2010年导学班高数讲义(前三章)
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?>≤=-+><<=+-=-=-??x f f x f f x x x f b f a f b a x f x f x f x f x x x f T x f x f x f x f x f 解则设年数一，二）（例典型例题存在，则有界与上连续，且在开区间有界；二是闭区间上连续函数一定方法有两个：一是利用别的有界性的单调增加（减少）；判则时当性：
周期奇偶性：单调性，用其定义判别奇偶性，周期性，点是“对应”函数是一个映射，其要内容与方法提要和选择题考察。有界性。一般以填空题期性，
即奇偶性，单调性，周查：函数的四个性质，按照大纲要求，主要考考点解析函数表达式及四个性质
考点理），并会用这些性质性，最值定理，介值定性质（有界解闭区间上连续函数的初等函数的连续性，理、了解连续函数性质和会判断间断点类型（左连续与右连续），、理解函数连续性概念穷小求极限比较方法，会用等价无的概念，掌握无穷小的、理解无穷小，无穷大限求极限的方法法则，利用两个重要极、掌握极限存在的两个则运算法则、掌握极限的性质及四限之间关系与左、右极念，以及函数极限存在解函数左、右极限的概、理解极限的概念，理初等函数的概念的性质及其图形，了解、掌握基本的初等函数数及隐函数的概念函数的概念，了解反函、理解复合函数及分段性单调性，周期性和奇偶、了解函数的有界性，关系式立简单应用问题的函数握函数的表示法，会建、理解函数的概念，掌考试要求
连续性
极限函数第一章
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t f t f t D dt t f t f t C dt t f B dt
t f A x f x f x F du u f x f x F du u f u d u f u t dt t f x F x F x f dt t f x F u f x f y f x f y f x u u f x f x f x f x e x e x f x e x e x f x x x
x x x x
x x x
x
x
x x x 选均存在
与解在哪个区间上有界例选，故为奇
为偶，为奇函数，则解内在则内在设例是奇（偶）函数是偶（奇）函数，
为奇（偶）函数，则当：若当利用可导函数的奇偶性）（）（）（）（偶函数的为
连续，则下列函数必为设例为偶函数当为奇函数
当证明
是偶（奇）函数，则是连续的奇（偶）函数的奇偶性，若有关积分上限函数奇偶性有相同的与外层函数的奇偶性相同，则与为偶函数；当数合函的奇偶性不同时，其复与当：设利用复合函数的奇偶性为奇函数利用定义法解：
讨论下例函数的奇偶性例-+-→-→--------=
-∞∈<''>''''>''>'<''>'>''<'<''<'-∞>''>'+∞--='''?-+--?????-=-==--=-=-=?====?-=???≤->-=-???<-≥-=???
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21
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00030
0000=-+
=+=+=+=∴=+-=+-+=++++=++∞
∞
∞?∞∞-∞?-+→+++++---?==?=?''''=∞
∞
?→=?=?+=?
+=???∞→∞→∞→∞→→→→→∞--→→→→→→→?→??∞→?→?→+-n x n x x x x x x x x x x n n n n a x x x x x x x x x x x x x x x x n
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x e x x x x x x
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x x x x x e x x x x x x a x a x a x a x a
x x x a x a x e x x x x x x x x A
x f x f A x f x x g x f x g x f x g x f x x x x g x x f x x x g x f e x （原式求极限例（原式（求极限例原式（而原式（求极限例典型例题（见例题）型用洛比达法则或”五种形式，可化为，，，”，对“可以略去高阶无穷小，但在极限加减运算中极限的加减运算中使用穷小代换，不能在乘除运算中使用等价无，注意：只能在极限的利用等价无穷小代换时为实数）（）常用的等价无穷小：（内存在在与）或（洛比达法则其中等价无穷小代换：重要极限：内容与方法提要出现以填空和解答题等常用方法。考试中常，变量替换，提取因子法则，等价无穷小代换理化，洛比达
利用两个重要极限，有—的几种方法主要考查：求函数极限考点解析求未定型函数极限
考点πμμβαβαμ
.
1sin cos 1lim sin sin 1lim ]
[.
sin cos sin 1lim
9.
41
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8.
