动态型试题专项练习(含答案)-

2005年动态型试题

动态几何问题是近几年各地中考试题常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。

例1（2005年杭州）在三角形ABC 中, 60,24,16B BA cm BC cm ∠=== . 现有动点P 从点A 出发, 沿射线AB 向点B 方向运动; 动点Q 从点C 出发, 沿射线CB 也向点B 方向运动. 如果点P 的速度是4cm /秒, 点Q 的速度是2cm /秒, 它们同时出发, 求:（1）几秒钟以后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一半?

（2）这时, ,P Q 两点之间的距离是多少？

分析：本题是动态几何知识问题，此类题型一般利用几何关系关系式列出方程求解。 解：(1) 设t 秒后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一半, 则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程

11

222(162)(244)sin601624sin60t t ?--?=???

,

化简, 得2

14240t t -+=,

解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意; (2) 当2t =时, 12,16,BQ BP ==

在PBQ ?中,作/QQ BP ⊥于/Q ,

在/Rt QQ B ?和/Rt QQ P ?中

, //6QQ BQ ==,

所以/10,PQ PQ ==;

当12t =时, 18,24,BQ BP ==

同理可求得11PQ =说明：本题考查了用一元二次方程、三角函数等有关知识进行几何图形的面积计算方

1

P

1

Q

B

/Q P

Q A C

法。

练习一

1、（2005年南京）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

2、（2005年梅州）已知，如图(甲)，正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点, P不运动到M和C,以AB为直径做⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点

F,切点为E.

（1）求四边形CDFP 的周长；

（2）试探索P 在线段MC 上运动时，求AF 2BP 的值；

（3）延长DC 、FP 相交于点G,连结OE 并延长交直线DC 于H(如图乙),是否存在点P, 使△EFO ∽△EHG?如果存在,试求此时的BP 的长;如果不存在,请说明理由。

3、（2005年福建毕节地区）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切⊙O 于D 点，弦DE ∥CB ，Q 是AB 上一动点，CA=1，CD 是⊙O

倍。 (1)求⊙O 的半径R 。

(2)当Q 从A 向B 运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积。 4、（2005年河北）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同

时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；

（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？

（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；

（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。

Q

P D

C

B

A

5、如图，在边长为2个单位长度的正方形ABCD 中，点O 、E 分别是AD 、AB 的中点，点F 是以点O 为圆心、OE 的长为半径的圆弧与DC 的交点，点P 是上的动点，连结OP ，并延

长交直线BC 于点K .

（1）当点P 从点E 沿运动到点F 时，点K 运动了多少个单位长度？

（2）过点P 作

所在圆的切线，当该切线不与BC 平行时，设它与射线AB 、直线BC 分

别

交于点M 、G.

①当K 与B 重合时，BG ∶BM 的值是多少？

②在点P 运动的过程中，是否存在BG ∶BM ＝3的情况？你若认为存在，请求出BK 的值；你若认为不存在，试说明其中的理由.

一般地，是否存在BG ∶BM ＝n （n 为正整数）的情况？试提出你的猜想（不要求证明）.

例2（2005年青岛）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C

出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0

（1）求面积S 与时间t 的关系式；

（2）在P 、Q 两点移动的过程中，四边形ABQP 与△CPQ 的面积能否相等？若能，求出此时点P 的位置；若不能，请说明理由。

分析：本题是一个动态几何问题，也是一个数形结合的典型问题，综合性较强。

解：（1）过点P 作(1) 设t 秒后, PBQ ?的面积是ABC ?的面积的一半, 则2,4CQ t AP t ==, 根据题意, 列出方程

11222(162)(244)sin601624sin60t t ?--?=???

