离散数学古天龙-1-4章答案

P20

1.用枚举法写出下列集合。

○2大于5小于13的所有偶数。

A={6,8,10,12}

○520的所有因数

A={1,2,4,5,10,20}

○6小于20的6的正倍数

A={6,12,18}

2.用描述法写出下列集合

○3能被5整除的整数集合

A{5x|x是整数}

○4平面直角坐标系中单位圆内的点集

A{|x2+y2≤1}

4.求下列集合的基数

○19

○3 1

○7 3

○8 2

○10 1

6.求下列集合的幂集

○6{1，{2}}

解：{空集，{1}，{{2}}，{1，{2}}}

○7解：{空集，{空集}，{a}，{空集，a}}

○9解：{空集，{{1，2}}，{{2}}，{{1，2}，{2}}}

15.设全集U={1，2，3,4,5}，集合A={1，4}，B={1，2，5}，C={2，4}，确定下列集合。

○2{1，3,5}

○3{1，4,}

○8{5}

○9{空集，{1}，{2}，{4}，{1，4}，{2，4}}

18.对任意集合A，B和C，证明下列各式

○2（A-(BUC)）=((A-B)-C)

证：（A-(BUC)）=A∩~(BUC)=A∩(~B∩~C)

((A-B)-C)=(A∩~B)∩~C=A∩~B∩~C

所以（A-(BUC)）=((A-B)-C)

○3（A-(BUC)）=((A-C)-B

证：（A-(BUC)）=A∩~(BUC)=A∩~B∩~C

((A-C)-B)=(A∩~C)∩~B

所以（A-(BUC)）=((A-C)-B

○5P(A)UP(B)≤P(A UB) 原题有错（注这里○5○6中的“≤”代表包含于符号）证：任取C∈P（A）U P(B)由定义

C∈P（A）或C∈P（B）

若C∈P（A），则C≤A,则C≤A UB

若C∈P(B)，则C≤B,则C≤A UB

故C≤A UB，即C∈P(A U B) 证毕

○6P(A)∩P(B)=P(A∩B)

证：先证P(A)∩P(B)≤P(A∩B)

任取C∈P(A)∩P(B)，且C∈P(A), C∈P(B)

由定义C≤A且C≤B,得C≤A∩B,即C∈P(A∩B)

所以P(A)∩P(B)≤P(A∩B)

再证P(A∩B)≤P(A)∩P(B)

任取C∈P(A∩B),即C=A∩B

C≤A,且C≤B,C∈P(A)且C∈P(B)

所以C∈P(A)∩P(B) 得证

21.用集合表示图1.7中各阴影部分。

a.(B∩C)-(A∩B∩C) ;

b.b.(A∩B) -(A∩B∩C) ;

c. U-(AUBUC) ;

d .B-((A∩B)U(B∩C));

e .A∩B∩C

27.某班有25个学生，其中14人会打篮球，12 人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球，求该班同学中不会打球的人数。

解：设A={x|x会打篮球}，B={x|x会打排球}，C={x|x会打网球}

由题意知|A|=14 ,|B|=12，|C|=6 ,|A∩B|=6，|A∩C|=5，

|A∩B∩C|=2，|C∩(AUB)|=6，

|C∩(AUB)|=|(C∩A)U(C∩B)|=|C∩A|+|C∩B|-|C∩(AUB)|=6,

|B∩C|=6+|A∩B∩C|-|A∩C|=3,

所以|AUBUC|=|A|+|B+|C|-|A∩B|-|B∩C|-(|B∩C|+|A∩B∩C|

=14+12+6-6-3-5+2=20

所以该班同学中不会打球的人有25-20+5人。

30.假设在“离散数学”课程的第一次考试中14个学生得优，第二次考试中18个学生得优。如果22个学生在第一次或第二次考试得优，问有多少学生两次考试都得优。

解：设A={x|x第一次得优的同学}，B={x|x第二次得优的同学}

由已知：|A|=14，|B|=18,|AUB|=22，

由|AUB|=|A|+|B|-|A∩B|=22

所以|A∩B|=32-22=10

两次考试都得优的有10人。

3.设集合A={1,23，}，B={1,3,5}和C={a,b}。求如下笛儿卡积。

②、（A×C）∩（B×C）

（A×C）∩(B×C)＝{<1,a>，<3,a>,<1,b>,<3,b>}

③、(A∪B)×C＝{<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>,<5,a>,<5,b>}

4.对于集合A和B,证明。

①（A∩B）×C＝(A×C)∩(B×C)

