一次不定方程的解数问题讨论

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c +=① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为 其中0,1,2,3,t =±±±… 证因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c +=② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+=③ ③-②得00()()a x x b y y ''-=--④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证． 有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求11157x y +=的整数解． 解法1将方程变形得 因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为 解法2先考察11151x y +=，通过观察易得

11(4)1531?-+?=， 所以 11(47)15(37)7?-?+??=， 可取0028,21x y =-=，从而 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式． 例2求方程62290x y +=的非负整数解． 解因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y +=① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y +=② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解用方程

二元一次不定方程及其解

２０１３年第·１期 太原城市职业技术学院学报 Journal of TaiYuan Urban Vocational college 期 总第１３８期 Ｊａｎ２０１３ ［摘要］不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中的一个十分重要的研究课题，我国古代对不 定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。论文重点探讨了二元一次不定方程及其解。[关键词]通解； 特解；观察法；辗转相除法；整数分离法；同余法［中图分类号］O15［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７３－００４６（２０１３）１－０１６１－０２浅析二元一次不定方程及其解 韩孝明 （吕梁学院汾阳师范分校，山西吕梁０３２２００） 不定方程是数论中最古老的一个分支，也是数论中一个十分重要的研究课题，我国古代对不定方程的研究很早，且研究的内容也极为丰富，在世界数学史上有不可忽视的地位。如《张丘建算经》中的“百钱买百鸡”问题、《九章算术》中的“五家共井”问题等等，中外驰名，影响甚远。在公元３世纪初，古希腊数学家丢番图曾系统研究了某些不定方程问题，因此不定方程也叫做丢番图方程。 一、不定方程定义所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数且其解受到某种条件的限制的方程或方程组。 不定方程领域中的基本问题是：不定方程有无整数解，有多少整数解，如何求出整数解。围绕这些问题，至今存在着大量的未解决问题，因此不定方程仍是一个很 活跃的数学领域。 中小学的数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题。 二、二元一次不定方程及其解形如ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈ｚ，ａｂ≠０）的方程称为二元一 次不定方程。 求其整数解的问题叫做解二元一次不定方程。 由于方程的解ｘ、ｙ可以是正整数，也可以是负整数，或者零，所以我们可以只讨论ａ、ｂ都是正整数的情 况。例如， ３ｘ－２ｙ＝１与３ｘ＋２ｙ＝１的解相比较，ｙ的值只差一个负号。 当ｃ＝０时，如果（ａ，ｂ）＝ｄ（ａ、ｂ的最大公约数为ｄ），那么在方程的两边同时除以ｄ，使ｘ、ｙ的系数互质。因此不妨假设（ａ，ｂ）＝１，解方程得ｘ＝－，由于（ａ，ｂ）＝１，因此当ｙ能被ａ整除时，方程ａｘ＋ｂｙ＝０才有整数解。所以可令ｙ＝ａｔ（ｔ为任意整数），这时ｘ＝－ｂｔ，即方程ａｘ＋ｂｙ＝０的一切整数解为 （其中ｔ为任意整数） 当ｃ≠０时，实际上也只需要讨论ｃ＞０的情况。因 为当ｃ＜０时，我们可以在方程两边同时乘以－１，这样方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的右边就成为正整数了。因此对于二元一次不定方程，可以只讨论ａ＞０、ｂ＞０、ｃ＞０的情况。 现在我们研究二元一次不定方程在什么条件下才有整数解。先考察下面几个方程有没有整数解：２ｘ＋ｙ＝１０，４ｘ＋２ｙ＝２０，４ｘ＋２ｙ＝２５。对于方程２ｘ＋ｙ＝１０，通过 观察可以知道，ｘ＝１，ｙ＝８是这方程的整数解，因此这个方 程有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２０，方程两边同时除以２，得２ｘ＋ｙ＝１０，因此这个方程也有整数解。 对于方程４ｘ＋２ｙ＝２５，由于４ｘ＋２ｙ＝２（２ｘ＋ｙ）为偶数，而２５是奇数，因此这个方程没有整数解。 对于方程２ｘ＋ｙ＝１０来说，ｘ、ｙ的系数互质，上面已经指出这个方程是有解的；对方程４ｘ＋２ｙ＝２０来说，虽然ｘ、ｙ的系数不互质，但它们的最大公约数２能整除２０，这是方程也有解；对方程４ｘ＋２ｙ＝２５来说，ｘ、ｙ的系数不互质，且它们的最大公约数２不能整除常数项２０，这时方程无解。这些特点虽然是从一些具体的不定方程归纳出来的，但是它对一般不定方程也是适用的。我们有下面定理： 定理１：二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃ∈Ｎ＊）有整数解的充要条件是ｄ│ｃ（其中ｄ＝（ａ，ｂ）。 证明：一是必要性。如果方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ，因为ｄ│ａ，ｄ│ｂ，所以ｄ│（ａｘ０＋ｂｙ０），即ｄ│ｃ。 二是充分性。因为ｄ│ｃ，所以ｃ＝ｄｑ，由裴蜀恒等式可以知道，存在两个整数x ０，y ０， 使ａx ０＋ｂy ０＝ｄ。在上式两边同时乘以ｑ，得ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｄｑ即ａx ０ｑ＋ｂy ０ｑ＝ｃ。 因此方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ有整数解ｘ＝x ０ｑ，ｙ＝y ０ｑ。由上述定理可知，如果ｃ不能被ａ、ｂ的最大公约数整除，那么方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ无解，且可在ａｘ＋ｂｙ＝ｃ两端都约去ｄ，使得（ａ，ｂ）＝１。所以通常二元一次不定方程的解是在ａ、ｂ互质的情况下讨论的。 判断出一个二元一次方程有解以后，如何求出它的一切整数解呢？我们有下面的结论： 定理２：如果二元一次不定方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ［（ａ，ｂ） ＝１］有整数解ｘ＝ｘ０， ｙ＝ｙ０，则此方程一切解可以表示为 （ｔ是整数） 证明：先证明 是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解。 因为ｘ＝ｘ０，ｙ＝ｙ０是方程ａｘ＋ｂｙ＝ｃ的整数解，所以ａｘ０ ＋ｂｙ０＝ｃ，又因为ａ（ｘ０－ｂｔ）＋ｂ（ｙ０＋ａｔ）＝ａｘ０＋ｂｙ０＝ｃ。 161··