,

化简, 得214240t t -+=,

解得122,12t t ==. 所以2秒和12秒均符合题意;

(2) 当2t =时, 12,16,BQ BP == 在PBQ ?中, 作错误！不能通过编辑域代码创建对象。于/Q ,

在/Rt QQ B ?和/Rt QQ P ?中, //6QQ BQ ==,

所以/10,PQ PQ ==;

当12t =时, 18,24,BQ BP == 同理可求得11PQ =. 说明：本题考查的知识点较多，考查了勾股定理、平行线分线段成比例定理，一元二次方程及一元二次方程及根的判别式。

练习二 1、（2005年宁德）如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90o，AB ＝12cm ，BC ＝8cm,DC ＝13cm ，动点P 沿A →D →C 线路以2cm/秒的速度向C 运动，动点Q 沿B →C 线路以1cm/秒的速度向C 运动。P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止。设运动时间为t 秒，△PQB 的面积为ym 2。 （1）求AD 的长及t 的取值范围；

（2）当1.5≤t ≤t 0(t 0为（1）中t 的最大值)时，求y 关于t 的函数关系式；

（3）请具体描述：在动点P 、Q 的运动过程中，△PQB 的面积随着t 的变化而变化的

规律。 2、（2005年温州）如图，在Rt △ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ，设它们运动的时间为x(s)。 ⑴求x 为何值时，PQ ⊥AC ；

⑵设△PQD 的面积为y(cm 2)，当0＜x ＜2时，求y 与x 的函数关系式； ⑶当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积； ⑷探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。请写出相应位置关系的x 的取值范围(不要求写出过程)

3、（2005年绵阳）如图，在平行四边形ABCD 中，AD=4 cm ，∠A=60°，BD ⊥AD. 一动点P 从A 出发，以每秒1 cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD .

(1) 当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；

(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM. 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .

① 求S 关于t 的函数关系式； ② (附加题) 求S 的最大值.

A

B C Q O

4、（2005年宿迁）已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．

（1）当时间t为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2厘米2；

（2）当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；

（3）点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

5、（2005年河南）如图1，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。令Rt△PMN不动，矩形ABCD 沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止。设移动x

cm。求y与x之间的函数关系式。

秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y2

能力训练 1、（2005年重庆）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；

(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为5

24

个平方单位？

x

B

2、（盐城）已知：如图所示，直线l 的解析式为34

3-=x y ，并且与x 轴、

y 轴分别相交

于点A 、B 。 （1） 求A 、B 两点的坐标。 （2） 一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位／每秒的速度向x 轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线l 相切； （3） 在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P 从B 点出发，沿BA 方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P 在动圆的园面（圆上和圆的内部）上一共运动了多出时间？

3、（2005年江苏）已知二次函数的图象如图所示。

⑴求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；

⑵若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q。当点N在线段BM

上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t

之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所

有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

⑷将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点

落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）。

30

4、（2005年徐州）如图，已知直线y = 2x(即直线1l )和直线42

1

+-

=x y (即直线2l )，2l 与x 轴相交于点A 。点P 从原点O 出发，向x 轴的正方向作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时点Q 从A 点出发，向x 轴的负方向作匀速运动，速度为每秒2个单位。设运动了t 秒.

(1)求这时点P 、Q 的坐标(用t 表示).

(2)过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，与1l 、2l 分别相交于点O 1、O 2(如图16).

①以O 1为圆心、O 1P 为半径的圆与以O 2为圆心、O 2Q 为半径的圆能否相切？若能，求出t 值；若不能，说明理由.

②以O 1为圆心、P 为一个顶点的正方形与以O 2为中心、Q 为一个顶点的正方形能否有无数个公共点？若能，求出t 值；若不能，说明理由。

5、（2005年湖州）如图，已知直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点），AC∥OB，OC⊥BC，AC，OB的长是关于x的方程x2－(k+2)x+5=0的两个根，且S△AOC：S△BOC=1：5。

（1）填空：0C=________，k=________；

（2）求经过O，C，B三点的抛物线的另一个交点为D，动点P，Q分别从O，D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O→B运动，点Q沿DC由D→C运动，过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连结PM，设动点运动时间为t秒，请你探索：当t为何值时，△PMB是直角三

角形。

6．（2005年宁波）已知抛物线y=-x2-2kx+3k2（k>0）交x轴于A、B两点,交y轴于点C,以AB 为直径的⊙E交y轴于点D、F(如图),且DF=4,G 是劣弧 AD上的动点(不与点A、D重

合),直线CG交x轴于点P.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当直线 CG是⊙E的切线时,求tan∠PCO的值.

(3)当直线CG是⊙E的割线时,作GM⊥AB,垂足为H,交PF于点M,交⊙E于另一点N,设MN=t,GM=u,求u关于t的函数关系式.