23
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cos 2cos 1lim
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,1arctan 2
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410
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++==≠???????>+-<--=→→→→→∞
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x x x x x x x
x x x x x e x x x x x x x x x
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x
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f a x f x f a x x e x e e a x f x x x x x x x x x x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x ax x
x 原式解求极限例原式解求极限例（有理化）原式解求极限例解求极限例原式解求极限例解求设例π
π
π
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→+∞
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x g x f A x g x f t
t t x x
x
x x x
x x n x
n t t t t t x x x x x e x x x
e x x
x x x x x
x x x x x x x x x x x
x x n n n t x x n n n t t x x x x x x x （或且常利用结论：设确定函数中的参数内容方法提要出现法则，多以选择题形式洛比达
考查极限的运算法则及定函数中的参数，主要已知某函数极限值，确考点分析求另一函数极限已知极限，确定参数或考点原式解求极限例原式原式解求极限求极限例令原式解求极限例原式解（求极限数三、四）例（原式解求极限例
[]
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内容方法提要准则。别数列极限存在的两个数列极限的方法，及判数列极限主要考点：求考点解析数列极限
考点则设例答案的值，求设例）
（答案）（）（）（）（，则
其中设例）
（答案）（）（）（）（则
已知例典型例题极限之间的关系，找出所求极限与已知方法二：利用恒等变形可将其代入所求极限中即，
其中量与无穷小的关系方法一：利用极限的变用两种方法：
相关函数极限，主要采已知函数极限，求另一程，从而解出参数。
参数满足的多个方达法则的条件），得到比达法则（要验证洛比如果有多个参数，用洛（或则4.
36)
(6lim ,0)(sin lim
4.
2
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22
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→-→∞→∏
→→→x x f x x xf bx b a b a b x x ax D c a D c a C d a B d b A b a e d x c x b x a C b a D b a C b a B b a A b ax x x x x x A x f A x f x f x g x x x x x x x x x x x αα
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2
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(12.31
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3(lim lim )2()1(.3.)(2.100022
112
230x g o x f x g o x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f C x g x f A A A A A
x x x x x x x x x x x x x x a a x x x a t t t t x x x n
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y x y z x x x x f x x x x x x n n n
n n n n n n n n n n n
n
n
n n x x n n n n n n n n n
n n n n 是高价无穷小，记是比则若是等价无穷小，记与则若是同阶无穷小与则若内容方法提要中，是必考点之一他综合题
为主，有时也渗透到其比较定义，考试以小题主要考查无穷小量阶的考点解析无穷小量阶的比较
考点解出，）（由故可令解极限存在，并求此极限证明设年数二）（例解求设例原式解年数四）求（例典型例题常利用数学归纳法有界时，界的数列，证明单调与增（减）且有上（下）单调有界准则：单调递夹逼准则：设放大与缩小限，关键是对数列进行利用夹逼准则求数列极比达法则求之，即变量连续化，用洛换为中将数列接用在求数列极限中洛比达法则外）均可直求函数极限的方法（除==≠=?=
-==≥+<<-=<
???
≥<≤<≤=≥++==-==?==≤≤≤???→→→∞→+∞
→∞→→+∞→∞→∞
→∞
→∞
→+
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1,2.0201][.0)()2()(0)0(,0)0(0)(024.
6
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4sin 1)1(0032.
2,412)
2(3,tan lim lim )1(]
[.)1(sin sin )1ln(cos 1(,0)2(011.
~~~);(~32)
0)(0)(.()()(,0)]([)
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0024
1
20tan 02tan 00
2
0点连续在称若内容方法提要数的连续性，判别函
及连续函数的运算法则定义，连续的充要条件主要考查：会用连续性考点解析判别函数的连续性
考点知由已知可得解的值，高阶无穷小，试确定时是比在，若续导数，且的某邻域内具有一阶连在年数一）设（例答案值求是等价无穷小，与时当年数一、二、三）（例是等价无穷小，则与时，年数二）若（例得可得解小，求的高阶无穷是比高阶的无穷小，而是比时设是同阶无穷小，求与时）设（例典型例题，则，若仍是无穷小；
小；有限个无穷小之和个无穷小之积仍是无穷无穷小量的性质：有限小代替等求极限方法有时也利用到等价无穷上就是一个极限问题，无穷小量的比较，本质或，，其中阶无穷小的是则若x x f x f x f b a b a b a b a h h o f h bf h af f f x x f b a b a bx x x g ax x x f x a x x ax x n n n x x
x x e e n e x x x x x x x n
x e e x o x x x x g x f k x g x f c x g x f x x n x n x x x x n n n x x k
x x =?-==?
