29《小学奥数六年级竞赛必考章节精讲共36讲·小升初必备》-第29讲数论综合4

第29讲数论综合4

内容概述

主要是“小升初”综合素质测试中较难的数论问题．

1．任意选取9个连续的正整数，即它们的乘积为P，最小公倍数为Q．我们知道，P除以Q 所得到的商必定是自然数，那么这个商的最大可能值是多少?

【分析与解】将9个连续的正整数作因式分解，如果某个质数是其中至少两个分解式的因子，那么次数最高的那个方幂会包含在最小公倍数Q中，而其他方幂的乘积则出现在P 除以Q的商中．显然这样的质数必定小于9，只可能是2，3，5或7．

记P÷Q=R，则R的质因数必定取自2，3，5，7．

两个不同的7的倍数至少相差7，因此在9个连续正整数中，最多有两个数含有质因数7．当有两个数是7的倍数是，可能它们都不能被7×7整除，也可能其中一个数是7×7的倍数，而另一个不是．于是R的质因数分解式中7的幂次最高是1．

类似的分析，R中最多包含一个质因数5．

在9个连续的正整数中，恰有3个数是3的倍数，其中一个数能被9整除，而另一两个数仅能被3整除，因此R中所包含的质因数3的幂次必定为2．

在9个连续的正整数中，最多有5个数是偶数．此时，除去含有2的幂次最高的数外，其余的4的数含有质因数2最多的情形是：其中有2个仅为2的倍数，有1个是4的倍数，另一个是8的倍数．即R的质因数分解式中2的幂次最多是1+1+2+3=7．

综上所述，R的最大值是27×32×5×7=40320．事实上，对于9个连续正整数560，561，…，568，P除以Q所得到的商恰是40320．

2．老师在黑板上依次写了三个数21、7、8，现在进行如下的操作，每次将这三个数中的某些数加上2，其他数减去1，试问能否经过若干次这样的操作后，使得：

(1)三个数都变成12？ (2)三个数变成23、15、19？

【分析与解】如果两个数都加上2，那么它们的差不变；如果两个数都减去1，那么它们的差也不变；

如果一个数加上2，一个数减去1，那么它们的差增大或减小3．所以，不管怎样，它们的差增大或减小3的倍数．也就是说，不管怎么操作，这两个数的差除以3的余数是不变的．21与7的差除以3的余数为2；21与8的差除以3的余数为1；7与8的差除以3的余数为1．

（1)三个数都变成12，那么它们的差除以3的余数都是0，显然与开始给出的三个数之间差的余数有变化，所以不满足；

(2)三个数变成23、15、19，它们之间差除以3的余数依次为：

23与15的差除以3的余数为2；

23与19的差除以3的余数为1；

15与19的差除以3的余数为1．也就是说与开始给出的三个数之间差的余数没变化，所以满足．

3．对于n个奇质数，如果其中任意奇数个数的和仍是质数，那么称这些数构成“奇妙数组”，而n就是这个数组的“阶数”．例如11，13，17就是“奇妙数组”，因为11，13，17和11+13+17=41都是质数．

(1)证明：“奇妙数组”的“阶数”最大值为4；

(2)对于“阶数”为4的“奇妙数组”，求这4个质数的乘积的最小值．

【分析与解】 (1)假设a、b、c、d、e能组成一个5阶“奇妙数组”，那么a、b、c、d一定可以组成一个四阶“奇妙数组”，考虑除以3的余数情况，不能存在3的数它们除以3的余数相同，并且验证只能是1，1，2，2．则e除以3不管是余0，1，2都能在这五个数中找到三个数，它们的和是3的倍数，且大于3，所以无法组成5阶“奇妙数组”．但是如97，73，4l，53满足(它们的三个数和依次为167，191，223，2ll均是质数)．所以存在最大的4阶“奇妙数组”．

(2)写出所有除以3余1的质数：7，13，19，31，37，43，61，67，73，79，97；

写出所有除以3余2的质数：(2，5)，11，17，23，29，41，47，53，59，71，83，89．

很容易知道2是不能含有，不然其他两个奇质数与2的和为大于2的偶数，显然不是质数，5也很容易验证不满足；

有7，13，11，23满足(和依次为47，4l，43，31)．它们的乘积为7×13×11×23=23023．所以4阶“奇妙数组”的4个数最小乘积为23023．

评注：四阶的“奇妙数组”还有很多，如97，13，41，53．它们的三个数和依次为107，191，163，

151均是质数．

完全平方公式变形的应用

乘法公式的拓展及常见题型整理一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五：立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．

