极限的求法
极限的求法
摘要: 极限论作为数学分析的基础，一直是高等数学教育中的一个核心部分，本文主要介绍一些求极限的方法,主要目的是在了解了什么是极限的基础上系统地探讨各类极限问题的求解方法.由于极限分布于高等数学的始终，许多重要的概念都是由极限定义的。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限。本文整理的极限运算方法有如下十种：1、用极限的定义求极限。2、四则运算求极限。3、利用两个重要极限求极限。4、利用函数的连续性求极限。5利用单调有界定理求极限。6、利用无穷小量的有关性质求极限。7、用左右极限与极限关系求极限。8、利用罗比塔法则求极限。9、利用麦克劳林公式求极限。10、利用泰勒公式求极限 关键词: 极限 四则运算 罗比塔法则
The General Method in Calculating Limit
Tu yue
(Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)
Abstract : Limit as a mathematical analysis on the basis of the math education has always been one of the core of this paper mainly introduces some way to limit, the main goal is to know what is a limit on the basis of a systematic way to limit the problem of methods of solution. owing to the limit in mathematics, many important concepts are defined by the end. in turn, we can also use of these concepts to find some limit. this limits the methods of operation there are ten kinds of ：1, with a limit to the definition of extreme. 2 and to limit the operation. three, the use of two important to the maximum limit. 4, the use of relese the continuity to limit the use of flat. five have to define truth to the limit. 6 and the nature of infinity 小量 to limit. 7, with maximum limit relations with or to limit. 8, the use of 罗比塔法 is to limit. 9, the use of the work of the formula for the extreme. 10, using taylor's formula for maximum
Key wrods: Limit the operation The operation of the four L ’Hospital
引 言
极限问题在我国古代就有着深渊的研究。战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限的进行下去。这也就是我们今天的n
n 21
lim
∞→。我国魏晋时期大数学家刘微（公
元3世纪）就曾用圆的内接正多边形来逼近圆的方法，算得圆周率π的精确到小数点后四位的数值：3.1416。但是要指出，尽管这些古代数学家已经有了极限的初步思想，然而一直要到17世纪下半叶牛顿时代，极限概念才被明确提出并系统的加以使用。那么，我们今天研究的极限的概念、性质与求极限运算贯穿了高等数学课程的始终。将极限方法应用于计算曲边形面积，导致产生了微积分的一个重要分支：积分学；而将极限方法应用于解决变化率问题，是微积分学的另一个重要分支：微分学产生的重要来源。因此全面的掌握求极限的方法与计算技巧是高等数学课程的基本要求。本文讲述了求极限的若干方法，并按方法配有例题详解。
一、用极限的定义求极限 1．利用数列极限的定义求极限 数列极限的定义：
设有数列{}n x ，对于0>?ε，?一个正整数)(εN N =，当N n >时，恒有ε<-a x n ，则称数列{}n x 有极限(或收敛)，a 为其极限值，记为
a x n n =∞
→lim (或)a x n →通常简记为?>??=∞
→,0lim *
εa x n n 一个正整数N ，当
N n >时，恒有ε<-a x n 。
［4］
若数列没有极限，则称该数列发散。
a x n n =∞
→lim 的几何解释：
不论0>ε多么小，总存在一个正整数N ，使得数列{}n x 中的项从第1+N 项开始，即：21,++N N x x …均落在数轴上点a 的ε领域内，如图1-1所示，而数列{}n x
中至多有N 项落在点a 的ε邻域之外。
理解概念要注意的事项：
1°ε是任意小的正数，否则不足以说明n x 与a 接近的程度，只证明了对某些ε存在N 结论未必成立；
2°定义中没有要求正整数N 是最小的一个，只要存在即可。显然，如果证明了N 合乎要求，则比N 大的正整数也一定可使ε<-a x n 成立；
3°一般来说，N 的大小与给定的ε有关，ε越小，正整数N 通常是越大；
4°n x 趋向于a 的方式不限，可以单调增加(或减少)趋向于a ，也可时而大于a ，时而小于a 地趋向于a 。
5°在证明a x n =lim 的过程中，n 与ε的逻辑关系如下式所示：
ε<-a x n
? ?
