2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)_数学(文)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)

数学(文科)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2014辽宁，文1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合U(A∪B)＝()．A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}

答案：D

解析：∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

∴U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D.

2．(2014辽宁，文2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝()．

A．2＋3i B．2－3i

C．3＋2i D．3－2i

答案：A

解析：∵(z－2i)(2－i)＝5，∴

5

2i2i

2i

z-==+

-

.

∴z＝2＋3i.故选A.

3．(2014辽宁，文3)已知

1

3

2

a-

=，

2

1

log

3

b=，

1

2

1

log

3

c=，则()．

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 答案：D

解析：∵

1

3

0221

a-

<=<=，

22

1

log log10

3

b=<=，

11

22

11

log log1

32

c=>=，∴c

＞a＞b.故选D.

4．(2014辽宁，文4)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()．A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

答案：B

解析：对A：m，n还可能异面、相交，故A不正确．对C：n还可能在平面α内，故C 不正确．对D：n还可能在α内，故D不正确．对B：由线面垂直的定义可知正确．5．(2014辽宁，文5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是()．

A．p∨q B．p∧q

C．(p)∧(q) D．p∨(q)

答案：A

解析：对命题p中的a与c可能为共线向量，故命题p为假命题．由a，b，c为非零向量，可知命题q为真命题．故p∨q为真命题．故选A.

6．(2014辽宁，文6)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()．

A ．

π2 B ．π4 C ．π6 D ．π8

答案：B

解析：所求概率为

2

1π1π

2==214

S S ??半圆

长方形

，故选B. 7．(2014辽宁，文7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．

A ．π84-

B ．π82

- C ．8－π D ．8－2π

答案：C

解析：由几何体的三视图可知，原几何体为棱长是2的正方体挖去两个底面半径为1，高为2的

14圆柱，故该几何体的体积是正方体的体积减去半个圆柱，即V ＝23－2

1π122

??＝8－π.故选C.

8．(2014辽宁，文8)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )．

A ．43-

B ．－1

C ．34-

D ．12

- 答案：C

解析：由已知，得准线方程为x ＝－2， ∴F 的坐标为(2,0)． 又A (－2,3)，

∴直线AF 的斜率为303

224

k -=

=---.故选C.

9．(2014辽宁，文9)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{12n a a

}为递减数列，则( )．

A ．d ＞0

B ．d ＜0

C ．a 1d ＞0

D ．a 1d ＜0 答案：D

解析：∵{12n a a

}为递减数列， ∴

111111()11

1222212n n n n a a a a a a a a d n n

a a a a +===<＋＋－－.

∴a 1d ＜0.故选D.

10．(2014辽宁，文10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，()1cos π,0,,2121,,,

2x x f x x x ???∈??????

=????-∈+∞ ?????

则

不等式1

(1)2

f x ≤－的解集为( )．

A ．1247,,4334????????????

B ．3112,,4343????--????????

C ．1347,,3434????????????

D ．3113,,4334????--????????

答案：A

解析：令t ＝x －1.

当10,2t ??∈????时，ππ0,2t ??∈????

，

由()12f t ≤，即1

cos π2t ≤，

得πππ32t ≤≤，解得1132

t ≤≤. 当1,2t ??

∈+∞ ???

时，由()12f t ≤，即1212t ≤－

， 解得1324

t <≤.

综上，t ∈[0，＋∞)时，()12f t ≤的解集为13,34??

????

.

∵f (x )为偶函数，∴f (|x |)＝f (x )．

故t ∈R 时，由()12f t ≤可得13

34

t ≤≤， 即3143t -≤≤-或1334

t ≤≤.

∴由1(1)2f x ≤－得31143x -≤≤-－或13

134

x ≤-≤，

解得1243x ≤≤或47

34

x ≤≤.故选A.

11．(2014辽宁，文11)将函数π3sin 23y x ?

?=+ ??

?的图象向右平移π2个单位长度，所得

图象对应的函数( )．

A ．在区间π7π,1212??

?

???

上单调递减

B ．在区间π7π,1212??

?

???上单调递增 C ．在区间ππ,63??

