习题二 一元函数积分学习题答案
大学微积分复习题
0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
一元函数微分学综合练习题
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用 一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态，一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分 ?dx x f )(和定积分? b a dx x f )(。化为函数 图像具体来说，不定积分是已知导数求原函数，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C 的导数也是f(x)（C 是任意常数）。所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积，可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间，所以本文主要研究定积分的各种应用。 积分的应用十分巧妙便捷，能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。 微元法建立积分表达式 在应用微积分于实际问题时，首先要建立积分表达式，一般情况下，只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述（以下的讨论都是建立在这两个条件下，因此不再提示此条件）。 而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤：（1）任意分割区间[]b a ,为若干子区间，任取一个子区间[]dx x x +,，求Q
在该区间上局部量的Q ?的近似值dx x f dQ )(=；（2）以dx x f )(为被积式，在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值 ??==b a b a dx x f dQ Q )(。（分割，近似，求和，取极限） 在实际应用中，通过在子区间],[dx x x +上以“匀”代“非匀”或者把子区间],[dx x x +近似看成一点，用乘法所求得的近似值就可以作为Q ?所需要的近似值，即为所寻求的积分微元dx x f dQ )(= 。 定积分在几何中的应用 在几何中，定积分主要应用于平面图形的面积、平面曲线的弧长、已知平行截面面积函数的立体体积、旋转体的侧面积。下面我们来分类讨论： 一、 平面图形的面积 求图形面积是定积分最基本的应用，因为定积分的几何意义就是在给定区间内函数曲线与x 轴所围成图形的面积。而求面积时会出现两种情况：直角坐标情形和极坐标情形。 1、直角坐标情形 在求简单曲边图形（能让函数图像与之重合）的面时只要建立合适的直角坐标系，再使用微元法建立积分表达式，运用微积分基本公式计算定积分，便可求出平面图形的面积。如设曲 y O
电子科技大学 一元函数积分学检测题(三)
1 2006级 微积分《一元函数积分学》检测题（三） 班级__________________ 学号______ 姓名_____________ 成绩________ (3,15) 1.()()arcsin _________________________________. 一、填空题每小题分共分设则f x f x xdx '==? 2._____________________________.= 4 1 3.____________________.-=? 740 4.sin 2__________________.xdx π =? ()2 05. sin ____________________.x d x t dt dx -=? ()()()()()()()()()()( )()()()()15sin 000 (3,15) sin 1.,1,0,. ;; ; 2.(),(),. ; ;; 二、选择题每小题分共分设则当时是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小. 设连续则下列结论中正确的是是和的函数是的函数是的函数是常数. x x t s t t x dt x t dt x x x t A B C D f x I t f tx dx A I s t B I s C I t D I αβαβ==+→=??? ( )( )()()()5 226 0023.. cos ;0;11111 (2)();()22下列运算正确的是. x A xdx B dx x C f x dx f x C D d C x x x π π +∞ -∞ ==+'=+=+????? 884 4444 444 tan 4.(),sin ln(,1(tan cos cos ),,,( ).() () () ()设则的大小关系是x x x M x dx N x x dx x P x e x e x dx M N P A M N P B N M P C P M N D M P N π π πππ π----??=+=++??+=+->>>>>>>>??? 2sin 5.()sin ,() ( ). () () () ()设则为正常数;为负常数;恒为零;不为常数. x t x F x e tdt F x A B C D π +=?