x
a+ε
N+1
N+3
2
n N >
即对于给定的任意小的ε>0，通过不等式的放大求出正整数N ，再定出n 的范围，从而保证a x n -<ε的成立。 例1 求证0lim 1=∞
→k
n n 。这里K 为正实数。
证明：由于k
k
n n 11|0|=-，所以对于任给的正数ε，只要取}{1k
N ε=，则当N
n >时，便有 ε n 1，所以}{1k n 是以0为极限。 例2 求? ?????+1n n 的极限 解：因为 n n n n n 1 111111<+=+=-+ 0>?ε取?? ? ???=ε1 N ，则当N n >时，即有ε<-+11n n 所以11 lim =+∞ →n n n . 例 3 用极限定义证明22sin(1)lim 031n n n n →∞+=++ 证 : 因为 22222sin(1)sin(1)111 003131331n n n x n n n n n n n n ++-=-=≤<< ++++++ 0ε?>要使0n x ε-<，只要1n ε<，即1n ε>。取 1N ε??=????，则对n N ?> 有 22sin(1) 0031n n x n n ε +-=-<++ 所以22sin(1)lim 031n n n n →∞+=++ 2．函数极限 2.1 0x x →时函数)(x f 的极限 设函数)(x f 在0x 点的某个邻域内有定义（0x 点可除外）,如果对于任 意给定的正数ε，（不论它多么小）总存在正数δ，使得对于适合不等式 δ<-<00x x 的一切x ，对应的函数值)(x f 都满足不等式 ε<-A x f )(那么 常数A 就称为函数)(x f 当0x x →的极限，记作 A x f x x =→)(lim 或)()(0x x A x f →→. 下面举例说明如何应用ε-δ定义来验证这种类型的函数极限. 例4 设()24 ,2 x f x x -= -证明()2lim 4x f x →=. 证: 由于当2x ≠时，()24 44242,2 x f x x x x --=-=+-=-- 故对给定的0ε>，只要取δε=，则当02x δ<-<时有()4f x ε-<，于 是证明了()2 lim 4.x f x →= 例5 证明22112 lim 213 x x x x →-=--. 证: 当1x ≠时有2211212 213213321 x x x x x x x --+-=-= --++.若限制x 于011x <-< （此时0x >），则211x +>.于是，对任给的0ε>，只要取{}min 3,1δε=， 则当01x δ<-<时，便有.221 122133 x x x x ε---<<--. 2.2 ∞→x 时函数)(x f 的极限 设f 为定义在[,)a +∞上的函数，A 为定数.若对任给的0ε>，存在正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为 极限，记作()lim x f x A →+∞ =或()().f x A x →→+∞ 例 7证明1lim 0.x x →∞ = 证: 任给0ε>，取1 M ε = ，则当x M >时有 1110x x M ε-=<=，所以 1 lim 0.x x →∞= 二、四则运算求极限 1.数列极限的四则运算性质[]1 若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n n b a +}，{n n b a -}，{n n b a ?}也都是收敛数列，且有 ()n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞ →±=±lim lim lim ()n n n n n n n b a b a ∞ →∞ →∞ →?=?lim lim lim 特别当n b 为常数c 时，有 ().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞ →∞ →∞ →∞ →=+=+ 若再假设n b 0≠及0lim ≠∞ →n n b ，则? ?? ???n n b a 也 ∞→∞→∞→=n n n n n n n b a b a lim lim lim 。 例1 求下列极限。 （1）3 2413lim 323++++∞→n n n n n （2）() n n n n 1021lim +++∞→ 解：（1）32413lim 32 3 ++++∞→n n n n n 4 13241 31lim 3 23 =++++ =∞→n n n n n （2）()n n n n 1021lim +++∞ → n n n =+ 10111=+++= ２．函数极限的四则运算性质[]1 若极限()0 lim x x f x →与()0 lim x x g x →都存在，则函数,f g ±f g ?当0x x →时极限也存在，且 1)()()()()000 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±???? 2)()()()()000 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x →→→=????? 又若()0 lim 0x x g x →≠，则/f g 当0x x →时极限存在，且有 () () () ()000 3 ) l i m l i m /l i m . x x x x x x f x f x g x g x →→→= 初等函数在定义区间内求极限：)()(lim 00 x f x f x x =→ 例2 求22 lim (352)x x x →--+ 解：原式=2222 lim 3lim 5lim 212(10)224x x x x x →-→-→--+=--+= 例3求3451 lim 421 x x x x x →∞-+-+ 解：原式3434 151 lim 021 4x x x x x x →∞-+==-+ 例4求22244 lim 4 x x x x →-+- 解：原式22 lim 02 x x x →-==+ 例5 求4 lim →x 2 23 12---+x x 解: 原式= 4 lim →x 22312---+x x =4 lim →x ) 22)(312)(22() 22)(312)(312(+-++--+-++-+x x x x x x =4lim →x () ( )() ) 312(22)22(3122222++?? ????--+-??????-+x x x x =4 lim →x ()() ()( ) 31242282++-+--x x x x =4 lim →x 232 332223 12)22(2=+?=+++-x x 三、利用两个重要极限求极限 第一个重要极限1sin lim =→x x x (1) 令0)(→x g (当0x x →或∞→x 时)则有 1)() (sin lim 0=∞→→x g x g x x x (2) (2)式是第一个重要极限(1)的扩展形式。 第二个重要极限e x x x =+∞ →)11(lim (3) 由（3）式并利用代换x z 1 = 可得到第二个重要极限的另一种形式。 ()e z z z =+→10 1lim (4) 令∞→)(x g （当0x x →或∞→x 时）则有： e x g x g x x x =????? ?+∞→→) ()(11lim 0 (5) （5）式是第二个重要极限（3）的扩展形式。 例1 求n n 2 cos 2 cos 2 cos lim 2 ? ? ? ∞ →， 其中π?k n 2≠ 解 原式=n n n n 2sin 12 sin 2 cos 2 cos 2 cos lim 2 ? ? ? ? ??∞ → =n n n 2sin 2sin lim ? ?∞ → =n n 2sin 2lim sin ?? ? ? =??sin ]1[ 例2 求2 1 )2(lim x tg x x π-→ 解 原式=2 )1(111 })]1(1{[lim x tg x x x x π--→-+ 而=-→2 )1(lim 1 x tg x x π2cos 2sin ) 1(lim 1 x x x x π-→ =π ππ π2 2 sin ) 1(2 sin ) 1(2 2 lim 1 = --→x x x x 因此 原式=π2 e ]1[ 例 3 1 14sin lim -+→x x x 解：原式() 811444sin lim 0=++=→x x x x . 例 4 x x x cos 1cos 1lim 2 0--→ 解：原式2 sin 22sin 2lim 2 2 0x x x →= 222sin 22122sin 2lim 22220 =? ? ? ??? =→x x x x x . 四、利用函数的连续性求极限 若函数()f x 在点0x 处连续，则()()() 0lim lim x x x x f x f x f x →→==。这个结论有助于我们求连续函数的极限。初等函数在定义域内都是连续的，这样，在定义域内计算初等函数的极限时可以将0x “代”进去求出极限值()0f x ；也可以交换极限符号与运算符号，即“0 lim x x →”与“f ”可以交换次序，这给计算初等函数的极限带来极大的方便。 例1求极限() ln 2cos lim 1 x x x e →++ 解：因为()() ln 2cos 1 x x f x e += +在0x =点连续， 所以 ()0 ln 2cos lim 1x x x e →++=()0ln 2cos 01 e ++= ln 31 ln 3112=+。 例2求极限0 sin limln x x x →?? ??? 解：因为0 sin lim 1x x x →?? = ??? ，又ln 1u =在1u =点连续， 所以 00sin sin limln ln lim ln10x x x x x x →→??? ?=== ? ???? ? 例3求下列函数的极限 ) 1ln(15 cos lim )1(20x x x e x x -+++→、 （2） x x x )1l n (lim 0+→ ()1ln ))1(lim ln()1ln(lim )1ln(lim )1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15cos lim )1ln(15 cos )(01 01 001 1 202 ==+=+=++=+=+==-+++-+++==→→→→e x x x x x x x x x f x x x e x x x e x f x x x x x x x x x x x 故有： 令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于? =e e t t t t t =?=+?+→→1)1(lim )1(lim 2 10 1 0 五、利用单调有界定理求极限 单调有界定理 单调有界的数列必存在极限。 例1设21=a ，n n a a 21=+ 求n n a ∞ →lim 解: 221<=a ，设2 由归纳法可知{n a }有上界。 又 02)2(21>+-=-=-+n n n n n n n n a a a a a a a a 则{n a }为单调递增有上界数列。 故其极限存在。设A a n n =∞ →lim ，则对n n a a 21=+两边求∞→n 时极限有 n n n n a a 2lim lim 21∞ →+∞ →= 即A A 22 = 解之得0=A （舍之） 2=A 故2lim =∞ →n n a 例2 试证{n a }（其中! n c a n n = 0>c ）的极限存在并求其值。 证 )11 (!!)!1(11-+=-+=-++n c n c n c n c a a n n n n n ， 取自然数N ，使N c <，从而当N n >时 0)11 (!1<-+= -+n c n c a a n n 。故不计较前N 项，{n a }为递减的。 又 01>=c a ， 0! >=n c a n n 则{n a }单调递减且有下界。 由单调有界定理可知{n a }极限存在。 设A a n n =∞→lim ，则由n n n n n n a n a c n c a n c n c a a -+?=-+=-+=-+1)11()11(!1 n n a n c a 1 1+= ∴+ 取∞→n 时，极限0=A 。 小结 利用单调有界定理，往往此定理证明极限存在，再设出极限利用关系式求极限。 六、利用无穷小量的有关性质求极限 1．无穷小量与无穷大量互为倒数关系 例1 求1 1 lim 21-+→x x x . 解: 因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21 ≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21 =+-→x x x ，所以当1→x 时，1 1 2 +-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→1 1 lim 21x x x ． 