2017校内培训-非线性方程组数值求解c

非线性方程（组）数值求解

周彬

目录

?0非线性方程求解

?1非线性方程组的不动点迭代法?2非线性方程组的NEWTON迭代法?3非线性方程组的拟NEWTON法

0非线性方程求解

非线性方程问题在工程实践中是非常常见的。该类问题一般可如下描述：

求x?R满足f(x)=0, 其中f为非线性形式。

关注两个问题：

根是否存在？

数值求解与误差估计？

二分法、迭代法、误差分析

(1)根的存在性

一般可以通过微积分相关基础知识完成分析证明。对于数学建模来说，一方面由于实际问题的复杂性，证明所需的某些条件未必满足，可能需要通过合理假设来完成；另一方面根据问题来源和题目设置要求，所涉及方程根的存在性一般是自然满足的。

这个环节一般没有硬性要求，锦上添花的作用

(2)数值求解与误差估计

二分法

设f(x)在区间[a, b]上连续, f(a)·f(b)<0, 则在[a, b]内有方程的根。取x1=(a+b)/2

)=0, 则x*=x1

若f(x

1

)<0, 则x*∈(a,x1), 令a1= a, b1=x1

若f(a)·f(x

1

) ·f(b)<0, 则x*∈(x1,b), 令a1=x1,b1=b.

若f(x

1

, b1]上进行上述步骤，直至结束。

继续在[a

1

第1步误差|x

‐x*|§(b‐a)/2

1

‐x*|§(b‐a)/2k

第k步误差|x

k

给定精度e，可以估计二分法所需步骤数k (b‐a)/2k[ln(b‐a)‐ln e]/ln2

特点：简单，对f(x)要求不高

缺点：无法求复根和偶重根，收敛慢

例证明方程1020x e x +-=存在唯一的实根*(0,1)

x ∈用二分法求出此根，要求误差不超过2

0.510-?。

解：记

()102x

f x e x =+-，则对任意x R ∈()100

x

f x e '=+>，

因而，()f x 是严格单调的，()0f x =最多有一个根，(0)10,(1)80

f f e =-<=+>所以，()0f x =有唯一实根

*(0,1)

x ∈又因为

Matlab code clear;clc;

f=inline('exp(x)+10*x‐2','x'); a=0;b=1;

epsl=5e‐3;txs=[];

for i=1:10

tx=(a+b)/2;txs=[txs,tx];

if f(tx)==0

x=tx;

elseif f(tx)*f(a)<0

b=tx;

elseif f(tx)*f(b)<0

a=tx;

end

end

plot(txs,'ro‐');xlabel('k');ylabel('x_k');

k x

k

10.500000000000000 20.250000000000000 30.125000000000000 40.062500000000000 50.093750000000000 60.078125000000000 70.085937500000000 80.089843750000000 90.091796875000000 100.090820312500000参考解x*=0.090525101307255

不动点迭代法

将f(x)=0改写为迭代方程x=j(x)进行求解，f(x)

的零点即为j(x)的不动点。通过初始值x

0和迭代公式

x k+1= j(x k)构造序列{x k}，若k??时，x k?x*，称迭代方程收敛。

收敛性与j(x)某些性质有关，一般要求

a§j(x)§b，x?[a,b]

|j’(x)|§L<1

误差估计式|x*‐x

k

|§|x1‐x0|L k/(1‐L)

|x*‐x k|§|x k+1‐x k|L/(1‐L)

由迭代格式1

23

1104k k k k

x x x x +=+--0 1.25

x =取初值

得

12 3.04687526.04005

x x ==-结果是发散的？！

1.380131.36334得到收敛结果。

四步就能得到收敛的结果了！

Matlab code clear;clc;

f=inline('x^3+4*x^2‐10','x'); phia=inline('10+x‐4*x^2‐x^3');

phib=inline('sqrt(10‐x^3)/2');

phic=inline('sqrt(10/(x+4))');

xa=1.25;xb=1.25;xc=1.25;

xs=[];xs=[xs;xa,xb,xc];

for i=1:10

xa=phia(xa);

xb=phib(xb);

xc=phic(xc);

xs=[xs;xa,xb,xc];

end

figure;hold on;

plot(xs(:,2),'ro‐');plot(xs(:,3),'ks‐');

xlabel('k');box on;

legend('x_k from \phi_b','x_k from \phi_c');k Xa_k Xb_k Xc_k

0 1.2500 1.2500 1.2500

1 3.0469 1.4184 1.3801 2‐52.37

2 1.3367 1.363

3 3 1.33e5 1.3795 1.3655 4inf 1.3578 1.3652 5inf 1.3690 1.3652 6inf 1.3633 1.3652 7inf 1.3662 1.3652 8inf 1.3647 1.3652 9inf 1.3655 1.3652 10inf 1.3651 1.3652

NEWTON法

对于f(x)=0及近似根x

0，将f(x)进行Taylor展开，

近似式为f(x)of(x

)+f’(x0)(x‐x0)，求解得x=x0‐f(x0)/f’(x0)

据此有NEWTON迭代公式

x k+1=x k‐f(x k)/f’(x k), k=0,1,2,…

其本质为非线性方程的线性化近似

优点：收敛快

缺点：初值依赖

1非线性方程组的不动点迭代法

非线性方程组F(x)=0,x=(x

1

,x2,…,x n)T?R n

其中F(x)=[f

1(x),f2(x),…,f n(x)]T，且f i中至少一个为非线

性函数。

可以类似于非线性方程进行不动点迭代法的讨论。即可构造等价形式

x=F(x)=[j1(x),j2(x),…,j n(x)]T进行求解。

迭代公式：x

k+1

=F(x k),k=0,1,…

)(1

k x

)(2

k x

取初始点。计算结果列于下表，可见迭代收敛到方程的解T

x )0,0()0(=T x )

1,1(*=k

01

2

(18)

19

00.80.928…0.9999999720.9999999890

0.8

0.931

…

0.999999972

0.999999989

函数也称映射，若函数的定义域为，则可

用映射符号简便地表示为。为了讨论不动点迭代法的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。

)(x Φn

R D ?→n

n R R D →?Φ: