恒成立问题与变量分离
恒成立问题与变量分离
含参数不等式的“恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥?min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤?max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.
（1）数形结合解恒成立问题
如：若不等式0log 32<-x x a 在??
?
??∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。 分析与解： 由题意知 ： x x a log 32< 在??? ??∈31,0x 内恒成立。
在同一坐标系内分别作出23x y = 和 x y a l o g =的图象 因为??? ??∈31,0x 时，x y a log =的图象位于函数23x y =的图象上方，
当 a> 1时，显见不成立，故 0 由图可知：x y a log =的图象必须过点??? ??31,31或在这个点的上方，则： 3131log ≥a ∴ 271≥a ② 由 ①，② 知 ： 1271<≤a ，∴ a 的取值范围为?? ????1,271 （2）明显的恒成立问题，解决时筛选方法： 一次函数、二次函数可先考虑图形特点解决；明显是恒成立问题，而又不归结到前三种，那么我们可以尝试变量分离（当然有的时候需要讨论，然后才变量分离）. 如：奇函数f(x)在R 上为减函数，若对任意的],1,0(∈x 不等式0)2()(2 >-+-+x x f kx f 恒成立，则实数k 的取值范围是 显然结合题意，问题清晰的展现为],1,0(∈x 22+- x k . （3）没明确是恒成立问题但同样可转化而用变量分离求解，特别如有解（具体几个解没说的题）问题. 如07年广东数学高考的大题：函数2()223f x ax x a =+--在[-1,1]上有零点，求a 的取值范围. 显然本题看成03222=--+a x ax 在[-1,1]上有解问题，从而分离变量： ]1,1[,23)12(2-∈-=-x x x a 显然0122≠-x ，从而]1,1[,12232-∈--=x x x a 有解，故而a 的范围就是函数]1,1[,1 2232-∈--=x x x y 的值域，从而利用换元法求出),1[]2 73,(+∞?+- -∞∈a . 练习： 1．函数x y a log =在),2[+∞∈x 上恒有1>y ，则a 的取值范围是 122 1≠< 472+++=kx kx kx y 的定义域是一切实数，则k 的取值范围是 )43,0[ 。 3。不等式-2cos 2x +4sinx-k 2+k<0对一切实数x 恒成立，求参数k 的取值范围。 分析与解：所给不等式可化为：（2 sinx+1）2< k 2-k+3 <==>（2 sinx+1）2max < k 2-k+3 而（2 sinx+1）2max =9 ∴k 2-k+3=9，解之得：k > 3或k < -2 故k 的取值范围是（-∞，-2）∪（3，+∞）。 4。设()()()?? ????+-+++=n a n n x f x x x 121lg ，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数且n≥2，若()x f 当(]1,∞-∈x 时有意义, 求a 的取值范围。 分析与解：因为分母n 是正数，要使得()x f 当(]1,∞-∈x 有意义，分子()() a n n x x x +-+++121 就必须也是正数。并容易看出，可以将a 分离出来。 当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，故有 ()??????????? ??-++??? ??+??? ??->?>+-+++x x x x x x n n n a a n n 11210121 令()??????????? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?，只要对()x ?在(]1,∞-上的最大值，此不等式成立即可。故我们可以利用函数的最值分离出参数a 。 由(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义得： ()0121>+-+++a n n x x x ??????????? ??-++??? ??+??? ??->?x x x n n n a 1121 ，由指数函数单调性知上式右边的函数()??????? ???? ??-++??? ??+??? ??-=x x x n n n x 1121 ?的最大值是 ()????????? ??-++??? ??+??? ??-=n n n n 1211 ?＝()n -12 1，故 a >()n -121 5若对一切2≤p ，不等式()p x x p x +>++2222log 21log log 恒成立，求实数x 的取 值范围。 分析与解：原不等式变形为()()01log 2log 1log 22 22>+-+-x x x p ， 现在考虑p 的一次函数： ()()()1log 2log 1log 22 22+-+-=x x x p p f ∴ ()0>p f 在(]2,2-∈p 上恒成立. ∴ ()()()()()()2222222222l o g 1l o g 2l o g 1022l o g 1 l o g 2l o g 10f x x x f x x x ?-=--+-+>??=-+-+>?? 解得： 8>x 或210< ? ??,821,0 6对于?? ? ???∈2,0πθ，022sin 2cos 2<--+m m θθ恒成立，求实数m 的范围。 分析与解： 原不等式变形为： 012sin 2sin 2<--+-m m θθ 即 012s i n 2s i n 2 >++-m m θθ 令 t =θsin ，[]1,0∈t ，∴ 01222>++-m mt t ，令()t f ＝1222++-m mt t ， ∴ 题意为()t f >0在[]1,0∈t 上恒成立。故 ()20210210m f m -?-? 或220121 (2)41(21)m m m -?≤-≤?????=--??+?或()20121112210 m g m m -?≤-≤????=-++>? 解得 ： 021<<-m 或10≤≤m 或1>m ， ∴ 2 1->m ， 即 m 的取值范围为：?? ? ??+∞-,21 7．已知函数f(x)=x a x x ++22,x ∈),1[+∞. （1）当a=2 1时，求函数f(x)的最小值； （2）若对任意的x ∈),1[+∞，0)(>x f 恒成立，试求a 的取值范围。 解：（1）当21= a 时，221)(++=x x x f ，)(x f 在区间[),1+∞上为增函数， )(x f ∴在区间[),1+∞上的最小值为27)1(=f （2）[解法一]在区间的[),1+∞上，02)(2>++=x a x x x f 的恒成立022>++?a x x 恒成立，设),1[,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增， ∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a [解法二]),1[.2)(+∞∈++=x x a x x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0+=a x f ，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a 8已知定义在R 上函数f(x)为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数，对于任意x ∈R ，求实 数m 范围，使()()0cos 2432cos >-+-θθm m f f 恒成立。 ∵ f(x)在R 上为奇函数，且在[)+∞,0上是增函数， ∴ f(x)在()+∞∞-,上为增函数 又 ∵ ()()0c o s 2432c o s >-+-θθm m f f ∴ ()32cos -θf ＞－()θcos 24m m f -＝()m m f 4cos 2-θ ∴ m m 4cos 232cos ->-θθ 即()θθ2cos 3cos 22->-m ∵ 2－cos θ[]3,1∈， ∴ 2θθθθc o s 2c o s 24c o s 22c o s 32--=-->m ∴ m>θ θθθcos 22cos 2cos 2cos 22--+=--]cos 22cos 2[4θθ-+--= 令2－[]3,1,cos ∈=t t θ， ∴ m>4－??? ??