例2 求3 3lim 3 -+→x x x 解：因为033 lim 3 =+-→x x x 所以∞=-+→3 3lim 3 x x x . 2．无穷小量与有界函数之积为无穷小量的定理 例3 求下列极限： (1)x arctgx x ∞→lim (2) )1(cos lim +∞→n n n n （3 ）lim x 解：(1)因为1lim 0,arc 2 x tgx x π →∞ =< 所以原式0=. (2)因为n cos 有界，即1≤cons ，但是 )(0) 1(1 ∞→→+n n n 所以0) 1(cos lim =+∞ →n n n n （3）因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即 sin 1x ≤而 0111 lim 1lim 3 3 =+=++∞ →+∞ →x x x x x x ，因此当+∞→x 时， 3 1x x +为无穷 小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得 lim 0x =. 3．等价无穷小的代换法 用等价无穷小代换法，往往可以把其中的无穷小量用等价无穷小或它的主要部分来代替，起到一种化繁为简的作用，复杂的无穷小变成简单的无穷小。为此要掌握一些基本等价无穷小。 一般常用的无穷小代换有当0→x 时： 1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x e x x x x x x ， )1,0(ln ~1,~1)1(,2 ~cos 12 ≠>--+-a a a x a x x x x x αα 例4 求x x x 5sin 2tan lim 0 → 解： 当0→x 时x x 2~2tan ，x x 5~5sin 则220 0lim 5sin 2tan lim ==→→x x x x x 例5 求x x x x cos arctan 2lim 1-∞→ 解： 由于1)(lim arctan lim 2 22 1111111=- -?=+∞ →∞ →x x x x x x x 则x x 1 ~ arctan 1 （∞→x ） 则0cos 2lim cos arctan 2lim 11=-?=-∞→∞→x x x x x x x x 小结：利用无穷小量求极限关键要记住一些函数的等价无穷小量，然后用其代之即可。 七、用左右极限与极限关系求极限(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限)(lim x f x x →存在且等于A 的充分必要条件是左极限)(lim 0 x f x x -→及 右极限)(lim 0 x f x x +→都存在且都等于A 。即有： ?=→A x f x x )(lim 0 )(lim 0 x f x x -→=)(lim 0 x f x x + →=A 例1设)(x f =?? ? ?? ??≥<<-≤--1,10,0 ,212x x x x x x x e x 求)(lim 0x f x →及)(lim 1 x f x → 1)1(lim )(lim )(lim 1)21(lim )(lim 0 000 -=-=-=-=-=+ + + - -→→→-→→x x x x x f e x f x x x x x x 解： 由1)(lim )(lim 00-==+ - →→x f x f x x 1)(lim 0 -=∴→x f x 1112 111 lim ()lim lim 1)0lim ()lim 1(10)(10)lim ()x x x x x x f x f x x f f f x --- ++ →→→→→→=====-≠+∴ 又由不存在 八、利用罗比塔法则求极限 两个无穷小量或无穷大量之比的极限称为00 型或∞ ∞型不定式极限，而导数本身实际上就是讨论0 0型不定式极限。下面我们将以导数为工具研究不定式极限，这种方法称为罗比塔法则。 1 0 0型不定式 若)(lim 0 x f x x →=0，0)(lim 0 =→x g x x ，f 与g 在0x 的某空心邻域内可导，且0)(≠'x g ；A x g x f x x =''→) () (lim (A 可以为实数，也可以为∞±或∞)，则)()(lim x g x f x x →=A x g x f x x =''→) () (lim 2 ∞ ∞型不定式 若)(lim 0 x f x x →，)(lim 0 x g x x →均为无穷大；)(),(x g x f ''在0x 点的某一邻域内(0x 本身可以除外)均存在，且0)(≠'x F ，) () (lim x g x f x x ''→存在(有穷或无穷)。则)()(lim x g x f x x →=) () (lim 0x g x f x x ''→ 3 其它不定式00;1;0;;0∞∞-∞∞?∞都可以根据本身的特点化为上述两种类型。一般的，前两种采取代数变形的方法；后三种采取先化为指数形式或者用两边取对数的形式化为∞ ∞ , 00型不定式 ［注］运用罗比塔法则求极限要注意以下几点： 1°要注意条件，也就是说；在没有化为∞ ∞ , 00时不可求导 2°应用罗比塔法则，要分别地求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。 3°要及时化简极限符号后面的公式。在以化简以后检查是否仍是不定式；或遇到不是不定式时，就立即停止使用罗比塔法则。 4°在运算过程中尽量应用两个重要极限。 5°当) () (lim x g x f x x ''→不存在时，本法则失效。 