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200000000000
即可补充定义解上连续在使试补充定义设年数三）（例）不一定（）不一定；（）不一定；（）一定有断点；（答案函数是否必有间断点？下列有间断点为连续函数，且内有定义，在和设例典型例题但存在有定义在不存在有定义，但在没有定义在间断在下列情形之一，称区间上连续一切初等函数在其定义单调性上的连续，且有相同的在对应区间数上单调且连续，则反函在区间反函数的连续性：设连续处在连续，则在处连续在复合函数的连续性：设连续函数，商（分母不为零）是连续函数的和，差，积左连续又右连续在处连续在π
π
πππ???=
=∈--+=≠+∞-∞≠??∈====?====??=??-
→→→→f x f x f f x x x x x f x g f x f g x f g x f x g x g x f x f x g x f x f x f x f x x f x f x x f x x f x x f I x x f y y I y x I x f y x x x f y u u f y x x u x x x f x x f x x x x x x x x y x
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11
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)()(lim )(lim )(1.
73
2
22
202200000
无穷多个的可去间断点的个数为
函数年数二，三）例是第一类间断点
是第一类间断点解的连续性讨论例是第一类间断点是第二类间断点知由解间断点，并指出其类型求导数例）
（答案）可导，且导数连续（可导，但导数不连续）连续但不可导（不连续处则在点设例典型例题种常考的题型断点类型确定参数是一根据函数的连续性或间分界点处情形型，分段函数主要考查出极限再讨论间断点类以极限形式给出，先求若断点的第二类间
点为称至少有一个不存在，则与的间断点，是若的第一类间断点点为都存在，则称与的间断点，且是若内容与方法提要出，是一个重要考点数形式给
以极限形方式或分段函断点的类型，包括函数主要考查：判别函数间考点解析讨论函数间断点
考点D C B A x
x x x f x x x x x x x f x x x x x f x x f x f x x f x x e x f A D C B A x f x x x x x x f x f x f x x f x f x f x x f x x f x f x f x n n n n n x x x x x
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处连续在为何值时，问设年数二）（例
.
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，（由零点定理，存在异号与已知由若或取由若上连续在则令证。使证明存在上连续，在设例，使由介值定理，存在由已知解，使
上至少存在一点，证明在上连续，且在设例=+∈+≠+-=+====+--+=++-=+-+-=-+=∈=++=∈≤++≤>>+=+<< a a x b a f a F b a f a f a F b a x a x b f a f b a f a f b f b a f b a F b a f a f a F b a a x F a b x f x f x F a b x f x f b a x b f a f b a x f q p d qf c pf f b a M q p d qf c pf m q p f q p d f q c pf b a b d c a b a x f ξξξξ [][][] [] . 1 ) 1()2(lim ,)(1 . .)(4) 0)(().() (1 )(), )(()())(,(),(3. )()()()()()(2. )()()() ()(lim )()(lim )(1. 1.10.9. 8.76.5.4.3.2.11 sin 0000000000000000000 000000ππ= ---=?≠'-'=--'=-==?'''''?='='?='--=?-?+='?→+-→→?x f x f e x f x x f x f x x x f x f y x x x f x f y x f x x x x f y x U x f x f x U x f x f A x f x f A x f x x x f x f x x f x x f x f n x x x x x 则设例典型例题导数点处例如，分段函数在分界道时，一般用定义求导处是否可导，事先不知在点当函数法线为的切线方程为点可导，则过在设曲线内存在在存在可得出内存在，但在存在不能得出导数的定义：内容与方法提要导是主要考查内容分段函数的求绝对值函数的可导性，可导的充要条件以及含正确理解导数的概念，考点解析导数的定义 考点率半径的概念，会求曲率和曲、了解曲率和曲率半径未定式极限的方法、掌握用洛比达法则求会描述函数的图形铅直和斜渐近线，图形的拐点以及水平，形的凹凸性，会求函数、会用导数判断函数图法及其简单应用数最大值和最小值的求的方法，掌握函的单调性和求函数极值，掌握用导数判断函数、理解函数的极值概念柯西中值定理。泰勒公式，了解并会用，拉格朗日中值定理和、理解并会用罗尔定理反函数的导数方程所确定的函数以及、会求隐函数和由参数、二阶导数、会求分段函数的一阶阶导数，会求简单函数的、了解高阶导数的概念变性，会求函数的微分则和一阶微分形式的不了解微分的四则运算法数的导数公式，法则，掌握基本初等函法则和复合函数的求导、掌握导数的四则运算续性之间的关系理解函数的可导性与连了解导数的物理意义，线和法线方程，义，会求平面曲线的切念，理解导数的几何意、理解导数和微分的概考试要求 一元函数微分学 第二章 [][][] 分界点 一点可导；分段函数在在道；只知道处是否可导，事先不知在点义式求导 下列情形均利用导数定内容与方法提要要条件用导数定义及可导的充试经常出现的，主要利利用导数定义求导是考考点解析利用导数定义求导 考点答案处导数存在，则在设例000000 )()(2.)