+ t t 2 即4－m t t g 2+=在[]3,1∈t 上的最小值 ∵ ()t t t g 2+=≥22等号成立条件t=t 2,即[]3,12∈=t 成立， ∴ ()22min =t g ∴ 4－m<22即m>4－22，∴ m 的取值范围为（4－22，＋∞） 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设函数2()1f x x =-，对任意23x ??∈+∞????，，24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒 成立，则实数m 的取值范围是 ． 典例分析 恒成立与有解问题 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．1 8 a >- C ．18a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ．5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ ） A ．(] [)14-∞-+∞，， B ．(] [)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-，， 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 分离参数法 1已知不等式2 210ax x -+>在[]1,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 2 不等式2 210x ax -+>在[]2,2x ∈-上恒成立.求实数a 的取值范围 3.若关于x 的方程22 210x x a a +?++=有实根，求实数a 的取值范围. 4.已知()()23132x x f x k =-+?+当x R ∈时，()f x 恒为正值，则k 的取值范围是 5.已知函数在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 6若函数()211,2f x x ax x ??=+++∞ ??? 在是增函数，求a 的取值范围. 7.已知函数()()2111 x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意*x N ∈，()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 8.已知()2222x ax a f x x +-=在[)1+∞，上是单调增函数，则a 的取值范围是 9.设()()1+24lg ,3 x x a f x a R +?=∈如果(]-1∞，时，()f x 有意义，求a 的取值范围 10已知函数()[]2 424g x x ax a =-+在，上有零点，求的取值范围 11已知函数()2 1,.2x x f x e ax a =---其中为实数 （1）当1,2a =-时求曲线()y f x =在()() 11f ，处的切线方程； （2）当()1 0.2x x f x a ≥≥时，若关于的不等式恒成立，试求的取值范围94a ??≤ ?? ? 12已知函数()ln .a f x x x =- （1 ）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性. （2）若()2 f x x <在()1+∞，上恒成立，求a 的取值范围.()1a ≥- 个性化教案 学生姓名 年级 科目 数学 授课教师 日期 时间段 课时 2 授课类型 新课/复习课/作业讲解课 教学目标 教学内容 函数专题:含参不等式恒成立问题 个性化学习问题解决 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，知识点多，综合性强，解法灵活等。在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 恒成立问题的基本类型： 类型1：若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立?? ??00a ; 2）0)( 有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立； 数学中的恒成立与有解问题 一、恒成立问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 常用方法 1、分离变量法； 2、数形结合法； 3、利用函数的性质； 4、变更主元等； 1、由二次函数的性质求参数的取值范围 例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解 解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意; 当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420 a a >??-? 综上,所求实数a 的取值范围为1 (,)2 +∞ 2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围 例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。 （2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)设2 ()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2 ()1f x ax bx =++. ∵(1)()2f x f x x +-= ∴2 2 (1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++= 即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2 ()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()2 4 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-. 规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注 意参数的端点值能否取到需检验。 二、有解问题 3、方程的有解问题 例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2. （2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。 解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2 (2)由(1)知2 12x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即2 31m x x =-+在[1,1]-恒成立. 令2235 ()31()24 g x x x x =-+=-- ,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为 (1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。 规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。 4、不等式的有解问题 例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2. 恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理 函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。 一、函数法 （一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有： ?? ?<>????>>?