例1 求x e x x sin 1 lim 20-→ 解：∵ 0sin lim ,0)1(lim 020 ==-→→x e x x x ∴x e x x sin 1 lim 20-→属于0 0型不定式 应用罗必塔法则，有2cos 2lim )(sin )1(lim sin 1lim 202020==''-=-→→→x e x e x e x x x x x x 例2 求x x x ln lim +∞ → 解：此题属于∞∞型不定式 01 lim )()(ln lim ln lim ==''=+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x 例3 x x x ln lim 0 0+→ 此题是∞?0型不定式，用代数变形化为∞ ∞ 型 01 lim ln lim ln lim 2 000===→→→x x x x x x x x x 例4 )1 11(lim 0--→x x e x 解：此题是∞-∞型不定式，用代数变形化为0 0型 21 2lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=+=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x xe e e xe e e e x x e e x 例5 x x x + →0lim 解：这是00型不定式极限，但是x x x e x ln =，所以函数x x x f =)(中以看作是 u e u g =)(与x x x h u ln )(==的复合，由g 的连续性，只要+→0x 时h 的 极限存在就可得到所求函数的极限值。 1lim lim 0ln lim ln 000====+ →+ →+ →e e e x u x x x x x x x 例6 x tg x tgx 24 )(lim π → 解：此题是∞1型不定式，令x tg tgx y 2)(=，则两边取对数后变为： x ctg tgx x tg tgx tgx x tg y 2ln 21ln ))(ln 2(ln == = 当4π→ x 时，上式右端为0 型，故1)2sin (lim 2csc 2sec lim 2ln lim ln lim 4 224 4 4 -=-=-==→ →→→x x tgx x x ctg tgx y x x x x ππππ 因此14 lim -→ =e y x π，则124 )(lim -→ =e tgx x tg x π 例7 求x x x )11(lim 0++ → 解：这是0∞型不定式极限，所求极限的函数可以改写作 )1 1ln()1 1ln()11(x x x x e e x x ++==+，由于+→0x 时，)11ln(x x +为∞?0型不定式极限，因为x x x x 1)1 1ln()11ln(+= +，故由罗比塔法则得到：0111lim )1() 1(111lim 1)11ln(lim )11ln(lim 022000=+ =--+ =+=++→+→+→+→x x x x x x x x x x x x 所以1lim )11(lim 0)1 1ln(00===+++→+→e e x x x x x x ［4］ 九、压缩映象定理 压缩映象定理又称不动点原理，它在现代数学分析中日益重要。本部分通过能用数学分析的方法便能解决的例子，介绍不动点的概念，以此解决一些函数的极限问题。 例1 设)(x f 满足下列条件 (1)+∞<≤≤<∞-b x f a )( (2)x x x f x f '-<'-α)()(，其中],[,b a x x '， 10<<α为常数，再取定],[b a x ∈，作序列： ,2,1)),(()(),()(11===+n x f f x f x f x f n n 试证：极限)(lim x f n n ∞ →存在，若记此极限为λ，则必有)(λλf = 证：由条件(1)知 ,2,1],[)(=∈n b a x f n 其次由数学归纳法，可证明对一切的自然数n 及],[b a x ∈，有 x x f x f x f n n n -<-+)()()(11α，由于当1=n 时，],[b a x ∈，],[)(1b a x f ∈，由条件 (2)知x x f x f x f f x f x f -<-=-)()())(()()(1112α 假设当k n =时，结论成立，即x x f x f x f k k k -<-+)()()(11α，当1+=k n 时， )()())(())(()()(1112x f x f x f f x f f x f x f k k k k k k -<-=-++++ααα-<+)(11x f k ，对于 []b a x ,∈及上述结果， 有∑∑∞=∞=+-≤-1 11 1)()()(k k k k k x x f x f x f α，由10<<α时∑∞ =1 k k α收敛，则左端级数∑∞ =+-1 1)()(k k k x f x f 也改敛，由于绝对收敛的级数也必收敛， 从而∑∞ =+-1 1))()((k k k x f x f 也收敛，其前n 项的部分和： )()())()((11 11x f x f x f x f n k n k k -=-∑=++，当∞→n 时，极限存在，即)(lim 1x f n n +∞ →存在，设λ=+∞ →)(lim 1x f n n ，则[]b a ,∈λ，再由条件(2) )()()(())()(()(111λλλλλλ+++-≤-+-=-n n n f f x f x f f f λλαλ-+-≤-+++)()()(11x f x f x f n n n )1,0(∈α，由λ=+∞ →)(lim 1x f n n ，知对于0>?ε，N ，当N n >时有： 2 )(1ε λ< -+x f n ，2 )(ε λ<-x f n ，则当N n >时 ελλλλαλλ<-+-<-+-≤-++)()()()()(11x f x f x f x f f n n n n ，故λλ=)(f 。 十、利用区间套定理 区间套定理是数学分析中的一个基本定理。它常常用于把某区间上满足的性质采取对分区间法归结为某点邻域中的“局部”性质。在方法上，揭示了整体(区间)与部分(点的邻域)间的关系。用它们论证许多困难问题，常常起到重要作用。 区间套定理：设{}],[k k βα是数轴上一串区间，它们满足： (1) ,2,1],,[],[11=?++k k k k k βαβα (2)0]),([lim =+∞ →k k k βαρ，其中]),([k k βαρ是区间],[k k βα的长度)(k k αβ-。则存在唯一的实数γ，使],[k k βαγ∈。 ,2,1=k 。即 +∞ =∈1 ],[k k k βαγ，且 γβα==+∞ →+∞ →k k k k lim lim 。 我们称具有性质(1)、(2)的一串区间为区间套序列。[4] 推论：设{}],[k k βα为数轴上的一区间套序列，则 +∞ =≠1],[k k k φβα。[4] 例 1 设)(x f n 在],[b a 上连续， ,2,1=n ，且对每个],[b a x ∈，{})(x f n 有界，则],[b a 中必存在一个小区间(开的，闭的或半开半闭的)，使{})(x f n 在其上一致有界。 