7、（2005年无锡）如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F.

（1）求证：△APE ∽△ADQ ；

（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？

（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）

A B C D

P

E F

Q

8、（2005年黄冈）如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。

⑴求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。

⑵试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。

⑶设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。

⑷设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。

答案： 练习一 1、

O

t=1s t= 4s 重叠部面积为9π

cm

D

E

t=7s t=16s

重叠部分面积为（93+6π）cm 2

2、（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠A=∠B=90°,

∴AF 、BP 都是⊙O 的切线, 又∵PF 是⊙O 的切线 ∴FE=FA,PE=PB

∴四边形CDFP 的周长为： AD+DC+CB=23

3=6

E

O

(2 ) 连结OE,PF 是⊙O 的切线

∴OE ⊥PF.在 Rt △AOF 和Rt △EOF 中, ∵AO=EO,OF=OF

∴Rt △AOF ≌Rt △EOF ∴∠AOF=∠EOF,

同理∠BOP=∠EOP,∴∠EOF+∠EOP=1

2

?180°=90°,∠FOP=90°

即OF ⊥OP ，∴AF 2BP=EF 2PE=O E 2=1

(3 )存在。∵∠EOF=∠AOF,∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,

∴当∠EFO=∠EHG=2∠EOF, 即∠EOF=30°时,Rt △EFO ∽Rt △EHG

此时,∠EOF=30°, ∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°∴BP=OB

20tan60、

3.

4、解（1）如图3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ，则四边形PDCM 为矩形。

∴PM ＝DC ＝12 ∵QB ＝16－t ，

∴S ＝1

2

3123(16－t)＝96－t

（2）由图可知：CM ＝PD ＝2t ，CQ ＝t 。以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若PQ ＝BQ 。在Rt △PMQ 中，2

2

2

12PQ t =+， 由PQ 2＝BQ 2 得 2

2

212(16)t t +=-，解得t ＝

72

； ②若BP ＝BQ 。在Rt △PMB 中，2

2

2

(162)12BP t =-+。由BP 2

＝BQ 2

得：

222(162)12(16)t t -+=- 即23321440t t -+=。

由于Δ＝－704＜0

∴2

3321440t t -+=无解，∴PB ≠

BQ

D

图3

③若PB ＝PQ 。由PB 2

＝PQ 2

，得222212(162)12t t +=-+

整理，得2

3642560t t -+=。解得1216

163

t t =

=，（不合题意，舍去） 综合上面的讨论可知：当t ＝716

23

t =秒或秒时，以B 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。

（3）如图4，由△OAP ∽△OBQ ，得

1

2

AP AO BQ OB == ∵AP ＝2t －21，BQ ＝16－t ，∴2(2t －21)＝16－t 。 ∴t ＝

585

。 过点Q 作QE ⊥AD ，垂足为E ， ∵PD ＝2t ，ED ＝QC ＝t ，∴PE ＝t 。

在RT △PEQ 中，tan ∠QPE ＝1230

29

QE PE t ==

（4）设存在时刻t ，使得PQ ⊥BD 。如图5， 过点Q 作QE ⊥ADS ，垂足为E 。 由Rt △BDC ∽Rt △QPE ，得

DC PE BC EQ =，即121612

t

=。解得t ＝9 所以，当t ＝9秒时，PQ ⊥BD 。

5、（1）如图1，连结OE 、OF 并延长分别交直线BC 于N 、Q 。

当点P 从点E 运动到点F 时，点K 从点N 运动到了点Q 。 ∵O 、E 分别为AD 、AB 的中点，∠A=90°， ∴∠AOE=45°。

过点O 作OT ⊥BC 于T ，则∠OTN=90°，

又∵ABCD 是正方形，∴OT ⊥AD ，∠NOT=45°。 ∴△OTN 是等腰直角三角形，OT=NT=2。 同理，TQ=2。

∴NQ=4，即点K 运动了4个单位长度。 （2）①如图2，当K 与B 重合时，

∵MG 与 EF

所在的圆相切于点P ，∴OB ⊥MG ， ∴∠2+∠3=90°。

∵∠1+∠3=90°，∴∠1=∠2。

图

5

图4