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法

一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程 ax by c += ① 有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可 以表示为 00x x bt y y at =-??=+? 其中0,1,2,3,t =±±±… 证 因为00 ,x y 是方程①的整数解，当然满足 00ax by c += ② 因此 0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=． 这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有 ax by c ''+= ③ ③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④ 由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将 0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示 方程①的一切整数解，命题得证．

例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得 31145x y += ① 由观察知，114,1x y ==-是方程 3111x y += ② 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 0045418045(1)45 x y =?=??=?-=-? 由定理，可得方程①的一切整数解为 18011453x t y t =-??=-+? 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 1801104530t t -≥??-+≥? ③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能． 当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是 150x y =??=? ，43x y =??=? 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解． 分析 这个方程的系数较大，用观察法去求

不定方程和解不定方程应用题经典

不定方程 ———研究其解法 方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许 多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。 一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法 根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。 如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法 如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法 如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y = 2 738X -=19-3x-21 x

令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周 不定方程 专题简析： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 例1． 求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、 求3x+2y ＝25的自然数解。 2、 求4x+5y ＝37的自然数解。 3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。

一次不定方程的解法

精心整理 一次不定方程的解我们现在就这个问题，先给出一个定理 定理如是互质的正整数是整数，且方,①cby?ax?有一组整数解则此 方程的一切整数解可以表示为yx,00其中…3,??1,?2,t?0,证因为是方程①的整数解，当然满足y,x00②c?ax?by00因此 ．cby?at)?ax?ba(x?bt)?(y?0000这表明，也是方程①的解．at?y??x?xbty00设是方程①的任一整数解，则有??y,x③??caxby???②得④③ ??)y(?)x(ax??by?00精心整理． 精心整理 t是整数．将，其中代入④，即得由于，所以，即??? atyy?y?at??y ya?y1)?,(ab000．因此可以表示成，的形式，所以， ???y?y?atx?x?x?x?btyy?x??x?btatbty,x00000表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解. 例1求的整数解．715y?11x?将方程变形得1解是这个方程的的倍数．由观察是整数，所应是因211组整数解，所以方程的解先考，通过观 察易得解11114所以 (7711，，从而可取21?x??28,y00可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是 t一样的．将解中的参数做适当代换，就可化为同一 形式．求方程的非负整数解．2例9022y??6x得因为，所以方程两边同