()()(1.2) 1(9][. ______) tan 31(2)sin 1()1(lim 1)(2x x f x x f A x f x f A x f f x x f x f x f x x f x ?='='?='?'=--+++=+-→ [] [][][] . 0)()()()()()(1..)()(3][.. . ),()(,1lim )(05(4. 2 1 ,80,4)0()2() 4)(2()(,021][.0)(,2)02[)(1.),2()(),4()(]20[),()(04(30 )() () ()(lim )(][). ()()0)(20 ))(()(sin lim )(][). ()(),()sin()(1).()(00003202 2 02=?===?+∞-∞+=-=='-='++=<≤-=-+=-=+∞-∞=''-=?-?+='''≠===?+????=''=-='∞ →-+→?→?x f x x g x f x F x x g y x x f y x f x f C D C B A x f x x f k k f f x x kx x f x x x f k x f k x kf x f x x x x f x x f a f a f x a f x a f a f a f a f a a x x f y x a x x x a F a F a a x x x a x x F x f x f n n n x x 的充要条件是处可导在处连续但不可导，则在处可导，在设内容与方法提要考试多以选择题出现数的极限值等可导性的关系；可导函性与可导 数的乘积的可导性；是指：可导与不可导函可导性的几个常用结论考点解析结论有关可导性的几个常用考点） （答案）至少有三个不可导点 （）恰有一个不可导点（）恰有一个不可导点（）处处可导（内 在则数一）设例故）（时）当（解处可导在为何值时）问上表达式；（，在）写出（为常数其中满足若对任意的上，内有定义，在在数二）设例解存在，求对称，且（关于直线设例解的某邻域内有界，求处有定义且在在其中设例典型例题具体表达式未给出，求处导数；函数??? [] ） （答案且且且且处不可导的充分条件是在处可导，则在设年数三、四）（例） （答案既非充分又非必要条件 必要但非充分条件充分但非必要条件充分必要条件 处可导的在是则可导，设例典型例题存在，且，则内可导，且上连续，在在设阶不可导但阶可导在为正整数时）一般当（导处一阶可导但二阶不可在时）当（处不可导在时）当（设处可导，且在时，时，且当处不可导在时，时，但当处可导在时，当处可导，则 在设B a f a f D a f a f C a f a f B a f a f A a x x f a x x f A D C B A x x F f x x f x F x f A x f x f x f A x f x x x x x f k k x x x x x f k x x x x x x f k x x x x f k x x x x x f y x x f y x f x f x x f y x f x f x x f y x f x x f x x x x k k x x ][0 )(0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)(0)()() ()()(002][)()()()() ( 0)(0)0(],)1ln(1)[()()(1. )(lim )() ()(lim ),()0](,[)(4. 1,)()(,3.)()(,12. )()(,01)()(3. 0)(0)(0)()3(.)(0)(0)()2(. )(0)()1()(20 00 00000000000000 0000000000<'<>'>≠'=='=====+-=='=' '='+>+?+--=--==-==--=?='=='≠=≠'==≠?++→++→=δδδ [][][] [] x y y y y dy x d y dy dx x y y dy dx x y dy x d y x x y x y y y x x e y x dx d d dy y e e y f x y f y f dx y d y f x dx dy dx y d f f e xe x f y dy dx dy dx dx dy y x x f y t x t y dx dt dt dy dx dy t y y t y y t x x dx dy x y x F dx du du dy dx dy x f y x u u f y y y f sin )(,1] [. )(0))(sin ()(),0()()(3. 1][. _____)2 ,2 )](1[) ()](1[)) (1(1] [. 1)(1) 0(.1)()(4. )() (),()()(3.0),(2.)]([)(),(1. 432232 22 22222) (=-'''' '-='-===++=≠'===+-=?='=='-''-'--='-= ≠'==≠===?''=?==? ??==?=??====?代入化简得 解满足的微分方程变换为所满足的微分方程 将的反函数，是设例切线为：解程是处的切线的直角坐标方（），在点（对数螺线例解，求有二阶导数，且确定，其中由方程设例典型例题，则的反函数设则确定参数方程即可求导，解得两边对函数求导法，在隐函数求导是利用复合的导数为 均可导，则复合函数设复合函数的链式法则：内容与方法提要掌握纲要求熟练 数求导是基本计算，大数方程确定函数，反函复合函数，隐函数，参考点解析导数计算 考点π π θ θ θπ θρρ??? [][][] [] [][][] ), ,(),()2],[)1()(1. 6. ,lim ,)2(0)(,0,)(lim . 0)1(,0)0(),1ln(2)(1][. lim ),2,1(),1ln(2),1ln(202. ),0()1ln(213. )1)(()()2(. ,0)()1,0(),1()0(,1 ) ()(1][. ). ()()(100)0(10]10[)()2(). ()()1(10)0(2)1(10]10[)()1(2. 02 00 )2 ()0(,sin )()(] [. 0)(tan )()20(0)2(]20[)(12. 0)(),()()()3(,),()2(],[)1()(1. 