五年级奥数数阵问题

学生课程讲义填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。例1：把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。练习： 1、把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2：将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。练习： 1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。例3：将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

行程问题

第一讲行程问题一平均速度问题 1、小明从A去B的速度是40千米每小时，从A到B然后返回整个过程平均速度是48千米每小时。求小明返回时的速度？ 2、某司机从A到B按原速前进可以准时到，当走了一半路程的时候实际速度只有计划的11 13 ，要准时到后一半路程速度与前一半路程的速度比应为多少？二、相遇后问题 1、甲乙两车同时从AB出发相向而行。甲的时速是32千米，乙的时速是24千米，两车相遇3小时后甲到B，求AB两地的距离？ 2、甲乙两人分别从AB同时出发相向而行。甲的速度是60米/分，乙的速度是50米/分。两人相遇后，甲到终点和乙到终点的时间比是多少？三、过中点和回头相遇问题 3、甲乙两人分别从AB同时出发相向而行，甲的时速是6千米，乙的是4千米。两人距离 AB中点3千米处相遇，求AB的距离？ 4、汽车以每小时108km的速度行使,开向寂静的山谷,驾驶员按一声了喇叭.4S后听到回响,这时汽车离山谷有多远?(声音的速度按340m/s计算)

5、甲乙两车同时从A出发往返于AB，甲车每小时比乙车快12千米。甲车4.5小时到达了 B.甲车在距离B 31.5千米处与乙车相遇，求AB的距离。四、多人行程问题 6、甲乙丙三人每分分别行60米，50米，40米，甲从B,乙丙从A同时出发相向而行，甲遇到乙15分钟后又遇到丙，求AB的距离？ 7、甲乙丙三人同时从A出发，甲乙顺时间丙逆时针绕湖而行。甲丙30分钟后相遇，又过了5分钟乙丙相遇。甲的速度为5.4千米每小时，乙为4.2千米每小时。求绕湖一周的路程？ 8、快，中，慢三车从甲到乙，有一骑摩托车的人从乙到甲，该人分别用6，10，15分钟与三车相遇。快车80千米每小时，中车40千米每小时，求慢车速度？ 9、甲乙丙三人同时从A出发往返于AB，甲的时速10千米，比乙快2.5千米，丙的时速4 千米，甲和乙在距离B15千米处第一次相遇，求甲丙在距离A多远处第一次相遇？

2017人教版英语八年级上册第三单元Unit-3知识点讲练

八年级上册Unit 3 一、重点短语 1 . more outgoing 更外向 2. As…as…与…一样… 3. the singing competition 唱歌比赛 4. be similar to 与…相像的/类似的 5. the same as 和…相同；与…一致 6. be different from 与…不同 7. care about 关心；介意 8. be like a mirror 像一面镜子 9. the most important 最重要的 10. as long as 只要；既然 11. bring out 使显现；使表现出 12. get better grades 取得更好的成绩 13. reach for 伸手取14. in fact 事实上；实际上 15. make friends 交朋友 16. the other 其他的 17. touch one’s heart 感动某人 18. be talented in music 有音乐天赋 19. be good at 擅长… 20. be good with 善于与…相处 21. have fun doing sth. 享受做某事的 22. be good at doing sth 擅长做某事 23. make sb. do sth. 让某人做某事 24. want to do sth. 想要做某事 25. as+adj./adv.的原级+as 与…一样… 26. It’s+ adj.+for sb. to do sth. 对某人来说，做某事……的。 Section A Page 17 1. 两个事物进行比较可以用形容词或副词的比较级表达： (1) A + be+ 形容词比较级+ than +B (A比B更… ) Jane is taller than Kate. (2) A + 动词+ 副词比较级+ than +B (A比B更… ) Jane runs faster than Kate. 2. 形容词的比较级的构成。 (1) 比较级一般在形容词后加_________, 如：tall—taller, short—shorter, old—older (2)以辅音字母+y结尾的双音节词，应该_______________________, 如：funny—funnier, heavy—heavier. 单音节词除外，如: shy— shyer (3)如果只有一个元音字母，并且后有一个辅音字母结尾，应该___________________________, 如： big—bigger, thin—thinner (4)多音节词的比较级，应该___________________, 如：outgoing—more outgoing, beautiful—more beautiful (5)不规则词的变化需要死记： good/well---___________; bad/ill--____________, many/much---_________; little---________; far--_______ 3. (1) both….and…. 表“两者都”，连接两个主语时视为复数。如： Both you or I ______ right. ( be ) 你和我都是对的 (2) either...or…表“要么…要么…”，连接两个主语时，谓语动词遵守就近原则。如： Either you or I ______ right. ( be ) 要么你要么我是对的 4. both表“两者都”，all表“多者都” 题：_______ of my parents are teachers. We are ________ in China. 5. play the drums 打鼓（乐器前要加the，drum要用复数，架子鼓不止一个） 6. heavy (1)重的(2) 胖的，同义词为fat，反义词为thin. 7. 反义疑问句：前面是陈述句，用来表达自己的观点，后面反问对方以证实自己的观点。基本规律为前肯后否，前否后肯。后面的附加疑问句的构成与改一般疑问句的方法相同。如：①He isn’t a teacher, ___________ ? ②She can dance, _________ ? ③He likes English, __________？ (1)反义疑问句的回答根据事实用Yes或No来回答，但前否后肯的很容易出错，可改成一般疑问句或前肯后否再作回答。如; He can’t sing, ___________ ? ( 如果他能，怎么回答)----- _______________ (2) this, that 和表物的不定代词做主语，用it代替；表人的不定代词用they来代替。 Something is wrong, __________ ? Everyone likes English, _____________ ?