证：依命题，我们应证存在区间],,[],[b a ?βα及正数)(βα ],[βα∈x ， 恒有 ,2,1,)(=≤n M x f n 。现用反证法。设命题不真，即{})(x f n 在],[b a 的任一区间上非一致有界。现记],[b a 为],[00b a 。对1=M ，存在 n ，及],[001b a x ∈，使1)(11>x f n ，由于)(1x f n 在],[00b a 上连续，必存在1 x 的位于],[00b a 中的某个邻域，不妨记作],[11b a ，使在],[],[0011b a b a ?中的任何x ，都满足1)(1≥x f n ，又由于{})(x f n 在],[11b a 上也是非一致有界，并且每个)(x f n 也在],[11b a 上连续，所以对2=M ，必存在12n n <及 ],[2b a x ∈而使2)(2>x f n ，再由)(2x f n 在],[b a 上连续推知，必存在2x 的 一个邻域],[],[1122b a b a ?，使当],[22b a x ∈时，2)(2≥x f n 。继续施行上述手续，可得区间序列{}],[k k b a 及子函数{})(x f n ，它们具有以下性质： (1) ,2,1],,[],[11=?--k b a b a k k k k ； (2)对一切 ,2,1,)(],[,=≥∈k k x f b a x nk k k 由性质(1)(2)及区间套定理的推论可知，存在∑+∞ =∈1 0],[k k k b a x ，且 ,2,1,)(=≥k k x f nk 。这说明{})(x f n 在0x 处无界。但],[0b a x ∈，这是不可能 的，故必存在],[b a 的一个子区间],[βα在其上{})(x f n 一致有界。 结束语 上面所归纳总结的几种常用的解极限问题的方法，分别是从不同的角度对极限的计算问题加以研究和讨论。熟练，正确的运用这些方法，可以大大提高算效率，节约运算时间，为今后的数学学习乃至其它相关联学科的学习铺平道路。 参考文献： [1]刘玉琏等：《数学分析讲义》（上）（第四版），教育出版社，1993：58～59。 [2]强文九等：《数学分析的基本概念与方法》，高等教育出版社，1 993：29～35。 [3]蒋传章：《高等数学复习指导》，西安：陕西科学技术出版社，1995。 [4]杜先能等：《高等数学》，合肥：安徽大学出版社，2003。 [5]邵敛，汤国桢编著：《高等数学专题解析》，杭州：浙江大学出版社，2001。 极限求法大全 1.1利用极限的定义求极限 用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值 A ,这 种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是 密切相连的 例：lim f x A 的「S 定义是指： ￡>0， S = S ( x 0， ￡ ) >0, O v |x- X Q | x X O vs |f(x)-A| V￡为了求S 可先对X O 的邻域半径适当限制， 如然后适当放 大I f(x)-A (x)(必然保证? (x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不 等式: I x+a I =|(x- X O )+( x o +a)| < |x- x °|+| x o +a| v| x °+a | +S 1 域|x+a|=|(x- X O )+( x o +a)| >| x °+a|-|x- X O | >| x °+a|- S 1 从? (x) VS 2,求出S 2后， 取3 = min( S 1，S 2)，当 0 v |x- x 0 | VS 时，就有 |f(x)-A| V￡ . 例: 设 lim X n a 贝V 有 lim __也―a . n n n 证明： 因为 lim x n n a ,对 0, N 1 N,),当n N 1时，X n -a -于是当 n N 1 时，X 1 X 2 … X n a X 1 X 2 ...x na 1.2利用极限的四则运算性质求极限 定理⑴：若极限lim f (x)和lim g(x)都存在，贝U 函数f (x) g(x)， f (x) g(x)当 X X) X X O X x 0时也存在且 ① l in i f(x) g(x) 阿 f(x) l in i g(x) x X 0 x X 0 x ^0 ② lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) XX ) X X ) X X) n n 其中A X 1 a X 2 a X N 1 是一个定数 ,再由 A n 2， 解得n 2A ,故取N max M, 2A 当n N 时, X 1 x 2 .. X n —+ — 2 2 n o 学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日 摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理 Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem 极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）； 极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n 求极限的几种常用方法 一、 约去零因子求极限 例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。 二、 分子分母同除求极限 求极限limx→∞x3-x23x3+1 ∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13 三、 分子(母)有理化求极限 例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1) 分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 ()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x 例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx3 30sin 1tan 1lim x x x x +-+→=() x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→= 41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。 