50221010b a b a b a x f A A x x x x x f x x f f f x x x f x n x x x x x x x x x f x F F F F x x f x F N k f kf f f x f f f f f x f F F F x x f x F f f f x f f b a b f a f b a b a x f n n n n x n n n n k ∈?==<<>>+∞=<=+-===+=+=>+∞=+-=='∈=+= ∈'=+'?∈=='+∈=='∈===='+∈=='∈=?∞ →+∞ →∞ →-+ξξξξξξξξξξξξξξξξξξπ ξπ ξξξπ ξππξξ内可导，则至少存在在上连续（在满足拉格朗日中值定理：设内容与方法提要，是考试中的难点之一数解决函数问题的桥梁导数的关系，是利用导数增量与 一个定理，它建立了函分中值定理中最重要的拉格朗日中值定理是微考点解析用 拉格朗日中值定理的应考点且故单增且，可证得当，由零点定理得证 ，使存在由令）（证求证，令）任取（内有惟一实根在）证明方程（例，应用罗尔定理即可令得证使由罗尔定理，存在）令（证），使 ，（，证明至少存在）内可导，，上连续，在（，在设使），，（，证明至少存在）内可导，且，上连续，在（，在设例，得证）（），使，（由罗尔定理，存在令辅助函数 证，使，，证明至少存在一点上可导，且，在设例典型例题（见例题） 用积分去求辅助函数。；二是原函数法，即利出发，去寻找辅助函数法，即由所证结论方法有两个：一是分析是设辅助函数，其主要、应用罗尔定理的关键，使则至少存在内可导在上连续，在满足罗尔定理：设内容与方法提要是辅助函数大题出现，解题的关键试中常用 是高数中一个难点。考尔定理，微分中值定理大纲要求理解并会用罗考点解析罗尔定理应用 考点 [] [][][]) ,(,) () ()()()()(,0)(),2),[)(),()1(:)(),(.7. ]1[]0[)()2(,1)1(,0)0(,1)()(1][.1)()()1,0)2(1)()1,0)1(,1)1(0)0()1,0(]1,0[)(0540,1)1ln(1. ],0[),1ln()(1][.)1ln(1,03. ],[)(. ],[],1)([)(][. 1)()([),,1)()(),(],[)(2],[)(][) )](()([)()(,),(),(],[)(1..2)10(),)](([)()(). () ()(b a G F a G b G a F b F x G b a b a x G x F x G x F Lagrange x f g g x x f x g f f f f f x f x x x x x x Lagrange x x x f x x x x x Lagrange b a e x f e Rolle b a x f e x F f f e b a b f a f b a b a x f LagrangeTH b a x xf a b f f a af b bf b a b a b a x f a b a b a f a f b f f a b a f b f x x x ∈''=--≠'><-+=='?'∈-=∈==<<<+<+<++=<+<+>≠-==='+∈==-'+=-?<<--+'=-'=---ξξξξξζηζηξξξξξηξηξηηηξξξξξθθξξη则可导，且 ）在（上连续，（在满足柯西中值定理：设内容与方法提要的综合应用是难点理 定理或拉格朗日中值定在考试中出现，与罗尔柯西中值定理应用较少考点解析柯西中值定理应用 考点定理即可应用，，，在由零点定理得证 令）（证，使（与存在两个不同的点，使（存在证明 ，内可导，且上连续，在在已知年数一）（例定理上应用在）令（证证明不等式： 若例定理应用在与对当定理应用在令当证使 （，，证明存在内可导，且上连续，在在设例即可上应用在证使 内至少存在一点内可导，证明在上连续，在在设例典型例题（见例题）和原函数法尔定理相似，有分析法设辅助函数的方法与罗当的辅助函数的证明题，关键是设适有关拉格朗日中值定理或使 [] [][][] . )()! 1() ()(! )()(! 1)()()(1)()(. )(8. ],[)()2(0 )()(0)(1][.) (2)(),()2(0 )(),(1:, ) 2(lim ,0)(),(],[)(032],[1 )(] [)]()([)]()([),(,0),(],[)(101 0)1(00)(0000022 22之间与介于其中阶导数，则 内有在泰勒公式：设１内容与方法提要难度不大近年来多以小题出现，次多项式函数表示，可用阶导数的函数处展开，即有当点应用，其应用关键在适的等式和不等式中经常 中值个重要公式，在证明含泰勒公式是微积分中一考点解析泰勒公式的应用 考点即可上应用，在与得）由（证，使 内至少存在在内）在（证明存在若内可导，且连续，在在设年数二）（例可证 上应用在与证，使 证明存在内可导，上连续，在在设例典型例题x x x x n f x x n x f x x x f x f x f n x U x f n x f n x CauchyTh b a dt t f x a f x f x f f dx x f a b b a x f b a a x a x f x f b a b a x f CauchyTh b a x x xf f f a af b bf a b ab b a b a b a b a x f n n n n x a b a a x ξξξξξ ξξξξξξ++→-++-+ +-'+ =+?=>>'= ->-->''+=--∈< + 高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f 高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）. 物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程 (上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像 2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为 第一部分函数极限连续 历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = . 考研高数基础练习题及答案解析 一、选择题： 1、首先讨论间断点： 1°当分母2?e?0时，x? 2x 2 ，且limf??，此为无穷间断点； 2ln2x? ln2x?0? 2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。 x?0? 再讨论渐近线： 1°如上面所讨论的，limf??，则x? x? 2 ln2 2 为垂直渐近线； ln2 2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。 x??? x??? 当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。 2、f?|x4?x|sgn?|x| sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。 2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文： f???|??|，当xi?yj时 为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。 ?x ,x?0? 设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是 ? ,x?0?0 x?0 1 2 3 limf?f?0，故f在x?0处连续。 f’?lim x?0 f?f ?0，故f在x?0处一阶可导。 x?0 当x?0时，f’?? ? ?x12x’ ‘????223 ?ln?lnlnxsgnx ? 12 ，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim x?0 f’?f’ ??，故f在x?0处不二阶可导。 x?0 a b x?0 对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。 3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内 考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标 江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷 （江西师大附中使用）高三理科数学分析 一、整体解读 试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础 试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度 选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察 在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。 二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（ ） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1- 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。 二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小 历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。 第三章 中值定理与导数的应用 ?????? ? ? ?? ?? ?? ??????????? ?????????????? ??必要条件求解函数的性态，充分渐近线凹凸性，拐点单调性，极值，最值—求极限—洛必达法则—应用数，求极限证明，确定无穷小的阶泰勒中值定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理中值定理 第一节 微分中值定理 极值:设) f在0x的某一邻域) (x U内有定义，若 (0x 对一切) ) ( (0x f≤,则 f≥)) x f ( U (0x x ( x∈有) f (0x ) 称) (x f的极f在0x取得极小（大）值，称0x是) (x 小（大）值点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。 费马引理：设) f在0x (x f'存在， (0x x=取极值，又) 则0)(0='x f 。 在0x x =取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。 驻点：若0)(='a f ，则称a x =为)(x f 的驻点。 可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。 定理1（罗尔定理）： 条件： ①)(x f 在],[b a 上连续； ②在),(b a 可导； ③)()(b f a f = 结论： 一定存在),(b a ∈ξ， 使得0)(='ξf 。 几何意义：设AB 是 （1）定义在],[b a 上的光滑曲线)(x f y =； （2）若除端点外处处有不垂直于x 轴的切线； （3）两端点纵坐标相等 则在AB 上至少存在一点C ，其切线是水平的． 即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的．（如图所示） 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义 导论 一、管理类联考数学考试大纲 管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力. 综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试. 数学部分试题涉及的数学知识范围有： (一)算术 1．整数 (1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、 合数 2. 分数、小数、百分数 3．比与比例 4．数轴与绝对值 (二)代数 1．整式 (1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解 2．