除以解2?(6,22)2①45?3x?11y由观察知，是方程1??yx?4,11②1?11y?x3 的一组整数解，从而方程①的一组整数解为 由定理，可得方程①的一切整数解为精心整理． 精心整理 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 180?11t?0?③??45?3t?0?由于是整数，由③得，所以只有两种可能．16?t?15,tt16t?15?当；当．所以原方程的非负整数解是 3??4,yy?0?t16,xt?15,x?15,x?415x???，??y?3y?0??求方的所有正整数解211?分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解 解用方 211?的最小系除方程①的各项，并移项 211y②?30?2y?x?77y?53．化简得到是整数，故因为也是整数，于是?u yx,3?7u5y?7③3??7u5y3?2u（整数），由此得令?v5④35v?2u?u??1u??1??是方程④的一组解．将代入③得，再将由观察知代入②得 2?2y?y??v?1v?1??x?25x?25?19t??t为整数，所以它的一切解为．于是方程①有一组解025x???y?2y?2?7t??0由于要求方程的正整数解，所以 解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为0,1t精心整理．精心整理 x?25x?6??，??y?2y?9??当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．

不定方程解应用题

不定方程解应用题 六年级 2009年10月31日 基础篇 例1．不定方程的自然数解。 （1）2x+5y=12 解：x=6,y=0或x=1,y=2 （2）12x+17y=75 解：x=2,y=3 例2．用不定方程（组）解应用题。 1.采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打 开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 解：设买了x大盒，y小盒。 23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26. 答：略。 2.新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书，已知老师和学生共 14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。 问：搬书的老师，男生，女生各有多少人？ 解：设老师x人，男生y人，女生z人。 x+y+z=14 12x+8y+5z=100 解得：x=3,y=3,z=8 答：略。 3.一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装 完，已知盒子数大于10，两种盒子各有多少 解：设大盒x个，小盒y个。 12x+5y=99且x+y>10 解得：x=2,y=15. 答：略。 4.有些三位数：①它的各位数字不同且没有数字0；②这个数等于所有由它的各位数字 所组成的没有重复数字的两位数的和。那么满足以上条件的所有三位数的和是多少？ 解：设这个三位数为abc（a、b、c各不相同） =+++++ 则abc ab ba ac ca bc cb 100a+10b+c = 22(a+b+c) 解得a=1,b=3,c=2或a=2,b=6,c=4或a=3,b=9,c=6 和为：132+264+396=792

个例独解：“不定方程”解题思路

个例独解：“不定方程”解题思路 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的一个(或几个)方程组成的方程(组)。 不定方程的解一般有无数个，而在这无数个解中要找出一个适合题意的解，则是行测出题 的思路。根据不定方程的这一特点可知，由题干条件推出结论的推理方式比较费时费力， 采用代入法则是不定方程的一般解法。代入法也分为选项代入法、特殊值代入法两种。 某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均分给各个老师带领刚好能够分完，且每位老师所带的学生数量都 是质数。后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )(2012年国家 考试行测第68题) A. 36 B.37 C.39 D.41 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，而也没有其他较简单的做法，则考虑 列方程组，设每名钢琴教师带领x名学员，每名拉丁舞教师带领y名学员; 该方程组有三个未知数，只有两个方程，属于不定方程，用代入法较好。采用特殊值代入 法较好。用第一个方程：5x+6y=76，用奇偶性分析可得x应该为偶数，根据“每位老师所 带的学生数量都是质数”可得x只能为2，又可求的Y=11.再把X=2，Y=11代入方程二可 得4x+3y=41。 该题先列出方程组，再根据题干给出的特殊信息--奇偶性和质数特性，采用特殊值代入的 方式解题。 三位专家为10幅作品投票，每位专家分别都投出了5票，并且每幅作品都有专家投票。 如果三位专家都投票的作品列为A等，两位专家投票的列为B等，仅有一位专家投票的 作品列为C等，则下列说法正确的是( )(2012年 考试 第72题) A、A等和B等共6幅 B、B等和C等共7幅 C、A等最多有5幅 D、A等比C等少5幅 读题之后可以看出题干中存在两个明显的等量关系，即画的张数是10，投票数总共为50. 则考虑列方程组，设A等、B等、C等作品的幅数分别为x、y、z张。可得方程组为： 化简得：2x+y=5，可得x=2，y=1，z=7，答案选D。或者得答案x=1，y=3，z=6，无答案，答案选D。

不定方程的解法与应用

摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题

Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.