行程问题典型题库完整版

行程问题典型题库标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]

这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米一、追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离 =甲的速度×时间-乙的速度×时间 =（甲的速度-乙的速度）×时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差. 例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间. 此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝（小时）.

完全平方公式变形的应用练习题_2

（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= (二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++ （三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=

行程应用题举一反三：第1讲一般行程问题1

典型例题1 早晨，张老师从家骑自行车以每小时15千米的速度去上班，用0.4小时到达学校。中午下班，因逆风，张老师骑自行车以每小时12千米的速度沿原路回家，需多少小时到家？举一反三1 1、小明从家去学校，每分钟走80米，用了12分钟；中午放学沿原路回家，每分钟走100米，多少分钟到家？ 2、汽车从甲地到乙地平均每小时行50千米，6小时到达；原路返回时每小时比去时快10千米，返回时用了几个小时？ 3、货车从A城到B城，去时每小时行50千米，4小时到达；沿原路返回时比去时多用了1小时，返回时每小时比去时慢多少千米？典型例题2 一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地到乙地，出发1.5小时后，超过中点8千米。照这样的速度，这辆汽车还要行驶多长时间才能到达乙地？举一反三2 1、一辆汽车以每小时50千米的速度从A地到B地，出发1.2小时后，超过中点6千米。照这样的速度，这辆汽车还要行驶多长时间才能达到B地？ 2、一辆摩托车从甲地开往乙地，出发1.8小时，行了72千米，距离中点还有8千米。照这样的速度，这辆汽车还要行驶多长时间才能到达乙地？ 3、一辆汽车以每小时40千米的速度从东站开往西站，1.5小时后，剩下的路程比全程的一半少6千米。照这样的速度，这辆汽车从东站到西站共需多长时间？典型例题3 小明上学时坐车，回家时步行，在路上共用了1.25小时。如果往返都坐车，全部行程只需30分钟。如果往返都步行，全部行程需要多少小时？举一反三3 1、小红上学时坐车，回家步行，在路上一共用了36分钟。如果往返都坐车，全部行程只需10分钟，如果往返都步行，需要多少

分钟？ 2、张师傅上班坐车，下班步行，在路上共用了1.5小时。如果往返都步行，在路上一共需要2.5小时。问张师傅往返都坐车，在路上需要多少分钟？ 3、李师傅上班骑车，下班步行，在路上共用2小时，已知他骑车的速度是步行的4倍。问李师傅往返骑车只需多少时间？典型例题4 小明每天早晨6:50从家出发，7:20到校，老师要求他明天提前6分钟到校，如果明天早晨还是6:50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家距学校多远？举一反三4 1、解放军某部开往边境，原计划需行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达。这次共行军多少千米？ 2、小强和小红是邻居，且在一个学校上学。小红上学要走10分钟，小强每分钟比小红多走30米，因此比小红少用2分钟。问：他们家距学校多远？ 3、小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。如果两人按原定速度前进，则4小时相遇，如果两人各自都比原定速度每小时多走1千米，则3小时相遇。甲、乙两地相距多少千米？典型例题5 甲、乙两地相距56千米，汽车行完全程需1.4小时，骑车要4小时。王叔叔从甲地出发，骑车1.5小时后改乘汽车，又用了几个小时到达乙地？举一反三5 1、甲、乙两地相距90千米，汽车行完全程要1.5小时，骑车行完全程要6小时，李叔叔从甲地出发，骑车2小时后改乘汽车，又用几小时到达乙地？ 2、A、B两地相距135千米，刘叔叔骑自行车行完全程要13.5小时。他从A地出发，骑摩托车行了1.5小时后，由于摩托车发生了故障，他改骑自行车，又用了9小时到达B地。刘叔叔骑摩托车每小时行多少千米？ 3、行完甲、乙两地的路程，乘汽车需1.4小时，骑车要4小时，王叔叔从甲地出发，骑车1.5小时后改乘汽车，又用了几小时到达乙地？典型例题6