>0 )(0 )(0)(; )(0 )(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式m mx x ->-2 12对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。 解析：将不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)( 分离参数法解高考压轴题 新课标下的高考数学压轴题，由数列题转向导数题。而导数题中的最后一问经常考察参数的取值范围。“求谁分离谁”即分离参数是一种常用的方法，但有时分离出参数后，后面函数的最值不容易求得，有的干脆就没有最值，只是趋于某个常数，这种情况下可采用高等数学中的洛必达法则。此方法是一种常规方法，有章可循，有法可依，不存在较强的解题技巧，一般的学生基本上都能掌握。下列举例说明，起到抛砖引玉的作用。 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim 0x g x f x x →或) ()(lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 00 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 0==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→) ()(lim 0（或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)()(lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0 0x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； 高中数学不等式的恒成立问题 一、用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结 例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022 a a a 或 （2）?? ? ??<-=-=-0 40)2(20 2a a 解（1）得?? ?<<-<2 22 a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习 1. 已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。 3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。 4.x 取一切实数时，使3 47 2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围． 例3．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使 在 恒成立，构造一个新函数 是解题的关键，再利用二次 函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2 ，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ??? -≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合 结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立? 25a 0 a 25)2(f 0a 2)1(f >?? ?<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25 (+∞。 解法2：转化为最值研究 4a 1)2a x ()x (f 22- +-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25 ≤<所以。 2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2 3 2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。 综上：a 的取值范围是),2 5 (+∞。 注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。 2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数?∈> 解法3：分离参数 ]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+ >?∈<+-。设x 1 x )x (g +=， 注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。 2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。 仿解法1：?∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0 )2(f 0)1(f ≥?? ?≤≤得即),25 [:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2 5 a = 也合题。 O x y x -1 双变量问题的几种处理策略 策略一：合的思想 问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点， ，线段的中点为 ，记直线的斜率为，试证明：． 解析：因为 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与 的大小． 令,则, ∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 二：分的思想 问题2：若1 ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，， 都有， 求a 的取值范围． 解析∵ ，∴ 由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ () 11,y x A () 22,y x B AB ),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=x x f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -= --=--=12x x >k )(0x f '1 212 ln x x x x -2 12 x x +12x x >12ln x x 1)1( 2) (21 2 1 2 2 112+-=+-x x x x x x x x )1(1) 1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0) 1()1()1(41)(2 22≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12 =>h x x h 1)1( 2ln 1 2 1 2 1 2+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1 ) ()(1 212-<--x x x g x g 1)()(1 212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2 ++-= 'x a x x F 双变量问题典例 1、已知函数()ln 1f x x a x =--（a 为常数）与x 轴有唯一的公共点A ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为23a a --，若存在不相等的正实数12x x ，满足 12|()||()|f x f x =，证明：121x x <． 答案第2页，总7页 2．已知函数()2ln f x a x =， ()()1g x f x x x =+- . （1）当1a =时，求函数()f x 的曲线上点()() ,e f e 处的切线方程； （2）当1a ≤时，求()g x 的单调区间； （3）若()g x 有两个极值点1x ， 2x ，其中110,3 x ??