[考研类试卷]考研数学一(一元函数积分学)历年真题试卷汇编1.doc
[考研类试卷]考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (2011年试题，一)设则I，J，K的大小关系是( )． （A）I
（D）I213 4 (2008年试题，1)设函数则f'(x)的零点个数是( )．（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5 (1998年试题，二)设f(x)连续，则tf(x2一t2)dt=( )． （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 6 (1997年试题，二)设则F(x)( )． （A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数
7 (2010年试题，一)设m，n为正整数，则反常积分的收敛性( )． （A）仅与m有关 （B）仅于n有关 （C）与m，n都有关 （D）与m，n都无关 8 (2009年试题，3)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形如图1一3—3所示，则函数435的图形为( )．436 （A）
（B） （C） （D） 9 (2007年试题，一)如图1一3—4，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直 径为2的上、下半圆周，设则下列结沦正确的是( )。 （A）
一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
多元函数微积分练习题
练习题 一 多元函数微分学部分练习题 1 求函数y x y x z -+ += 11的定义域. 2已知xy y x xy y x f 5),(2 2 -+=-，求),(y x f . 3计算下列极限 （1） 22) 0,1(),() ln(lim y x e x y y x ++→ （2） 442 2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→ （3） 2 43lim ) 0,0(),(-+→xy xy y x （4） x y x xy 1) 1,0(),()1(lim +→ （5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),() (2sin lim y x y x y x ++→ 4 证明极限 y x y x y x +-→)0,0(),(lim 不存在. 5 指出函数2 2),(y x y x y x f -+= 的间断点. 6计算下列函数的偏导数 （1）)ln(2y x z = （2）x xy z )1(-= （3）),(2 y x f x z = （4）)(xy x z ?= （5）y xy y x z 234 4+-+= （6）)ln(22y x z += （7）)3cos(22y x e z y x += （8）y xy z )1(+= （9）2 221 z y x u ++= （10）? = 220 sin y x dt t z 7 计算下列函数的二阶偏导数 （1）2 43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z = （3）y e z xy sin = （4）),(2 y x f x z = （5）2 (,)z f xy x =
成人高考一元函数积分学整理.
一元函数积分学 【知识要点】 1、理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质。 2、熟练掌握不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分第一换元法,掌握第二换元法(仅限三角代换与简单的根式代换。 4、熟练掌握不定积分的分部积分法。 5、掌握简单有理函数不定积分的计算。 6、理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件 7、掌握定积分的基本性质 8、理解变上限积分是变上限的函数,掌握对变上限积分求导数的方法。 9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 11、 . 理解无穷区间的广义积分的概念,掌握其计算方法。 12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 1不定积分 定义函数 (x f 的全体原函数称为函数 (x f 的不定积分 , 记作?dx x f (, 并称?微积分号, 函数 (x f 为被积函数, dx x f (为被积表达式, x 为积分变量。因此 ? +=C x F dx x f ( (, 其中 (x F 是 (x f 的一个原函数, C 为任意常数(积分常数。基本积分公式(要求熟练记忆 (1 ?=C dx 0 (2 1(1
11 -≠++=+?a C x a dx x a a . (3 C x dx x +=? ln 1. (4 C a a dx a x x += ?ln 1 1, 0(≠>a a (5 C e dx e x x +=? (6 ?+-=C x xdx cos sin (7 ?+=C x xdx sin cos (8 C x x +=?tan cos 1 2 . (9 C x x +-=?cot sin 1
《高等数学》(上)一元函数微分学复习题
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
高数一元函数积分学习题及答案