乘法公式的拓展及常见题型整理

乘法公式的拓展及常见题型整理例题：已知b a +=4，求ab b a ++222。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---222 2)()1(则= ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++2 2 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+- ，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2 =m ，(a —b)2 =n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-2 2)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ 例题：已知(a+b)2 =7,(a-b)2 =3, 求值: (1)a 2 +b 2 (2)ab 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1 x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422 +-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．（四）步步为营例题：3?(22 +1)?(24 +1)?(28 +1)?(162+1) 6?)17(+?(72+1)?(74+1)?(78+1)+1 ()( )()()()224 4 8 8 a b a b a b a b a b -+ +++ 1)12()12()12()12()12()12(3216842++?+?+?+?+?+

五年级奥数数阵图与幻方

数阵图与幻方知识集锦数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横行、竖列三个数的和都是14。练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。

练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6

例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。求x的值。练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

行程问题第1讲——相遇问题

一、思维建模例1. （1）牛牛和丁丁两人分别每小时6千米和每小时4千米的速度行走，若他们从A、B两地同时出发，相向而行，5小时后相遇，则A、B两地相距多少千米？（2）甲车和乙车分别以每小时70千米，每小时50千米的速度从相距480千米的两地向对方的出发地前进。多久后两车会相遇？思维巩固甲、乙两人分别以每小时8千米和每小时4千米的速度行走，若他们从A、B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇，则A、B两地相距多少千米？例2.田田和阿普两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，3小时后相遇。已知阿普每小时行60千米，则田田每小时行多少千米？思维巩固苹果和梨两家相距250千米，两人同时从家出发相对而行，5小时后相遇。已知苹果每小时行30千米，则梨每小时行多少千米？例3.甲、乙两城相距780千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行。货车每小时行60千米，客车每小时行70千米，问：从出发开始经过多久两车第一次相距130千米？从出发开始经过多久两车第二次相距130千米？思维巩固甲车和乙车分别以每小时70千米，每小时50千米的速度从相距300千米的两地同时出发向对方前进。当两车之间的距离是60千米时，是两车出发后多少小时？例4.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米，若甲先出发1小时，再经过5小时相遇，求A、B两地间的距离。

思维巩固甲、乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行。货车每小时行50千米，客车每小时行70千米。客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇。问相遇时客车、货车各行驶多少千米？例5.甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米。求A、B两地间相距多少千米？思维巩固甲、乙两列火车从相距942千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发。甲车行几小时后与乙车相遇？例6.牛牛、丁丁两人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点在距A地6千米处，相遇后他们继续向对方方向行走作往返运动，发现第二次相遇点在距B地3千米处，问：A、B相距多少千米？思维巩固牛牛、田田两人分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点在距A地8千米处，相遇后他们继续向对方方向行走作往返运动，发现第二次相遇点距A地4千米处，问：A、B相距多少千米？二、思维强化 1、牛牛、田田二人从A、B两地同时出发，相对而行。牛牛每小时行15千米，田田每小时行10千米，10小时相遇，求A、B两地的距离。 2、丁丁和阿普分别从相距60千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，5小时相遇，已知丁丁每小时行3千米，则阿普每小时行多少千米？ 3、A、B两地相距90米，牛牛从A地到B地需要30秒，丁丁从B地到A地需要15秒。现在牛牛和丁丁从A、B两地同时相对而行，相遇时牛牛到B 地的距离是多少米？

第1讲往返行程问题

第1讲往返行程问题行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．例1 、甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么，两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间？第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。以后每增加一次相遇，两车行的路程和为两地距离的2倍。故到第三次相遇，两车行的总路程为两地距离的5倍，这样便不难得出该题的解法：例2、甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？解：设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：

