2006年浙江省全国高中数学联合竞赛预赛试卷

2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷

一、选择题

1、下列三数16273,log 82,log 1242

的大小关系正确的是 （ ） A 、16273log 82log 1242<< B 、27163log 124log 822

<< C 、27163log 124log 822<< D 、27163log 124log 822

<< 2、已知两点A （1,2），B （3,1）到直线L

L 共有（ ）

A 、1条

B 、2条

C 、 3条

D 、 4条

3、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

()22212312314f =++=。记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则2006(2006)f =（ ）

A 、20

B 、4

C 、42

D 、145 4、设在xOy 平面上，20y x <≤，01x ≤≤所围成图形的面积为

13，则集合 {}{}2(,)|||||1,(,)|||1M x y y x N x y y x =-≤=≥+的交集M N ?所表示的图形面积为（ ）

A 、13

B 、23

C 、1

D 、43

5、在正2006边形中，与所有边均不平行的对角线的条数为（ ）。

A 、2006

B 、21003

C 、210031003-

D 、210031002-

6、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x x x x x x x x ++++=+++++++在(,)2

x o π∈时的最小值为（ ）。

A 、2

B 、4

C 、6

D 、8

二、填空题

7、手表的表面在一平面上。整点1,2,,12 这12

个数字等间隔地分布在半径为2

的圆周上。从整点i 到整点()1i +的向量记作1i i t t + ，则1223233412112t t t t t t t t t t t t ?+?++? ＝ 。

8、设(1,2,),,,,i a R i n R αβγ+∈=∈ 且0αβγ++=，则对任意,x R ∈

()()()1111111n

x x x x x x i i i i i i i a a a a a a ααβββγγαγ+++=??++= ?++++++??∑ 。

9、在1,2,,2006 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。

10、设,a b 是非零实数，x R ∈，若442222sin cos 1x x a b a b +=+，则2008200820062006sin cos x x a b

+= 。 11、已知()()(){}22,2cos 21sin 10,A x y x y x y R ααα=

+-++-=∈， (){},3,B x y y kx k R ==+∈。若A B ?为单元素集，则 。

12、2323,,111max min ,,,a b c R

a b c a b c +∈??++=???? 。

三、解答题

13、在x 轴同侧的两个圆：动圆1C 和圆2222244420a x a y abx ay b +--+=外切(),,0a b N a ∈≠，且动圆1C 与x 轴相切，求

（1）动圆1C 的圆心轨迹方程L ；

（2

）若直线)

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1469580abx ay b a a -++-=与曲线L 有且仅有一个公共点，求,a b 之值。

14、已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+ ()1,2,3n = ，{}n b 满足11b =，21n n n b b b n +=+ ()1,2,3n =

，证明：112n k =≤<。

15、六个面分别写上1，2，3，4，5，6的正方体叫做骰子。问

1）共有多少种不同的骰子；

2）骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差，变差的总和叫做全变差V 。在所有的骰子中，求V 的最大值和最小值。