证：

对任意∈(A∩B)×C,由笛儿卡积定义，

有x∈(A∩B),y∈C.那么x∈A且x∈B，由笛儿卡积定义，故∈A×C (x,y)∈B×C

∴∈(A×C)∩(B×C)

故（A∩B）×C ?(A×C)∩(B×C)

对任意∈(A×C)∩(B×C)

由交集知，∈A×C,且∈B×C，由笛儿卡积定义，x∈A,y∈C,且x∈B,y∈C

∴x∈A∩B,y∈C. 由笛儿卡积定义知，∈(A∩B)

故（A×C∩(B×C) ?(A∩B)×C,

证毕

②(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)

证：任取∈(A∪B)×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A∪B, y∈C, 故∈A×C或∈B×C

∴∈(A×C∪(B×C),

∴(A∪B)×C?(A×C)∪(B×C)

任取∈(A×C)∪(B×C),由笛儿卡积定义知，

∈A×C或∈B×C,由笛儿卡积定义知，

x∈A或x∈B, y∈C,

∴x∈A∪B,y∈C,由笛儿卡积定义知，

∈(A∪B)×C

∴(A×C)∪(B×C)?(A∪B)×C

证毕

5.对于集合A={1,2,3}和B={2,3,4,6}，求

③从A到B的整除关系

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>} R={|x∈A, y∈B, x能整除y}

⑥从B到A的整除关系

R={<2,2>,<3,3>}

R={|x∈B, y∈A, x能整除y }

6.对于集合A={1,2,3,4,6,8,12}，求

①A上的小于等于关系

R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,3>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,4>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,6>,<6,8>,<6,12>,

<8,8>,<8,12>,

<12,12>}

⑤A上的不等于关系

R={|x∈A, y∈A , x≠y}

R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,12>,

<2,1>,<2,3>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,12>,

<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,6>,<3,8>,<3,12>,

<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,6>,<4,8>,<4,12>,

<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,4>,<6,8>,<6,12>,

<8,1>,<8,2>,<8,3>,<8,4>,<8,6>,<8,12>,

<12,1>,<12,2>,<12,3>,<12,4>,<12,6>,<12,8>}

7.对于集合A={a,b,c}和B={{a},{a,b},{a,c},{b,c}}, 求

①从P(A)到B的包含关系

R＝{|x∈P(A) x∈B, x≤y }

P(A)＝{,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

R={<,{a}>,<,{a,b}>,<,{a,c}>,<,{b,c}><{a},{a}>,<{a},{a,b}>,

<{a},{a,c}>,<{b},{a,b}>,<{b},{b,c}>,<{c},{a,c}>,<{c},{b,c}>,<{a,b},{a,b}>,<{a,c},{a,c}>,<{b, c},{b,c}>}