四、 应用两个重要极限求极限 (2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。 例：求极限limx→∞(x+1x-1)x 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。 limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2 五、利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例：求limx→∞sinxx 因为sinx≤1, limx→∞1x=0,所以limx→∞sinxx=0 六、用等价无穷小量代换求极限 常见等价无穷小有： 当x→0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln1+x~ex1， 1-cosx~12x2，(1+ax)b-1~abx 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例：limx→0xln(1+x)1-cosx=limx→0xx12x2=2 L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换 数学极限的求法 常见:夹逼准则, 无穷小量的性质,两个重要极限，等价无穷小，洛必达 法则, 中值定理, 定积分, 泰勒展开式。后四种不常见。另外求代数式极限可参见课本P48上。证明极限用定义证。 1：利用等价无穷小代换求极限 当x 趋于0时等价，例如 x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～ )1ln(x +～1-x e x n x ax x x x x x x x x x n a 1~,~1)1(,21~cos 1,~arcsin ,~tan ,~sin 2+-+- 当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 例：求 43 03 lim (sin )2x x x x →+ 解： sin 22x x ∴4303lim (sin )2x x x x →+＝ 43 03lim () 2x x x x →+＝ 4330lim 8x x x x →+＝8 2：利用极限的四则运算性质求极限 进行恒等变形，例如分子分母约去趋于零但不等于零的因式；分子分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。 例；求极限 (1)22 11 lim 21x x x x →--- (2)3 12lim 3x x x →+-- (3) 3113lim()11x x x →--++ (4) 已知 111 ,1223(1)n x n n =+++??-? 求lim n n x →∞ 解：(1) 22 11lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21) x x x x x →+--+=11lim 21x x x →++＝23 (2)（2）＝ 3(12)(12)lim (3)(12)x x x x x →+-++-++＝33lim (3)(12)x x x x →--++＝14 (3)311 3lim ( )11x x x →--++ ＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1) x x x x x x →-+-+-+＝212 lim 1x x x x →---+＝-1 (4) 因为 111 ,1223(1)n x n n = +++??-? 111111111122334411 n n n =-+-+-+--+---11n =- 所以 1 lim lim(1)1 n n n x n →∞→∞=-= 3：利用两个重要极限公式求极限 (1) 0sin 1lim lim sin 1x x x x x x →→∞== (2)1 01lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+= 例：求下列函数的极限[4] (1) 230lim lim cos cos cos cos 2222n n n x x x x →→∞???????????? 数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学08级汉班 ** 指导教师 **** 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0 ! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0 ! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 2 211lim ,其中1,1< 数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1 （1 （2（3）若B ≠ （4（5）[] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数） i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 ()()222 22 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例2. 求3 x → 33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例3. 已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-? 