∈ ?? ? ，求()()12g x g x -的最小值 3．已知函数()22ln ax b f x x x -=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -， ,R a b ∈. （1）若8 5 a b += ，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若 11 1e x <<，证明： ()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈） 答案第4页，总7页 4、已知函数)1ln()12()(2 ++-+=x x a ax x f 有两个极值点21,x x (1)求a 的取值范围；(2)证明:452ln 2)()(21-<+x f x f 5、 已知函数1 ()ln f x x a x x =-+．（2018全国1卷理数第21题） （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()() 1212 2f x f x a x x -<--． 函数、导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧与方法 含参数问题及恒成立问题方法小结： 1、分类讨论思想 2、判别法 3、分离参数法 4、构造新函数法 一、分离讨论思想： 例题1： 讨论下列函数单调性： 1、()x f =();1,0,≠>-a a a a x 2、()x f =)0,11(1 2≠<<--b x x bx 二、判别法 例2：已知不等式04)2(2)2(2 <--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足： （1）???<-+-<-0)2(16)2(4022a a a 或 （2）?? ???<-=-=-040)2(202a a 解（1）得???<<-<2 22a a ，解（2）a ＝２ ∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２． 练习1. 已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 三、分离法参数： 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.即： （1） 对任意x 都成立()min x f m ≤ （2）对任意x 都成立。 例3．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量） 【例1】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的 取值范围是 _ ． 【例2】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例3】 设 函数 2()1 f x x =-，对任意 23x ??∈+∞???? ，， 典例分析 恒成立与有解问题 24()(1)4()x f m f x f x f m m ?? --+ ??? ≤恒成立，则实数 m 的取值范围 是 ． 【例4】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ） A ．0a > B ．18 a >- C ．18 a > D ．0a < 【例5】 已知不等式 ()11112 log 112 2123 a a n n n +++ >-+++对于一切大于1的自然数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【例6】 若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围 是______． 【例7】 2()1f x ax ax =+-在R 上恒满足()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤ B ．4a <- C ．40a -<< D ．40a -<≤ 【例8】 若对于x ∈R ，不等式2230mx mx ++>恒成立，求实数m 的取值范 围． 【例9】 不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ??? ，成立，则a 的最小值为（ ） A ．0 B ．2- C ． 5 2 - D ．3- 【例10】 不等式2|3||1|3x x a a +---≤对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值 范围为（ ） A ．(][)14-∞-+∞，， B ．(][)25-∞-+∞，， C ．[12]， D ．(][)12-∞∞， ， 【例11】 对任意[11]a ∈-， ，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围为 ． 不等式中恒成立问题的解法研究 在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立 00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立 ?????>>- ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 专题32 函数的存在与恒成立问题 一、题型选讲 题型一 、 函数的存在问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()min g a f x m >= 例1、【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3 ()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2 |(2)()|3 f t f t +-≤ ，则实数a 的最大值是___________. 例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________． 题型二、 函数的恒成立问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ 高中数学不等式恒成立与有解问题 不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容. 它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点，随着中学数学引进导数，它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具. 在近几年的高考试题中，涉及不等式恒成立与有解的问题，有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目。 其中，特别是一些含自然对数和指数函数的不等式恒成立与有解问题，将新增内容与传统知识有机融合，用初等方法难以处理，而利用导数来解，思路明确，过程简捷流畅，淡化繁难的技巧，它不仅考查函数、不等式等有关的传统知识和方法，而且还考查极限、导数等新增内容的掌握和灵活运用. 它常与思想方法紧密结合，体现能力立意的原则，带有时代特征，突出了高考试题与时俱进的改革方向. 因此，越来越受到高考命题者的青睐. 下面通过一些典型实例作一剖析. 1．不等式恒成立与有解的区别 不等式恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团. （1）不等式f(x)学而思高中数学恒成立与有解问题
含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
导数中恒成立问题(最值问题)
不等式有解和恒成立问题
分离参数法 - 学生版
含参不等式恒成立问题学考压轴题(函数专题)
有解无解恒成立问题的处理
数学中的恒成立与有解问题
恒成立能成立问题总结详细
分离变量法解高考压轴导数题
教案高中含参不等式的恒成立问题整理版.doc
导数中双变量问题的四种策略
双变量问题典例
导数中含参数问题与恒成立问题的解题技巧
导数中恒成立问题(最值问题)
恒成立与有解问题
含参不等式恒成立问题
专题32 函数的存在与恒成立问题(原卷版)
高中数学不等式恒成立与有解问题