8.对于集合A={3,5,7,9}和B={2,3,4,6,8,10}，求关系矩阵

③、从A到B的整除关系

┏0 1 0 1 0 0 ┓

┃0 0 0 0 0 1 ┃

MR＝┃0 0 0 0 0 0 ┃

┗0 0 0 0 0 0 ┛

9.对于集合A={2,3,4,6,7,8,10}，求如下关系的关系矩阵

②A上的大于关系

┏0 0 0 0 0 0 0 ┓

┃1 0 0 0 0 0 0 ┃

┃1 1 0 0 0 0 0 ┃

MR＝┃1 1 1 0 0 0 0 ┃

┃1 1 1 1 0 0 0 ┃

┃1 1 1 1 1 0 0 ┃

┗1 1 1 1 1 1 0 ┛

14.设A={a,b,c,d,e,f,g},其中a,b,c,d,e,f和g分别表示7人，且a,b和c都是18岁，

d和e都是21岁，f,和g都是23岁，试给出A上的同龄关系，并用关系矩阵和关系图表示解：

R＝{,,,,,,

,,,,,,

,,,}

┏1 1 1 0 0 0 0 ┓

┃1 1 1 0 0 0 0 ┃

┃1 1 1 0 0 0 0 ┃

MR＝┃0 0 0 1 1 0 0 ┃

┃0 0 0 1 1 0 0 ┃

┃0 0 0 0 0 1 1 ┃

┗0 0 0 0 0 1 1 ┛

P69

15.判断集合A={a,b,c}上的如下关系所具有的性质。

① R1={,,,,,}

自反性、反对称性、传递性

④ R4={,,,,}

自反性、对称性、传递性

⑤ R5=A×A

对称性、自反性、传递性

⑥ R6=

自反性、对称性、传递性

16.判断集合A={3,5,6，7,10,12}上的如下关系所具有的性质。

① A上的小于等于关系

自反性、反对称性、传递性

② A上的恒等关系

自反性、对称性、反对称性、传递性

19.对于图2.16中给出的集合A={1，2,3}上的关系，写出相应的关系表达式和关系矩阵，并分析他们各自具有的性质。

R2={<1,1>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,1>}

R2

R11={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}

┏1 1 0 ┓

MR11= ┃1 1 1 ┃

┗0 1 1 ┛

（自反性、对称性）

25.对于集合A={a,b,c}到集合B={1,2}的关系；

R={,,}和S={,,}

求R∪S,R∩S,R﹣S,S﹣R,~R和~S。

解：

R∪S={,,,,};

R∩S={,};

R﹣S={};

S﹣R={};

~R=A×B－R={,,};

~S=A×B－S={,,}.

27.对于集合A={1,2,3,4,5,6}上的关系R={|(x-y)2∈A}，S={|y是x的倍数}和

T={|x整除y，y是素数}，试写出各关系中的元素，各关系的关系矩阵和关系图，并计算下列各式。

解：

R={<1,3>,<2,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,

<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,

<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>};

S={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>

,<2,2>,<2,4>,<2,6>

,<3,3>,<3,6>

,<4,4>,<5,5>,<6,6>};

T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,5>

,<2,2>,<3,3>,<5,5>}

┏0 1 1 0 0 0 ┓R

┃1 0 1 1 0 0 ┃

MR=┃1 1 0 1 1 0 ┃

┃0 1 1 0 1 1 ┃

┃0 0 1 1 0 1 ┃

┗0 0 0 1 1 0 ┛

其余略；

①R·S={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<1,3>,

<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,

<3,1>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,

<4,2>,<4,4>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,

<5,3>,<5,6>,<5,4>,

<6,4>,<6,5>}

④(R∩T)·S

R∩T={<1,2>,<1,3>}

(R∩T)·S={<1,2>,<1,4>,<1,6>,<1,3>}

32.对于集合A={a,b,c}上的如下关系，求各个关系的各次幂。

①R1={,,}

R1o={,,}

┏1 0 0 ┓

MR1o=┃0 1 0 ┃

┗0 0 1 ┛

┏1 0 0 ┓┏1 0 0 ┓┏1 0 0 ┓

MR1= ┃1 0 0 ┃MR12=MR1·MR1=┃1 0 0 ┃=┃1 0 0 ┃=MR1 ┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛

┏1 0 0 ┓

┃0 1 0 ┃（n=0）

┗0 0 1 ┛

MR1的n次方=┏1 0 0 ┓

┃1 0 0 ┃(n≥1)

┗0 0 0 ┛

③R3={,,};

┏1 0 0 ┓┏0 1 1 ┓

MR3o=┃0 1 0 ┃MR3=┃0 0 1 ┃

┗0 0 1 ┛┗0 0 0 ┛

┏0 1 1 ┓┏0 1 1 ┓┏0 0 1 ┓

MR32=MR3·MR3=┃0 0 1 ┃·┃0 0 1 ┃=┃0 0 0 ┃

┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛

┏0 0 1 ┓┏0 1 1 ┓┏0 0 0 ┓

MR33=MR32·MR3=┃0 0 0 ┃·┃0 0 1 ┃= ┃0 0 0 ┃

┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛

┏0 0 0 ┓┏0 1 1 ┓┏0 0 0 ┓

MR3的4次方=MR33·MR3=┃0 0 0 ┃·┃0 0 1 ┃=┃0 0 0 ┃

┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛┗0 0 0 ┛

33.对于题29中的关系R和S，求下列各式，并给出所得关系的关系矩阵和关系图。解：题29中的关系R和S如下：

R={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,2>};

S={<3,1>,<4,2>};

IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>};