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 3311 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim 11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()() 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即 几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 []1 根据极限的定义：数列{n x }收敛??a,ε?〉0,?N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11 lim =+∞→n n n 证明：0,ε?>要使不等式 11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=?? ????-11ε，于是0,ε?>? N=?? ? ???-11ε，n N ?>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n 2利用两边夹定理求极限[]1 例2 求极限???? ??+++++++∞ →n n n n n n 22221 31211 1lim 解：设= n c n n n n ++++ +2 2 2 12 11 1 则有：2 n c n n > =+ 同时有： 21 n c n <=+，于是 n c << 1 n n <=+>=. 有 11 n n n c n n <<< < =+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴???? ??+++++++∞→n n n n n n 2222131211 1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1 实数的连续性定理：单调有界数列必有极限. 例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞ →lim 解：显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ， 从而 12 -+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+ 两段除以n x ，得 1n n a x x < + 1+≤≤?a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12 -+=n n x a x 两边去极限，则有∞ →-∞ →+=n n n n x a x 12 l i m l i m ?a l l +=2解得2 1 4++= a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2 关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞ → 解4 )2 21sin()221sin( 2cos 1cos x x x x x x -+++-=-+ 2)221sin( 2≤++-x x 而) 1(21 221)221sin( 0x x x x x x ++=-+≤-+≤ 而,0) 1(21 lim =++∞ →x x x 故 02 _1lim =+∞ →x x n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2 e x x x x x x =+=∞→→)1 1(lim ,1sin lim 第一章 极限论 极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质 函数极限的定义函数极限函数极限的性质 一、求极限的方法 1.利用单调有界原理 单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。 利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。 说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。 例1 设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。 分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。 解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥，所以可知数列n x 有下界；下面证单 调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综 合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A = 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性 求函数极限的方法和技巧 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由2 44122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 232x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 22 x x x ---→ 解: 原式=)2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ 求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方 对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的极限求法大全
求极限的方法总结
高等数学极限计算方法总结
极限的常用求法及技巧.
求极限的方法总结
高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
数学极限的求法
数学分析中求极限的方法总结
函数极限的十种求法
高等数学求极限的14种方法
求极限的方法及例题总结
极限计算方法总结(简洁版)
求极限的方法总结__小论文
数学分析中求极限方法总结
(整理)几种求极限方法的总结
高数-极限求解方法与技巧总结
高等数学常用极限求法
求极限方法总结