过程装备基础第3章习题解

第3章 杆件的内力分析

3-1 试求图示圆截面杆横截面上内力分量。

3-2 试求图3-12所示的等截面杆横截面上内力分量。

解：沿任一横截面把圆杆截开，取其右段（或左段）研究，如图（b ）所示。显然横截面上的的内力分量只有轴力和扭矩，且有：N=F ，T n =T ，二者均大于零。

3-2 试求图示等截面杆横截面上内力分量。

解：沿任一横截面把杆截开，取其右段（或左段）研究，如图（b ）所示。显然横截面上的的内力分量只有轴力和弯矩（按正值方向假设），且有：N=F ，M =-Fe 。

3-3 试求图示各杆横截面上轴力（图中虚线表示力的作用位置），并作轴力图。

解：对于图（a ）所示直杆，分别沿1-1、2-2、3-3把杆截开，取其右段（或左段）研究，各段受力图如下图所示（轴力按正值方向假设）。

各段横截面上轴力为：

题3-3图

(a) (b)

题3-2图

(a) (b)

题3-1图

N 1=-F ， N 2=-2F ， N 3=0。 轴力图如下：

同理，对于图（b ）所示直杆，有（各段受力图略）： N 1=2F ，N 2=F ，N 2=3F 。 轴力图如下：

3-4 试作出图示的两种齿轮布局的扭矩图，哪一种布局对提高传动轴强度有利？ 解：哪一种布局对提高传动轴强度有利的判断标准为看

哪种布局的最大扭矩较小。显然，图（a ）布局中的最大扭矩为：

T nmax =T 2+T 3,

而图（b ）布局中的最大扭矩为：

T nmax =T 2 或T nmax =T 3。

所以，图（b ）的布局对提高传动轴强度有利。

-F

x

题3-4图

3-5 试作出图示的各梁剪力图和弯矩图，并求出最大弯矩的值。

题3-5图

解：以下所有求解均以梁最左端为坐标原点，以轴线为x 轴，建立坐标系，利用静力平衡方程求解。

（a ）求支座B 的约束反力，由静力平衡方程得：

ql ql P R B 2=+=

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： )0()()(l x x l q qx P Q <<+?-=+-=

)0(2

1

2122l x qlx qx qx x P M ≤≤--=-

?-=

作出剪力图和弯矩图，见图（a ），从图中可知： 剪力最大值为 ql Q 2max = 弯矩最大值为 2

max

2

3ql M

=

（b ）先求支座A 、B 约束反力，由静力平衡方程得： l a

P R A ?-= （负号表示方向向下） l

l a P R B )

(+?=

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：

AB 段：)0(l x l

a P R Q A <

==

)0(l x x l

a

P x R M A ≤≤??-=?=

BC 段：)(a l x l P

Q +<<=

)()

(a l x l x a l P M +≤<-+?=

作出剪力图和弯矩图，见图（b ），从图中可知： 剪力最大值为 P Q =m a x 弯矩最大值为 a P M

?=max

（c ）先求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得： 0=A R ， a P M A ?=

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：

AC 段：)0(0

a x Q <<=

)0(a x a P M ≤≤?= CB 段：)2(a x a P

Q <<-=

)2()

2(a x a x a P M ≤<-?=

作出剪力图和弯矩图，见图（c ），从图中可知： P Q =max ，a P M

?=max

（d ）求支座A 、B 的约束反力，由静力平衡方程得： a q R a a q a R A A ?=??=?4

1

,212 a q a q a q R B ?=?-

?=43

41 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：

AC 段：)0(4

1a x a q R Q A <

1

a x x a q M ≤≤??=

CB 段：x q a q a x q a q a x q R Q A ?-?=-?-?=

-?-=45

)(41)( )(2

1

)(a x a x q x R M A -??

-?-?=

2)(2

1

41a x q x a q -?-??= 即 )2(4

5

a x a qx a q Q <<-?=

)2()(21

412a x a a x q x a q M ≤<-?-??=

作出剪力图和弯矩图，见图（d ），从图中可知：

qa Q 4

3

max =

max

M

出现在0=Q 处，即a x 4

5

=处， 2max

32

9

qa M =

（e ）求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得：

Pa a P a P M P R A A 32,=?+?=-=（顺时针） 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：

AC 段：)0(a x P

Q <<-=

)0(3a x Px Pa M ≤≤-=

CB 段：)2(a x a P

Q <<-=

)2()2(a x a x a P M ≤<-=

作出剪力图和弯矩图，见图P4-1（e ），从图中可知： P Q =m a x ，Pa M

3max

=

（f ）求支座A 、B 约束反力，由静力平衡方程得： Pa Pa a P a R A 5234=+?=?，P R A 4

5

= P P P P R B 4

7452=-

+= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下：

AC 段：)0(45a x P Q <<=

)0(4

5a x Px M ≤≤=

CD 段：)3(4

145a x a P P P Q <<=-=

)3(41

)(45a x a Pa Px a x P Px M ≤<+=--=

DB 段：)43(4

7a x a P Q <<-=

)43()4(47

a x a x a P M ≤<-=

作出剪力图和弯矩图，见图（f ），从图中可知： P Q 4

7

max =

，a P M ?=

4

7

max

（g ）求支座A 的约束反力，由静力平衡方程得： 2

2

1,ql M ql

R A A =

= （顺时针） 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： )0()(l x x l q qx R Q A <<-=-=