2018年国考数量-巧解不定方程问题

巧解不定方程问题 哈尔滨华图房曼 不定方程，顾名思义，一个方程中有多个未知数，无法通过正常的解方程来得出答案，也是省考国考考察的热点、重点。2017年的国家公务员考试副省级的64题，2017年山东省考的51题，都考察了不定方程的应用。 对于不定方程，我们有很多种方法来解决，包括用数字特性法、代入排除法等方法，其中代入排除法可以解决绝大多数不定方程问题，但是四个选项挨个代入比较耗费时间，相当于战争中的核武器，可以解决问题，但是代价比较大；对于一些不定方程题目，我们也可以首先考虑用数字特性来排除几个不靠谱的选项，再用代入法来做，可以大大缩短做题时间，相当于战争中的冲锋枪，可以轻快的解决问题，使用方便。下面列举两道真题来应用一下。 2017年的国家公务员考试副省级64题： 例1、某超市购入每瓶200毫升和500毫升两种规格的沐浴露各若干箱，200毫升沐浴露每箱20瓶，500毫升沐浴露每箱12瓶。定价分别为14元/瓶和25元/瓶。货品卖完后，发现两种规格沐浴露的销售收入相同，那么这批沐浴露中，200毫升的最少有几箱？ A．3B．8C．10D．15 解析：设200毫升的最少有a箱，400毫升的有b箱，可以得到一个等式：20*14a=12*25b，为不定方程，求得是a，可以将四个选项从最小的选项挨个代入，求出b，根据题意，b为正整数，符合这个条件的选项即为答案，这是用代入排除法直接做，比较耗费时间。如果先把等式化简一下的话可以得到：14a=15b。可知a需要为15的倍数，直接选出D选项。 2017年山东省考51题： 例2、小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24.所得的两个乘积加起来刚好等于900，问孩子出生在哪一个季度？ A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 解析：设出生的月份为a，出生的日期为b，得到等式：29a+24b=900，为不定方程。观察等式，900为3的倍数，24b同样为3的倍数，所以要求29a为3的倍数，即要求a为3的倍数，可以为3,6,9,12，分别代入，可以解出b，b需要为小于32的正整数，只有当a为12时，解出b=23，符合条件，12月属于第四季度，故选D选项。 对于不定方程，是公务员考试中的一座小高地近来来考察越来越多我们攻克它有数字特性法和代入排除法等武器在平时的练习和考试中要熟练运用各种方法，才能迅速的解得答案。

不定方程的求解方法汇总

不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。

2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。

二元一次不定方程

二元一次不定方程一、教学内容分析 4-6》的第三讲。它是对第一讲整除本节是《普通高中课程标准实验教科书·数学选修和第二讲同余中相关知识的应用。也是之后多元一次不定方程的基础。本节课程体现数学文化的特色，百钱买百鸡问题使学生对二元一次不定方程产生浓厚的兴趣。学生通过分析，试验，猜想、验证等， 从中获得新的知识，新的方法，新的思想，体验数学发现和创造的历程，感受数学的魅力。二、 学生学情分析 学生之前可能通过课后阅读或资料，故事书听说过百钱买百鸡问题，或曾经尝试过此类问题进行解决，难度较大。现在是第一次系统性的学习，学生的兴趣浓厚，积极性很高，有热情和新鲜感。通过课前导学能对有解性和整数通解提出猜想，但难以给出证明。所以需要教师精心设计，做好引导工作，充分体现教师的“引路人”角色。特别小组合作学习中在分。组时注意学生的合理 搭配（成绩的好坏、分析解决问题能力、口头表达能力等）三、教学目标 知识目标：1; 、掌握二元一次不定方程有解的充要条件2. 、会求二元一次不定方程的整数通解能力目标1渗透从特殊到一般，先猜后证的数学方法。培养观察、分析、归纳、总结、证明．; 的能力2. ．培养学生的口头表达能力和合作意识情感目标1．了解不定方程的发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人，让学生感受到我国古代数学成就，激发学生的民族自豪感；2. . 使学生感受到数学来源于生活，体会数学的实用价值并应用于实践四、教学重点和难点重点：1. 二元一次不定方程有解的充要条件；2. 二元一次不定方程的整数通解的证明。难点：引导学生利用整除的知识对二元一次不定方程的整数通解进行证明。五、教法与学法 . 学生成为课堂的主人，教师层层引导，关键地教法：以问题为驱动，以学生为主体方点拨的教学模式。学法：鼓励学生“动脑想、大胆猜、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法。 六、教学过程设计 埋下伏笔历史名题，激发学生学习兴趣。（视频体验）学生表演神童“百钱买百鸡问题” 展示成果学生动手1、判断下列方程是否有整数解问题4??6y6?y?28x8x?6y?18x (2)(3) (1)，，c?ax?byc,a,b 2 得到新知合作探究问题：若方程有整数解，则整数满足什么关系？1?3y4x? 33组）问题的整数解（至少、写出不定方程1?b)c(a，ax?by?yy?x?x,4为不定方程整数解问题求不定方程，：，00 得到新知合作探究c|,b)b,)|c(a?axby?c(a，不定方有整数解，那么。反过来，当结论1：如果不定方程c?ax?by! 一定有整数解程bt??xx?0cby??1ax?)(a，b?Z，t?的整数通解为2：设，则不定方程结论