第四章 不定积分 一、是非题： １．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112． 错 2. 连续函数的原函数一定存在． 对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错 二、填空题： １．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）． ３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数． ４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）． 三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F
(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ）
一元函数积分学部分综合练习及解答
一元函数积分学部分综合练习及解答 （一）单项选择题 1．下列函数中，（ ）是2cos x x 的原函数． A ．21sin x 2 B ．2 sin x 2 C ．-2 sin x 2 D ．-2 1 sin x 2 答案：A 2．下列等式不成立的是（ ）． A ．A ．x x x 1d d ln = B ．21d d 1x x x -= C ．x x x sin d d cos = D ．x x x 1d d 12= 答案：C 3. 设c x x x x f +=?ln d )(，则)(x f =（ ）． A ．x ln ln B ． x x ln C ．2ln 1x x - D ．x 2ln 答案：C 4. 若 c x x f x x +-=?11e d e )(，则 f (x ) =（ ）． A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x 答案：C 5．下列定积分中积分值为0的是（ ）． A ．x x x d 2e e 1 1?--- B ．x x x d 2e e 11?--+ C ．x x x d )cos (3?-+ππ D ．x x x d )sin (2?-+ππ 答案：A 6．?+∞1-d e 2x x x =（ ） ． A ．e B ． e 21 C ．e 21- D ．∞+ 答案：B （二）填空题 1．若c x x x f ++=?2)1(d )(，则=)(x f . 填写：)1(2+x
2．若c x F x x f +=?)(d )(，则x f x x )d e (e --?= . 填写：c F x +--)e ( 3．=-? -112d )2sin (x x x ． 填写：-4 4． x x d e 02?∞- ．． 填写：2 1 5. 微分方程2e +='-x y 的通解是 . 填写：c x y x ++-=-2e （三）计算题 ⒈ ?+x x x x x )d ln sin ( 解 ?+x x x x x )d ln sin (=?+4774)d(ln ln sin x x x c x x ++-=477 4ln cos 2．? +x x x d 1)ln ( 解 ?+x x x d 1)l n (=?+-+x x x x x d 1)(21ln 1)(2122 =c x x x x x +--+4 )ln 2(212 2 3．x x x d ) e 1(e 1 02?+ 解 x x x d ) e 1(e 1 02?+)e d(1)e 1(1102x x ++=? e 1121)e 1(11 0+-=+-=x
《高等数学》(上)一元函数积分学复习题(1)
《高等数学》（上）“一元函数积分学”复习题 1.求不定积分?dx x x 3cos sin . 2.求不定积分?+dx x x x 2)ln (ln 1. 3.求不定积分?-dx x x 2 2 1)(arcsin . 4..求不定积分?xdx 3sin . 5.求不定积分?+dx x 211 . 6.求不定积分?-dx x x 21. 7.求不定积分?-dx x x 92. 8.求不定积分?xdx x ln 2 9.求定积分? π20sin dx x . 10.求定积分?-+123)511(1dx x . 11.定积分?++4 01 22dx x x . 12.求定积分?--1145dx x x . 13.求定积分?+4 094dx e x . 14.求定积分?-121 221dx x x . 15.求定积分 ?21cos π xdx x . 16.求定积分?e xdx x 1ln . 17.若C e dx e x f x x +-=?--1 1 )(，则)(x f 等于多少？ 18.求?''dx x f x )(. 19.已知)(x f 的一个原函数为x 2ln ，求?'dx x f x )(. 20.设函数? =x x dt t f x F ln 1)()(，求)(x F '. 21.设函数? +=32411)(x x dt t x F ，求)(x F '. 22.计算极限x dt e x x x t x --?→002sin lim . 23.当k 为何值时，反常积分dx x x k ?+∞ 2) (ln 1收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？ 24.求由曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围成图形的面积. 25.求由曲线2,32x y x y =+=所围成图形的面积.
一元函数积分学综合练习题