分式及其运算 3．函数 (1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数 4．代数方程 (1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组 5．不等式 (1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等 式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式. 6. 数列、等差数列、等比数列 (三)几何 1．平面图形 (1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形 2．空间几何体 (1)长方体(2)柱体(3)球体 3．平面解析几何 (1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的 距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理 (1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述 (1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率 (1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型 二、数学基础两种考查题型 数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分； 第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下： 1. 问题求解题型说明 联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案. 该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明： 【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是( ). (A)5x =-或1x = (B)5x =或1x =- (C)3x =或53x =- (D)3x =-或5 3x = (E) 不存在 【答案】C 2. 条件充分性判断题型说明 第六章 定积分的应用 ?? ??? ?? ??? ????????? ????????????? ???? 基本方法—微元法平面图形的面积与旋转体的体积一元几何应用—平面曲线的弧长，旋转体的侧面积函数平行截面面积已知的立体体积（数一数二）定积应用—分的变力做功、引力、侧压力、质心（形心）应用物理应用—函数平均值（数一数二） 简单的经济应用（数三） 第一节定积分的元素法 微元法:把一个所求量分解，近似，求和，取极限，最后表示成定积分的分析方法。 复习上一章第一节中的引例： 求由曲线() y f x =及直线x a =，x轴所 =，x b 围成的图形（曲边梯形）的面积A。 步骤：1、分割：1 n i i A A ==?∑ 2、取近似：1()()i i i i i i A f x x x ξξ-?≈??≤≤ 3、求和得：1()n i i i A f x ξ=≈??∑ 4、求极限：0 1 lim ()()n b i i a i A f x f x dx λξ→==??=∑? 取消这里的下标i ,同时[][,],i i i x x dx x x x +?+?； x ξ?；dA A ??。事实上，因为A A =?∑且 ()A f x dx dA ?≈=，所以()A f x dx ≈∑，即： lim ()()b b a a A f x dx f x dx dA ===∑?? 一般地，若所求量A 满足： 1）A 是一个与变量x 的变化区间[],a b 有关的量； 2）A 对于区间[],a b 具有可加性； 3）A 的部分量i A ?可近似地表示为()i i f x ξ??，其差 别是i x ?的高阶无穷小，则A 可用定积分 ()b a A f x dx =?计算. 考研数学基础班概率统计讲义 第一章随机事件与概率 一、随机试验与随机事件 （一）基本概念 1、随机试验—具备如下三个条件的试验： （1）相同条件下可重复。（2）试验的可能结果是多样的且是确定的。 （3）某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为E。 2、样本空间—随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。 3、随机事件—样本空间的子集称为随机事件。 （二）事件的运算 1、事件的积—事件A与事件B同时发生的事件，称为事件A,B的积，记为AB。 2、事件的和—事件A或者事件B发生,称为事件A,B的和事件，记为A+ B。 3、事件的差—事件A发生而事件B不发生,称事件A,B的差事件，记为A- B。 （三）事件的关系 1、包含—若事件A发生则事件B一定发生，称A包含于B，记为A? B。若 A? B且B? A，称两事件相等，记A= B。 2、互斥（不相容）事件—若A与B不能同时发生，即AB= φ ，称事件A,B不相容或互斥。 3、对立事件—若AB = φ 且A+ B = ∧ 称事件A,B为对立事件。 【注解】（1）A= (A- B)+ AB，且A- B与AB互斥。 （2）A+ B= (A- B)+ (B- A)+ AB，且A- B,B- A,AB两两互斥。 （四）事件运算的性质 1、（1）AB? A(或B)? A+ B；（2）AB= BA,A+ B= B+ A； 2、（1）A? A= A,A? A= A； （2）A? (B? C)= (A? B)? (A? C),A? (B? C)= (A? B)? (A? C)； 3、（1）A= (A- B)? A；（2）(A- B)? A= A- B； （3）A+ B= (A- B)? AB? (B- A)。 4、（1）A+ A= ∧ ；（2）A? A= φ 。 二、概率的定义与性质 （一）概率的定义—设随机试验的样本空间为∧ ，满足如下条件的随机事件的函数P(?)