不定方程常用解题方法

整除法 【例题1】：某国家对居民收入实行下列税率方案：每人每月不超过3000美元的部 分按照1%税率征收，超过3000美元不超过6000美元的部分按照X%税率征收，超过6000 美元的部分按Y%税率征收（X,Y为整数）。假设该国居民月收入为6500美元，支付了120 美元所得税，则Y为多少？ A.6 B.3 C.5 D.4 【参考答案】：A. 【解析】：整除法。列方程可得，3000×1%+3000×X%+500×Y%=120,化简可得 6X+Y=18,观察发现，18以及X的系数6都是6的倍数，根据整除可以确定Y一定是6的倍数，所以结合选项答案选择A选项。 【小结】：当列出的方程中未知数的系数以及结果是同一个数的倍数的时候，可以考 虑用整除法结合选项选择答案。 奇偶法 【例题2】：装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ A.3,7 B.4,6 C.5,4 D.6,3 【参考答案】：A. 【解析】：奇偶法。设需要大、小盒子分别为x、y个，则有11x+8y=89,由此式89为 奇数，8y一定为偶数，所以11x一定为奇数，所以x一定为奇数，结合选项，排除B和D,剩余两个代入排除，可以选择A选项。 【小结】：列出的方程未知数系数和结果奇偶性可确定时，可以考虑用奇偶性结合选 项破解题目。 尾数法 【例题3】：有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小 客车有20个座位。为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A.1辆 B.3辆 C.2辆 D.4辆 【参考答案】：B. 【解析】：尾数法。大客车需要x辆，小客车需要y辆，可列37x+20y=271,20y的尾数一定是0,则37x的尾数等于271的尾数1,结合选项x只能是3,所以选择B选项。 【小结】：列出方程的未知数的系数出现5或10的倍数时，尾数可以确定，可以考虑用尾数法结合选项来选择答案。

不定方程的解法

基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段

希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段

不定方程及不定方程组

不定方程及不定方程组集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二十七讲 不定方程、方程组 不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定． 对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有： 设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题： (1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解； (2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数） t at y y bt x x (00???-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等． 举例 【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，则m 的最大值为 ． (新加坡数学竞赛题) 思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并分离其整数部分(简称分离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值． 注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。通常有以下几个步骤： （1）判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解． 分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论． 【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )． A ．32千米 B ．37千米 C ．55千米 D ．90千米 (河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解． 【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解． (2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解． (莫斯科数学奥林匹克试题) (3)求方程 6 5 111=++z y x 的正整数解． (“希望杯”邀请赛试题)

10秒钟解不定方程的方法

10秒钟解不定方程的方法 一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律： 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。 例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解 适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。 例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。 二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十

二元一次不定方程的解法总结与例题

探究二元一次不定方程 （Inquires into the dual indefinite equation） 冯晓梁（XiaoLiang Feng）（江西科技师范学院数计学院数一班 330031）【摘要】:二元一次不定方程是最简单的不定方程, 一些复杂的不定方程常常化为二元一次不定方程问题加以解决。我们讨论二元一次方程的整数解。 The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution. 【关键字】：二元一次不定方程初等数论整数解 （Dual indefinite equation Primary theory of numbers Integer solution） 二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程。一个方程是二元一次方程必须同时满足下列条件；①等号两边的代数式是整式； ②具有两个未知数；③未知项的次数是1。 如：2x-3y=7是二元一次方程，而方程4xy-3=0中含有两个未知数，且两个未知数的次数都是1，但是未知项4xy的次数是2，所以，它是二元二次方程，而不是二元一次方程。 定理1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。 [1] 二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解，但若对未知数的取值附加某些限制，方程的解可能只有有限个。 通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数，如x-2y=3变形为x=3+2y，然后给出一个y的值就能求出x的一个对应值，这样得到的x、y的每对对应值，都是x-2y=3的一个解。 定理2.方程有解的充要是；[2] 若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成： （t为任意整数）