-????上单调递减

D ．在区间ππ,63??

-????

上单调递增

答案：B

解析：由题意知，平移后的函数f (x )

ππ3sin 223x ????=-+ ????

???

ππ3sin 2π+3sin 233x x ???

?=-=-+ ? ????

?.

令πππ

2π22π+232

k x k -≤+≤，k ∈Z ，

解得f (x )的递减区间为5πππ,π+1212k k ?

?-???

?，k ∈Z .

令ππ3

2π+22π+π232

k x k ≤+≤(k ∈Z )，

解得f (x )的递增区间为π7π+,π+π1212k k ?

????

?，k ∈Z .从而可判断选项B 正确．

12．(2014辽宁，文12)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的

取值范围是( )．

A ．[－5，－3]

B ．96,8

??--???

?

C ．[－6，－2]

D ．[－4，－3] 答案：C

解析：∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．

(1)当x ＝0时，a ∈R .

(2)当0＜x ≤1时，由(*)得23

2343143

x x a x x x x

--≥=--恒成立． 设()23143f x x x x =--，则()223444

1898991x x x x f x x x x x x -++-(-)(+)

'=-++==.

当0＜x ≤1时，x －9＜0，x ＋1＞0，∴f ′(x )＞0，

∴f (x )在(0,1]上单调递增．

当0＜x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x ＜0时，由(*)得23

143a x x x ≤

--. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．

∴当－2≤x ＜－1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增．

∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2.∴可知a ≤f (x )min ＝－2. 综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做

答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2014辽宁，文13)执行下面的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝

__________.

答案：20

解析：由程序框图可知，当i ＝0≤3时，i ＝1，S ＝1，T ＝1； 当i ＝1≤3时，i ＝2，S ＝3，T ＝4； 当i ＝2≤3时，i ＝3，S ＝6，T ＝10； 当i ＝3≤3时，i ＝4，S ＝10，T ＝20； 可知i ＝4＞3，退出循环． 故输入n ＝3时，输出T ＝20.

14．(2014辽宁，文14)已知x ，y 满足约束条件220,240,330,x y x y x y +-≥??

-+≥??--≤?

则目标函数z ＝3x ＋4y

的最大值为__________．

答案：18

解析：画出x ，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分．

由330,240,x y x y --=??

-+=?得2,

3,

x y =??=?

∴A 点坐标为(2,3)．作直线l 0：3x ＋4y ＝0，可知当平移l 0到l (l 过点A )时，目标函数有最大值，此时z max ＝3×2＋4×3＝18.

15．(2014辽宁，文15)已知椭圆C ：22

194

x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝__________.

答案：12

解析：如图，设MN 的中点为P ，则由F 1是AM 的中点，可知|AN |＝2|PF 1|.

同理可得可知|BN |＝2|PF 2|.

∴|AN |＋|BN |＝2(|PF 1|＋|PF 2|)．

根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， ∴|AN |＋|BN |＝12.

16．(2014辽宁，文16)对于c ＞0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，

124

a b c

++的最小值为__________． 答案：－1

解析：要求|2a ＋b |的最大值，只需求(2a ＋b )2的最大值． ∵4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0， ∴4a 2＋b 2＝c ＋2ab ，

∴(2a ＋b )2＝4a 2＋b 2＋4ab ＝c ＋2ab ＋4ab ＝c ＋6ab ≤c ＋2

232a b +?? ???

，即(2a ＋b )2

≤4c ，

当且仅当2a ＝b 时，取得等号，即(2a ＋b )2取到最大值，

即2a ＝b 时，|2a ＋b |取到最大值．

把2a ＝b 代入4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，可得c ＝4a 2.

∴2

221241242111124a b c a a a a a a ??++=++=+=+- ???. ∴当11a =-时，124

a b c

++取到最小值－1.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)(2014辽宁，文17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA BC ?＝2，cos B ＝

1

3

，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．

分析：(1)由数量积定义及余弦定理，可列出a ，c 的方程组，解方程组即可求出a ，c 的值．(2)由已知及正弦定理可分别求出B ，C 角的正、余弦值，再利用两角差的余弦公式可求出cos(B －C )的值．

解：(1)由BA BC ?＝2得c ·a cos B ＝2. 又cos B ＝

1

3

，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解22

6

13

ac a c =??

