会发现数学的推倒很有助于理解，同时这种“复杂”的式子其实还好，强化学习中的数学推倒比这里复杂多了，所以建议大家以后遇到数学公式尽量自己推一遍，比你看几遍有用的多，好了，废话不多说，把上面的结果按如下要求展开， 把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开，我先给出自己推倒的（讲真编辑这个式子很耗费时间，我查了一下网上其他人的推到感觉有点问题，所以打算自己推倒一下，为了确认自己正确把原论文读了一下，是正确的）： 先令? ------------为內积，为了大家能看懂就做这一个假设： 首先他假设的分离平面就和我们不一样，但是道理都是一样的： 与我们之前的?是一样的意思 他的优化目标相同即： 经过引入拉格朗日因子和对偶后再求对w、b求导为： 其实到这里就和我们的形式是一样的，只是正负号位置不一样的，所以极值就是求极小值了，这也是差异的原因继续往下： 加入松弛变量以后： 到这里就是我们最后的求解式子了，有点不同，但是原理都是一样的把和看做未知数，其他的看做已知数进行展开为： 我和他展开的是差不多的，只是正负号问题，原因上面讲了，在查看相关的推倒博客，发现好多人目标是我们定义的目标，分解后就是这个结果，真不知道如何来的，所以自己动手推了一遍，形式和原著一样，结果
线性规划的实际应用
密封线 线性规划的实际应用 摘要线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。本文应用线性规划模型，以 某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使造价最低为 目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性规划模型的建立 方法，并分别通过单纯形法和MATLAB软件进行求解。 关键词线性规划模型单纯形法 MATLAB 一、专著背景简介 《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广Lagrange方法、非线性半定规划的增广Lagrange方法、非线性二阶锥优化的增广Lagrange方法以及整数规划的Lagrange松弛方法。《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和算法论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。 二、专著的主要结构内容 《最优化方法》是一本着重实际应用又有一定理论深度的最优化方法教材，内容包括线
《线性规划与基本不等式》的案例分析
高考考点:《不等关系、线性规划与基本不等式》的案例分析 一、高考要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景。 2.一元二次不等式 （1）会从实际背景中抽象出一元二次不等式模型。 （2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。 3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题 （1）会从实际情境中抽象出二元二次不等式组。 （2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 （3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 4.基本不等式： （1）了解基本不等式的证明过程。 （2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 二、规律分析
【规律总结】 全面分析这六年来的试题，可以看出，山东卷全面落实考纲对这一部分的规定，考查不等式的解法、线性规划和基本不等式的应用，每年的考查形式稍有变化，但总体上考点不变。具体来说，有这样的规律： （1）文科几乎每年涉及一元二次不等式的解法。理科涉及绝对值不等式的解法较多，一般与集合、函数的定义域求解结合较多，以选择题为主。 （2）几乎每年都考查线性规划问题，并且基本上都是以填空题和选择题的形式出现，只有2010年在填空题中考查了基本不等式，分析发现2010年以前山东高考是填空题的形式进行考查，2011年之后，则改为以选择题的形式考查。 （2）从2011年开始，山东高考考查线性规划的比重和难度在逐渐增加，2011年只是考查求线性规划的最大值问题，2012年的高考既考查求最大值又增加了求最小值，这两年都设计一个小题，2013则是设计了两个小题，并且与解析几何相结合，难度教以往有所增加。2014年将线性规划问题文科放在了第10，理科在9，难度再次增大。
线 性 规 划 算 法 详 解
Java基础算法详解 查找和排序算法是算法的入门知识，其经典思想可以用于很多算法当中。因为其实现代码较短，应用较常见。所以在面试中经常会问到排序算法及其相关的问题。但万变不离其宗，只要熟悉了思想，灵活运用也不是难事。一般在面试中最常考的是快速排序和归并排序，并且经常有面试官要求现场写出这两种排序的代码。对这两种排序的代码一定要信手拈来才行。还有插入排序、冒泡排序、堆排序、基数排序、桶排序等。 面试官对于这些排序可能会要求比较各自的优劣、各种算法的思想及其使用场景。还有要会分析算法的时间和空间复杂度。通常查找和排序算法的考察是面试的开始，如果这些问题回答不好，估计面试官都没有继续面试下去的兴趣都没了。所以想开个好头就要把常见的排序算法思想及其特点要熟练掌握，有必要时要熟练写出代码。 冒泡排序 冒泡排序是最简单的排序之一了，其大体思想就是通过与相邻元素的比较和交换来把小的数交换到最前面。这个过程类似于水泡向上升一样，因此而得名。举个栗子，对5,3,8,6,4这个无序序列进行冒泡排序。首先从后向前冒泡，4和6比较，把4交换到前面，序列变成5,3,8,4,6。同理4和8交换，变成5,3,4,8,6,3和4无需交换。5和3交换，变成3,5,4,8,6,3.这样一次冒泡就完了，把最小的数3排到最前面了。对剩下的序列依次冒泡就会得到一个有序序列。冒泡
排序的时间复杂度为O(n^2)。 实现代码： *@Description:冒泡排序算法实现 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=0; i) { for(int j=arr.length-1; ji; j--) { if(arr[j]arr[j-1]) { swap(arr, j-1, j); public static void swap(int[] arr, int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; 抑或简单理解一点的正向排序 public class BubbleSort { public static void bubbleSort(int[] arr) { if(arr == null || arr.length == 0) for(int i=1;iarr.length-1;i++) { for(int j=0; jarr.length-i; j++) { if(arr[j]arr[j+1]) { swap(arr, j+1, j);
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法 当线性规划的变量和约束条件比较多， 而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试 的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。在此时， 大M 法可 能是应付此类情况的一个行之有效的算法。 § 4.1 大M 法的原理 当初始基本可行解不知道时，则 1.， 2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得: 1. 中心部位具有单位子块; 2. 右列元素非负； 式（4.1 ）和（4.2 ）的约束方程组并不同解，但（ 4.1 ）的解和（4.2 ）中x 4 = x 5 = 0的解 是相对应的。只要找到以（4.2 ）为约束条件，且人工变量 x 4, x 5均为自由变量的基本可行 解，也就找到了（ 4.1 ）的基本可行解，于是，要设法迫使 X 4 =X 5 =0。 以上途径通过修改（4.1 ）的目标函数来实现。具体修改为： m in z = _3 人 x 2 2 x 3 M x 4 - M x 5 这时可以先用容许的运算使由列为非负, 然后在中心部位人为添加一个单位子块。 如下 例所述: 例4.1 min z = -3洛亠 x 2 亠 2x 3 s.t. 3x ! 2x 2 —3x 3 = 6 -x<| ■' 2 x^ _ X 3 = _4 洛，X 2, X 3 _ 0 (4.1.1 ) 列成表格: 3 2 -3 6 3 2 - 3 6 3 2 -3 1 0 6 ■1 2 -1 - 4 => 1 -2 1 4 => 1 -2 1 0 1 4 ■3 1 2 0 -3 1 2 0 -3 1 2 上述第三张表中人工增加了两个变量 X 4, X 5，称为人工变量，即把原来的约束条件改为: s.t. 3x ! 2 x 2 -3 x 3 x 4 = 6 為-2X 2 X 3 X 5 =4 (4.1.2) X 1，X 2，X 3，X 4, X 5 -0 (4.1.3 )