解三元一次不定方程组

题目：小明的妈妈去超市购物，已知买13个鸡蛋，5个鸭蛋，9个鹌鹑蛋需付9.25元，买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋需付3.20元，小明妈妈想买一个鸡蛋一个鸭蛋一个鹌鹑蛋需付多少钱？ 分析：此方程组是三元一次不定方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是x+y+z的代数和，因此，可通过变形变换得到多种解法． 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② （1）凑整法 解法1： （①+②）/3: 5x+3y+4z=4.15 ③ ∴②+③，得 7(x+y+z)=7.35 ∴ x+y+z=1.05 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元。 解法2： 原方程组可变形为 13(x++y+z)-4(2y+z)=9.25 ① 2(x++y+z)+4(2y+z)=3.20 ② 解之得x+y+z=1.05 （2）主元法 解法3： 视x、y为主元，视z为常数，解①、②得x=0.5-0.5z，y=0.55-0.5z．∴x+y+z=0.55+0.5-z+z=1.05． 解法4： 视y、z为主元，视x为常数，解①、②得y=0.05+x，z=1-2x． ∴x+y+z=1.05+x-2x+x=1.05． 解法5： 视z、x为主元，视y为常数，解①、②得x=y-0.05，z=1.1-2y ∴x+y+z=y-0.05+y+1.1-2y=1.05． （3）参数法 解法6： 设x+y+z=k，则 13x+5y+9z=9.25 ① 2x+4y+3z=3.20 ② x+y+z=k ③ ∴①-②×3，得x-y=-0.05 ④ ③×3-②，得x-y=3k-3.2 ⑤

解题技巧之不定方程解法

解题技巧之不定方程解法 2015大学生村官备考已经开始了，相信大家会发现有些题，我们虽然能列出方程，但发现方程的个数比未知数的个数要少，若用传统的思想根本无法求解。在此，中公大学生村官考试网将为您介绍这种方程的个数少于未知量个数的方程求解方法——不定方程的解法。 1. 什么是不定方程 方程分为两类：一类是方程的个数等于未知量的个数，这类方程我们称为一般方程;另一类是方程的个数少于未知量的个数，该类方程我们称为不定方程，不定方程看起来貌似无法具体求解，但是公考特点是每道题都是带选项的，我们可以结合选项应用一些技巧快速的确定选项，下面将介绍几种常见的不定方程的解题技巧。 2. 不定方程的常见解题技巧 1)整除法：即利用不定方程中各数除以同一个数所得的余数关系来求解。 【例题】已知3x+y=100，x,y均为整数，求y=( ) A.30 B.31 C.32. D.33 【答案】B 【解析】想求y的数值，若我们知道y的某些性质，结合选项则可确定答案。而该式子我们两边同时除以‘x’前面的系数3，则3x项除以3余数为0，而100除以3余数为1，式子两边除以同一个数，余数应该相同，所以可判定y具有除以3余1的特点，结合选项答案为B. 2)奇偶性：即根据等号两端的奇偶性相同，来判断未知数的奇偶性，进而判断选项。 【例题】现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱： A.多1个 B.少1个 C.多2个 D.少2个 【答案】A 【解析】甲乙丙最开始放入箱子的个数不确定谁是1,2或是3。所以设这3个箱子中最开始放入的个数分别是x,y,z。则x+y+z=6...(1);第二次放入三个箱子的个数分别为 2x,3y,4z.所以两次共放了3x+4y+5z=22...(2),因为该题问的是最终甲乙两箱球数差，联合(1)、(2)两个式子消掉未知量z，得2x+y=8,此时2x为偶数，8为偶数，为了保证等号两端奇偶性相同，则y应该为偶数，因此y=2,x=3,所以最后甲中放了9个球，乙中放了8个球，甲比乙多1个，答案为A。 3)尾数法：根据等号两端尾数相同，确定未知数特征，结合选项做出答案。