)0(2

123212122222

l x qx ql qx ql ql M ≤≤-=-+

=

作出剪力图和弯矩图，见图（g ），从图中可知： ql Q =max ，2

max

2

3ql M

=

（h ）求支座A 、B 的约束反力，由静力平衡方程得： 0)2(2122=+?-

?Pa a q a R A ， 2

qa

R A =

qa qa qa a q R B 2

5212=-

+?= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AB 段：)20(2

a x qx qa

Q <<-=

)20(2

1212a x qx qax M ≤≤-=

BC 段：)32(a x a qa P Q <<==

)32()

3()3(a x a a x qa x a P M ≤<-=--=

作出剪力图和弯矩图，见图（h ），从图中可知： qa Q 2

3max = max

M

则可能出现在a x 2

1

=或a x 2=处： 22

181|

qa M a x ==， 22|qa M a x -== 故 2max

qa M

=

（i ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：

0221212

2=??

?

??+-l q ql l R A ， ql R A 83=

ql ql l l q R B 89

83)2(=-+

= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AB 段： )0(8

3

l x qx ql Q <<-=

)0(2

1832l x qx qlx M ≤≤-=

BC 段：)2

3()2

3

()2(l x l x l q x l l q Q <<-=-+= )2

3

()2

3

(212l x l x l q M ≤

<--

= 作出剪力图和弯矩图，见图（i ），从图中可知：

ql Q 8

max = l x l x M ql l q l ql M ==<=?-?=|1289)83(218383|

228

3 2

max

8

1|ql M M

l x =

==

（j ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：

0)(2)2(=??-+?-+?a a q a a aq a a R A ， qa R A 3

5=

qa R qa a q R A B 3

42=

-+?= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)20(3

5

a x qx qa qx R Q A <<-=-= )20(2

1352a x qx qax M ≤≤-=

BC 段：)32(3

4

a x a qa R Q B <<-=-= )32()3(3

4

a x a x a qa M ≤<-=

作出剪力图和弯矩图，见图（j ），从图中可知：

qa Q 3

max = 223

5max

1825)35(21)35(35|

qa a q a qa M M

a x =?-?=== （k ）求A 、B 反约束力，由静力平衡方程得：

0)22(22

1

24.542=+??-?+?A R ，kN R A 3.1=

kN R B 3.14.53.1)22(2=--+?=

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下（以下所求Q 的单位均为kN ，M 单位为m kN ?）

AC 段：)20(23.1m x x qx R Q A <<-=-=

)20(3.12

122

m x x x qx x R M A ≤≤-=-

?=

BC 段：)42(27.67.64.5m x m x

qx qx R Q A <<-=-=-+=

)2(4.52

12

-?+-

?=x qx x R M A )42(8.107.62

12

m x m x qx ≤<-+-

=

作出剪力图和弯矩图，见图（k ），从图中可知：

7.2max =Q ， m kN M M m x ?===4.1|2max

（l ）由A 、B 支座具有完全对称性知，约束反力为：

kN R A 3)141(2

1

=++=

kN R B 3=

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下（以下所求Q 的单位均为kN ，M 单位为m kN ?）

CA 段：)10(1

m x Q <<-=

)10(1m x x

x M ≤≤-=?-=

AE 段：)21(2

13m x Q <<=-=

)21(3

21)1(3m x x x x M ≤<-=?--?=

EB 段：)32(2

)341(m x Q <<-=-+-=

)32(52)]1(3)2(41[m x x x x x M ≤<+-=---+?-=

BD 段：)43(1

m x Q <<=

)43(4

)4(1m x x x M ≤<-=-?-=

作出剪力图和弯矩图，见图（l ），从图中可知：

kN Q 2max =， m kN M ?=1max

（m ）求支座C 、B 处的约束反力，对C 点取矩，由静力平衡得： 02)2(2

1

22

=?-?+a R a q qa B qa qa qa R qa R C B 2

12322

3=-

==

取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)0(0a x Q <<=

)0(2

a x qa M ≤<=

CB 段：)3(2

3

)(21a x a qa qx a x q qa Q <<+-=--=

22)(2

1

)(a x q a x R qa M C ---?+=

22

)(2

1

)(21a x q a x qa qa ---+= )3(2

3212a x a qax qx ≤<+-

=

作出剪力图和弯矩图，见图（m ），从图中可知：

qa Q 2

3max = 2max

89qa M

=

（a x 2

3

=处）

（n ）由对称性求得支座A 、B 处的约束反力为：

kN R R B A 5)25(2

1

=??=

= 取距原点x 的任意截面，求得剪力方程和弯矩方程如下： AC 段：)20(5m x Q <<= )20(5m x x

M ≤≤?=

CD 段：)42(515)2(55m x x x Q <<-=-?-=

)42(10152

5

)2(521522m x x x x x M ≤<-+-=-??-=

DB 段：)64(5

m x Q <<-=

)64(530)6(5m x x

x M ≤<-=-?=

作出剪力图和弯矩图，见图（n ），从图中可知：

kN Q 5max = m kN M M

x ?===5.12|3max