学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版

1 初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义 6 因式分解的高端方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用代数式7级因式分解的概念和基本方法

2 初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++ ∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++ 22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++ 典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法

3 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】分解因式： ⑴()() 22353x x x x -----； ⑵()()2 2 1212x x x x ++++-； ⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+- ()()22y y =-+ ()()2262x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则原式()23y y =-- 223y y =-- ()()13y y =+- ()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =---- ()()()()1223x x x x =+-+-； ⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+- 212y y =+- ()()34y y =-+ ()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++???????? ()()228781515x x x x =+++++，设2 87x x y ++=，则原式()815y y =++ ()()281535y y y y =++=++ ()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】分解因式： ⑴()()()()461413119x x x x x ----+

五年级奥数第09讲-数阵(教)

学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1 （2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。典例分析

考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。【解析】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数 =(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11. ?=，而【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333 1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。

小升初奥数专题第一讲行程问题

小升初奥数专题讲座

第一讲行程问题走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间. 这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如总量=每个人的数量×人数. 工作量=工作效率×时间. 因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题. 当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧. 这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米 1.1 追及与相遇有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离 = 甲的速度×时间-乙的速度×时间 =（甲的速度-乙的速度）×时间. 通常，“追及问题”要考虑速度差.

例1小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间. 此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此所用时间=9÷6＝1.5（小时）. 小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）. 城门离学校的距离是 48×1.5＝72（千米）. 答：学校到城门的距离是72千米. 例2小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理. 假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是 50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）· 因此，小张走的距离是 75× 20＝ 1500（米）. 答：从家到公园的距离是1500米. 还有一种不少人采用的方法. 家到公园的距离是一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.

人教版八年级数学上册培优讲义第五讲：因式分解无答案

第五讲：因式分解方法一：公式法把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 a 2 -b2 = (a +b)(a -b) 完全平方公式 a 2 ± 2ab +b2 = (a ±b) 2 立方和、立方差公式 a 3 ±b3 = (a ±b) ? (a 2 ab +b2 ) 补充：欧拉公式： a 3 +b3 +c3 - 3abc = (a + b +c)(a 2 +b2 +c2 -ab -b c -ca) =1 (a +b +c)[(a -b) 2 + (b -c) 2 + (c -a) 2 ] 2 特别地：（1）当a+b+c=0时，有a3+b3+c3=3abc （2）当c = 0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。【分类解析】例：把a 2 + 2a -b2 - 2b 分解因式的结果是（） A. (a -b)(a + 2)(b + 2) B. (a -b)(a +b + 2) C. (a -b)(a +b) + 2 D. (a 2 - 2b)(b2 - 2a) 2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2 x3 -x 2 +m 有一个因式是2x + 1，求m 的值。 3.在几何题中的应用例：已知a、b、c 是?ABC 的三条边，且满足a 2 +b2 +c2 -ab -bc -ac = 0 ，试判断?ABC 的形状.

4.在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8 的倍数。 5、中考点拨：例1：因式分解：x 3 - 4xy 2 =。例2：分解因式：2 x3 y + 8x 2 y 2 + 8xy 3 =。题型展示：例1. 已知：a =1 m + 1，b = 1 m + 2，c = 1 m + 3，求a 2 + 2ab +b2 - 2ac +c2 - 2bc 的值。 2 2 2 例2. 已知a +b +c = 0，a 3 +b3 +c3 = 0，求证： a 5 +b5 +c5 = 0

人教版历史必修三第三单元第8课《古

第8课古代xx的发明和发现 A教学目标一、知识与能力：1、掌握中国古代科技进步的基础知识，特别是纸、指南针、火药和印刷术的发明。 2、认识古代中国四大发明对世界文明发展的贡献。 3、对比中国四大发明在中国和西方发挥的作用，思考其不同的原因，并从中分析中国古代科技在16世纪后逐渐滞后的原因。二、过程与方法： 1、学生课前在教师的指导下利用图书馆、互联网等资源，分组收集、整理中国古代科技发展的相关材料，并在课堂上相互交流，从而对中国古代科技的成就形成初步的认识。三、情感态度与价值观： 1、了解和认识到中华民族的伟大智慧和对世界做出的巨大贡献。逐步形成对国家、民族的历史使命感和社会责任感，培养爱国主义情操。树立为祖国现代化建设、人类和平与进步事业做贡献的人生理想。 2、通过对本课的学习，培养学生崇尚科学的精神，坚定科学的思想。 B重点与难点重点：古代中国的伟大科技成就。难点：古代中国伟大科技发明发现的方法与精神。 C教学方法：列表的方法、材料分析法、讨论法等D教学过程【导入新课】众所周知，中国是享誉世界的文明古国，在科学技术上也曾有过令人自豪的灿烂辉煌。除了世人瞩目的四大发明外，领先于世界的科学发明和发现还有100种之多。美国学者罗伯特·坦普尔在著名的《中国：发明与发现的国度──中国科学技术史精华》一书中曾写道：“如果诺贝尔奖在中国的古