称为所对应事件的概率： 第一章 函数、极限、连续 §1.1 函数 一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1. 0 () (0)()2() ()a a a f x a f x dx f x dx f x ->?? =???? ?当为奇函数当为偶函数 口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1 51 [()ln(.x x I x x e e x dx --= +-+? 解 1()x x f x e e -=-是奇函数， ∵112()(),()ln(x x f x e e f x f x x --=-=-=+是奇 函数， ∵ 222()ln(ln f x x -=-+ = 2ln1ln(()x f x =-=- 因此()ln(x x x e e x --是奇函数。 于是1 1 6 61 2027 I x dx x dx -= +== ? ?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是 (A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。 解 (B)不成立，反例3 2 (),()13 x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+ (D)不成立，反例2 ()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内 (A)成立。 证明 0 ()(0)(),x F x F f t dt f =+ ? 为奇函数， 《高等数学辅导讲义》练习题解答 第五章 多元函数微分学 1.应选（B）.,)0,(x e x f =该函数在0=x 处不可导，则)0,0(x f ′不存在；,),0(2 y e y f =该函数在0=y 处不可导，则)0,0(y f ′存在； 2.应选（D）. 由b y x f a y x f y x =′=′),(,),(0000知，一元函数),(),,(00y x f y x f 分别在 00,y y x x ==处连续，则),,(),(lim 0000 y x f y x f x x =→).,(),(lim 0000 y x f y x f y y =→ 3.应选（B）. ,000lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f x x ,00 0lim )0,0(0=Δ?=′→Δx f y y 220 000)()(lim ])0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔΔ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ不存在， 则),(y x f 在点)0,0(处不可微，故应选（B）. 4.应选（D）. ,00)(1sin )(lim )0,0(220 =Δ?ΔΔ=′→Δx x x f x x ,00)(1sin )(lim )0,0(2 2 0=Δ?ΔΔ=′→Δy y y f y y 2 22 2220 0)()()()(1 sin ))()((lim ] )0,0()0,0([)]0,0(),([lim y x y x y x y f x f f y x f y x y x y x Δ+ΔΔ+ΔΔ+Δ=Δ′+Δ′??ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δρ ,0=则),(y x f 在点)0,0(处可微.当)0,0(),(≠y x 时， 2 222221 cos 21sin 2),(y x y x x y x x y x f x ++? += ,01sin 2lim 22) 0,0(),(=+→y x x y x 2222)0,0(),(1 cos 2lim y x y x x y x ++→不存在， 则 ),(lim ) 0,0(),(y x f x y x →不存在，即偏导数),(y x f x 在点)0,0(处不连续，故应选（D）. 5.应选（D）.由 0),(,0),(??y y x f x y x f 可知,),(y x f 关于变量x 是增函数,而关于变量y 是减函数,当 2121,y y x x ><时, ).,(),(),(112122y x f y x f y x f >> 高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ 接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则 把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名 区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称 闭区间a≤x≤b[a，b] 开区间a＜x＜b （a，b） 半开区间a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a， +∞)：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (- ∞，b)：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数 x 的全体称为点α 的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则总有确定的数 值与它对应，则称 y 是x 的函数。变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通常 x 叫做自变量，y 叫做因变量。 注：为了表明 y 是x 的函数，我们用记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这 种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的表示高等数学讲义(一)
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