①r(R)=R∪IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,

<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>,<4,2>};

②S(R)=R∪R的负一次方={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,

<3,4>,<4,3>,<4,2>,<2,4>};

③t(R)=R∪R2∪R3∪(R的4次方）

┏0 1 0 0 ┓┏0 1 0 0 ┓┏0 1 0 0 ┓┏1 0 1 0 ┓MR=┃1 0 1 0 ┃MR2=MR·MR=┃1 0 1 0 ┃·┃1 0 1 0 ┃=┃0 1 0 1 ┃┃0 0 0 1 ┃┃0 0 0 1 ┃┃0 0 0 1 ┃┃0 1 0 0 ┃

┗0 1 0 0 ┛┗0 1 0 0 ┛┗0 1 0 0 ┛┗1 0 1 0 ┛

┏1 0 1 0 ┓┏0 1 0 0 ┓┏0 1 0 1 ┓

MR3=MR2·MR=┃0 1 0 1 ┃·┃1 0 1 0 ┃=┃1 1 1 0 ┃

┃0 1 0 0 ┃┃0 0 0 1 ┃┃1 0 1 0 ┃

┗1 0 1 0 ┛┗0 1 0 0 ┛┗0 0 0 1 ┛

┏0 1 0 1 ┓┏0 1 0 0 ┓┏1 1 1 0 ┓

┃1 1 1 0 ┃┃1 0 1 0 ┃┃1 1 1 1 ┃

(MR的4次方）=MR3·MR=┃1 0 1 0 ┃·┃0 0 0 1 ┃=┃0 1 0 1 ┃

┗0 0 0 1 ┛┗0 1 0 0 ┛┗0 1 0 0 ┛┏1 1 1 1 ┓

┃1 1 1 1 ┃

Mt(R)=┃1 1 1 1 ┃=A×A.

┗1 1 1 1 ┛

37.对于集合{0,1,2,3}上的如下关系，判定哪些关系式等价关系。

①{<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>};

是等价关系。

④{<0,0>,<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>};

自反性、对称性成立；

传递性不成立，因为<1,3>∈R,<3,2>∈R,但<1,2>?R.

38.对于人类集合上的如下关系，判定哪些是等价关系。

①{|x与y有相同的父母}；

是等价关系。

∵∈R,满足自反性；

对称性：若∈R，则∈R,对称性成立。

传递性：若∈R∈R，则∈R,传递性成立。

②{|x与y有相同的年龄}

是等价关系。

39.设R和S是集合A上的等价关系，判定下列各式中哪些是等价关系。

①R∪S

解：

R∪S仍具有自反性和对称性，但不一定具备传递性，故不是等价关系。

∵任意x∈A,有∈R,∈S,∴∈R∪S.

自反性成立。

对任意∈R∪S,则∈R或∈S.

由于R·S是等价关系，∴∈R或∈S,则∈R

对称性成立。

传递性不成立，反例：A{1,2,3}

R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>},S={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}