+=?得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.

(2)在△ABC 中，sin B

==

由正弦定理，得2sin sin 339

c C B b =

=?=

. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，

因此7

cos 9C ===. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C

1723

393927

=?+=

. 18．(本小题满分12分)(2014辽宁，文18)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全

(1)惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2

名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

附：2

2

1122122112n n n n n n n n n χ+(-)=.

分析：(1)(2)可用列举法写出基本事件总数及“3人中至多有1人喜欢甜品”的基本事件数．再由古典概型的概率公式计算即可．

解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得2

2

11221221

1212

n n n n n n n n n χ++++(-)=＝

21006010201070308020

?(?-?)???＝100

21≈4.762.

由于4.762＞3.841，

所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．

其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2，b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．

事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝

710

. 19．(本小题满分12分)(2014辽宁，文19)如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F ，G 分别为AC ，DC ，AD 的中点．

(1)求证：EF ⊥平面BCG ； (2)求三棱锥D －BCG 的体积． 附：锥体的体积公式1

3

V Sh =

，其中S 为底面面积，h 为高． 分析：(1)由三角形全等证出AC ＝DC ，再由等腰三角形的性质(三线合一)得线线垂直，最后由线面垂直的判定定理及推论可证得结论．(2)由面面垂直得线面垂直，从而确定出点到平面的距离，即三棱锥G －BCD 的高，由等体积法可求三棱锥D －BCG 的体积．

(1)证明：由已知得△ABC ≌△DBC ，因此AC ＝DC .

又G 为AD 中点，所以CG ⊥AD ； 同理BG ⊥AD ；因此AD ⊥面BGC . 又EF ∥AD ，所以EF ⊥面BCG .

(2)解：在平面ABC 内，作AO ⊥CB ，交CB 延长线于O . 由平面ABC ⊥平面BCD ，知AO ⊥面BDC .

又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 距离h 是AO 长度的一半．

在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°

所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝1111·sin 1203322

DBC S h BD BC ??=

????=. 20．(本小题满分12分)(2014辽宁，文20)圆x 2＋y 2＝4的切线与x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P (如图)．

(1)求点P 的坐标；

(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线l ：y x =A ，B 两点．若△P AB

的面积为2，求C 的标准方程．

分析：(1)设出切点P 的坐标，用此坐标表示三角形的面积．又由切点P 在圆上，利用基

本不等式求最值的方法，可求出点P 的坐标．(2)设出椭圆C 的标准方程，由点P 在椭圆C 上，及直线l 与C 相交于A ，B 两点且S △P AB ＝2，可求出a ，b 的值．

解：(1)设切点坐标为(x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)，

则切线斜率为00x y -

，切线方程为0000

()x

y y x x y -=--， 即x 0x ＋y 0y ＝4，

此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为0000

1448

2S x y x y =

??=

， 由22000042x y x y +=≥知当且仅当x 0＝y 0

x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P

的坐标为

．

(2)设C 的标准方程为22

221x y a b +=(a ＞b ＞0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由点P 在C 上知2222

1a b

+=，

并由22

22=1=x y a b

y x ?+???+?

，

得22

2

620b x b ++-=， 又x 1，x 2是方程的根，

因此122

122=62=,x x b x x b ?+???

-???

由11y x =

22y x =

得122

|AB x x b ==－由点P 到直线l

及S △P AB

＝122=得b 4－9b 2＋18＝0，解得b 2＝6或3，因此b 2＝6，a 2＝3(舍)或b 2＝3，a 2＝6.从而所求C 的方程为22

163

x y +=. 21．(本小题满分12分)(2014辽宁，文21)已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )

＝

2(π1π

x x --，证明：

(1)存在唯一x 0∈π0,2??

???，使f (x 0)＝0；

(2)存在唯一x 1∈π,π2??

???

，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.

分析：(1)利用求导数方法判断函数f (x )在π0,2??