代已经设立，各项奖金的得主，就会毫无争议地全都属于中国人。”而英科技史学者李约瑟则称：“中国在公元3世纪到13世纪之间保持着一个西方所望尘莫及的科学知识水平”，中国的发明和发现“往往远远超过同时代的欧洲，特别在15世纪之前更是如此。”从这些对中国古代科技的评价中可以看出中国古代的科技曾是何等的辉煌。今天，我们就来了解以下古代中国的发明与发现。【讲述内容】一、四大发明 1.古代的四大发明提问：中国古代的四大发明是什么？造纸术、指南针、火药、印刷术。造纸术的发明和改进是在两汉时期，火药应用于军事始于唐末，雕版印刷术出现于隋唐；指南针和活字印刷术出现于北宋时期。四大发明先后经陆上和海上丝绸之路传播到东亚、东南亚、西亚、非洲和欧洲，逐渐走向世界，极大地促进这些地区生产力的发展。（1）造纸术【合作探究】1：纸发明之前人们曾经使用过哪些材料来记录信息书写文字？这些材料有什么样的缺点？（指导学生阅读导言）纸发明前的书写材料：龟甲、兽骨、青铜器、玉石器、竹木简、帛。或是难以保留，或是难于书写，或是太贵重。【合作探究】2：我国目前发现最早的纸是哪一时期的？造纸术后来如何改进的？（1）我国甘肃天水放马滩汉墓出土的西汉早期的纸，是现已发现的最早的纸。（2）至东汉时，宦官蔡伦改进了造纸术，使植物纤维纸逐渐取代竹木简成为古代中国的主要书写材料。指导学生阅读历史纵横，了解纸的发展历程关注中国造纸业的现状 1、数字化时代还用纸张吗？ PaperCom高级董事Bob McLean说：“纸张继续受到欢迎有许多原因。它们价钱不贵，便于携带，重量小，容易阅读而且不需要特别的设备或是电源装

小学五年级下册奥数知识点：数阵图练习题

小学五年级奥数练习1、将1、2、3、4、5这5个自然数分别填入右图中的5 个方格中，使图中横行3个数的和与竖行3个数的和都是10。 2、把1～10这10个自然数填入下图“六一”的10个空格里，使在同一条直线上的各数和都是12。练习1、将1、2、3、4、5、6这6个自然数分别填入右图的○内，使三角形每边上的3数之和为11。 2、把1～920. 练习1、将1～6这6个自然数分别填入下图中两圆的 ○内，使每个圆上4个数的和相等，两圆交点上的两个○内的数有几种填法？

例4、将1～10这10个自然数填入右图中的○内，使图中每条线段上的数之和都相等。请写出各种填法。 3、下面一列数是按一定规律排列的，那么括号中的数是（）。 1，4，7，28，5，20，（），12… 4、王明参加一次数学竞赛，全卷共20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分，王明20道题都做了，共得76分，他做对了（）题。 5、同学们站成3层空心方阵，最外层每边站20人，一共有学生（）人。 6、小明的邮票比小红多15张，小明的邮票张数是小红的4倍，小红有（）张邮票 7、一条小青虫，它的身长每天延长1倍，长到第10天的时候身长是20厘米，请问，在身长是10厘米的时候，它已经生长了（）天。 8、士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有（）人。这个方阵共有（）个士兵。 9、长方形的长是20厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米。 10、植树节到了，同学们在一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米种一棵。（1）如果两端都各栽一棵，需要（）棵树。（2）如果只有一端栽树，需要（）棵树。（3）如果两端都不栽树，需要（）棵树。 11、甲班和乙班共有图书480本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班有图书（）本，乙班有图书（）本。 13、小明买科技书和文艺书共34本，科技书比文艺书多6本。小明买科技书（）本，文艺书（）本。 14、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男