②R∩S

自反性：因为任意x∈A,有∈R,且∈S,

所以∈R∩S,自反性成立。

对称性：任取∈R∩S,故∈R,且∈S,由于R和S是等价关系，

故∈R且∈S,所以∈R∩S。

传递性：任取∈R∩S，∈R∩S，即∈R且∈S，∈R且∈S，由于R和S是等价关系，所以∈R,且∈S,

所以∈R∩S,传递性成立。

∴综上所述，R∩S是等价关系。

41.对于正整数集合上的关系R={<,>|a·b=c·d}，试证明R是等价关系。

自反性：任取a∈Z﹢,b∈Z+，∵a·b=a·b，

∴<,>∈R，自反性成立。

对称性：任取<,>∈R，即a·b=c·d，c·d=a·b，故<,>∈R，对称性成立。

传递性：任取<,>∈R，<,>∈R，

∴a·b=c·d，c·d=e·f，∴a·b=e·f，

∴<,>∈R,传递性成立。

45.对于题37中的等价关系R，求集合A中各元素的等价类和A的商集

解：

①[0]R=｛0｝[1]R=｛1｝ [2]R=｛2｝ [3]R=｛3｝ A/R=｛｛0｝｛1｝｛2｝

｛3｝｝

④不是等价关系

47.对于集合A=｛a,b,c,d,e,f,g｝的划分S=｛｛a,c,e｝｛b,d,｝｛f,g｝｝求划分S所对应的等价关系

解：

R=｛a,c,e｝×｛a,c,e｝U｛b,d｝×｛b,d｝U｛f,g｝×｛f,g｝

=

｛,,,,,,,,,,,< d,b>,,,,,｝

52.画出如下集合A上整除关系的哈斯图

解：

①A=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝

R=｛| x,y∈A,且x能被y整除｝

8

4 6

2 3 5 7

1

②A={1,2,3,5,7,11,13}

2 3 5 7 11 13

1

53.对于题52中关系①和②，求子集{1,2,3,5}和子集{2,3,7}的上

界，下界，上确界和下确界

解：

① ②

56.对于如图所示的集合A 上的偏序关系所对应的哈斯图，求集合A 的极大值，极小值，最大值和最小值

解：

h

e

g f c

b

a

⑦ b

g f

e d

b

c

a k

P86

1.对于集合A={x,y,z}和B={1,2,3},判断下列A到B的关系哪些构成函数

①{,,,}

解：不是函数

②{,,}

解：是函数

③{,,}

解：是函数

④{,}

解：不是函数

⑤{,,}

解：是函数

⑥{,,,,,}

解：不是函数

2.判断下列哪些是函数

①{|x ∈R} 是函数

⑤{|x ∈Z,y ∈Z,x=y+1} 是函数

3.对于集合A={a,b,c},A 到A 可以定义多少个不同的函数

33=27

4.对于集合A={x,y,z},A ×A 到A 可以定义多少个不同的函数

|A×A|=3×3

所以93

5.对于集合A={1,2,3}，A 到A ×A 可以定义多少个不同的函数

|A×A|=9

所以39

8.下列哪些是单射函数，满射函数或双射函数

①f:f f Z Z →(f Z 是正整数集合)，f(x)=3x; 所以是单射函数，不是满射，不是双射 ②f:Z Z →,f(x)=|x|;

所以不是单射函数，不是满射，不是双射 ③集合A={0,1,2,3}到B={0,1,2,3,4}的函数f, f(x)=2x ;所以不是函数；

④f:R R →,f(x)=x+1

所以是单射函数，是满射，是双射 ⑤f:N N N ?→,f(x)=

所以是单射函数，不是满射，不是双射 ⑥f:N Z →,f(x)=|2x|+1

所以不是单射函数，不是满射，不是双射

9.对于集合A 和B ，且|A|=m ，|B|=n,问

①A 到B 可以定义多少个不同的函数？

m n

②A 到B 可以定义多少个不同的单射函数

m m m n A C （m ≤n ）

③A 到B 可以定义多少个不同的满射函数 ④A 到B 可以定义多少个不同的双射函数

m

m

A （m=n ） 14.对于集合A={a,b,c,d},B={1,2,3}和C={a,b,c}

计算如下函数f ：B A →和g ：C B →的复合函数g f ①f={,,,},g={<1,a>,<2,b>,<3,d>}

g f ={,,,}

②f={,,,},g={<1,a>,<2,a>,<3,a>}

g f ={,,,}

③f={,,,},g={<1,b>,<2,b>,<3,b>}

g f ={,,,}

④f={,,,},g={<1,d>,<2,b>,<3,a>}

g f ={,,,}

16.对于集合A={a,b,c,d}和B={1,2,3,4},判断如下函数f:A B →的逆关系是否为函数

①f={,,,}

逆关系是函数

②f={,,,} 逆关系不是函数

③f={,,,} 逆关系是函数

④f={,,,} 逆关系是函数

18.对于函数f:Z Z Z Z ?→?,f()=,证f 是单射函数，满射函数

证明：

单射性，任取∈Z Z ? ∈Z Z ?

若≠，则有x1≠x2或y1≠y2

又f()= f()=

若f()= f()，即=

即x1+y1=x2+y2

可求得x1=x2且y1=y2

x1-y1=x2-y2

若x1≠x2或y1≠y2 f()≠f()

即单射性成立

满射性，对任意的∈Z

Z?

令f()=,即=

有

x+y=u

x-y=v 所以x=

2v

u+

y=

2v

u-

不是满射19.对于函数f:Z

Z

Z

Z?