???

上的单调性，再利用函数零点的存在性

定理进行判断，证出结论．(2)先化简函数g (x )在π,π2?????

?

上的解析式，再用求导法判断函数单

调性，结合函数零点的存在性定理，即可证明．

证明：(1)当x ∈π0,

2??

???

时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0， 所以f (x )在π0,2??

???

上为增函数，

又f (0)＝－π－2＜0，2

ππ

4022f ??=-> ???，

所以存在唯一x 0∈π0,2??

???

，使f (x 0)＝0.

(2)当x ∈π,π2??

????

时，化简得()cos 2(π)11sin πx x g x x x =-?

+-+. 令t ＝π－x ，记()cos 2(π)11sin πt t u t g t t t =-=-

-++，t ∈π0,2??

????

， 则()π1sin f t u t t ()

'=(+)

.

由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0， 当t ∈0π,2x ??

??

?

时，u ′(t )＞0. 在0π,

2x ??

??

?上u (t )为增函数， 由π02u ??= ???知，当t ∈0π,2x ??

????

时，u (t )＜0，

所以u (t )在0π,2x ??

????上无零点．

在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0. 于是存在唯一t 0∈π0,2??

??

?

，使u (t 0)＝0. 设x 1＝π－t 0∈π,π2??

???

， 则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0， 因此存在唯一的x 1∈π,π2??

???

，使g (x 1)＝0， 由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)(2014辽宁，理22)选修4—1：几何证明选讲

如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .

(1)求证：AB 为圆的直径；

(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .

分析：(1)证明AB 是直径，即证明∠BDA ＝90°.由∠PF A ＝90°，从而寻求∠BDA ＝∠PF A 就可证明．

(2)要证AB ＝DE ，即证DE 为直径，连DC ，即证∠DCE ＝90°，从而只需证明AB ∥DC 即可．

证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA .

又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，

所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PF A . 由于AF ⊥EP ， 所以∠PF A ＝90°. 于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径． (2)连接BC ，DC . 由于AB 是直径，

故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ， 从而Rt △BDA ≌Rt △ACB .于是∠DAB ＝∠CBA . 又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ， 故DC ∥AB .

由于AB ⊥EP ，所以DC ⊥EP ，∠DCE 为直角． 于是ED 为直径．由(1)得ED ＝AB .

23．(本小题满分10分)(2014辽宁，理23)选修4—4：坐标系与参数方程

将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

分析：(1)利用相关点法先求出直角坐标方程，再写出参数方程．

(2)先联立方程求出P 1，P 2两点的坐标，进而求出P 1P 2的中点坐标，得到与l 垂直的直线方程，再化为极坐标方程．

解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得11,

2.

x x y y =??

=?

由221

1

1x y +=，得2

2

12y x ??+= ???

，即曲线C 的方程为22

14y x +=. 故C 的参数方程为cos 2sin x t

y t

=??=?(t 为参数)．

(2)由2

21,4

220,

y x x y ?+

=???+-=?

解得1,0,x y =??=?或0,2.x y =??=? 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为1,12?? ???

， 所求直线斜率为12

k =

， 于是所求直线方程为111=

22y x ??-- ???， 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即3

4sin 2cos ρθθ

=

-.

24．(本小题满分10分)(2014辽宁，理24)选修4—5：不等式选讲

设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .

(1)求M ；

(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤

14

. 分析：(1)分类讨论去绝对值符号即可．(2)在x ∈M ∩N 的条件下，先化简x 2f (x )＋x [f (x )]2，再配方求其最大值即可．

解：(1)()[)()33,1,,

1,,1,

x x f x x x ?-∈+∞?=?-∈-∞??

当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得4

3

x ≤， 故413

x ≤≤

； 当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1. 所以f (x )≤1的解集为403M x x ??=≤≤????

. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4，

得2

11644x ?

?-≤ ??

?，解得1344x -≤≤.

因此1344N x x ??

=-≤≤????.

故304M N x x ??

=≤≤???

?.

当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是

x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]

＝x·f(x)＝x(1－x)＝

2

111 424

x

??

--≤

?

??

.