一元函数积分学与微分方程综合练习题 一、选择题 1、函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的（ ）条件。 A 、充分； B 、必要； C 、充分必要； D 、无关 2、已知C xe dx x f x +=-?)(，则= A 、C xe x f x +=-)(， B 、x xe x f -=)(， C 、x e x x f --=)1()(， D 、x e x x f -+=)1()(。 3、广义积分1ln e dx x x +∞ ? ( ) A 、发散 B 、收敛 C 、 既不收敛也不发散 D 、不能确定。 4、设无关，则与上连续，且在t x b a t f y ],[)(=（ ） A 、 ??=b a b a dt t f t dt t tf )()(， B 、??=b a b a dt x f t dt t tf )()(， C 、 ??=b a b a dt t f x dt t xf )()(， D 、??=b a b a dt t f t dt t xf )()( 5、='?1 0)2(dx x f （ ） A 、)]0()2([21f f -， B 、)0()2(f f -， C 、)]0()1([2 1f f -，D 、)0()1(f f - 6、下列微分方程中为4阶线性微分方程的是（ ） A 、(4)2560y y x +-= B 、(4)6x y y e x ''-+= C 、 4sin cos y xy x x '''++= D 、(4)sin tan y y xy x += 二、填空题 1、微分方程02)(2=+-'t tx x 的阶数 。 2、若?=,sin )(xdx x f 则)0(f '= 。 3、设f (x )的一个原函数为cos x ，则?='dx x f x )( 。 4、?+21π x t dt dx d = 。 5、='?)arcsin (10xdx 。 6、)1(2 1'-?x t dt t e = 。
一元函数的积分学试题
一元函数的积分学 试题 1.求积分： (1) 2 (2) 1 (1) x x dx x e x ++? (0)x > 2.求2 3 ()()()() ()f x f x f x I dx f x f x ''?? =- ?''???. 3. 设()f x 连续单值单调，-1()f x 为其反函数，且()()f x dx F x C =+?, 求1()f x dx -?. 4.求1 =ln(()()) ()() x a x b I x a x b dx x a x b ++++++?. 5.设()f x 在[0,1]上连续，(0)3f =，且对,[0,1]x y ?∈，恒有 ()()f x f y x y -≤-，估计1 ()f x dx ?的值. 6.设0a b <<,证明在[,]a b 上存在一点ξ，使得2 2 2 3a ab b ξ++=. 7.试证：11 1 ln(1)123 x n +<+++ +. 8.求12 0ln(1) =1x I dx x ++?. 9.设20 cos (2) x dx A x π =+? ，求2 0sin cos =1x x I dx x π +?. 10.设1 ()sin()x t x f x e dt +=? ,试证()2x e f x ≤. 11.设()f x 在[,]ππ-上连续，2()= ()sin 1cos x f x f x xdx x ππ -++?,求()f x . 12.设(2) ()a x y a y f x e dy --=?，求0 =() a I f x dx ?. 13.求. 14.求1 1sin cos dx x x +-? . 15.设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=，求()x dx ??. 16.设()f x 为非负连续函数，当0x >时，有1 20 ()()cos f xt f x dt x =?， 求2()(1)() x xf x x f x dx x e '-+? . 17.求(11)x x dx --+?. 18.设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且()f x x =， [0,]x π∈,求3()f x dx π π ? . 19.设()f x 在[0,1]上连续，且1 ()f x dx A =?，求1 1 [()(1)()]x f t dt x f x dx +-??. 20.设()x ?为可微函数()y f x =的反函数，且(1)0f =，试证 1() 1 [()]2()f x t dt dx xf x dx ?=?? ?. 21.设(,)f u v 在区域{}(,)01,01D u v u v =≤≤≤≤上连续，求证： 220 (cos ,sin )(sin ,cos )f x x dx f x x dx π π=? ?,并计算2 1 1tan dx x πα +?()α为常数. 22.设2 ()sin x x f x t dt π+ =? ,求证：(1)试证：()f x 的周期为π;(2)求()f x 的值域. 23.求曲线231y x =--与x 轴所围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得旋转体的体积. 24.设一抛物线过x 轴上的点(1,0)A ，3,0B （）, (1)试证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于x 轴与该抛物线所围图形的面积; (2)求上述两平面图形绕x 轴旋转一周所产生的两个旋转体的体积之比. 25.求sin cos =cos sin x x I dx a x b x ++? (0)ab ≠. 26.求(1) lim 1 nx nx n x e dx e →∞-+?. 27.设1 sin n n I dx x =? (2)n ≥,试建立递推公式. 28.2220 2x x e dx e -≤≤?. 29.求1 sin n n n I x xdx π =-??. 30.求2 2+2 lim n x n n x dx e →∞? . 31.设1 sin n n x dx α=?，1 (sin )n n x dx β=?，试证：(1) 0n n αβ≥≥; ·····················阅····················卷·····················密·····················封·····················线·····················系别：_____________ ____________ 专_________________姓名：学号：····················装···················订····················密····················封····················线· ··················