→

?,f()=,求逆函数1-f 解：f={<,>|x∈Z,y∈Z}

1

-

f={<,>|x∈Z,y∈Z}

令=

即x+2=u

所以

x-y=v y=u-v-2

所以1-f（）=

所以1-f={<,>|u∈Z,v∈Z}

P140

1．判断下列语句哪些是命题，并给出是命题的语句的真假

○1第28届奥林匹克运动会开幕式在北京举行

是命题，真值为真

○2大于2的偶数均可分解为两个指数的和

是命题，真值不确定

○3蓝色和黑色可以调配成绿色

是命题，真值为假

○4明天我去上海

是命题，真值不确定

○5今天天气真舒服啊

不是命题

○6X+Y<0

不是命题

○7我们要努力学习

不是命题

○8雪是白的

是命题，真值为真

○9有三只脚的鸟

是命题，真值为假

○10请安静

不是命题

2.判断下列语句，哪些是简单命题，哪些是复合命题

○1我和他即是兄弟又是同学复合命题

○3我明天或后天去苏州复合命题

○5只要他出门，他必买书，不管他余款多不多复合命题

○9不存在最大的质数复合命题

○10除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去复合命题

4.给出下列命题的符号化表示

○2不管你和他去不去，我都会去

P：你去q：他去r：我去

（p∧q∧r）∨（┒p∧q∧r）∨（p∧┒q∧r）∨（┒p∧┒q∧r）

○5小张不但聪明而且勤奋，所以他一直学习成绩优秀

P：小张聪明 q：小张勤奋 r：小张一直学习成绩优秀

P∧q→r

○9要选修离散数学课程，必须已经选修微积分课程和计算机导论课程

P：选修离散数学 q：已经选修微积分 r：已经选修计算机科学道导论 P→q∧r

8.给出下列命题的真值表

○3（p∨┒q）→q

P q ┒q p∨┒q （p∨┒q）→q

0 0 1 0 0

0 1 0 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 1 1

○4（p∨q）→（p∧q）

P q p∨q p∧q （p∨q）→（p∧q）

0 0 0 0 1

0 1 1 0 0

1 0 1 0 0

1 1 1 1 1

○6（p→q）←→（q→p）

P q p→q q→p （p→q）←→（q→p）

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

11.求题8中○3、○4、○6命题公式的成真赋值和成假赋值

○3成真赋值 p=1 q=1；p=0 q=1

成假赋值 p=1 q=0；p=0 q=0

○4成真赋值 p=1 q=1；p=0 q=0

成假赋值 p=1 q=1；p=0 q=0

○6成真赋值 p=1 q=1；p=0 q=0

成假赋值 p=1 q=0；p=0 q=1

15.给出下列命题公式的真值表并指出各命题公式的类型

○2（（p→q）∧（q→r））→（p→r）永真公式

○5（p→q）←→（┒q→p）永真公式

16.判断下列命题公式是否为等值式

○1p←→q和（p∧q）∨（┒q∨┒p）

真值表法为等值式

○5（p→q）∧（p→┒q）和┒p

真值表法为等值式

17.用等值验算证明下列命题公式的等值式

○2┒（p←→q）?（p∨q）∧（┒q∨┒p）

证明:左边?┒((p→q)∧(q→p)) ?┒((┒p∨q)∧(┒q∨p))

?┒(┒p∨q)∨┒(┒q∨p) ?(p∧┒q)∨(q∧┒p)

?((p∧┒q)∨q)∧((p∧┒q)∨┒p) ?(p∨q)∧(┒p∧┒q) ○4p→(q→p) ?┒p→(p→┒q)

证明:左边?(┒p∨(┒q∨p)) ?p∨(┒p∨┒q)

?(┒p→(┒p∨┒q) ?(┒p→(p→┒q))

18.用等值演算判断下列命题公示的类型

○1((p∨q)∧┒p)→q

解:原式?┒((p∨q)∨┒p)∨q?(┒(p∨q)∨p)∨q

?┒(p∨q)∨(p∨q) ?1

该式为永真式

○5p∨((┒p∨q)∨(┒p∨┒q))

解:原式?p∨(┒p∧(q∨┒q)) ?p∨┒p?1

该式为永真式

○9(p∨q∨r)→(┒p→((q∨r)∧┒p))

解:原式?(p∨q∨r)→(p∨((q∨r)∧┒p))