一元函数积分学综合练习题
一元函数积分学与微分方程综合练习题 一、选择题 1、函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上可积的（ ）条件。 A 、充分； B 、必要； C 、充分必要； D 、无关 2、已知C xe dx x f x +=-?)(，则= A 、C xe x f x +=-)(，B 、x xe x f -=)(，C 、x e x x f --=)1()(，D 、x e x x f -+=)1()(。 3、广义积分1ln e dx x x +∞ ? ( ) A 、发散 B 、收敛 C 、 既不收敛也不发散 D 、不能确定。 4、设无关，则与上连续，且在t x b a t f y ],[)(=（ ） A 、 ??=b a b a dt t f t dt t tf )()(， B 、??=b a b a dt x f t dt t tf )()(， C 、 ??=b a b a dt t f x dt t xf )()(， D 、??=b a b a dt t f t dt t xf )()( 5、='?1 0)2(dx x f （ ） A 、)]0()2([21f f -， B 、)0()2(f f -， C 、)]0()1([2 1f f -，D 、)0()1(f f - 6、下列微分方程中为4阶线性微分方程的是（ ） A 、(4)2560y y x +-= B 、(4)6x y y e x ''-+= C 、 4sin cos y xy x x '''++= D 、(4)sin tan y y xy x += 二、填空题 1、微分方程02)(2=+-'t tx x 的阶数 。 2、若?=,sin )(xdx x f 则)0(f '= 。 3、设f (x )的一个原函数为cos x ，则?='dx x f x )( 。 4、?+21π x t dt dx d = 。 5、='?)arcsin (1 0xdx 。
一元函数积分知识点完整版
一元函数积分相关问题 前言： 考虑到学习的效率问题，我在本文献中常常会让一个知识点在分隔比较远的地方出现两次。这种方法可以让你在第二次遇到同样的知识点时顺便复习下这个知识点，同时第二次出现这个知识点时问题会稍微升华点，不做无用的重复。 一．考查原函数与不定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握原函数与不定积分的定义、原函数与不定积分的关系，知道求不定积分与求微分是互逆的关系，理解不定积分的线性性质。 问题1： 若)(x f 的导函数是x sin ，则所有可能成为)(x f 的原函数的函数是_______。 二．考查定积分的概念和基本性质 讲解：需要掌握定积分的定义与几何意义，了解可积的充分条件和必要条件，掌握定积分的基本性质。 定积分的基本性质有如下七点： 1、线性性质 2、对区间的可加性 3、改变有限个点的函数值不会改变定积分的可积性与积分值 4、比较定理（及其三个推论） 5、积分中值定理 6、连续非负函数的积分性质 7、设)(x f 在],[b a 上连续，若在],[b a 的任意子区间],[d c 上总是有 ? =d c dx x f 0)(，则当 ],[b a x ∈时，0)(≡x f 问题2： 设? = 2 )sin(sin π dx x M ，?=20 )cos(cos π dx x N ，则有（） （A ）N M <<1 （B ）1< 分的关系，了解初等函数在定义域内一定存在原函数但不一定能积出来，需要重点掌握牛顿—莱布尼兹公式及其推广。 其中变限积分的求导方法为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?和)(x ψ在],[βα上可导，当],[βα∈x 时， b x x a ≤≤)(),(ψ?，则? =) () ()(x x dt t f y ?ψ在],[βα上可以对x 求导，且 )('))(()('))((x x f x x f dx dy ψψ??-= 牛顿—莱布尼兹定理为： 设)(x f 在],[b a 上连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则 )()()(a F b F dx x f b a -=? 问题3： 已知 ? +=) 1ln(2)(x x t dt e t x f ，求)('x f )0(≥x 四．考查奇偶函数和周期函数的积分性质 讲解：需要掌握对称区间上奇偶函数的定积分性质、周期函数的积分性质，学会用性质化简积分。 问题4： 设)(x f 在]1,0[上连续， A dx x f =? 2 )cos (π ，则==?π 20)cos (dx x f I _______。 五．利用定积分的定义求某些数列极限 讲解：需要掌握把某些和项数列和积项数列求极限的问题转化为求解定积分的方法。关键是确定被积函数、积分区间及区间的分点。 常见的情形有： ∑? =∞ →--+ =n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1))((lim )( ∑ ? =∞ →---+=n i n b a n a b n a b i a f dx x f 1 )))(1((lim )( 问题5： 求∑ =∞ →+= n i n i n n i n w 1 2tan lim 六．考察基本积分表 讲解：需要掌握基本初等函数的积分公式。 七．考察分项积分方法