?(p∨q∨r)→(p∨q∨r) ?┒(p∨q∨r)∨(p∨q∨r)

?1

该式为永真式

29.求题25中命题公式的拾取范式

○2(┒p∧q)→r

解:原式?┒(┒p∧q)∨r?p∨q∨r?M2

○4┒(p∧q)∧(p∨q)

解:原式?(┒p∨┒q)∧(p∨q) ?M3∧M0

30.求题25中主析取范式

○2原式?M0∨M1∨M3∨M4∨M5∨M6∨M7

?(┒p∧┒q∧┒r)∨(┒p∧┒q∧r)∨(┒p∧q∧r)∨(p∧┒q∧┒r)

∨(p∧┒q∧r)∨(p∧q∧┒r)∨(p∧q∧r)

○4原式?M1∨M2?(┒p∧q)∨(┒q∧p)

34.用主析取范式判断下列命题公式是否为等值式

○6(p←→q)∧(q←→r)和p←→r

(p←→q)∧(q←→r) : M0∨M7 显然不为等值式

p←→r : M0∨M2∨M5∨M7

38.用等值演算证明如下推理

○2p∨┒r, q∨s, r→(p∧s) => s→p

思路:即证 (p∨┒r)∧(q∨s)∧(r→(p∧s))→(s→p)是否为重言式

证:

(p∨┒r)∧(q∨s)∧(r→(p∧s))→(s→p)

?(p∨┒r)∧(q∨s)∧(┒r∨(p∧s))→(s→p)

?(p∨┒r)∧(q∨s)∧(┒r∨p)∧(┒r∨s)→(s→p)

?┒((p∨┒r)∧(q∨s)∧(┒r∨p)∧(┒r∨s))∨(┒s∨p)

?(┒p∧r)∨(┒q∧┒s)∨(r∧┒p)∨(r∧┒s)∨┒s∨p

?(┒p∧r)∨(r∧┒p)∨┒s∨p

?(┒p∧r)∨┒s∨p

?p∨r∨┒s 非永真

所以，上述推理不是有效推理

39.用真值表证明题38中的推理

真值表

解:将((p∨┒r)∧(q∨s)∧(r→(p∧s)))→(s→p)的真值

表列出，非永真，所以推理不正确

40.用主析取范式证明题38中的推理

证: ((p∨┒r)∧(q∨s)∧(r→(p∧s)))→(s→p)

?M0∨M2∨M3∨M4∨M6∨M7∨M8∨M9∨M10∨M11∨M12∨M13∨M14∨M15

51.符号化下述推理并证明其有效性:如果今天下大雨，则马路上不好行走；

如果马路难走，则我不去逛书店；如果我不去逛书店，则在家学习，所以如果今天下大雨，则我在家学习。

p:今天下大雨 q:马路上不好走 s:我不去逛书店

r:我在家学习

前提:p→q, q→s, s→r

结论:p→r

证明:○1 p→q 前提引入

○2 q→s 前提引入

○3 p→s ○1○2条件三段论

○4 s→r 前提引入

○5 p→r ○3○4条件三段论

52.符号化下述推理，并证明其有效性:如果马会飞或羊吃草，

则母鸡会是飞鸟，如果母鸡是飞鸟，那么烤鸭子还会跑。

烤熟的鸭子不会跑，所以羊不会吃草。

符号化：

P:马会飞 q:羊吃草 r:烤熟的鸭子会跑 s:母鸡是飞鸟

前提：p∨q→s, s→r, ┒r

结论：┒q

证:○1 p∨q→r 前提引入

○2 s→r 前提引入

○3 p∨q→r ○1○2条件三段论

○4┒r 前提引入

○5┒(p∨q)

○6┒p∧┒q ○5置换

○7┒q ○6化简

55．在一个盗窃案中，已知下列事实：甲或乙是窃贼；甲是窃贼，作案时间不会发生在夜间12点以前；若乙的证词正确，则夜间12点时被盗物品所在房间灯光未灭；若乙的证词不正确，则作案时间发生在夜间12点以前；夜间12点被盗房间的灯光灭了。试用构造证明推理判断谁是窃贼。

证明：

P:甲是窃贼 q:乙是窃贼 r:作案时间发生在夜间12点以前

S:乙的证词正确

t:夜间12点时被盗物品所在房间的灯光灭

前提: p∨q, p→┒r, s→┒t